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2010-2012年数列高考题

时间:2013-04-14


2010—2012 高考数列
2012 年高考真题理科数学解析汇编:数列
一、选择题 1 . (2012 年高考(新课标理) )已知

?an ? 为等比数列, a4 ? a7 ? 2 , a5a6 ? ?8 ,则 a1 ? a10 ?
( ) C. ?? D. ??

A. 7

B. 5

2 . (2012 年高考(浙江理) )设 S n 是公差为 d(d≠0)的无穷等差数列{a n}的前 n 项和,则下

列命题错误 的是 .. A.若 d<0,则数列{S n}有最大项 B.若数列{S n}有最大项,则 d<0 C.若数列{S n}是递增数列,则对任意的 n ? N*,均有 S n>0 D.若对任意的 n ? N*,均有 S n>0,则数列{S n}是递增数列
3 . ( 2012 年高考(重庆理) ) 在等差数列 {an } 中, a2





? 1, a4 ? 5 , 则 {an } 的前 5 项和 S5 =
( ) D.25

A.7

B.15

C.20

4 . ( 2012 年 高 考 ( 四 川 理 ) ) 设 函 数 f ( x) ? 2 x? cosx, {an } 是 公 差 为

? 的等差数 8
( )

列, f (a1 ) ? f (a2 ) ???? ? f (a5 ) ? 5? ,则 [ f (a3 )]2 ? a1a3 ? A. 0 B.

1 2 ? 16

C. ?

1 8

2

D.

13 2 ? 16

5 . (2012 年高考(上海理) )设 an

? , Sn ? a1 ? a2 ? ? ? an . 在 S1, S2 ,?, S100 中, ?1 sin n n 25

B.50. C.75. D.100. 6 . ( 2012 年高考(辽宁理) ) 在等差数列{an}中,已知 a4+a8=16,则该数列前 11 项和 S11= ( ) A.58 B.88 C.143 D.176 ? 2 3 3 4 4 5 5 7 . ( 2012 年高考(江西理) ) 观察下列各式:a+b=1.a +b =3,a +b =4 ,a +b =7,a +b =11,,则 10 10 a +b = ( ) A.28 B.76 C.123 D.199 8 . (2012 年高考(湖北理) )定义在 (??,0) ? (0, ??) 上的函数 f ( x) ,如果对于任意给定的等 比数列 {an } , { f (an )} 仍 是等比数列 ,则称 f ( x) 为“保等比数列函数”. 现有定义在 (??, 0) ? (0,?? )上的如下 函

正数的个数是 A.25.





数:① f ( x) ? x2 ;

② f ( x) ? 2 x ;

③ f ( x) ? | x | ;

④ f ( x) ? ln | x | . ( D.② ④ )

则其中是“保等比数列函数”的 f ( x) 的序号为 A.① ② B.③ ④ C.① ③

9 . (2012 年高考(福建理) )等差数列

?an ? 中, a1 ? a5 ? 10, a4 ? 7 ,则数列 ?an ? 的公差为
( ) C .3 D.4

A.1

B.2

10. ( 2012 年高考(大纲理) ) 已知等差数列

?an ? 的前 n 项和为 Sn , a5 ? 5, S5 ? 15 ,则数列
( )

? 1 ? ? ? 的前 100 项和为 ? an an ?1 ?
A.

100 101

B.

99 101

C.

99 100

D.

101 100

11. (2012 年高考(北京理) )某棵果树前 n 年得总产量 Sn 与 n 之间的

关系如图所示 , 从目前记录的结果看 , 前 m 年的年平均产量最 高, m 的值为 A.5 B.7 C . 9 D.11
12. (2012 年高考(安徽理) )公比为 3





2 等比数列 {an } 的各项都是正
( )

数,且 a3a11 ? 16 ,则 A. 4
二、填空题 13. (2012 年高考(新课标理) )数列 {a n } 满足 an?1 ? (?1)
n

B. 5

C. ?

D. ?

an ? 2n ?1 ,则 {a n } 的前 60 项和

为_______
14. (2012 年高考(浙江理) )设公比为 q(q>0)的等比数列{a n}的前 n 项和为{S n}.若
S2 ? 3a2 ? 2 , S4 ? 3a4 ? 2 ,则 q=______________.

