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2015届《智慧测评》高考数学(人教A版,理科)大一轮总复习课时训练:第10篇 第3节 二项式定理 Word版含解析

时间:2015-04-10


第十篇

第3节

一、选择题 1. (2014 山西康杰中学二模)若( x- A.4 C.6 1 3 )n 的展开式中第四项为常数项, 则 n 等于( B.5 D.7


)

2 x

n 3 解析:展开式中的第四项为 T4=C3 (-1)3· n( x)

n-5 ,由题意得 =0,解得 n=5.故选 B. 2 答案:B 1?5 2 2.在? ?2x -x? 的二项展开式中,x 的系数为( A.10 C.40
2 1?5 解析:因为? ?2x -x? 的展开式的通项为

)

B.-10 D.-40

1?k 2 5-k? k 5-k k 10-3k Tk+1=Ck , 5(2x ) ?-x? =C52 (-1) x 令 10-3k=1 得 k=3,
5 3 所以 x 的系数为 C3 (-1)3=-40.故选 D. 52


答案:D 3. (2014 黑龙江省哈师大附中三模)二项式(x+a)n(a 是常数)展开式中各项二项式的系数 和为 32,各项系数和为 243,则展开式中的第 4 项为( A.80x2 C.10x4 B.80x D.40x3 )

解析:(x+a)n 展开式中各项二项式系数和为 2n=32,解得 n=5,令 x=1 得各项系数和
2 3 3 2 3 为(1+a)5=243,故 a=2,所以展开式的第 4 项为 C3 2 =80x2.故选 A. 5x a =C5x ·

答案:A 4.(2013 年高考新课标全国卷Ⅰ)设 m 为正整数,(x+y)2m 展开式的二项式系数的最大 值为 a,(x+y)2m A.5 C.7 解析:由二项式系数的性质知:
+1

展开式的二项式系数的最大值为 b.若 13a=7b,则 m 等于( B.6 D.8

)

二项式(x+y)2m 的展开式中二项式系数最大有一项 Cm 2m=a, 二项式(x+y)2m
+ +1

的展开式中二项式系数最大有两项

m 1 Cm 2m+1=C2m+1=b, m 因此 13Cm 2m=7C2m+1,

?2m?! ?2m+1?! ∴13· =7· , m!m! m!?m+1?! 7?2m+1? 即 13= , m+1 ∴m=6.故选 B. 答案:B 5.若(x+1)5=a5(x-1)5+…+a1(x-1)+a0,则 a0 和 a1 的值分别为( A.32,80 C.16,20 解析:由于 x+1=x-1+2,
4 因此(x+1)5=[(x-1)+2]5,故展开式中(x-1)的系数为 C4 52 =80.令 x=1,得 a0=32,故

)

B.32,40 D.16,10

选 A. 答案:A a?? 1?5 6.若? ?x+x??2x-x? 的展开式中各项系数的和为 2,则该展开式中的常数项为( A.-40 C.20 B.-20 D.40 )

a?? 1?5 解析:令 x=1,即可得到? ?x+x??2x-x? 的展开式中各项系数的和为 1+a=2,所以 a a?? 1?5 ? 1?? 1?5 1?5 ? =1,? ?x+x??2x-x? =?x+x??2x-x? ,要找其展开式中的常数项,需要找?2x-x? 的展开 1?r 1 5-r ? r 5-r r 5-2r 式中的 x 和 ,由通项公式得 Tr+1=Cr · 2 C5x ,令 5-2r=± 1,得到 5(2x) ?-x? =(-1) · x 40 1 r=2 或 r=3,所以有 80x 和- 项,分别与 和 x 相乘,再相加,即得该展开式中的常数项 x x 为 80-40=40. 答案:D 二、填空题 1 7.(2014 黑龙江省大庆市二模)二项式 x3- 25 的常数项为________(用数字作答). x 1 3 5-r 15-5r 解析:由通项公式得 Tr+1=Cr · (-1)r·2r=(-1)rCr . 5(x ) 5x x 令 15-5r=0,解得 r=3.
3 故常数项为 T4=C3 5(-1) =-10.

答案:-10 8.(2013 年高考安徽卷)若 x+ a 3 x
8

的展开式中,x4 的系数为 7,则实数 a=________.

4 4 8-r a r 解析:展开式的通项为 Tr+1=Cr · =Cr ar· x8- r,令 8- r=4,解得 r=3,故 x4 8x 8· 3 3 3 x 1 的系数为 C3 a3=7,解得 a= . 8· 2 1 答案: 2 9.(2014 甘肃省兰州一中高三高考冲刺)设 a=?πsin xdx,则二项式 a x-

?0

16 的展开式 x

中的常数项等于________. 解析:a=?πsin xdx=-cos x | π 0=2,

?0

r C6 (2 x)6 r-


1r - 3-r =(-1)r26 rCr , 6x x

由 3-r=0 得 r=3, 所以(-1)323C3 6=-160, 所以展开式中的常数项等于-160. 答案:-160 10.2014 玉溪一中检测)在(1-x)5+(1-x)6 的展开式中,含 x3 的项的系数是________.
k k 6 k k k 解析:(1-x)5 的展开式的通项为 Ck 5(-1) x ,(1-x) 的展开式的通项为 C6(-1) x ,所 3 3 3 3 3 3 3 以 x3 项为 C3 5(-1) x +C6(-1) x =-30x ,所以 x 的系数为-30.

答案:-30 三、解答题 11.设(3x-1)8=a8x8+a7x7+…+a1x+a0,求: (1)a8+a7+…+a1; (2)a8+a6+a4+a2+a0. 解:令 x=0 得 a0=1. (1)令 x=1 得(3-1)8=a8+a7+…+a1+a0, ∴a8+a7+…+a1=28-a0=256-1=255. (2)令 x=-1 得(-3-1)8=a8-a7+a6-…-a1+a0, 由①+②得 28+48=2(a8+a6+a4+a2+a0), 1 ∴a8+a6+a4+a2+a0= (28+48)=32896. 2 1 ?n 12.已知? ?2+2x? , ② ①

(1)若展开式中第 5 项,第 6 项与第 7 项的二项式系数成等差数列,求展开式中二项式 系数最大项的系数; (2)若展开式前三项的二项式系数和等于 79,求展开式中系数最大的项.
6 5 2 解:(1)∵C4 n+Cn=2Cn,∴n -21n+98=0.

∴n=7 或 n=14, 当 n=7 时,展开式中二项式系数最大的项是 T4 和 T5.

?1?4 3 35, ∴T4 的系数为 C3 7 2 2 = ? ? 2 ?1?3 4 T5 的系数为 C4 7 2 2 =70. ? ?
当 n=14 时,展开式中二项式系数最大的项是 T8,

?1?7 7 ∴T8 的系数为 C7 14 2 2 =3432. ? ?
1 2 2 (2)∵C0 n+Cn+Cn=79,∴n +n-156=0,

∴n=12 或 n=-13(舍去). 设 Tk+1 项的系数最大, 1 12 ?12 1 12 ∵? ?2+2x? =(2) (1+4x) ,
k k 1 k 1 ?Ck , ? 124 ≥C12 4 ∴? k k k+1 k+1 ?C124 ≥C12 4 , ?
- -

47 52 解得 ≤k≤ . 5 5 ∵k∈N, ∴k=10, ∴展开式中系数最大的项为 T11,

?1?2 210· T11=C10 x10=16896x10. 12·2 · ? ?


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