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云南省昆明市第三中学高二数学下学期期中试题 文-课件


2015—2016 学年下学期高二期中考试 文科数学试题
一.选择题:共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每个小题给出的四个选项中,只有一项 符合题目要求. 1.已知集合 A={-1,0,1},B={x|-1≤x<1},则 A∩B 等于( A.{0} B.{-1,0} C.{0,1} )
2

)

D

.{-1,0,1}

2.设 z 是复数,则下列命题中的假命题是( A.若 z ≥0,则 z 是实数 C.若 z 是虚数,则 z ≥0
2 2 2

B.若 z <0,则 z 是虚数 D.若 z 是纯虚数,则 z <0 )
2 2

3.命题“对任意 x∈R,都有 x ≥0”的否定为( A.对任意 x∈R,都有 x <0
2 2

B.不存在 x∈R,使得 x <0
2

C.存在 x0∈R,使得 x0≥0 D.存在 x0∈R,使得 x0<0 2 x ? 5x ? 6 4.函数 f ( x) ? 4? | x | ? lg 的定义域为( ) x?3 A. (2, 3) B. (2, 4] C. (2, 3) ? (3, 4] D. (?1, 3) ? (3, 6]

5. 若双曲线 2- 2=1 (a>0,b>0)的焦点到其渐近线的距离等于实轴长,则该双曲线的离 心率为 ( A. 5 ) B.5 C. 2 D.2

x2 y2 a b

6. 一个正方体截去两个角后所得几何体的正视图、侧视图 如图所示,则其俯视图为( )

5π π 7. 如图,若依次输入的 x 分别为 、 ,相应输出的 y 分别为 6 6

y1、y2,则 y1、y2 的大小关系是 (
A.y1=y2 C.y1<y2 B.y1>y2 D.无法确定

)

π π 8. 已知 ω >0,函数 f(x)=sin(ω x+ )在( ,π )上单调递减, 4 2 则 ω 的取值范围是( )
1

1 5 A.[ , ] 2 4

1 3 B.[ , ] 2 4

1 C.(0, ] 2

D.(0,2]

9. 已知正三角形 ABC 的顶点 A(1,1),B(1,3),顶点 C 在第一象限,若点(x,y)在△ABC 内 部,则 z=-x+y 的取值范围是( A.(1- 3,2) C.( 3-1,2) )

B.( -1, 2) D.(0,1+ 3)
2

2 10. 已知点P是抛物线 y 2 ? 4 x 上的动点,点M, N分别是圆 C : ? x ? 6 ? ? y ? 1 的直径的两

个端点,则 PM ? PN 的最小值是(

???? ? ????



A. 20 B.19 C.36 D.35 2 2 11. 设 m,n∈R,若直线(m+1)x+(n+1)y-2=0 与圆(x-1) +(y-1) =1 相切,则 m+n 的取值范围是( ) B.(-∞,1- 3]∪[1+ 3,+∞) D.(-∞,2-2 2]∪[2+2 2,+∞) )

A.[1- 3,1+ 3] C.[2-2 2,2+2 2]

12. 已知 a, b ? R 且 a ? b ,若 aea ? beb (e为自然对数的底数) ,则下列正确的是( A. ln a ? ln b ? b ? a C. ln ? ?a ? ? ln ? ?b? ? b ? a D. ln ? ?a ? ? ln ? ?b? ? a ? b B. ln a ? ln b ? a ? b

二、填空题:共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13.在 2012 年 3 月 15 日那天,南昌市物价部门对本市 5 家商场某商品的一天销售量及其价 格进行了调查,5 家商场的售价 x 元和销售量 y 件之间的一组数据如表所示: 价格 x 销售量 y 9 11 9.5 10 10 8 10.5 6 11 5

通过散点图,可知销售量 y 与价格 x 之间有较好的线性相关关系,其回归直线的方程是

? 等于 ? ? ?3.2 x ? a ? ,则 a y



14.已知△ABC 的三边长成公比为 2的等比数列,则其最大角的余弦值为________; 15.已知在三棱锥 P ? ABC 中, PA ? 平面 ABC , AB ? AC ? PA ? 2 ,且在 ?ABC 中,

?BAC ? 1200 ,则三棱锥 P ? ABC 的外接球的体积为________.
16. 在 ?ABC 中,a,b,c 分别是内角 A,B,C 所对的边,已知 B ? 的取值范围是
2

?
3

, b ? 3 ,则 a ? c

三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程和演算步骤 17. (本小题满分 12 分) 已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,n∈N ,a3=5,S10=100. (1)求数列{an}的通项公式; (2)设 bn=2an+2n,求数列{bn}的前 n 项和 Tn.
*

