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甘肃省天水市第三中学2013届高三第九次检测数学(文)试题


甘肃省天水市三中 2013 届高三第九次检测文科数学试题
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的. 1. 已知全集 U=R,设函数 y=lg(x-1)的定义域为集合 A,函数 y= x 2 ? 2 x ? 5 的值域为集合 B, 则 A∩ U B)=( (C A.[1,2] 2.已知 sinθ= A. 24

25

) B.[1,2) C.(1,2] D.(1,2) )
4 5

4 ,且 sinθ-cosθ>1,则 sin2θ=( 5

B.-

12 25

C.-

D. )

24 25

3.已知等差数列 {a n } 满足 a1 ? a 2 ? a 3 ? ? ? a101 ? 0, 则有( A. a1 ? a101 ? 0 4.已知 B. a 2 ? a100 ? 0 C. a 3 ? a 99 ? 0 )

D. a 51 ? 51

1 1 ? ? 0 ,则下列结论不正确的是( a b

A.a2<b2 C.
a b ? ?2 b a

B.ab<b2 D.|a|+|b|>|a+b|

5. 下图给出了下一个算法流程图,该算法 流程图的功能是( )

?

A.求 a,b,c 三数的最大数 B.求 a,b,c 三数的最小数 C.将 a,b,c 按从小到大排列 D.将 a,b,c 按从大到小排列 6. 已知函数 f ( x ) ? ? A.32 C.
1 2
?2 x ( x ? 0) ? , 则f (5) =( ? f ( x ? 3)( x ? 0) ?

?

)

B.16 D.
1 32

7. 若命题“p ? q”为假,且“ ? p”为假,则( A.p 或 q 为假 B.q 假 C.q 真

) D.不能判断 q 的真假 )

8.已知正四棱锥的各棱棱长都为 3 2 ,则正四棱锥的外接球的表面积为( A. 12? B. 36? C. 72? D. 108 ? )

9.函数 y=sinxcosx+ 3 cos2 x ? 3 的图象的一个对称中心是(

A

(

2? 3 ,? ) 3 2

B

(

5? 3 ,? ) 6 2

C

(?

2? 3 , ) 3 2

D

(

?
3

,? 3 )

10.甲、乙两棉农,统计连续五年的面积产量(千克∕ 亩)如下表: 棉农甲 棉农乙 68 69 72 71 ) B.棉农甲,棉农乙 D.棉农乙,棉农乙 70 68 69 68 71 69

则平均产量较高与产量较稳定的分别是( A.棉农甲,棉农甲 C.棉农乙,棉农甲

11. 已知函数 f ( x ) ? x 2 ? 4 x ? 3 ,集合 M ? ?? x, y ? f ( x ) ? f ( y ) ? 0?, 集合 N ? ?? x, y ? f ( x ) ? f ( y) ? 0?,则集合 M ? N 的面积是( A. ) D. 2?

? 4

B.

? 2

C. ?

12.设 f(x), g(x)分别是定义在 R 上的奇函数和偶函数,当 x <0 时,

f ' ( x) g ( x) ? f ( x) g ' ( x) ? 0 ,且 f (?3) ? 0 ,则不等式 f ( x) g ( x) ? 0 的解集是( )
A.(-3,0)∪ (3,+∞) C.(-∞,-3)∪ (3,+∞) B.(-3,0)∪ (0,3) D.(-∞,-3)∪ (0,3)

第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分. 13 题~第 21 题为必考题, 第 每个试题考生都必须做 答.第 22 题~第 24 题为选考题,考生根据要求做答. 二、填空题(本大题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分.) 13 椭圆
y2 1 x2 ? ? 1 的离心率为 ,则 k 的值为________. 2 k?8 9

14. 已知函数 f ( x) ?

a ? 2x ? a ? 2 ( x ? R), 是奇函数,则实数 a 的值________. 2x ?1

15. 已知边长分别为 a、b、c 的三角形 ABC 面积为 S,内切圆 O 半径为 r,连接 OA、OB、 OC,则三角形 OAB、OBC、OAC 的面积分别为 得 r=

