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3.3.1

时间:2013-03-04


函数的单调性与导数习题课

复习:
1、函数单调性与其导数的关系:

在某个区间(a,b)内,

增函数 f '( x ) ? 0 ? 函数f ( x )是 ____________
减函数 f '( x ) ? 0 ? 函数f ( x )是 ____________

拓展:若 f '( x ) ? 0恒成立呢?此时f (x)为常数函数
2、求可导函数f (x)单调区间的步骤: 注意: (1)确定函数的定义域; 应正确理解 (2)求f '(x); “ 某个区间 ” 的含义, 它必 是定义域内的某个区间。 (3)解不等式f '(x)>0(或f '(x)<0); (4)确认并指出递增区间(或递减区间).

探究:
增 (1)函数f (x)=x2在(1,5)上是单调递_______函数; [1,5]
小结论1: 一般地,若函数f (x)在x=a及x=b处有意义,则f (x) 在区间[a,b]与 (a,b) 上的单调性相同.

(-1,1) 例如:函数f (x)=x3-3x的单调递减区间是___________.
注意:此处填[-1,1]也对

探究:

≤ (2)对?x∈[0,p],函数f (x)=cosx的导数f '(x)____0, 减 此时f (x)=cosx在[0,p]上是单调递_____函数. (3)对?x∈R ,函数f (x)=x3的导数f '(x)______0, ≥ 增 此时f (x)=x3在R上是单调递______函数.
(4)函数f (x)=1的导函数f '(x)≥0在R上是不是恒成立? 那能不能说f (x)=1是增函数?
小结论2: 一般地,若函数f (x)在给定区间上总有f '(x)≥0, 且使得f '(x)=0的点是孤立、不相连的,则此时f (x)在 该区间上还是增函数.(减函数时类推) 例如:试判断函数f (x)=sinx+x在R上的单调性.

(减函数时同理) 小结论3:

f (x)在(a,b)上为增函数的充要条件是 在(a,b)上,f '(x)≥0恒成立且f '(x)不恒为0 例1、已知函数f (x)=ax3+1在(-∞,+∞)上单调递增, 求实数a的取值范围.

解: f ( x )在(??, ??)是增函数 ? 2 ? f '( x ) ? 3ax ? 0在(??, ??)上恒成立 ?a ? 0 又 ?当a ? 0时,f '( x )恒为0,不合题意 ?实数a的取值范围是(0, ??)

变题:已知函数f (x)=x3+ax在(-∞,+∞)上单调递增, 求实数a的取值范围。 解:∵函数f (x)=x3+ax在(-∞,+∞)上单调递增

? f '( x ) ? 3 x ? a ? 0在R上要恒成立 ∴?= -12a≤0,即a≥0
2

又 ?当a ? 0时,f '( x ) ? 3 x 2不恒为0 ∴当函数f (x)=x3+ax在(-∞,+∞)上单调递增时, 实数a的取值范围是[0,+∞)

解题小结:
一般地,若题目的要求是 “判断某个函数的单调性或求它的单调区间” 则用导数f '(x)>0(或f '(x)<0)计算即可. 若题目的要求是 “已知某个函数的单调性,要求其他问题” 则需用导数f '(x)≥0(或f '(x)≤0)计算,并要检验 f '(x)是否恒为0. 思考、已知函数f (x)=ax3+3x2-x+1在R上是减函数, 求a的取值范围。

思考、已知函数f (x)=ax3+3x2-x+1在R上是减函数, 求a的取值范围。

解:f '( x ) ? 3ax ? 6 x ? 1 ? f ( x )在R上是减函数
2

? f '( x ) ? 3ax 2 ? 6 x ? 1 ? 0在R上恒成立

?当a ? 0时,f '( x ) ? 6 x ? 1 ? 0不恒成立
?a ? 0 ?? ? ? ? 36 ? 12a ? 0

解得a ? ?3

又 ?当a ? ?3时,f '( x )不恒为0
∴当f (x)在R上是减函数时,a≤-3

练习

3.讨论二次函数 f ( x) ? ax 2

? bx ? c(a ? 0) 的单调区间.