18. (本小题满分 12 分) 据统计,2015 年“双 11”天猫总成交金额突破 912 亿元.某购物网站为优化营销策略, 对在 11 月 11 日当天在该网站进行网购消费且消费金额不超过 1000 元的 1000 名网购者进行 抽样分析,其中有女性 800 名,男性 200 名.采用根据性别分层抽样的方法,从这 1000 名 网购者中抽取 100 名进行分析,得到下表: (消费金额单位:元) 女性消费情况:

男性消费情况:

(1)计算 x , y 的值;在抽出的 100 名且消费金额在 ?800,1000? (单位:元)的网购者 中随机选出两名发放网购红包,求选出的两名网购者恰好是一男一女的概率; (2)若消费金额不低于 600 元的网购者为 “网购达人” ,低于 600 元的网购者为“非 网购达人” ,根据以上统计数据填写下面 2 ? 2 列联表,并回答能否在犯错误的概率不超过 0.010 的前提下认为“是否为‘网购达人’与性别有关?”

附: (k ?
2

n(ad ? bc)2 ,其中 n ? a ? b ? c ? d ) (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )

3

19. (本小题满分12分) 已知平行四边形ABCD中, AB=4, E为AB的中点, 且△ADE是等边三角形, 沿DE 把△ADE 折 起至A1 DE 的位置,使得A1 C=4. (1)F 是线段A1 C的中点,求证:BF //平面A1 DE ; (2)求证:A
1

D⊥CE ;

(3)求点A1到平面BCDE的距离.
A1 F D C D C

A

E

B

E

B

20.(本小题满分 12 分) 已知 A、B 分别是椭圆 C : 物线 y 2 ? 4 x 的焦点 F 重合. (1)求椭圆 C 的方程; (2)已知点 P 是椭圆 C 上异于 A、B 的动点,直线 l 过点 A 且垂直于 x 轴,若过 F 作直 线 FQ 垂直于 AP,并交直线 l 于点 Q,证明:Q、P、B 三点共线.
y2 x2 1 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的左右顶点,离心率为 ,右焦点与抛 2 a b 2

21. (本小题满分 12 分)

4

已知函数 f ( x) ? e x ? x 2 ? a, x ? R 的图像在点 x ? 0 处的切线为 y ? bx . (1)求函数 f ( x) 的解析式; (2)当 x ? R 时,求证: f ( x) ? ? x 2 ? x ; (3)若 f ( x) ? kx 对任意的 x ? (0,??) 恒成立,求实数 k 的取值范围;

22.(本小题满分 10 分) 已知曲线 C1 的参数方程为 ?

? x ? 4 ? 5cos t , ( t 为参数) ,以坐标原点为极点, x 轴的正 ? y ? 5 ? 5sin t ,

半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C2 的极坐标方程为 ? ? 2 sin ? . (1)把 C1 的参数方程化为极坐标方程; (2)求 C1 与 C2 交点的极坐标(ρ ≥0,0≤θ <2π ).

2015—2016学年下学期高二期中考试 文科数学参考答案 一、 选择题 BCDCA CCAAB DC 二、 填空题 13.40 三、 解答题 17.解: (1)设等差数列{an}的公差为 d, 14.- 2 4 15.

20 5? 3

16. 3 ? a ? c ? 2 3

a1+2d=5, ? ? 由题意,得? 10×9 10a1+ d=100, ? 2 ?
所以 an=2n-1. 1 a n (2)因为 bn= 2 n +2n= ×4 +2n, 2

解得?

? ?a1=1, ?d=2, ?

5

所以 Tn=b1+b2+?+bn 1 2 n = (4+4 +?+4 )+2(1+2+?+n) 2 4 =
n+1

-4 2 +n +n 6

2 2 n 2 = ×4 +n +n- . 3 3 18.解: (Ⅰ)依题意,女性应抽取 80 名,男性应抽取 20 名

? x ? 80 ? (5 ? 10 ? 15 ? 47) ? 3

y ? 20 ? (2 ? 3 ? 10 ? 2) ? 3
抽出的 100 名且消费金额在 ?800,1000? (单位:元)的网购者中有三位女性设为

A, B, C ;两位男性设为 a , b ,从 5 人中任选 2 人的基本事件有:

( A, B),( A, C ),( A, a),( A, b) , ( B, C ), ( B, a), ( B, b) , (C , a), (C , b) , (a, b) 共 10 件
设“选出的两名网购者恰好是一男一女”为事件 A ,事件 A 包含的基本事件有:

( A, a),( A, b),( B, a),( B, b),(C, a),(C, b) 共 6 件

? P( A) ?