15 . ( 2012 年 高 考 ( 上 海 春 ) )已知等差数列

{an } 的 首 项 及 公 差 均 为 正 数 , 令

bn ? an ? a2012? n (n ? N * , n ? 2012). 当 bk 是数列 {bn } 的最大项时, k ? ____.
16. (2012 年高考 (辽宁理) ) 已知等比数列

?an ? 为递增数列,且 a52 ? a10 , 2(an ? an?2 ) ? 5an?1 ,

则数列的通项公式 an ? ______________.
17. (2012 年高考(江西理) )设数列

?an ?,?bn ? 都是等差数列,若 a1 ? b1 ? 7, a3 ? b3 ? 21 ,则

a5 ? b5 ? __________。

18. (2012 年高考 (湖南理) ) 设 N=2 (n∈N ,n≥2),将 N 个数 x1,x2,,xN 依次放入编号为 1,2,,N

n

*

的 N 个位置,得到排列 P0=x1x2xN.将该排列中分别位于奇数与偶数位置的数取出,并按原

N N 和后 个位置,得到排列 P1=x1x3xN-1x2x4xN,将此操作称为 C 变 2 2 N 换,将 P1 分成两段,每段 个数,并对每段作 C 变换,得到 p2 ;当 2≤i≤n-2 时,将 Pi 分 2 N i 成 2 段,每段 i 个数,并对每段 C 变换,得到 Pi+1,例如,当 N=8 时,P2=x1x5x3x7x2x6x4x8,此时 2
顺序依次放入对应的前 x7 位于 P2 中的第 4 个位置. (1)当 N=16 时,x7 位于 P2 中的第___个位置; n (2)当 N=2 (n≥8)时,x173 位于 P4 中的第___个位置. 19 . ( 2012 年高考(湖北理) ) 回文数是指从左到右读与从右到左读都一样的正整数 . 如 22,121,3443,94249 等 . 显然 2 位回文数有 9 个 :11,22,33,,99.3 位回文数有 90 个:101,111,121,,191,202,,999.则 (Ⅰ)4 位回文数有__________个; (Ⅱ) 2n ? 1 (n ? N? ) 位回文数有_________个.
2 20 . ( 2012 年高考(广东理) ) ( 数列) 已知递增的等差数列 ?an ? 满足 a1 ? 1 , a3 ? a2 ? 4 ,则

an ? ______________.
21 . ( 2012 年高考(福建理) ) 数列

?an ? 的通项公式 an ? n cos

n? ? 1 , 前 n 项和为 Sn , 则 2

S2012 ? ___________.
22. (2012 年高考(北京理) )已知 {an } 为等差数列, Sn 为其前 n 项和.若 a1 ?

1 , S ? a3 ,则 2 2

a2 ? ________.
三、解答题 23. (2012 年高考 (天津理) ) 已知{ an }是等差数列,其前 n 项和为 Sn ,{ bn }是等比数列,且 a1 =

b1 =2 , a4 +b4 =27 , S4 ? b4 =10 .
(Ⅰ)求数列{ an }与{ bn }的通项公式; (Ⅱ)记 Tn =anb1 +an?1b2 +?+anb1 , n ? N+ ,证明 Tn +12= ? 2an +10bn (n ? N+ ) .

24 . ( 2012 年 高 考 ( 新 课 标 理 ) ) 已 知 a, b, c 分 别 为 ?ABC 三 个 内 角 A, B, C 的 对

边, a cos C ? 3a sin C ? b ? c ? 0

(1)求 A

(2)若 a ? 2 , ?ABC 的面积为 3 ;求 b, c .

25. (2012 年高考(重庆理) )(本小题满分 12 分,(I)小问 5 分,(II)小问 7 分.)

