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圆锥曲线定点,定值,范围问题(有答案)


圆锥曲线定点,定值,范围问题综合 1.

2.

3.

4.已知椭圆

x2 y 2 2 ? 2 ? 1 上的点 P 到左、 右两焦点 F 、 2 的距离之和为 2 2 , 离心率 e ? 1 F 2 a b 2

(I)求椭圆的方程; (II) 过右焦点 F2 且不垂直于坐标

轴的直线 l 交椭圆于 A ,B 两点, 试问: 险段 OF 2 上 是否存在一点 M,使得 | MA |?| MB | ?请作出并证明

5.已知椭圆 E :

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左、右焦点分别为 F1、F2,A 为上顶点,AF1 交椭 a2 b2

圆 E 于另一点 B,且 ?ABF2 的周长为 8,点 F2 到直线 AB 的距离为 2。 (I)求椭圆 E 的标准方程; (II)求过 D(1,0)作椭圆 E 的两条互相垂直的弦,M、N 分别为两弦的中点,求证: 直线 MN 经过定点,并求出定点的坐标。

6.如图,已知椭圆 E :

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的焦点为 F1、F2 ,顶点为 A1、A2 ,离心率为 a 2 b2

1 ,椭圆上的点到焦点的最短距离为 1,过 F 的直线 l1 交椭圆 E 于 A、B 两点,点 A 在 x 轴 1 2 ???? 5 ???? 的上方,且 F1 A ? ? F1 B 。 3 (Ⅰ)求椭圆 E 的方程;
(Ⅱ)求以 F 为圆心、 F A 为半径的圆 M 的方程; 1 1 (Ⅲ) A 关于 x 轴的对称点为 C , 设 椭圆 E 在直线 AC 左侧的部分 (包括端点) 与圆 M 在直线 AC 右侧的部分合成封闭曲线 N , F 的直线 l2 与曲线 N 交于 P、Q 两 过 1 点,求 PQ 的取值范围

7.已知椭圆

x2 y 2 3 3 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 ,点 (1,? ) 为椭圆上的一点,O 为坐标原 2 a b 2 2
2 2

(Ⅰ)求椭圆的方程; (Ⅱ)已知直线 l : y ? kx ? m 为圆 x ? y ? 求证: ?AOB 为直角。

4 的切线,直线 l 交椭圆于 A、B 两点, 5

8. 已知椭圆 E :

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的长轴长为 12,右顶点为 A,F1,F2 分别是椭圆 E a 2 b2

的左、右焦点,且|AF1|=5|AF2|。高考资源网 w。w-w*k&s%5¥u (I)求椭圆 E 的方程; (II)圆 C : ( x ? 2)2 ? y 2 ? 4 ,点 P 是椭圆 E 上任意一点,线段 CP 交圆 C 于点 Q,求 线段 PQ 长度的最小值。

答案: 1.

2.

3.

4.

5. 又 a 2 ? b 2 ? c 2 ? 4,?b ?

2, c ? 2,
…………6 分

∴椭圆 E 的方程是

x2 y2 ? ? 1. 4 2

(II)解法一:设过点 D(1,0)作两条相互垂直的直线分别与椭圆 E 交于 P1、Q1、P2、 Q2、M、N 分别为 P1Q1,P2Q2 的中点, 当直线 P1Q1 的斜率不存在或为零时,P1Q1、P2Q2 的中点 D 及原点 O,直线 MN 为 x 轴 …………7 分 所以定点必在 x 轴上, 当直线的斜率存在且不为零时, 设 P Q1 : y ? k ( x ? 1). 1 由?

