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高中数学竞赛教材讲义 第十六章 平面几何


第十六章

平面几何

一、常用定理(仅给出定理,证明请读者完成) 梅涅劳斯定理 设 A ' , B ' , C ' 分别是Δ ABC 的三边 BC,CA,AB 或其延长线上的点,若 A ' , B ' , C ' 三点共线,则
BA ' A'C ? CB '

B'A ? AC ' C'B BA ' A'C ? CB ' B'A ? AC ' C'B ? 1 . 则 A ' , B ' , C ' 三点共线。 ? 1.

梅涅劳斯定理的逆定理 条件同上,若

塞瓦定理 设 A ' , B ' , C ' 分别是Δ ABC 的三边 BC,CA,AB 或其延长线上的点,若 AA ' , BB ' , CC ' 三线平行或共点,则 塞瓦定理的逆定理
BA ' A'C ? CB ' B'A ? AC ' C'B
A ' , B ' , C ' 分别是Δ ABC 的三边 BC,CA,AB 所在直线上的点,则

BA ' A'C

?

CB ' B'A

?

AC ' C'B

? 1.

设 A ' , B ' , C ' 分别是Δ ABC 的三边 BC,CA,AB 或其延长线上的点,若

? 1 . 则 AA ' , BB ' , CC ' 三线共点或互相平行。

角元形式的塞瓦定理

AA ' , BB ' , CC ' 平行或共点的充要条件是

sin ? BAA ' sin ? A ' AC

?

sin ? ACC ' sin ? C ' CB

?

sin ? CBB ' sin ? B ' BA

? 1.

广义托勒密定理 设 ABCD 为任意凸四边形,则 AB?CD+BC?AD≥AC?BD,当且仅当 A,B,C,D 四点共圆时取等号。 斯特瓦特定理 设 P 为Δ ABC 的边 BC 上任意一点,P 不同于 B,C,则有 AP =AB ?
2 2

PC BC

+AC ?

2

BP BC

-BP?PC.

西姆松定理 过三角形外接圆上异于三角形顶点的任意一点作三边的垂线,则三垂足共线。 西姆松定理的逆定理 若一点在三角形三边所在直线上的射影共线,则该点在三角形的外接 圆上。 九点圆定理 三角形三条高的垂足、三边的中点以及垂心与顶点的三条连线段的中点,这九 点共圆。 蒙日定理 三条根轴交于一点或互相平行。 (到两圆的幂(即切线长)相等的点构成集合为一 条直线,这条直线称根轴) 欧拉定理 Δ ABC 的外心 O,垂心 H,重心 G 三点共线,且 OG ?
1 2 GH .

二、方法与例题 1.同一法。即不直接去证明,而是作出满足条件的图形或点,然后证明它与已知图形或点重 合。 0 0 0 例 1 在Δ ABC 中,∠ABC=70 ,∠ACB=30 ,P,Q 为Δ ABC 内部两点,∠QBC=∠QCB=10 ,∠PBQ= 0 ∠PCB=20 ,求证:A,P,Q 三点共线。 [证明] 设直线 CP 交 AQ 于 P1, 直线 BP 交 AQ 于 P2, 因为∠ACP=∠PCQ=10 , 所以
0

AP QP 1

?

AC CQ



用心 爱心 专心

-1-

①在Δ ABP,Δ BPQ,Δ ABC 中由正弦定理有
AB sin ? AP 2 B ? AP 2 sin ? ABP
2

,②

QP 2 sin 20
0

?

BQ sin ? BP 2 Q

,③

AB sin 30
0

?

AC sin 70
0

.④

由②,③,④得

AP 1 QP 1

?

AP 2 QP 2

。又因为 P1,P2 同在线段 AQ 上,所以 P1,P2 重合,又 BP 与 CP

仅有一个交点,所以 P1,P2 即为 P,所以 A,P,Q 共线。 2.面积法。 例 2 见图 16-1,◇ABCD 中,E,F 分别是 CD,BC 上的点,且 BE=DF,BE 交 DF 于 P,求证: AP 为∠BPD 的平分线。 [证明] 设 A 点到 BE,DF 距离分别为 h1,h2,则
S ? ABE ? 1 2 BE ? h 1 , S ? ADF ? 1 2 1 2 DF ? h 2 ,

又因为 S ? ABE ?