设数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn 满足 Sn?1 ? a2 Sn ? a1 ,其中 a2 ? 0 . (I)求证: ?an ? 是首项为 1 的等比数列; (II)若 a2 ? ?1,求证: S n ?

n (a1 ? an ) ,并给出等号成立的充要条件. 2

26. (2012 年高考(四川理) )已知 a 为正实数, n 为自然数,抛物线 y ? ? x

2

?

an 与 x 轴正半 2

轴相交于点 A ,设 f ( n) 为该抛物线在点 A 处的切线在 y 轴上的截距. (Ⅰ)用 a 和 n 表示 f ( n) ; (Ⅱ)求对所有 n 都有

f (n) ? 1 n3 成立的 a 的最小值; ? 3 f (n) ? 1 n ? 1

(Ⅲ)当 0 ? a ? 1 时,比较

? f (k ) ? f (2k ) 与
k ?1

n

1

27 f (1) ? f (n) ? 的大小,并说明理由. 4 f (0) ? f (1)

27. (2012 年高考(四川理) )已知数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,且 a2 an

? S2 ? Sn 对一切正整

数 n 都成立. (Ⅰ)求 a1 , a2 的值; (Ⅱ)设 a1 ? 0 ,数列 {lg 大值.

10a1 } 的前 n 项和为 Tn ,当 n 为何值时, Tn 最大?并求出 Tn 的最 an

28 .( 2012

年 高 考 ( 上 海 理 )) 对 于 数 集

X ? {?1, x1, x2 , ?, xn} , 其 中

0 ? x1 ? x2 ? ? ? xn , n ? 2 ,定义向量集

Y ? {a | a ? (s, t ), s ? X , t ? X } . 若对于任意 a1 ?Y ,存在 a2 ? Y ,使得 a1 ? a2 ? 0 ,则称 X
具有性质 P. 例如 X ? {?1, 1, 2} 具有性质 P.

(1)若 x>2,且 {?1, 1, 2, x} ,求 x 的值; (2)若 X 具有性质 P,求证:1?X,且当 xn>1 时,x1=1; (3)若 X 具有性质 P,且 x1=1,x2=q(q 为常数),求有穷数列 x1, x2 , ?, xn 的通 项公式.

29. (2012 年高考(上海春) )本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3

小题满分 6 分. 已知数列 {an }、  {bn }、  {cn } 满足 (an?1 ? an )(bn?1 ? bn ) ? cn (n ? N * ). (1)设 cn ? 3n ? 6,{an } 是公差为 3 的等差数列.当 b1 ? 1 时,求 b2、b3 的值; (2)设 cn ? n3 , an ? n2 ? 8n. 求正整数 k , 使得一切 n ? N * , 均有 bn ? bk ; (3)设 cn ? 2 ? n, an ?
n

1 ? ( ?1)n . 当 b1 ? 1 时,求数列 {bn } 的通项公式. 2

30. (2012 年高考 (陕西理) ) 设

?an ? 的公比不为 1 的等比数列,其前 n 项和为 Sn ,且 a5 , a3 , a4

成等差数列. (1)求数列 ?an ? 的公比; (2)证明:对任意 k ? N? , Sk ?2 ,

Sk , Sk ?1 成等差数列.

31. (2012 年高考(山东理) )在等差数列

?an ? 中, a3 ? a4 ? a5 ? 84, a9 ? 73 .

(Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)对任意 m ? N * , 将数列 ?an ? 中落入区间 (9 , 9
m 2m

) 内的项的个数记为 bm ,求数列

?bm?

的前 m 项和 Sm .

32. (2012 年高考(江西理) )已知数列{an}的前 n 项和 S n ? ?

1 2 n ? kn(k ? N ? ) ,且 Sn 的最 2

大值为 8.

(1)确定常数 k,求 an; (2)求数列 {

9 ? 2an } 的前 n 项和 Tn. 2n

2, n} , n ? N * .记 f (n) 为同时满足下列条件 33. (2012 年高考(江苏) )设集合 P …, n ? {1,
的集合 A 的个数: ① A ? Pn ;②若 x ? A ,则 2 x ? A ;③若 x ? C pn A ,则 2 x ? C p A .
n

(1)求 f (4) ; (2)求 f (n) 的解析式(用 n 表示).
34. (2012 年高考(江苏) )已知各项均为正数的两个数列 {an } 和 {bn } 满

足: a n ?1 ?

a n ? bn a n ? bn
2 2

,n? N *,

(1)设 bn ?1

? b ?? b ? ? 1 ? n , n ? N * ,求证:数列 ?? n ? a an ? ?? n ?

2

? ? ? 是等差数列; ? ?

(2)设 bn?1 ?

