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高三数学第一轮复习测试及详细解答(12)——


高三数学第一轮复习单元测试
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.若复数 z ? (a ? 2 ) ? 3i为纯虚数,则 A.i B.1

f (2 0 0 ) ? f (2 0 0 ) ? 6 7
A.3

) C.2 D.2006 (

④ )

B.-3

11.锐角三角形 ABC 中,若 A ? 2B ,则下列叙述正确的是 ① sin 3B ? sin 2c ② tan A.①②

a ? i 2007 的值为 1 ? ai
D.-i

3B c ? ? tan ? 1 ③ ? B ? 2 2 6 4
C.③④

a ? ( 2, 3] b
???? ??? ??? ? ?





B.②③

D.④①
??? ?

C.-1

12.O 是平面上的定点,A、B、C 是平面上不共线的三点,且满足 OP ? OC ? ? ? CB ? CA ? ( ? ? R ),则 P 点的轨迹一定过 ) △ABC 的 A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心

2.设集合 M ? {( x, y) y ? x ? 1, x ? R} , N ? { y y ? x 2 ? 1, x ? R} ,则 M ? N 中元素的个数是 ( A.0 3. B.1
3 2

C.2

D.1 或 2 ( D.由 a 确定 ( ) ) 二、填空题:本大题共 4 个小题,每小题 4 分,共 16 分. 把答案直接写在横线上 13.某计算机执行以下程序: (1)初始值 x = 3,s = 0; (2)x = x + 2; (3)s = s + x; (4)若 s≥2003,则进行(5),否则从(2)继续执行; (5)打印 x; (6)stop。 那么由语句(5)打印出的数值为__________________. 14.设 (33 x ? 1) 的展开式中各项系数之和为 A,各项的二项式系数之和为 B,如 A+B=272,则展开式中 x 的系数
n

关于 x 的函数 f ( x) ? x ? 3x ? 3x ? a 的极值点的个数有 A.2 个 B.1 个 C.0 个

4.图中阴影部分可用哪一组二元一次不等式表示 A. ?

? y ? ?1 ?2 x ? y ? 2 ? 0

B. ?

? y ? ?1 ?2 x ? y ? 2 ? 0

?x ? 0 ? C. ? y ? ?1 ?2 x ? y ? 2 ? 0 ?

?x ? 0 ? D. ? y ? ?1 ?2 x ? y ? 2 ? 0 ?
( )





5.在下列命题中,真命题是

A.直线 m, n 都平行于平面 ? ,则 m // n B.设 ? ? l ? ? 是直二面角,若直线 m ? l ,则 m ? ?

15.在△ABC 中,B(-2,0) C(2,0) A(x,y) 、 、 ,给出△ABC 满足的条件,就能得到动点 A 的轨迹方程,下面给出了 一些条件及方程,请你用线把左边△ABC 满足的条件及相应的右边 A 点的轨迹方程连起来.(错一条连线得 0 分) ① △ABC 周长为 10

C.若直线 m, n 在平面 ? 内的射影依次是一个点和一条直线,且 m ? n ,则 n ? ? 或 n // ? D.设 m, n 是异面直线,若 m // 平面 ? ,则 n 与 ? 相交 x2 y 2 x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) ? 2 ? 1(m ? 0, n ? 0) 2 2 6.已知椭圆 a b 与双曲线 m n 有相同的焦点 (?c,0) 和 (c, 0) .若 c 是 a, m 的等比中项,

C1 : y2=25 C2 : x2+y2=4(y≠0) C3 :

② ③

△ABC 面积为 10 △ABC 中,∠A=90°

n 2 是 2m 2 与 c 2 的等差中项,则椭圆的离心率是
1 A. 2 1 B. 4





3 2 3 2 C. D. π π 1 7.曲线 y=2sin(x + )cos(x - )和直线 y= 在 y 轴右侧的交点按横坐标从小到大依次记为 P1,P2,P3,…,则|P2P4| 4 4 2 等于 ( ) A .π B .2π C. 3π D .4π

8 设可导函数 f (x) 是 R 上的奇函数, f (1) ? 0 ,且当 x<0 时, f ?( x) ? 0 ,则不等式 xf ( x) ? 0 的解集是 A. (??,?1] ? [1,??) . [?1,0) ? (0,1] C. [?1,1]
x (2? x )





x2 y2 + =1(y≠0) 9 5 16.现用若干张扑克牌进行扑克牌游戏.小明背对小亮,让小亮按下列四个步骤操作: 第一步:分发左、中、右三堆牌,每堆牌不少于两张,且各堆牌的张数相同; 第二步:从左边一堆拿出两张,放入中间一堆; 第三步:从右边一堆拿出一张,放入中间一堆; 第四步:左边一堆有几张牌,就从中间一堆拿出几张牌放入左边一堆. 这时,小明准确地说出了中间一堆牌现有的张数.你认为中间一堆牌的张数是
三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.



