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江苏省徐州、宿迁市2013届高三第三次模拟数学试题 Word版含答案


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徐州、宿迁市高三年级第三次模拟考试 数学Ⅰ
注 意 事 项
考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 1.本试卷共 4 页,包含填空题(共 14 题)、解答题(共 6 题),满分为 160 分,考试时间 为 120 分钟。考试结束后,请将答题卡交回。 2.答题前,请您务必将

自己的姓名、考试号等用书写黑色字迹的 0.5 毫米签字笔填写在答题 卡上,并用 2B 铅笔正确涂写考试号。 3.作答试题必须用书写黑色字迹的 0.5 毫米签字笔写在答题卡上的指定位置,在其它位置作 答一律无效。如有作图需要,可用 2B 铅笔作答,并请加黑、加粗,描写清楚。

参考公式:样本数据 x1 , x2 ,?, xn 的方差 s 2 ?
1 3

1 n 1 n ? ( xi ? x)2 ,其中 x ? n ? xi ; n i ?1 i ?1

锥体的体积公式: V锥体 = Sh ,其中 S 为锥体的底面面积, h 是高. 一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共计 70 分.请把答案填写在答题卡相应位 ...... 置上. ..

a + 3i ? b + i (a, b ? R) ,则 ab 的值为 ▲ . i 2. 某射击选手连续射击 5 枪命中的环数分别为: 9.7 , 9.9 , 10.1 , 10.2 , 10.1 ,
1. 已知 i 是虚数单位,若 则这组数据的方差为 ▲ . 3. 右图是一个算法流程图,则输出的 S 的值是 ▲ . 4. 若集合 A ? ??1,0,1? , B ? ? y | y ? cos(? x), x ? A? ,则 A ? B ? 5. 方程 ▲ .

开始

S?1 2
i ?1

S?

1 S ?1

x2 y2 i ? i ?1 + ? 1 表示双曲线的充要条件是 k ? ▲ . k +1 k ? 5 N i?3 4 1 Y 6.在 △ ABC 中,已知 cos A ? , tan( A ? B) ? ? ,则 tan C 的值是 ▲ . 5 2 输出 S

? x ≥ ?1, ? 7. 已知实数 x, y 满足 ? y ≤ 3 , 则 x2 + y 2 ? 2 x 的最小值是 ▲ . ? x ? y + 1 ≤ 0, ?

结束 (第 3 题图)

?S ? 8. 已知 Sn 是等差数列 ?an ? 的前 n 项和,若 S7 ? 7 , S15 ? 75 ,则数列 ? n ? 的前 20 项和为 ?n?
▲ . 9. 已知三棱锥 P ? ABC 的所有棱长都相等,现沿 PA , PB , PC 三条侧棱剪开,将其表面 展开成一个平面图形,若这个平面图形外接圆的半径为 2 6 ,则三棱锥 P ? ABC 的体积 为 ▲ .

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??? ? ??? ? ???? 10.已知 O 为 △ ABC 的外心,若 5OA ? 12OB ? 13OC ? 0 ,则 ? C 等于

▲ .

11. 已知数字发生器每次等可能地输出数字 1 或 2 中的一个数字,则连续输出的 4 个数字之 和能被 3 整除的概率是 ▲ . 12. 若 a ? 0, b ? 0 ,且

1 1 + ? 1,则 a + 2b 的最小值为 ▲ . 2a + b b + 1

? x ? 2, 0 ≤ x ? 1, ? 13.已知函数 f ( x) ? ? x 1 若 a ? b ≥ 0 ,且 f (a) ? f (b) ,则 bf ( a ) 的取值范围 ?2 ? 2 , x ≥1. ?
是 ▲ . 14. 已知曲线 C : f ( x) ? x + (a ? 0) ,直线 l : y ? x ,在曲线 C 上有一个动点 P ,过点 P 分别作直线 l 和 y 轴的垂线, 垂足分别为 A, B .再过点 P 作曲线 C 的切线, 分别与直线 l 和 y 轴相交于点 M , N , O 是坐标原点.若 △ ABP 的面积为

a x

1 ,则 △OMN 的面积为 2

▲ . 二、解答题: 本大题共 6 小题, 15~17 每小题 14 分,18~20 每小题 16 分,共计 90 分.请 在答题卡指定的区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ........... .................... 15. 如图, AB , CD 均为圆 O 的直径, CE ? 圆 O 所在的平面, BF ? CE .求证: E ⑴平面 BCEF ? 平面 ACE ; ⑵直线 DF ? 平面 ACE . F C A O D
(第 15 题图)