S◇ABCD=SΔ ADF,又 BE=DF。

所以 h1=h2,所以 PA 为∠BPD 的平分线。 3.几何变换。 例 3 (蝴蝶定理)见图 16-2,AB 是⊙O 的一条弦,M 为 AB 中点,CD,EF 为过 M 的任意弦, CF,DE 分别交 AB 于 P,Q。求证:PM=MQ。 [证明] 由题设 OM ? AB。不妨设 AF ? BD 。作 D 关于直线 OM 的对称点 D ' 。 连 结 PD ' , D ' M , DD ' , D ' F , 则 D ' M ? DM .? P M D' ? ? D M Q. 要 证 PM=MQ , 只 需 证
? PD ' M ? ? M D Q ,又∠MDQ=∠PFM,所以只需证 F,P,M, D ' 共圆。

因为∠ PFD ' =180 - MDD ' =180 -∠ MD ' D =180 -∠ PMD ' 。 (因为 DD ' ? OM。AB// DD ' ) 所以 F,P,M, D ' 四点共圆。所以Δ PD ' M ≌Δ MDQ。所以 MP=MQ。 例 4 平面上每一点都以红、蓝两色之一染色,证明:存在这样的两个相似三角形,它们的相 似比为 1995,而且每个三角形三个顶点同色。 [证明] 在平面上作两个同心圆,半径分别为 1 和 1995,因为小圆上每一点都染以红、蓝两 色之一,所以小圆上必有五个点同色,设此五点为 A,B,C,D,E,过这两点作半径并将半径 延长分别交大圆于 A1,B1,C1,D1,E1,由抽屉原理知这五点中必有三点同色,不妨设为 A1, B1,C1,则Δ ABC 与Δ A1B1C1 都是顶点同色的三角形,且相似比为 1995。 4.三角法。 0 例 5 设 AD,BE 与 CF 为Δ ABC 的内角平分线,D,E,F 在Δ ABC 的边上,如果∠EDF=90 ,求 ∠BAC 的所有可能的值。 [解] 见图 16-3,记∠ADE=α ,∠EDC=β , 由题设∠FDA= 由正弦定理:
?
2
AE sin ? ? DE sin A 2 ,

0

0

0

-α ,∠BDF=

?
2

-β ,
CE ? DE sin C

sin ?



用心 爱心 专心

-2-



AE CE

?

sin ? sin ?

?

sin C sin A 2



又由角平分线定理有

AE EC

?

AB BC

,又

AB sin C

?

BC sin A

,所以

sin ? sin ?

?

sin C sin A 2

?

sin C sin A



化简得 所以

sin ? sin ? ?

? 2 cos cos ? cos ?

A 2

,同理

sin ? BDF sin ? ADF

? 2 cos

A 2

,即

cos ? cos ?

? 2 cos

A 2

.

sin ? sin ?

,所以 sinβ cosα -cosβ sinα =sin(β -α )=0.
A 2 ? 1 2

又-π <β -α <π ,所以β =α 。所以 cos

,所以 A=

2 3

π。

5.向量法。 例 6 设 P 是Δ ABC 所在平面上的一点,G 是Δ ABC 的重心,求证:PA+PB+PC>3PG. [证明] 因为
PA ? PB ? PC ? PG ? GA ? PG ? GB ? PG ? GC ? 3 PG ? GA ? GB ? GC , G 为Δ ABC 又

重心,所以 GA ? GB ? GC ? 0 . (事实上设 AG 交 BC 于 E,则 AG ? 2 GE ? GB ? GC ,所以 GA ? GB ? GC ? 0 ) 所以 PA ? PB ? PC ? 3 PG ,所以 | PA | ? | PB | ? | PC |? | PA ? PB ? PC | ? 3 | PG | . 又因为 PA , PB , PC 不全共线,上式“=”不能成立,所以 PA+PB+PC>3PG。 6.解析法。 例 7 H 是Δ ABC 的垂心,P 是任意一点,HL ? PA,交 PA 于 L,交 BC 于 X,HM ? PB,交 PB 于 M,交 CA 于 Y,HN ? PC 交 PC 于 N,交 AB 于 Z,求证:X,Y,Z 三点共线。 [解] 以 H 为原点,取不与条件中任何直线垂直的两条直线为 x 轴和 y 轴,建立直角坐标系, 用(xk,yk)表示点 k 对应的坐标,则直线 PA 的斜率为 线 HL 的方程为 x(xP-xA)+y(yP-yA)=0. 又直线 HA 的斜率为
yA xA yP ? yA xP ? xA

