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高一数学 一次函数二次函数

时间:2016-12-08


2.4

一次函数、二次函数

考纲要求 1.理解并掌握一次函数、二次函数的定义、图象及性质. 2.会求二次函数在闭区间上的最值. 3.能用二次函数、一元二次方程及一元二次不等式之间的联系去解决有关问题.

1.一次函数、二次函数的定义及性质 函数名称 一次函数 解析式 y=kx+b(k≠0) k>0 k<0


二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0) a>0 a<0

图象

定义域 值域 单调性

__________ __________ 在(-∞,+∞)上 是______ 在(-∞,+∞)上 是______

奇偶性 周期性 顶点 对称性

当 b≠0 时,__________; 当 b=0 时,______ 非周期函数 过原点时,关于____对称 k=0 时,关于____对称

__________ __________ __________ 在________上是减 在________上是增 函数; 函数; 在________上是增 在________上是减 函数 函数 当 b≠0 时,__________; 当 b=0 时,______ 非周期函数 ____________ 图象关于直线________成轴对称图形

2.二次函数的解析式 (1)一般式:f(x)=______________; (2)顶点式:若二次函数的顶点坐标为(h,k),则其解析式为:f(x)=______________; (3)两根式:若相应一元二次方程的两根为 x1,x2,则其解析式为 f(x)=______________. 1.函数 f(x)=4x2-mx+5 在区间[-2,+∞)上是增函数,则 f(1)的取值范围是__________.

2.已知函数 f(x)=x2-2x+2 的定义域和值域均为[1,b],则 b=__________.

3. 如果函数 f(x)=x2+(a+2)x+b(x∈[a, b])的图象关于直线 x=1 对称, 则函数 f(x)的最小值为__________.

1

一、一次函数的概念与性质的应用 【例 1-1】已知 f(x)是一次函数,且满足 3f(x+1)-2f(x-1)=2x+17,则函数 f(x)=__________.

【例 1-2】已知函数 y=(2m-1)x+1-3m,m 为何值时, (1)这个函数为正比例函数; (2)这个函数为一次函数; (3)函数值 y 随 x 的增大而减小.

二、求二次函数的解析式 【例 2】已知二次函数 f(x)同时满足条件: (1)f(1+x)=f(1-x); (2)f(x)的最大值为 15; (3)f(x)=0 的两根立方和等于 17. 求 f(x)的解析式.

2

1.一次函数 y=ax+b 与二次函数 y=ax2+bx+c 在同一坐标系中的图象大致是(

).

2.若二次函数 f(x)满足 f(x+1)-f(x)=2x,f(0)=1,则 f(x)=( A.x2+xB.x2-x+1 C.x2+x-1 D.x2-x-1

).

3.已知一次函数 f(x)满足 f[f(x)]=3x+2,则 f(x)=__________.

4.(2012 重庆高考)若 f(x)=(x+a)(x-4)为偶函数,则实数 a=__________.

5.函数 f(x)=ax2+ax-1,若 f(x)<0 在 R 上恒成立,则 a 的取值范围是__________.