B

16.已知 △ ABC 的面积为 S ,角 A, B, C 的对边分别为 a , b, c , AB?AC ? S . ⑴求 cos A 的值; ⑵若 a , b, c 成等差数列,求 sin C 的值.

??? ??? ? ?

3 2

更多资源请到 乐学易考网 下载:luckstudy.com 17.已知一块半径为 r 的残缺的半圆形材料 ABC ,O 为半圆的圆心, OC ?

1 r ,残缺部分 2

位于过点 C 的竖直线的右侧.现要在这块材料上截出一个直角三角形,有两种设计方

AB 案: 如图甲, BC 为斜边; 以 如图乙, 直角顶点 E 在线段 OC 上, 且另一个顶点 D 在 ?
上.要使截出的直角三角形的面积最大,应该选择哪一种方案?请说明理由,并求出截 得直角三角形面积的最大值. D D A A

B

O

C

B

O

EC

(第 17 题甲图)

(第 17 题乙图)

18. 如图, 在平面直角坐标系 xOy 中, 已知椭圆 E :

x2 y 2 3 ? ? 1(a ? b ? 0) 的离心率 e ? , a 2 b2 2 A1 , A2 分别是椭圆 E 的左、右两个顶点,圆 A2 的半径为 a ,过点 A1 作圆 A2 的切线,切

点为 P ,在 x 轴的上方交椭圆 E 于点 Q . ⑴求直线 OP 的方程; PQ ⑵求 的值; QA 1 ⑶设 a 为常数.过点 O 作两条互相垂直的直线,分别交椭圆 E 于点 B , C ,分别交圆 A2 于点 M , N ,记 △OBC 和 △OMN 的面积分别为 S1 , S2 ,求 S1 ? S 2 的最大值. y P Q B A1 O C N
(第 18 题图)

M

A2

x

19.已知数列 ?an ? 满足: a1 ? a + 2(a ≥ 0) , an ?1 ? ⑴若 a ? 0 ,求数列 ?an ? 的通项公式;

an + a , n?N* . 2

更多资源请到 乐学易考网 下载:luckstudy.com ⑵设 bn ? an?1 ? an ,数列 ?bn ? 的前 n 项和为 Sn ,证明: Sn ? a1 .

20.已知函数 f ( x) ? ln x ? ax2 ? x , a ? R . ⑴若函数 y ? f ( x) 在其定义域内是单调增函数,求 a 的取值范围; ⑵设函数 y ? f ( x) 的图象被点 P(2, f (2)) 分成的两部分为 c1 , c2 (点 P 除外),该函数 图象在点 P 处的切线为 l ,且 c1 , c2 分别完全位于直线 l 的两侧,试求所有满足条件的

a 的值.

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宿迁市高三年级第三次模拟考试 数学Ⅱ(附加题)
注 意 事 项
考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 1.本试卷共 2 页,均为解答题(第 21 题~第 23 题)。本卷满分为 40 分,考试时间为 30 分 钟。考试结束后,请将答题卡交回。 2.答题前,请您务必将自己的姓名、考试号等用书写黑色字迹的 0.5 毫米签字笔填写在答题 卡上,并用 2B 铅笔正确涂写考试号。 3.作答试题必须用书写黑色字迹的 0.5 毫米签字笔写在答题卡上的指定位置,在其它位置作 答一律无效。如有作图需要,可用 2B 铅笔作答,并请加黑、加粗,描写清楚。 21.【选做题】本大题包括 A、B、C、D 共 4 小题,请从这 4 题中选做 2 小题.每小题 10 分, 共 20 分. 请在答题卡上准确填涂题目标记. 解答时应写出文字说明、 证明过程或演算步骤. A.选修 4-1:几何证明选讲 如图,已知圆 A ,圆 B 都经过点 C ,BC 是圆 A 的切线,圆 B 交 AB 于点 D , 连结 CD 并 延长交圆 A 于点 E ,连结 AE .求证 DE ? DC ? 2 AD ? DB . C A D E
(第 21—A 题图)