? y ? k ( x ? 1)
2 2

消去y得 : (1 ? 2k 2 ) x 2 ? 4k 2 x ? 2k 2 ? 4 ? 0 ?x ? 2 y ? 4
…………9 分

? 4k 2 ? ? 2k ? x1 ? x2 ? k ( x1 ? x2 ? 2) ? k ? ? 1 ? 2 k 2 ? 2 ? ? 1 ? 2k 2 ? ? ?
2k 2 ?k ?M( 2 , 2 ) 2k ? 1 2k ? 1

同理 N (

2 k , 2 ),? K MN k ?2 k ?2
2

k k ? 2 3k 1 ? 2k 2 ? ? 2?k 2 2(1 ? k 2 ) 2k 2 2? k2 ? 1 ? 2k 2

MN : y ?

k 3k 2 ? (x ? ) 2 2 2?k 2(1 ? k ) 2? k2

取 y=0,得 x ?

2 k 2(1 ? k 2 ) 2k 3 ? 4k 2 ? 2 ? ? ? 为定值。 2 2 3k 2?k k ?2 3k (k ? 2) 3
…………12 分

2 ? MN 与 x 轴交于定点,定点坐标 ( ,0) 3

解法二:设过定点 D(1,0)作两条互相垂直的直线分别与椭圆 E 交于 P1、O1、P2、Q2、 M、N 分别为 P1Q1、P2Q2 的中点, 当直线的斜率存在且不为零时,设 P Q1 : x ? my ? 1, 1 由?

?x ? m y ? 1
2 2

消去x得 : (m 2 ? 2) y 2 ? 2m y ? 3 ? 0, ?x ? 2 y ? 4

解: (I) AB ? AF2 ? BF2 ? ( AF ? AF2 ) ? ( BF ? BF2 ) ? 4a ? 8, 1 1

?a ? 2
设c ? , a 2 ? b 2 ,因为 A(0,b)

…………2 分

∴直线 AB 的方程为

x y ? ? 1, 即bx ? cy ? bc ? 0 , ?c b

∴点 F2 到直线 AB 的距离 d ?

| bc ? bc | b2 ? c2

?

2bc ? bc ? 2, a

…………4 分

? x1 ? x2 ? (m y1 ? 1) ? (m y2 ? 1) ? m( y1 ? y 2 ) ? 2 ?

? 2m 2 4 ?2? 2 2 m ?2 m ?2
…………8 分

?M(

2 ?m 2m 2 m , 2 ),同理N ( 2 , ), 2 m ?2 m ?2 2m ? 1 2m 2 ? 1

? K MN

m m ? 2 3m 2 ? m2 ? ? 1 ? 2m , 2 2m 2 2(m 2 ? 1) ? 1 ? 2m 2 2 ? m 2

MN : y ?

m 3m 2 ? (x ? ), 2 2 2?m 2(m ? 1) 2 ? m2 3m 2 ( x ? ), 2 3 2(m ? 1)
2 3
…………11 分

整理得 y ?

∴直线 MN 过定点 ( ,0)

当直线 P1Q1 的斜率不存在或为零时,P1Q1、P2Q2 的中点为点 D 及原点 O,直线 MN 为 x 轴, 也过此定点, ∴直线 MN 过定点 ( ,0)

2 3

…………12 分

6. 解: (I)依题意得 e ?

c 1 ? , a ? c ? 1 ?a ? 2, c ? 1, b ? 3 a 2

x2 y 2 ? ? 1 . --------------------------------- 2 分 4 3 (II)解法一:设 A?x1 , y1 ?, B?x2 , y 2 ? ???? 5 ???? 5 F1 A ? ? F1 B ? ( x1 ? 1, y1 ) ? ? ( x2 ? 1, y2 ) 3 3 5 ? ? x1 ? 1 ? ? 3 ( x2 ? 1) ? ?? -----------------------------------3 分 5 ? y1 ? ? y2 ? 3 ? 5 (只写出 y1 ? ? y2 的也给分) 3 ? AB 的斜率存在且不为零,又 A 点在 x 轴的上方, 故设 AB: x ? my ? 1(m ? 0) ? x ? my ? 1 ?3(my ? 1)2 ? 4 y 2 ? 12 ? (3m2 ? 4) y 2 ? 6my ? 9 ? 0 ? 2 2 ?3x ? 4 y ? 12
∴椭圆 E 的方程是

6m ? ? y1 ? y2 ? 3m 2 ? 4 ? 2 6m ? ? ? 3 y2 ? 3m 2 ? 4 4 36m 2 ?9 ? ? ?? ?? ? ? y1 ? y2 ? ?9 15 (3m 2 ? 4) ? ( ?9) 3m 2 ? 4 ? 5 2 ? ? y2 ? ? 3 ? 5 3m 2 ? 4 ? y1 ? ? y2 ? 3 ?