1 1 1 1 1 1 cr、 ar、 br,由 S= cr+ ar+ br 2 2 2 2 2 2

2S ,类比得若四面体的体积为 V,四个面的面积分别为 A、B、C、D,则内切 a?b?c
1 ? an (n ? N * ) ,则该数列的前 2013 项的乘积______. 1 ? an

球的半径 R=_____________. 16. 若数列 {an ? 满足a1 ? 2,an?1 ? 数列? n } 满足

三、解答题:本大题共 5 小题,共计 70 分。解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤 17. (本小题满分 12 分) 如图,A、B 是海面上位于东西方向相距 5(3 ? 3) 海里 的两个观测点。现位于 A 点北偏东 45°,B 点北偏西 60° 的 D 点有一艘轮船发出求救信号。位于 B 点南偏西 60° 且与 B 相距 20 3 海里的 C 点的救援船立即前往营救, 其航行速度为 30 海里/小时。求救援船直线到达 D 的 时间和航行方向。
C A
45°

D

60°

B
60°

18.(本小题满分 12 分)
2 已知函数 f ( x ) = x ? ax ? b

(1)若-2 ? a ? 4,?2 ? b ? 4 ,且 a ? Z , b ? Z ,求方程 f ( x ) =0 无实根的概率 (2)若 a ? 1, b ? 1,求方程 f ( x ) =

1 2 1 b +b- 无实根的概率. 4 4
D E F C B

19. (本小题满分 12 分) 已知 D、E 分别在平面 ABC 的同侧,且 DC⊥ 平面 ABC, EB⊥ 平面 ABC,DC=2,ΔABC 是边长为 2 的正三角形,F 是 AD 中点. (1)当 BE 等于多少时,EF∥ 平面 ABC; (2)当 EF∥ 平面 ABC 时,求证 CF ? EF. 20. (本小题满分 12 分) 曲线 C 上任一点到定点(0, (1)求曲线 C 的方程;

A

1 1 )的距离等于它到定直线 y ? ? 的距离. 8 8

(2)经过 P(1,2)作两条不与坐标轴垂直的直线 l1、2 分别交曲线 C 于 A、B 两点,且 l1 ⊥2 , l l 设 M 是 AB 中点,问是否存在一定点和一定直线,使得 M 到这个定点的距离与它到定直线 的距离相等.若存在,求出这个定点坐标和这条定直线的方程.若不存在,说明理由.

21. (本小题满分 12 分)

(1) f ( x) ?

ln( x ? 1) ( x ? 0) ,求证:若 m ? n ? 0 ,则 f (m) ? f (n) . x

(2)求 g ( x) ? ln x ? ax2 在[1,2]上的最大值。

请考生在第 22、23、24 三题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分.答时 用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑. 22.(本小题满分 10 分)选修 4—1:几何证明选讲. 如图:AD 是 ΔABC 的角平分线,以 AD 为弦的 圆与 BC 相切于 D 点,与 AB、AC 交于 E、F. 求证:AE· CF=BE· AF 23.(本小题满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程. (1)求点 M(2, (2)求曲线 C : ? B D C E A

F

? 3 )到直线 ρ= 上点 A 的距离的最小值。 3 sin? ? cos?

? x ? ?1 ? cos? (?为 参 数 关于直线 y=1 对称的曲线的参数方程 ) ? y ? sin?

24. (本小题满分 10 分)选修 4—5:不等式选讲. 已知: a ? c b ? c ,求证:
a?b c ? ab
2

?

1 . c

数 学(文 科)
一、选择题: 题号 答案 1 D 2 A 3 C 4 D 5 B 6 C 7 B 8 B 9 B 10 B 11 C 12 D

(2) ? 满足条件 a ? 1, b ? 1,其构成的区域面积为 4…………8 分
f ( x) =

1 2 1 b +b- 无实根的条件是 a 2 + b 2 <1,其构成的区域面积为 ? …………11 4 4


1 2 1 ? b +b- 无实根的概率为 P= …………12 分 4 4 4 19.解:(1)取 AC 中点 G,连接 FG、BG,则 FG∥ BE DC∥ 当 BE=1 时,有 FG=BE,即 BEFG 为平行四边形 故当 BE=1 时,EF∥ BG,即 EF∥ 平面 ABC ………6 分 D (2).证明:由 DC⊥ 平面 ABC 得 DC⊥ BG ? G 是正三角形 ABC 的边 AC 的中点 AC ?BG⊥ F 平面 ACD ?BG⊥ C CF ?BG⊥ 又? EF∥ BG G CF ? EF⊥ A 1 20.解:设 l1 :y-2=k(x-1)(k≠0) l1 :y=2= ? k y ? kx ? 2 ? k ? 由? 得 2x2-kx+k-2=0 y ? 2x 2 ?