B

B.选修 4-2:矩阵与变换

? ?1 a ? 已知 a , b ? R ,若矩阵 M ? ? ? 所对应的变换把直线 l :2 x ? y ? 3 变换为自身,求 ? b 3? M ?1 .

C.选修 4-4:坐标系与参数方程 在极坐标系中, 已知直线 2 ? cos? + ? sin ? + a ? 0(a ? 0) 被圆 ? ? 4sin ? 截得的弦长为 2 , 求 a 的值. D.选修 4-5:不等式选讲 已知 x, y, z ?R ,且 x ? 2 y ? 3z ? 4 ,求 x2 + y 2 + z 2 的最小值.

更多资源请到 乐学易考网 下载:luckstudy.com 22.【必做题】本小题 10 分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 如图,在正三棱柱 ABC ? A1B1C1 中,已知 AA1 ? 6 , AB ? 2 , M , N 分别是棱 BB1 ,CC1 上的点,且 BM ? 4 , CN ? 2 . ⑴求异面直线 AM 与 A1C1 所成角的余弦值; ⑵求二面角 M ? AN ? A1 的正弦值. B N M C1 B1

C

A

A1
(第 22 题图)

23.【必做题】本小题 10 分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. r 已知函数 f ( x) ? C0 x2n?1 ? C1 x2n?2 ? C2 x2n?3 ? ? ? Cn (?1)r x2n?1?r ? ? ? Cn (?1)n xn?1 , n ? N? . n n n n ⑴当 n≥ 2 时,求函数 f ( x) 的极大值和极小值;
n ⑵是否存在等差数列 {an } , 使得 a1C0 ? a2C1 ? ? ? an?1Cn ? nf (2) 对一切 n ? N? 都成立? n n 并说明理由.

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宿迁市高三年级第三次模拟考试
数学参考答案与评分标准
一、填空题
1. ?3 ; 8.55; 2. 0.032 ; 3. 9. 9 ;

5 11 ; 4. {?1,1} ; 5. (?1, 5) ; 6. ; 7.1; 8 2 2 3+ 1 5 3π 3 10. ; 11. ; 12. ; 13. [ , 3) ; 14. 4 2 4 4 8

二、解答题 15.⑴因为 CE ? 圆 O 所在的平面, BC ? 圆 O 所在的平面, 所以 CE ? BC ,………………………………………………………………………………2 分 因为 AB 为圆 O 的直径,点 C 在圆 O 上,所以 AC ? BC , ……………………………3 分 因为 AC ? CE ? C , AC , CE ? 平面 ACE , 所以 BC ? 平面 ACE ,………………………………………………………………………5 分 因为 BC ? 平面 BCEF ,所以平面 BCEF ? 平面 ACE .…………………………………7 分 ⑵由⑴ AC ? BC ,又因为 CD 为圆 O 的直径, 所以 BD ? BC , 因为 AC , BC , BD 在同一平面内,所以 AC ? BD ,…………………………………………9 分 因为 BD ? 平面 ACE , AC ? 平面 ACE ,所以 BD ? 平面 ACE .………………………11 分 因为 BF ? CE ,同理可证 BF ? 平面 ACE , 因为 BD ? BF ? B , BD, BF ? 平面 BDF , 所以平面 BDF ? 平面 ACE , 因为 DF ? 平面 BDF ,所以 DF ? 平面 ACE .……………………………………………14 分 16.⑴由 AB?AC ? S ,得 bc cos A ? ? bc sin A ,即 sin A ? cos A .……………2 分 代入 sin 2 A + cos2 A ? 1 ,化简整理得, cos2 A ? 由 sin A ? cos A ,知 cos A ? 0 ,所以 cos A ?

??? ??? ? ?