D. (??,?1] ? {0} ? [1,??)
?1

9.设 0 ? a ? 1,函数 f ( x) ? log a ? log 1
a

,则函数 f

( x) ? 1 的 x 的取值范围是(
D. (log a
(2 ? a )



A. (0, 2)

B. (2, ??)

C. (0, ??)

, ??)

b ? (? , 2) x? 4 12 17.本小题满分 12 分) ( 已知 f ( x) ? ?4cos x ? 4 3a sin x cos x , f (x) 的图象按向量 将 平移后, 图象关于直线 对称. (1)求实数 a 的值,并求 f ( x) 取得最大值时 x 的集合; (2)求 f ( x) 的单调递增区间.
2

?

?

?

10 ( 文 ) 设 函 数 f (x) 是 R 上 的 偶 函 数 , 对 于 任 意 的 x ? R 都 有 f ( x ? 6) ? f ( x) ? f (3) , 且 f (2) ? 3 , 则

18. (本小题满分 12 分) (理)口袋里装有大小相同的卡片八张,其中三张标有数字 1,三张标有数字 2,二张标有数字 3,

—1—

第一次从口袋里任里任意抽取一张, 放回口袋里后第二次再任意抽取一张, 记第一次与第二次取到卡片上数字之和为

?.
(1) ? 为何值时,其发生的概率最大?说明理由; (2)求随机变量 ? 的期望 E? . (文)有一种博彩游戏,其规则如下:庄家在口袋里装黑、白围棋子各 8 枚,博彩者从中随机一次摸出 5 枚,摸一次交 手续费 1 元,中彩情况如下: 摸子情况 彩 金 5 枚白 20 元 4 枚白 2元 3 枚白 纪念品价值 5 角 其它 无奖

20. (本题共 12 分)已知数列 {an } 中, a1 ? t , a2 ? t 2 (t ? 0) ,且 an ?1 ? (t ? 1)an ? tan ?1 (n ? 2) . (1)若 t ? 1 ,求证:数列 {an ?1 ? an } 是等比数列. (2)求数列 {an } 的通项公式.
n ? 2

1 1 1 1 2an 1 (3) (仅理科)若 ? t ? 2, bn ? ? ? … 与 2n (n ? N ? ) ,试比较 ? 2 2 1 ? an b1 b2 b3 bn

?2



(1)分别求博彩一次获 20 元彩金,2 元彩金,纪念品的概率; (2)如果游客博彩 1000 次,庄家是赔钱还是赚钱?金额约是多少元?(精确到元) 21. (本题满分 12 分)已知抛物线 y = 2px ( p?0)的焦点为 F,直线 l 过定点 A(1,0)且与抛物线交于 P、Q 两点. (1)若以弦 PQ 为直径的圆恒过原点 O,求 P 的值; (2)在(1)的条件下,若 FP + FQ = FR ,求动点 R 的轨迹方程.
2

19. (本题满分 12 分) 、如图,在三棱锥 P-ABC 中,AB⊥BC,AB=BC=kPA,点 O、D 分别是 AC、PC 的中点,OP⊥底面 ABC. (1)若 k=1,试求异面直线 PA 与 BD 所成角余弦值的大小. (2)当 k 取何值时,二面角 O-PC-B 大小为

? ? 3

P

22. (本小题满分 14 分)已知数列{ a n }中, an ? 2 ?

1 (n≥2, n ? N ? ) , an ?1

D

(1)若 a1 ? (2)若 a1 ?

1 3 ,数列 {bn } 满足 bn ? ( n ? N? ) ,求证数列{ bn }是等差数列; an ? 1 5

A

O B

C

3 ,求数列{ a n }中的最大项与最小项,并说明理由; 5

(3) (理做文不做)若 1 ? a1 ? 2 ,试证明: 1 ? a n ?1 ? a n ? 2 .

—2—

参考答案

设 P(x1,y1) Q(x2,y2)则由韦达定理得: x1 + x2 = (2p + 2k )/ k
2 2

DACCC AADCA BC 89 108

①→ C3 , ②→ C1 , ③→ C2
?

5
?

x1 x2 =1 故 y1y2 = - 2p 又以弦 PQ 为直径的圆恒过原点 O, ∴ x1 x2+ y1y2 =0= 1- 2p ∴ P = 1/2 2 2 又 此时? = 4p + 8pk ? 0 综合①②得 P = 1/2. ………………6 分

f ( x) ? 2 3 sin 2 x ? 2cos 2 x ? 2 ? 4sin(2 x ? ) ? 2 {x | x ? k ? ? , k ? Z } 6 3 17.(1) .最大值时 x 的集合是 .

(2) f ( x) 的单调递增区间是

[ k? ?

?
6

, k? ? ] 3 (k ? Z ) .……………………12 分

?