故 f ( x) =

E

B

1 1 ? 2 (? ? 2) 2 同理得 B 点坐标为 ( k , k ) 2 2 1 ? ?4 x ? ( k ? k ) ? 4 ? ∴ ? ?4 y ? k 2 ? 1 ? 4(k ? 1 ) ? 8 ? k k2 ? 5 消去 k 得:y=4x2+4x+ ………9 分 2 M 轨迹是抛物线,故存在一定点和一定直线,使得 M 到定点的距离等于它到定 直线 1 1 3 的距离。将抛物线方程化为 ( x ? ) 2 ? ( y ? ) ,此抛物线可看成是由抛物线 2 4 2 1 1 3 1 x 2 ? y 左移 个单位,上移 个单位得到的,而抛物线 x 2 ? y 的焦点为(0, 4 2 2 4 1 1 1 25 23 ),准线为 y=- .∴ 所求的定点为 (? , ) ,定直线方程为 y= . 16 16 2 16 16 ?

h ∴ (x) 是减函数 由 x>0 得,h(x)<h(0)=0 ∴f ' ( x) ? 0 ∴ f(x)是减函数 由 m>n>0 可得 f(m)<f(n)

……………5 分

(2) g ' ( x) ?

1 1 ? 2ax2 ? 2ax ? x x 2 令 g ' ( x) ? 0 得 2ax =1 ……………① 当 a≤0 时, g ' ( x) ? 0 , g (x) 在[1,2]上为增函数 ∴ 最大值为 g(2)

当 a>0 时,由① x ? 得 若

1 2a

1 1 ≥2 即 0<a≤ 时, g ' ( x ) ≥0, g (x) 在[1,2]上为增函数 8 2a ∴ 最大值为 g(2) 1 1 若 ≤1 即 a≥ 时, g ' ( x ) ≤0, g (x) 在[1,2]上为减函数 2 2a ∴ 最大值为 g(1), 1 1 1 若 1< <2 即 <a< 时 8 2 2a

1 1 )上为增函数,在( ,2)上为减函数 2a 2a 1 1 1 ∴ 最大值为 g ( ) ? ? ln 2a ? 2a 2 2 1 综上得:a≤ 时,最大值为 ln2-4a 8 1 1 1 1 <a< 时,最大值为 ? ln 2a ? , 8 2 2 2 1 a≥ 时,最大值为-a 2 22.解:连结 ED ∵ 圆与 BC 切于 D,∴BDE=∠ ∠ BAD ∵ 平分∠ AD BAC ∴BAD=∠ ∠ DAC
g (x) 在(1,

又∠ DAC=∠ DEF

∴BDE=∠ ∠ DEF

∴ EF//BC ∴

AE AF 即 AE· CF=BE· AF ? BE CF

23.(1)解:M 点的直角坐标为(1, 3 )………………………2 分 直线的直角坐标方程为:x + y - 3 =0………………………4 分 点 M(1, 3 )到直线 x + y - 3 =0 上点 A 的距离的最小值为 d 则d ?
1? 3 ? 3 2 ? 2 2

点 M(2, )到直线 ρ=

? x ? ?1 ? cos? (2) ? (?为参数) ………………………10 分 ? y ? 2 ? sin ?
24.证明:要使原不等式成立,只要: ?
1 ? a?b ? ? ? 2 2 c ? c ? ab ?
2

? 3

3 2 上点 A 的距离的最小值为 ……………6 分 sin? ? cos? 2

………………………3 分

只要: (a 2 ? 2ab ? b 2 )c 2 ? c 4 ? 2abc2 ? a 2b 2 ………………………6 分

只要: (a 2 ? c 2 )(c 2 ? b 2 ) ? 0

由已知此不等式成立。………………………10 分


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