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高中数学必修五人教版(教师用)第二章§2.3 等差数列的前n项和(二)Word版含答案

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学习目标 1.进一步熟练掌握等差数列的通项公式和前 n 项和公式.2.会解等差数列前 n 项 和的最值问题.3.理解 an 与 Sn 的关系,能根据 Sn 求 an. 知识点一 数列中 an 与 Sn 的关系 思考 已知数列{an}的前 n 项和 Sn=n ,怎样求 a1,an? 答案 a1=S1=1; 当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=n -(n-1) =2n-1, 又 n=1 时也适合上式,所以 an=2n-1,n∈N . 梳理 对任意数列{an},Sn 与 an 的关系可以表示为 ? ?S1(n=1), an=? * ?Sn-Sn-1(n≥2,n∈N ). ? * 2 2 2 知识点二 等差数列前 n 项和的最值 思考 我们已经知道当公差 d≠0 时,等差数列前 n 项和是关于 n 的二次函数 Sn= n +(a1 2 - )n,类比二次函数的最值情况,等差数列的 Sn 何时有最大值?何时有最小值? 2 答案 由二次函数的性质可以得出:当 a1<0,d>0 时,Sn 先减后增,有最小值;当 a1>0, d 2 d d<0 时,Sn 先增后减,有最大值;且 n 取最接近对称轴的正整数时,Sn 取到最值. 梳理 等差数列前 n 项和的最值与{Sn}的单调性有关. (1)若 a1>0,d<0,则数列的前面若干项为正项(或 0),所以将这些项相加即得{Sn}的最大值. (2)若 a1<0,d>0,则数列的前面若干项为负项(或 0),所以将这些项相加即得{Sn}的最小值. (3)若 a1>0,d>0,则{Sn}是递增数列,S1 是{Sn}的最小值;若 a1<0,d<0,则{Sn}是递减数列, S1 是{Sn}的最大值. 类型一 已知数列{an}的前 n 项和 Sn 求 an 1 2 例 1 已知数列{an}的前 n 项和为 Sn=n + n,求这个数列的通项公式.这个数列是等差数 2 列吗?如果是,它的首项与公差分别是什么? 解 根据 Sn=a1+a2+…+an-1+an 可知 Sn-1=a1+a2+…+an-1(n>1,n∈N*), 当 n>1 时, an=Sn-Sn-1=n2+ n- 1 =2n- , 2 1 3 2 当 n=1 时,a1=S1=1 + ×1= ,也满足①式. 2 2 1 ∴数列{an}的通项公式为 an=2n- . 2 3 故数列{an}是以 为首项,2 为公差的等差数列. 2 引申探究 1 2 例 1 中前 n 项和改为 Sn=n + n+1,求通项公式. 2 解 当 n≥2 时, ① 1 2 an=Sn-Sn-1 1 2 =(n + n+1)- 2 1 =2n- . 2 1 5 2 当 n=1 时,a1=S1=1 + +1= 不符合①式. 2 2 5 ? ?2,n=1, ∴a =? 1 ? ?2n-2,n≥2,n∈N . n * ① 反思与感悟 已知前 n 项和 Sn 求通项 an,先由 n=1 时,a1=S1 求得 a1,再由 n≥2 时,an= Sn-Sn-1 求得 an,最后验证 a1 是否符合 an,若符合则统一用一个解析式表示. 跟踪训练 1 已知数列{an}的前 n 项和 Sn=3 ,求 an. 解 当 n=1 时,a1=S1=3; 当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=3 -3 n n-1 n =2·3 n-1 . 当 n=1 时, 代入 an=2·3 n-1 得 a1=2≠3. ?3, n=1, ? ∴an=? n-1 * ? ?2·3 ,n≥2,n∈N .

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