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2016届高考数学百例经典压轴题及答案解析

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◇ 2016届高考数学压轴题(导数专题) 书中常用结论 ⑴ sin x ? x, x ? (0, ? ) , 变形即为 的点与原点连线斜率小于1. ⑵ ex ? x ? 1 ⑶ x ? ln( x ? 1) ⑷ ln x ? x ? e x , x ? 0 . 一、导数单调性、极值、最值的直接应用 1. (切线)设函数 f ( x) ? x 2 ? a . (1)当 a ? 1 时,求函数 g ( x) ? xf ( x) 在区间 [0,1] 上的最小值; (2)当 a ? 0 时,曲线 y ? f ( x) 在点 P( x1 , f ( x1 ))( x1 ? a ) 处的切线为 l , l 与 x 轴 a sin x ? 1, 其几何意义为 y ? sin x, x ? (0, ? ) 上的 x 交于点 A( x 2 ,0) 求证: x1 ? x 2 ? . 3 3 解:(1) a ? 1 时, g ( x) ? x 3 ? x ,由 g ?( x) ? 3x 2 ? 1 ? 0 ,解得 x ? ? g ?( x) 的变化情况如下表: . x 0 (0, 3 ) 3 3 3 ( 3 ,1) 3 1 g ?( x) - 0 极小 值 + g ( x) 0 ↘ ↗ 0 所以当 x ? 3 3 2 3 时, g ( x) 有最小值 g ( ) ? ? 3 3 9 . (2)证明:曲线 y ? 曲线 y ? f ( x) 在点 P( x1 ,2 x1 2 ? a) 处的切线斜率 k ? f ?( x1 ) ? 2 x1 f ( x) 在点P处的切线方程为 y ? (2 x1 2 ? a) ? 2 x1 ( x ? x1 ) . x1 2 ? a 2 x1 令 y ? 0 ,得 x 2 ? ∵ x1 ? 又∵ a ,∴ x 2 ? x1 ? x1 2 ? a a ? x1 2 ? x1 ? 2 x1 2 x1 ,∴ a ? x1 2 ? 0 ,即 x 2 ? x1 . 2 x1 x1 2 ? a x1 x a a ? ? ?2 1 ? ? a 2 x1 2 2 x1 2 2 x1 x1 a ? 2 2 x1 ,∴ x 2 ? a 所以 x1 ? x 2 ? . 2. (2015天津理20,极值比较讨论) 已知函数 f ( x) ? ( x 2 ? ax ? 2a 2 ? 3a)e x ( x ? R), 其中 a ? R ⑴当 a ? 0 时,求曲线 y ? f ( x)在点(1, f (1)) 处的切线的斜率; w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ⑵当 a ? 时,求函数 f ( x) 的单调区间与极值. 2 3 解:本小题主要考查导数的几何意义、导数的运算、利用导数研究函数 的单调性与极值等基础知识,考查运算能力及分类讨论的思想方法。 ⑴ 当a ? 0时,f ( x) ? x 2 e x ,f ' ( x) ? ( x 2 ? 2 x)e x,故f ' (1) ? 3e. 所以曲线y ? f ( x)在点(1, f (1))处的切线的斜率为3e. ⑵ f ' ( x) ? ?x 2 ? (a ? 2) x ? 2a 2 ? 4a ?e x . w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 令f ' ( x) ? 0,解得x ? ?2a,或x ? a ? 2.由a ? 2 知, ? 2a ? a ? 2. 3 以下分两种情况讨论: ① 若a > ,则 ? 2a < a

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