,直线 HL 斜率为

xP ? xA yA ? yP

,直

,所以直线 BC 的斜率为 ?

xA yA

,直线 BC 的方程为 xxA+yyA=xAxB+yAyB,

②又点 C 在直线 BC 上,所以 xCxA+yCyA=xAxB+yAyB. 同理可得 xBxC+yByC=xAxB+yAyB=xAxC+yAyC. 又因为 X 是 BC 与 HL 的交点, 所以点 X 坐标满足①式和②式, 所以点 X 坐标满足 xxP+yyP=xAxB+yAyB. ④同理点 Y 坐标满足 xxP+yyP=xBxC+yByC.⑤点 Z 坐标满足 xxP+yyP=xCxA+yCyA. 由③知④,⑤,⑥表示同一直线方程,故 X,Y,Z 三点共线。 7.四点共圆。 例 8 见图 16-5,直线 l 与⊙O 相离,P 为 l 上任意一点,PA,PB 为圆的两条切线,A,B 为 切点,求证:直线 AB 过定点。
用心 爱心 专心

-3-

[证明] 过 O 作 OC ? l 于 C, 连结 OA, BC, 设 OP 交 AB 于 M, OP ? AB, OB, OP, 则 又因为 OA ? PA, OB ? PB,OC ? PC。 所以 A,B,C 都在以 OP 为直径的圆上,即 O,A,P,C,B 五点共圆。 AB 与 OC 是此圆两条相交弦,设交点为 Q, 又因为 OP ? AB,OC ? CP, 所以 P,M,Q,C 四点共圆,所以 OM?OP=OQ?OC。 由射影定理 OA =OM?OP,所以 OA =OQ?OC,所以 OQ=
2 2

OA OC

2

(定值) 。

所以 Q 为定点,即直线 AB 过定点。 三、习题精选 1.⊙O1 和⊙O2 分别是Δ ABC 的边 AB,AC 上的旁切圆,⊙O1 与 CB,CA 的延长线切于 E,G,⊙ O2 与 BC,BA 的延长线切于 F,H,直线 EG 与 FH 交于点 P,求证:PA ? BC。 2.设⊙O 的外切四边形 ABCD 的对角线 AC,BD 的中点分别为 E,F,求证:E,O,F 三点共线。 3.已知两小圆⊙O1 与⊙O2 相外切且都与大圆⊙O 相内切, 是⊙O1 与⊙O2 的一条外公切线, AB A, B 在⊙O 上,CD 是⊙O1 与⊙O2 的内公切线,⊙O1 与⊙O2 相切于点 P,且 P,C 在直线 AB 的同一 侧,求证:P 是Δ ABC 的内心。 4.Δ ABC 内有两点 M,N,使得∠MAB=∠NAC 且∠MBA=∠NBC,求证:
AM ? AN AB ? AC ? BM ? BN BC ? BA ? CM ? CN CA ? CB ? 1.

5.Δ ABC 中,O 为外心,三条高 AD,BE,CF 相交于点 H,直线 ED 和 AB 相交于点 M,直线 FD 和 AC 相交于点 N,求证: (1)OB ? DF,OC ? DE; (2)OH ? MN。 6.设点 I,H 分别是锐角Δ ABC 的内心和垂心,点 B1,C1 分别是边 AC,AB 的中点,已知射线 B1I 交边 AB 于点 B2(B2≠B),射线 C1I 交 AC 的延长线于点 C2,B2C2 与 BC 相交于点 K,A1 为Δ BHC 的外心。试证:A,I,A1 三点共线的充要条件是Δ BKB2 和Δ CKC2 的面积相等。 7.已知点 A1,B1,C1,点 A2,B2,C2,分别在直线 l1,l2 上 ,B2C1 交 B1C2 于点 M,C1A2 交 A1C2 于 点 N,B1A2 交 B2A1 于 L。求证:M,N,L 三点共线。 0 0 8.Δ ABC 中,∠C=90 ,∠A=30 ,BC=1,求Δ ABC 的内接三角形(三个顶点分别在三条边上的 三角形)的最长边的最小值。 9.Δ ABC 的垂心为 H,外心为 O,外接圆半径为 R,顶点 A,B,C 关于对边 BC,CA,AB 的对 称点分别为 A ' , B ' , C ' ,求证: A ' , B ' , C ' 三点共线的充要条件是 OH=2R。

用心 爱心 专心

-4-


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