3 2

3 1 2 2

4 3

9 .……………………………………4 分 25

4 3

3 .………………………………………6 分 5

⑵由 2b ? a + c 及正弦定理,得 2sin B ? sin A + sin C , 即 2sin( A + C ) ? sin A + sin C ,………………………………………………………………8 分 所以 2sin A cos C + 2cos A sin C ? sin A + sin C .①

3 4 4 及 sin A ? cos A ,得 sin A ? ,……………………………………………10 分 5 3 5 4 ? sin C 代入①,整理得 cos C ? . 8 代入 sin 2 C + cos2 C ? 1 ,整理得 65sin 2 C ? 8sin C ? 48 ? 0 ,……………………………12 分 12 4 解得 sin C ? 或 sin C ? ? . 13 5 12 因为 C ? (0, ?) ,所以 sin C ? .…………………………………………………………14 分 13 17.如图甲,设 ?DBC ? ? ,
由 cos A ?

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3r 3r ………………………………………………2 分 cos? , DC ? sin ? , 2 2 9 所以 S△BDC ? r 2 sin 2? ………………………………………………………………………4 16
则 BD ? 分

9 ≤ r2 , 16 π 时取等号, …………………………………………………6 分 4 3 此时点 D 到 BC 的距离为 r ,可以保证点 D 在半圆形材料 ABC 内部,因此按照图甲方案 4 9 2 得到直角三角形的最大面积为 r . …………………………………………………7 分 16
当且仅当 ? ? D D A A

B

O

C

B

O

EC

(第 17 题甲图)

(第 17 题乙图)

如图乙,设 ?EOD ? ? ,则 OE ? r cos ? , DE ? r sin ? ,

π π …………………………………10 分 3 2 1 1 设 f (? ) ? r 2 (1 ? cos? )sin ? ,则 f ?(? ) ? r 2 (1 ? cos? )(2cos? ? 1) , 2 2 π π π 当 ? ?[ , ] 时, f ?(? ) ≤ 0 ,所以 ? ? 时,即点 E 与点 C 重合时, 3 2 3 3 3 2 △ BDE 的面积最大值为 r . ………………………………………………………13 分 8 3 3 2 9 2 r ? r , 因为 8 16 3 3 2 r .…………14 分 所以选择图乙的方案,截得的直角三角形面积最大,最大值为 8
所以 S△BDE ? r 2 (1 ? cos? )sin? , ? ?[ , ] .

1 2

18.⑴连结 A2 P ,则 A2 P ? A1P ,且 A2 P ? a , 又 A1 A2 ? 2a ,所以 ?A1 A2 P ? 60? . 所以 ?POA2 ? 60? ,所以直线 OP 的方程为 y ? 3 x .……………………………………3 分 ⑵由⑴知,直线 A2 P 的方程为 y ? ? 3( x ? a) , A1 P 的方程为 y ? 联立解得 xP ?

3 ( x ? a) , 3

a . ………………………………………………………………………5 分 2 x2 4 y 2 3 c 3 3 1 因为 e ? ,即 ? ,所以 c2 ? a 2 , b2 ? a 2 ,故椭圆 E 的方程为 2 + 2 ? 1 . a a 2 a 2 4 4

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? 3 ( x ? a) , ?y ? a ? 由? 2 3 2 解得 xQ ? ? ,…………………………………………………………7 分 7 ? x + 4y ?1 , 2 2 ?a a ?

a a ? (? ) PQ 2 7 ? 3 . ………………………………………………………………8 分 ? 所以 QA 1 ? a ? (? a ) 4 7
⑶不妨设 OM 的方程为 y ? kx (k ? 0) ,

? y ? kx , a ak ? , ), 联立方程组 ? x 2 4 y 2 解得 B ( 2 1 ? 4k 1 ? 4k 2 ? 2 + 2 ?1 , a ?a
所以 OB ? a

1? k2 ;……………………………………………………………………10 分 1 ? 4k 2

用?

1? k2 1 代替上面的 k ,得 OC ? a . 4 ? k2 k
2a 1? k
2

同理可得, OM ?

, ON ?