3

参考答案
基础梳理自测 知识梳理 4ac-b 4ac-b ? ? ? ?-∞,- b ? ?- b ,+∞? 1 .R R R ? 2a? ? 2a ? ? 4a ,+∞? ?-∞, 4a ? 增函数 减函数 ? 2 b b 4 ac - b b ? 原点 ?-∞,- ? ?- ,+∞? 非奇非偶函数 奇函数 非奇非偶函数 偶函数 ?- , 2a? ? 2a ? ? 4a ? ? 2a y轴 b x=- 2a 2.(1)ax2+bx+c(a≠0) (2)a(x-h)2+k(a≠0) (3)a(x-x1)(x-x2)(a≠0) 基础自测 1.B 2.B m 3.[25,+∞) 解析:由题意知 ≤-2, 8 ∴m≤-16,∴f(1)=9-m≥25. 4.2 解析:∵f(x)=(x-1)2+1, ∴f(x)在[1,b]上是增函数, f(x)max=f(b), ∴f(b)=b,即 b2-2b+2=b. ∴b2-3b+2=0.∴b=2 或 b=1(舍). a+2 5.5 解析:由题意知- =1, 2 解得 a=-4,∴b=6. 则 f(x)=x2-2x+6=(x-1)2+5, 当 x∈[-4,6]时,f(x)min=5. 考点探究突破 【例 1-1】 2x+7 解析:设 f(x)=kx+b(k≠0),则 3f(x+1)-2f(x-1) =3[k(x+1)+b]-2[k(x-1)+b] =3k(x+1)+3b-2k(x-1)-2b =kx+5k+b, 由题意得,kx+5k+b=2x+17, ? ? ?k=2, ?k=2, ∴? 解得? ?5k+b=17, ?b=7. ? ? ∴f(x)=2x+7. ? ?2m-1≠0, 【例 1-2】 解:(1)当? ?1-3m=0, ? 1 即 m= 时,函数为正比例函数. 3 1 (2)当 2m-1≠0,即 m≠ 时,函数为一次函数. 2 1 (3)当 2m-1<0,即 m< 时,函数为减函数,y 随 x 的增大而减小. 2 【例 2】 解:依条件,设 f(x)=a(x-1)2+15(a<0), 即 f(x)=ax2-2ax+a+15. 令 f(x)=0,即 ax2-2ax+a+15=0, 15 ∴x1+x2=2,x1x2=1+ . a
2 2

4

而 x13+x23=(x1+x2)3-3x1x2(x1+x2) 15? 90 =23-3×2×? ?1+ a ?=2- a , 90 ∴2- =17,则 a=-6. a ∴f(x)=-6x2+12x+9. 【例 3-1】 C 解析:c=0 时,f(-x)=-x|-x|+b(-x)=-x|x|-bx=-f(x),故 f(x)是奇函数,排除 D; b=0,c>0 时,f(x)=x|x|+c=0, ∴x≥0 时,x2+c=0 无解,x<0 时,f(x)=-x2+c=0,∴x=- c,只有一个实数根,排除 A,B,故 选 C. 【例 3-2】 (-4,0) 解析:由题意可知,m≥0 时不能保证对?x∈R,f(x)<0 或 g(x)<0 成立. (1)当 m=-1 时,f(x)=-(x+2)2,g(x)=2x-2,画出图象①,显然满足条件; ? ?-1<m<0, (2)当-1<m<0 时,2m>-(m+3),要使其满足条件,则需? 解得-1<m<0,如图②; ?2m<1, ?
?m<-1, ? (3)当 m<-1 时,-(m+3)>2m,要使其满足条件,则需? 解得-4<m<-1,如图②. ?-(m+3)<1, ?

综上可知,m 的取值范围为(-4,0). 演练巩固提升 1.C 2.B 解析:令 f(x)=ax2+bx+1(a≠0), ∵f(x+1)-f(x)=2x, ∴2ax+(a+b)=2x. ?2a=2, ?a=1, ? ? ∴? 得? ? ? ?a+b=0, ?b=-1. 2 ∴f(x)=x -x+1,故选 B. 3. 3x+ 3-1 或- 3x- 3-1 解析:令 f(x)=ax+b, 则 f[f(x)]=af(x)+b=a(ax+b)+b=3x+2.
?a2=3, ?a= 3, ?a=- 3, ? ∴? ∴? 或? ? ?ab+b=2, ?b= 3-1 ?b=- 3-1.

∴f(x)= 3x+ 3-1 或 f(x)=- 3x- 3-1. 4.4 解析:f(x)=x2+(a-4)x-4a.因为 f(x)为偶函数,所以 f(-x)=x2+(4-a)x-4a=x2+(a-4)x- 4a,a-4=4-a,a=4. 5.-4<a≤0 解析:当 a=0 时,f(x)=-1<0, 当 a≠0 时,若 f(x)<0 在 R 上恒成立,

5

? ?a<0, 则有? 即-4<a<0. 2 ?Δ=a +4a<0, ? 综上得-4<a≤0.

6


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