(2)设动点 R 的坐标为(x,y) ∵ FP + FQ = FR ∴FO + OP + FO + OQ = FO + OR ∴ (-1/4,0) + (x1,y1) + (x2,y2)= (x,y) ∴ x= x1 + x2 - 1/4 且 y =y1 +y2 ①l 方程为 x= 1 时,x= x1 + x2 - 1/4= 7/4 ,y =y1 +y2= 0
2 2

32 9 2 ? 3 2 18 3 2 ? 2 ? 3 ? 2 21 18. (理) (1)P( ? =2)= 2 ? ;P( ? =3)= , P( ? =4)= ; ? ? 64 64 64 8 82 82
P( ? =5)=

②当 l 方程不是 x= 1 时,x=(2p +2k )/k – 1/4 y= k(x1 + x2) - 2k = 1/k 即得 :x= 2p y + 7/4 = y + 7/4 所以 y = x –7/4 又因为 点(7/4,0)在 y = x –7/4 上 ∴ 由①②得 R 点的轨迹方程为:y = x –7/4 22. (1)∴ { bn }是首项为 b1 ?
2 2 2 2 2

2 4 2 ? 3 ? 2 12 21 ; P( ? =6)= 2 ? ; 所以,当 ? =4 时,其发生的概率 P( ? =4)= 最大 ? 2 64 64 64 8 8
2

………………12 分 (4 分)

9 18 21 12 4 15 (2)E ? = 2 ? ? 3? ? 4 ? ? 5? ? 6 ? ? . 64 64 64 64 64 4
(文) (1)一次摸奖中 20 元彩金的概率 P20 ?

(12 分)

1 5 ? ? ,公差为 1 的等差数列. a1 ? 1 2
an ? 1 ?

C85 1 ; ? 5 C16 78

(2 分) (2) 有 an ? 1 ?
y' ? ?

4 1 一次摸奖中 2 元彩金的概率 P2 ? C 8 C8 ? 5 ; 5 39 C16

1 5 ,而 bn ? ? ? (n ? 1) ?1 ? n ? 3.5 , ∴ bn 2

1 .对于函数 y ? 1 ,在 x>3.5 时,y>0, n ? 3.5 x ? 3.5
1 取最大值 3.(6 分)而函 n ? 3.5

中纪念奖概率 P ? C C ? 14 . 纪 5
C16 39

3 8

2 8

(6分)

1 ? 0 ,在(3.5, ? ? )上为减函数. ( x ? 3.5) 2

故当 n=4 时, an ? 1 ?

(2)1000 次收手续费 1000 元. 预计支付 20 元奖需 m20 ? 1 ? 1000 ? 20元 ;
78

数y?

1 1 在 x<3.5 时,y<0, y' ? ? ? 0 ,在( ? ? ,3.5)上也为减函数.故当 n=3 时,取最小 x ? 3.5 ( x ? 3.5) 2

值, a 3 =-1.(8 分 (9分) (3) 用数学归纳法证明 1 ? a n ? 2 ,再证明 a n ?1 ? a n . ① 当 n ? 1时, 1 ? a1 ? 2 成立; (9 分)

支付 2 元奖需 m2 ?

5 ? 1000 ? 2 元; 39
39

支付纪念奖需 m纪 ? 14 ? 1000 ? 0.5 元; 则余额 n=1000-m20-m2-m 纪=308 元.故庄家赚钱约 308 元.

3 3 ? 19.异面直线 PA 与 BD 所成角余弦值的大小为 . 故当 k= 时,二面角 O-PC-B 大小为 3 2 3
20.⑴ {an?1 ? an } 是首项为 t ? t ,公比为 t 的等比数列⑵ an ? t (t ? 0)
2
n

②假设当 n ? k 时命题成立,即 1 ? a k ? 2 , 当 n ? k ? 1 时,

1 1 ? ? 1 ? a k ?1 ? 2 ? 1 ? (1, 3 ) ? 1 ? ak ?1 ? 2 2 ak ak 2
(11 分)

1 1 1 1 1 1 1 ? [(2 ? 22 ? … ?2n ) ? ( ? ? … ? n )] ⑶∴ ? ? … ? b1 b2 bn 2 2 2 4

故当 n ? k ? 1 时也成立,

综合①②有,命题对任意 n ? N ? 时成立,即 1 ? a n ? 2 . (12 分) (也可设 f ( x) ? 2 ? 故 1 ? f (1) ? a k ?1 下证: a n ?1 ? a n

1 1 [1 ? ( )n ] n 1 2(2 ? 1) 2 2 ] ? 2n ? 1 (1 ? 2? n ) ? 2n ? 1 ? 2 1? 2? n ? 2n ? 2? 2 12 分 ? [ ? 1 2 2 2 2 ?1 1? 2
n

1 1 (1≤ x ≤2) ,则 f ' ( x) ? 2 ? 0 , x x 3 ? f (a k ) ? f (2) ? ? 2 ). 2
a n ?1 ? a n ? 2 ? (a k ? 1 1 ) ? 2 ? 2 ak ? ? 0 ? a n ?1 ? a n .(14 分) ak ak

21. (1)①若直线为 x = 1,将 x = 1 代入 y = 2px 得 y = 2p 以弦 PQ 为直径的圆恒过原点 O ,所以有 2p = 1∴ P = 1/2 ②若直线 l 不是 x = 1 时,设直线方程为: y = kx – k 2 2 2 2 2 将 y = kx – k 代入 y = 2px 得 k x - (2p + 2k )x + k = 0①
—3—

2

2


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