2ak 1? k2

.…………………………………………13 分

所以 S1 ? S2 ?

1 k .………………………14 分 ? OB ? OC ? OM ? ON ? a 4 ? 4 (1 ? 4k 2 )(4 ? k 2 )

因为

k (1 ? 4k 2 )(4 ? k 2 )

?

1 1 ≤ , 1 4(k 2 ? 2 ) ? 17 5 k
a4 .………………………………16 分 5

当且仅当 k ? 1 时等号成立,所以 S1 ? S 2 的最大值为 19.⑴若 a ? 0 时, a1 ? 2 , an ?1 ?

an 2 ,所以 2an?1 ? an ,且 an ? 0 . 2

两边取对数,得 lg 2 + 2lg an?1 ? lg an ,……………………………………………………2 分 化为 lg an?1 + lg 2 ? (lg an + lg 2) , 因为 lg a1 + lg 2 ? 2lg 2 , 所以数列 {lg an + lg 2} 是以 2lg 2 为首项,

1 2

1 为公比的等比数列.……………………4 分 2
2?n ?1

所以 lg an + lg 2 ? 2( )n?1 lg 2 ,所以 an ? 22

1 2

.………………………………………6 分

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⑵由 an ?1 ?

an + a 2 ,得 2an?1 ? an + a ,① 2

当 n ≥ 2 时, 2a 2 ? an?1 + a ,② n ① ? ②,得 2(an?1 + an )(an?1 ? an ) ? an ? an?1 ,…………………………………………8 分 由已知 an ? 0 ,所以 an?1 ? an 与 an ? an?1 同号.…………………………………………10 分
2 因为 a2 ? a + 1 ,且 a ? 0 ,所以 a12 ? a2 ? (a + 2)2 ? (a + 1) ? a2 + 3a + 3 ? 0 恒成立,

所以 a2 ? a1 ? 0 ,所以 an?1 ? an ? 0 .………………………………………………………12 分 因为 bn ? an?1 ? an ,所以 bn ? ?(an?1 ? an ) , 所以 Sn ? ?[(a2 ? a1 ) + (a3 ? a2 ) + ? + (an?1 ? an )]

? ?(an?1 ? a1 ) ? a1 ? an?1 ? a1 .…………………………………………………………16 分
1 2ax 2 + x ? 1 ? 2ax ? 1 ? ? ( x ? 0) ,………………………………………2 分 x x 1 1 1 1 1 只需要 2ax 2 ? x ? 1≤ 0 ,即 2a ≤ 2 ? ? ( ? )2 ? , x x x 2 4 1 所以 a ≤ ? .…………………………………………………………………………………4 分 8 1 ⑵因为 f ?( x) ? ? 2ax ? 1 . x 1 所以切线 l 的方程为 y ? (?4a ? )( x ? 2) ? ln 2 ? 4a ? 2 . 2
20.⑴ f ?( x) ?

1 ? ? 令 g ( x) ? ln x ? ax 2 ? x ? ?(?4a ? )( x ? 2) ? ln 2 ? 4a ? 2 ? ,则 g (2) ? 0 . 2 ? ?

1 1 g ?( x) ? ? 2ax ? 4a ? ? ? x 2
若 a ? 0 ,则 g ?( x) ?

1 2ax 2 ? (4a ? ) x ? 1 2 .………………………………………6 分 x

2? x , 2x

当 x ? (0, 2) 时, g ?( x) ? 0 ;当 x ? (2, +?) 时, g ?( x) ? 0 , 所以 g ( x) ≥ g (2) ? 0 , c1 , c2 在直线 l 同侧,不合题意;…………………………………8 分

若 a ? 0 , g ?( x) ? ?

2a( x ? 2)( x ? x

1 ) 4a ,

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x ( ? 1)2 1 ≥ 0 , g ( x) 是单调增函数, 若 a ? ? , g ?( x) ? 2 x 8 当 x ? (2, +?) 时, g ( x) ? g (2) ? 0 ;当 x ? (0, 2) 时, g ( x) ? g (2) ? 0 ,符合题意;…10 分
若 a ? ? ,当 x ? (?