1 3 ? m2 ? 又m ? 0 ? m ? -------------------------------------6 分 3 3 3 ? (1 ? 4) y 2 ? 6 ? y ? 9 ? 0?5 y 2 ? 2 3 y ? 9 ? 0 3 3 8 3 ? y1 ? 3, y2 ? ? 3 ? A(0, 3), B( ? , ? 3) ,又 F1 (?1,0) 5 5 5

? 圆 M: ( x ? 1)2 ? y 2 ? 4 ---------------------------------------------------8 分 解法二:设 A?x1 , y1 ?, B?x2 , y 2 ? ???? 5 ???? 5 F1 A ? ? F1 B ? ( x1 ? 1, y1 ) ? ? ( x2 ? 1, y2 ) 3 3 5 ? ? x1 ? 1 ? ? 3 ( x2 ? 1) ? ?? ------------------------------------3 分 5 ? y1 ? ? y2 ? 3 ? 5 8 (只写出 x1 ? ? x2 ? 的也给分) 3 3 ? AB 的斜率存在且不为零,又 A 点在 x 轴的上方,故设 AB: y ? k ( x ? 1)(k ? 0) ? y ? k ( x ? 1) ? (4k 2 ? 3) x2 ? 8k 2 x ? (4k 2 ? 12) ? 0 ? 2 2 ?3x ? 4 y ? 12
? ?4k 2 ? 12 ? ?8k 2 x1 ? x1 ? x2 ? 2 ? ? 4k 2 ? 3 4k ? 3 ? ? ?4k 2 ? 12 4k 2 ? 12 4k 2 ? 12 ? 4k 2 ? 12 4k 2 ? 12 ? ? ? ? ? ? x1 ? x2 ? ? x2 ? 4k 2 ? 3 4k 2 ? 3 4k 2 ? 3 4k 2 ? 3 4k 2 ? 3 ? ? ? ? 5 8 4k 2 ? 12 x1 ? ? x2 ? ? ? x1 ? x2 ? 3 3 ? 4k 2 ? 3 ? ? k 2 ? 3? k ? 3 -----------------------------------------------6 分 8 ?(4 ? 3 ? 3) x2 ? 8 ? 3x ? (4 ? 3 ?12) ? 0 ? 5 x 2 ? 8 x ? 0 ? x1 ? 0, x2 ? ? 5 8 3 ? A(0, 3), B( ? , ? 3) ,又 F1 (?1,0) 5 5 ? 圆 M: ( x ? 1)2 ? y 2 ? 4 -------------------------------------------8 分 (Ⅲ)解法一:过 F1 的直线 l2 交曲线 N 于 PQ
(ⅰ)当 P、Q 分别在椭圆 E 和圆 M 上时,不妨设 Q 在圆 M 上则 FQ ? 2 ,P 在椭圆 E 上, 1 设 P( x, y) 由 ( II ) 知 ?2 ? x ? ?

8 , 5
Y

3 PF1 ? ( x ? 1) 2 ? y 2 ? ( x ? 1) 2 ? (3 ? x 2 ) 4 ? ? 1 2 1 x ? 2x ? 4 ? ( x ? 4) 2 4 4 1 x?4 2
6 5 16 5
F1

?1 ? PF1 ?

O

x

3 ? PF1 + F1Q ?
? 3 ? PQ ?