6 3 ? 10 5 (Ⅱ) 2 ? 2 列联表如下表所示

则k ?
2

n(ad ? bc)2 100(50 ?15 ? 30 ? 5) 2 ? 9.091 ? 80 ? 20 ? 55 ? 45 (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )

? 9.091 ? 6.635
答:我们有 99%的把握认为“是否为‘网购达人’ ”与性别有关。

6

20.解: (1)抛物线的焦点 F(1,0),

1 ,∴a=2,∴ b 2 ? a 2 ? c 2 ? 3 , 2 x2 y2 ? ? 1 . ...............4 分 ∴椭圆方程为 4 3
∵e ? (2)由(1)知直线 l 的方程为 x=-2, ∵点 P 异于 A,B,∴直线 AP 的斜率存在且不为 0, 设 AP 的方程为 y ? k ( x ? 2)(k ? 0) ,

? x2 y2 ? ? ? 1 得 (3 ? 4k 2 ) x 2 ? 16k 2 x ? 16k 2 ? 12 ? 0 , 联立 ? 4 3 ? ? y ? k ( x ? 2)

7

? 16k 2 6 ? 8k 2 12k ,∴ , yP ? . x ? P 2 2 3 ? 4k 3 ? 4k 3 ? 4k 2 1 1 又∵QF⊥AP, kQF ? ? ,∴直线 QF 的方程为 y ? ? ( x ? 1) , k k 12k 3 1 ? ? 2 3 3 ? y ? ? ( x ? 1) 联立 ? ,解得交点 Q (?2, ) , k PQ ? 3 ? 4k 2 k ? ? , k 6 ? 8k 4k k ? x ? ? 2 ?2 ? 3 ? 4k 2 3 ?0 3 k k BQ ? ?? , ?2?2 4k 即 k BQ ? k PQ , xP ? x A ?
有公共点 Q,所以 Q,P,B 三点共线.....12 分 21.解: (1) f ( x) ? e x ? x 2 ? a, f ?( x) ? e x ? 2x
? f (0) ? 1 ? a ? 0 ? a ? ?1 由已知 ? 解得 ? , ? f ?(0) ? 1 ? b ?b ? 1

故 f ( x) ? e x ? x 2 ? 1 (2)令 g ( x) ? f ( x) ? x 2 ? x ? e x ? x ? 1 , 由 g ?( x) ? e x ? 1 ? 0 得 x ? 0 当 x ? (??,0) 时, g ?( x) ? 0 , g ( x) 单调递减; 当 x ? (0,??) 时, g ?( x) ? 0 , g ( x) 单调递增 ∴ g ( x) min ? g (0) ? 0 ,从而 f ( x) ? ? x 2 ? x f ( x) (3) f ( x) ? kx 对任意的 x ? (0,??) 恒成立 ? ? k 对任意的 x ? (0,??) 恒成立 x f ( x) 令 ? ( x) ? ,x?0, x xf ?( x) ? f ( x) x(e x ? 2 x) ? (e x ? x 2 ? 1) ( x ? 1)(e x ? x ? 1) ? ? ∴ ? ?( x) ? x2 x2 x2 由(2)可知当 x ? (0,??) 时, e x ? x ? 1 ? 0 恒成立 令 ? ' ( x ) ? 0 ,得 x ? 1 ; g ?( x) ? 0 得 0 ? x ? 1 ∴ ? ( x ) 的增区间为 (1,??) ,减区间为 (0,1) , ? ( x )min ? ? (1) ? e ? 2 ∴ k ? ? ( x )min ? ? (1) ? e ? 2 , ∴实数 k 的取值范围为 ( ? ?, e ? 2) 22.解: (1)将 ?
2

? x ? 4 ? 5 cost 2 2 消去参数 t ,化为普通方程 ( x ? 4) ? ( y ? 5) ? 25 , ? y ? 5 ? 5 sin t
2

即 C1 : x ? y ? 8x ? 10y ? 16 ? 0 . 将?

? x ? ? cos? 2 2 代入 x ? y ? 8x ? 10y ? 16 ? 0 得 ? y ? ? sin ?

? 2 ? 8? cos? ? 10? sin ? ? 16 ? 0 .

8

(2) C 2 的普通方程为 x ? y ? 2 y ? 0 .
2 2
2 2 ? ?x ? 1 ?x ? 0 ? x ? y ? 8 x ? 10 y ? 16 ? 0 由? 2 ,解得 ? 或? . 2 ? ?y ? 1 ?y ? 2 ?x ? y ? 2 y ? 0

所以 C1 与 C 2 交点的极坐标分别为 ( 2 ,

?

) , ( 2, ) 4 2

?

9


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