1 8

1 ,2) 时, g ?( x) ? 0 , g ( x) ? g (2) ? 0 , 4a

当 x ? (2, ??) 时, g ?( x) ? 0 , g ( x) ? g (2) ? 0 ,不合题意; …………………………12 分 若 ? ? a ? 0 ,当 x ? (2, ?

1 8

1 ) 时, g ?( x) ? 0 , g ( x) ? g (2) ? 0 , 4a

当 x ? (0, 2) 时, g ?( x) ? 0 , g ( x) ? g (2) ? 0 ,不合题意; ……………………………14 分 若 a ? 0 ,当 x ? (0, 2) 时, g ?( x) ? 0 , g ( x) ? g (2) ? 0 , 当 x ? (2. ? ?) 时, g ?( x) ? 0 , g ( x) ? g (2) ? 0 ,不合题意. 故只有 a ? ? 符合题意. ………………………………………………………………16 分

1 8

附加题
21. A.由已知, AC ? BC ,因为 ?ACD + ?BCD ? 90? ,
AC ? AE , BC ? BD ,

C A D E
(第 21—A 题图)

所以 ?ACD ? ?E , ?BCD ? ?BDC , 因为 ?ADE ? ?BDC ,所以 ?E + ?ADE ? 90? , 所以 AE ? AB .……………………………………………5 分

B

F

延长 DB 交 ? B 于点 F ,连结 FC ,则 DF ? 2DB , ?DCF ? 90? , 所以 ?ACD ? ?F ,所以 ?E ? ?F ,所以 Rt△ ADE ∽ Rt△CDF , 所以

AD DE ,所以 DE ? DC ? AD ? DF ,因为 DF ? 2DB , ? CD DF

所以 DE ? DC ? 2 AD ? DB .…………………………………………………………………10 分 B.对于直线 l 上任意一点 ? x, y ? ,在矩阵 M 对应的变换作用下变换成点 ? x?, y?? ,

? ?1 a ? ? x ? ? ? x + ay ? ? x? ? 则? ?? ? ? ? ??? ?, ? b 3 ? ? y ? ? bx + 3 y ? ? y??
因为 2 x? ? y? ? 3 ,所以 2(? x + ay) ? (bx + 3 y) ? 3 , ………………………………………4 分

??2 ? b ? 2, ?a ? 1 , 所以 ? 解得 ? ?2a ? 3 ? ?1 , ?b ? ?4 .

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? ?1 1? 所以 M ? ? ? , …………………………………………………………………………7 分 ? ?4 3? ? 3 ?1? 所以 M ?1 ? ? ?. ? 4 ?1?
………………………………………………………………10 分 …………………………3 分 ,…………6 分

C.直线的极坐标方程化为直角坐标方程为 2 x + y + a ? 0 ,

圆的极坐标方程化为直角坐标方程为 x2 + y 2 ? 4 y ,即 x2 + ( y ? 2)2 ? 4 因为截得的弦长为 2 ,所以圆心 (0, 2) 到直线的距离为 4 ? 1 ? 3 , 即

2+a 5

? 3 ,因为 a ? 0 ,所以 a ? 15 ? 2 . ………………………………………10 分

D.由柯西不等式,得 [ x + (?2) y + (?3) z]2 ≤[12 + (?2)2 + (?3)2 ]( x2 + y 2 + z 2 ) , 即 ( x ? 2 y ? 3z)2 ≤14( x2 + y 2 + z 2 ) , 即 16 ≤14( x2 + y 2 + z 2 ) . 所以 x2 + y 2 + z 2 ≥ ,即 x2 + y 2 + z 2 的最小值为 ……………………………………………………5 分

8 7

8 . …………………………………10 分 7

22.⑴以 AC 的中点为原点 O ,分别以 OA, OB 所在直线为 x, z 轴,建立空间直角坐标系

O ? xyz(如图) 则 O(0,0,0) ,A(1,0,0) , (?1,0,0) ,B(0,0, 3) ,N (?1, 2,0) ,M (0,4, 3) , C . z

A1 (1,6,0) , C1 (?1,6,0) .
所以 AM ? (?1,4, 3) , AC1 ? (?2,0,0) . 1

B

M N C1

B1

???? ?