16 ---------------------------5

----11 分 (ⅱ)当 P、Q 都在椭圆 E 上时,此时斜率不为零故设 PQ: x ? my ? 1 由(II)的解法一知

1 3 2 2 2 ?? ? 36m ? 36(3m ? 4) ? 144(m ? 1)

(3m2 ? 4) y 2 ? 6my ? 9 ? 0 ,且 m 2 ?

PQ ? 1 ? n2 ? y1 ? y2 ? 1 ? m2 ? ( y1 ? y2 )2 ? 4 y1 y2

?

? 1 ? m2 ?
2

144(m2 ? 1) 12(m2 ? 1) 4 ? ? 4? 2 2 2 3m ? 4 3m ? 4 3m ? 4

又? m ?

1 3
2

故当 m ? 0 时 PQ 取最小值 3 故当 m ?

1 16 时 PQ 取最大值 3 5

? 3 ? PQ ?
综 合 (

16 5
ⅰ ) ( ⅱ )

PQ













? 16 ? ?3, 5 ? ? ?

---------------------------------14 分 解法二: (ⅰ)同解法一 ----------------------------------------11 分 (ⅱ)当 P、Q 都在椭圆 E 上时, 若斜率不存在,此时 PQ: x ? ?1 代入

若斜率存在设 PQ: y ? k ( x ? 1) 由(II)的解法二知

3 x2 y 2 ? ? 1 得 y ? ? , PQ =3 2 4 3

(4k 2 ? 3) x2 ? 8k 2 x ? (4k 2 ?12) ? 0 且 k 2 ? 3 ?? ? 64k 2 ?16(4k 2 ? 3) ? 144(k 2 ? 1)
PQ ? 1 ? k 2 ? x1 ? x2 ? 1 ? k 2 ? ( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2

?

144(k 2 ? 1) 12(k 2 ? 1) 3 ? ? 3? 2 2 2 4k ? 3 4k ? 3 4k ? 3 16 2 又? k ? 3 ? 3 ? PQ ? 5 16 故若 P、Q 都在椭圆 E 上,? 3 ? PQ ? 5 ? 16 ? 综合(ⅰ) (ⅱ) PQ 的取值范围是 ?3, ? ----------------------------------14 分 ? 5? ? 1? k 2 ?

? c 3 ?e ? ? a 2 ? 3 ?1 7. 解: (Ⅰ)依题可得: ? 2 ? 2 ? 1 ? a ? 2, b ? 1, c ? 3 4b ?a 2 ?a ? b 2 ? c 2 ? ?
所以椭圆的方程为:

x2 ? y2 ? 1 4

? y ? kx ? m ? (Ⅱ)由 ? x 2 得 (1 ? 4k 2 ) x 2 ? 8kmx? 4m2 ? 4 ? 0 ? y2 ? 1 ?4 ?

8. 解: (Ⅰ)由已知得, 2a ? 12 ,? a ? 6 .------------------------------------1 分 又 由 AF ? 5 AF2 ,得 a ? c ? 5(a ? c) ,? c ? 1

2 a ? 4 ---------------3 分 3

?b2 ? a 2 ? c 2 ? 20 ----------------------------------------4 分

Q

x2 y2 ? 1 .-------------------------5 分 ? 椭圆 E 的方程为 ? 36 20
(Ⅱ)由已知得, C (2, 0) ,设 P( x0 , y0 ) ,则
2 2 x0 y 0 ? ?1 36 20

F1

F2

A

( ?6 ? x0 ? 6 ) ---------------------------7 分 ,

5 ? y0 2 ? 20 ? x0 2 .--------------------------------------8 分 9

PQ ? CP ? CQ ------------------------------------------------9 分
4 2 x0 ? 4 x0 ? 24 ? 2 = 4 ( x0 ? 9 )2 ? 15 ? 2 9 9 2 --------------------------11 分高考资源网 w。w-w*k&s%5¥u ? ( x0 ? 2)2 ? y0 2 ? 2 ?
( ?6 ? x0 ? 6 )

?当x0 ?

9 时, PQ 有最小值 15 ? 2 ----------------------------------------12 分 2


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