解:

? f ( x) ? ax ? bx ? c(a ? 0) ? f ?( x) ? 2ax ? b.
2

(1) a ? 0 b 由 f ?( x) ? 0, 得 x ? ? , 即函数 f (x) 的递增区间 2a b b 是 (? ,??); 相应地, 函数的递减区间是 (??,? ) 2a 2a (2) a ? 0 b 由 f ?( x) ? 0, 得 x ? ? , 即函数 f (x) 的递增区间 2a b ; 相应地, 函数的递减区间是 b 是 ( ??,? (? ,??) ) 2a 2a

练习4

1 已知函数(x) 2ax ? 2 ,x ?(0 ,1],若(x)在 f ? f x x ?(0 ,1]上是增函数,求a的取值范围.

说明:已知函数的单调性求参数的取值范围是一种常见的 题型,常利用导数与函数单调性关系:即“若函数单调递 增,则 f ?( x) ≥ 0 ;若函数单调递减,则 f ?( x) ≤ 0 ”来求 解,注意此时公式中的等号不能省略,否则漏解.

例3:方程根的问题
1 求证:方程 x ? sin x ? 0 只有一个根。 2

1 f ( x ) ? x - sin x,x ? ( ?? , ?? ) 2 1 f '( x ) ? 1 ? cos x ? 0 2 ? f(x)在( ? ?, ?)上是单调函数, ? 而当x ? 0时,(x )=0 f 1 ? 方程x ? sin x ? 0有唯一的根x ? 0. 2

必要不充分 f '(x) ≥0是f (x)为增函数的_______________条件

必要不充分 f '(x) ≤0是f (x)为减函数的_______________条件

充分不必要 f '(x) >0是f (x)为增函数的_______________条件

充分不必要 f '(x) <0是f (x)为减函数的_______________条件

练习:求下列函数的单调区间. 1 (1)f ( x ) ? x ? ;(2)f ( x ) ? x ln x. x 解:(1)原函数的定义域是{ x | x ? 0}
1 ? f '( x ) ? 1 ? 2 ? 0 x

?原函数在(??,0)和(0, ??)都是增函数 故原函数的单调递增区间是(??,0), ??) (0,

练习:求下列函数的单调区间. 1 (1)f ( x ) ? x ? ;(2)f ( x ) ? x ln x. x 解:(2)原函数的定义域是(0, ??) ? f '( x ) ? ln x ? 1
1 ? 令f '( x ) ? 0,解得x ? e 1 令f '( x ) ? 0,解得0 ? x ? e 1 ? 原函数的单调递增区间是( , ?? ), e 1 单调递减区间是(0, ) e

作业: 1、求下列函数的单调区间. 1 (1)f ( x ) ? x ? ;(2)f ( x ) ? x ln x. x 3 2 2、已知函数f ( x ) ? x ? ax ? ax ? 1在R上是增函数, 求实数a的取值范围。

[教师选讲]已知 a∈R,函数 f(x)=(-x + x ax)e (x∈R,e 为自然对数的底数). (1)当 a=2 时,求函数 f(x)的单调递增区 间; (2)若函数 f(x)在(-1,1)上单调递增,求 a 的取值范围.

2

【解析】 (1)当 a=2 时,f(x)=(-x2+2x)ex, ∴f′(x)=(-2x+2)ex+(-x2+2x)ex =(-x2+2)ex. 2 x 令 f′(x)>0,即(-x +2)e >0, ∵ex>0,∴-x2+2>0,解得- 2<x< 2. ∴函数 f(x)的单调递增区间是(- 2, 2).

1 1 令 y=x+1- ,则 y′=1+ >0, x+1 (x+1)2 1 ∴y=x+1- 在(-1,1)上单调递增. x+1 1 3 3 ∴y<1+1- = ,∴a≥ . 2 1+1 2

(2)∵函数 f(x)在(-1,1)上单调递增, ∴f′(x)≥0 对 x∈(-1,1)都成立. ∵f′(x)=(-2x+a)ex+(-x2+ax)ex =[-x2+(a-2)x+a]ex, ∴[-x2+(a-2)x+a]ex≥0 对 x∈(-1,1)都成 立. ∵ex>0, ∴-x2+(a-2)x+a≥0 对 x∈(-1,1)都成立, x2+2x (x+1)2-1 1 即 a≥ = =x+1- x+1 x+1 x+1 对 x∈(-1,1)都成立.


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