?????

C

???? ????? ? ???? ????? ? AM ?A1C1 2 5 ? 所以 cos ? AM , A1C1 ?? ???? ????? ? , O ? AM A1C1 2 20 10
所以异面直线 AM 与 A1C1 所成角的余弦值为 ⑵平面 ANA1 的一个法向量为 m ? (0,0,1) .

A

y A1
(第 22 题图)

5 x .…………………………………………5 分 10

设平面 AMN 的法向量为 n ? ( x, y, z ) ,因为 AM ? (?1,4, 3) , AN ? (?2,2,0) ,

???? ?

????

???? ? ? n ? AM , ?? x + 4 y + 3z ? 0, ? ? 由? 令 x ? 1 ,则 n ? (1,1, ? 3) . ???? 得 ? ??2 x + 2 y ? 0, ? n ? AN , ? ?
所以 cos ? m, n ??

m?n ? 3 15 , ? ?? m n 5 5
10 . 5
……………………………………………10 分

所以二面角 M ? AN ? A1 的正弦值为

更多资源请到 乐学易考网 下载:luckstudy.com 23. (1) f ( x) ? xn?1[C0 xn ? C1 xn?1 ? C2 xn?2 ? ??? ? Cr (?1)r xn? r ? ??? ? (?1)n Cn ] = x n?1 ( x ? 1)n , n n n n n

f ?( x) ? (n ? 1) xn?2 ( x ? 1)n ? xn?1 ? n( x ? 1)n?1 = xn?2 ( x ? 1)n?1[(n ? 1)( x ? 1) ? nx] ,
令 f ?( x) ? 0 得 x1 ? 0, x2 ?

n ?1 , x3 ? 1 , 2n ? 1

因为 n≥ 2 ,所以 x1 ? x2 ? x3 .…………………………………………………2 分 当 n 为偶数时 f ( x) 的增减性如下表:

x

(??,0)

0

(0,

n ?1 ) 2n ? 1

n ?1 2n ? 1

(

n ?1 ,1) 2n ? 1

1

(1, ??)

f ?( x)

?

0

?

0

?

0

?
?

f ( x)

?

无 极值

?

极 大值

?

极 小值

所以当 x ?

(n ? 1) n ?1 ? (?n) n n ?1 时, y极大 ;当 x ? 1 时, y极小 ? 0 .………4 分 (2n ? 1) 2 n ?1 2n ? 1

当 n 为奇数时 f ( x) 的增减性如下表:

x

(??,0)

0

(0,

n ?1 ) 2n ? 1

n ?1 2n ? 1

(

n ?1 ,1) 2n ? 1

1

(1, ??)

f ?( x)

?

0

?

0

?

0

?
?

f ( x)

?

极 大值

?

极 小值

?

无 极值

所以 x ? 0 时, y极大 ? 0 ;当 x ?

(n ? 1) n ?1 ? (?n) n n ?1 时, y极小 ? .…………6 分 (2n ? 1) 2 n ?1 2n ? 1

2 n (2)假设存在等差数列 ?an ? 使 a1C0 ? a2C1 ? a3Cn ? ??? ? an?1Cn ? n ? 2n?1 成立, n n

由组合数的性质 Cm ? Cn?m , n n
n 把等式变为 an?1C0 ? an C1 ? an?1C2 ? ??? ? a1Cn ? n ? 2n?1 , n n n

两式相加,因为 ?an ? 是等差数列,所以 a1 ? an?1 ? a2 ? an ? a3 ? an?1 ? ? ? an?1 ? a1 ,
n 故 (a1 ? an?1 )(C0 ? C1 ? ? ? Cn ) ? n ? 2n , n n

所以 a1 ? an?1 ? n . …………………………………………………………………8 分 再分别令 n ? 1,n ? 2 ,得 a1 ? a2 ? 1 且 a1 ? a3 ? 2 ,

进一步可得满足题设的等差数列 ?an ? 的通项公式为 an ? n ? 1(n ?N? ) .………10 分

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