2?

bn , n ? N * ,且 {an } 是等比数列,求 a1 和 b1 的值. an

35 .( 2012

年 高 考 ( 湖 南 理 )) 已 知 数 列 {an} 的 各 项 均 为 正 数 , 记

A(n)=a1+a2++an,B(n)=a2+a3++an+1,C(n)=a3+a4++an+2,n=1,2。 (1) 若 a1=1,a2=5,且对任意 n∈N﹡,三个数 A(n),B(n),C(n)组成等差数列,求数列{ an }
的通项公式. (2) 证明:数列{ an }是公比为 q 的等比数列的充分必要条件是:对任意 n ? N ,三个数
?

A(n),B(n),C(n)组成公比为 q 的等比数列.

36. (2012 年高考(湖北理) )已知等差数列 {an } 前三项的和为 ?3 ,前三项的积为 8 .

(Ⅰ)求等差数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ)若 a 2 , a3 , a1 成等比数列,求数列 {| an |} 的前 n 项和.

37. (2012 年高考(广东理) )设数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,满足 2Sn ? an?1 ? 2n ?1 ? 1 , n ? N ,
*

且 a1 、 a2 ? 5 、 a 3 成等差数列. (Ⅰ)求 a1 的值; (Ⅱ)求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅲ)证明:对一切正整数 n ,有

1 1 1 3 ? ?? ? ? . a1 a2 an 2

38. (2012 年高考(大纲理) )(注意:在试卷上作答无效 ) ........

函 数 f ( x) ?

2

x? 2 x ? .3 定 义 数 列

?xn ?

如 下 : x1 ? 2, xn?1 是 过 两 点

P( 4 , 5 Q x n ) ,n

(f n的直线 ,x ( PQ ) n)与 x 轴交点的横坐标.

(1)证明: 2 ? xn ? xn?1 ? 3 ; (2)求数列 ?xn ? 的通项公式.

39. (2012 年高考(北京理) )设 A 是由 m ? n 个实数组成的 m 行 n 列的数表,满足:每个数

的绝对值不大于 1,且所有数的和为零.记 S (m, n) 为所有这样的数表构成的集合. 对于 A ? S (m, n) ,记 ri ( A) 为 A 的第 i 行各数之和 1 ? i ? m , c j ( A) 为 A 的第 j 列各数 之和 1 ? j ? n ; 记 k ( A) 为 | r |, | c1 ( A) |,…, | cn ( A) |中的最小值. |, | r2 ( A) |,…, | rm ( A) |, | c2 ( A) 1 ( A) (1)对如下数表 A,求 k ( A) 的值; 1 0.1 1 -0.3 -0.8 -1

(2)设数表 A= S (2,3) 形如

1

1

1 -1

a
求 k ( A) 的最大值;

b

(3)给定正整数 t ,对于所有的 A∈S(2, 2t ? 1 ),求 k ( A) 的最大值。

40. (2012 年高考(安徽理) )数列 {xn } 满足: x1

2 ? 0, xn?1 ? ?xn ? xn ? c(n ? N * )

(I)证明:数列 {xn } 是单调递减数列的充分必要条件是 c ? 0 (II)求 c 的取值范围,使数列 {xn } 是单调递增数列.

2012 年高考真题理科数学解析汇编:数列参考答案 一、选择题 1.

【解析】选 D a4 ? a7 ? 2 , a5a6 ? a4a7 ? ?8 ? a4 ? 4, a7 ? ?2 或 a4 ? ?2, a7 ? 4

a4 ? 4, a7 ? ?2 ? a1 ? ?8, a10 ? 1 ? a1 ? a10 ? ?7 a4 ? ?2, a7 ? 4 ? a10 ? ?8, a1 ? 1 ? a1 ? a10 ? ?7
【答案】C 【解析】选项 C 显然是错的,举出反例:—1,0,1,2,3,.满足数列{S n}是递增数列,但是 S n>0 不成立. 3. 【答案】B 【 解 析 】
2.

2d ?
故 S5 ?

4

a ?

2

5

, aa a2 ? 1 3d ? 1 ? 6 ? 7 ,1 5 ??

?

4

d

(a1 ? a5 ) ? 5 6 ? 5 ? ? 15 . 2 2

【考点定位】 本题考查等差数列的通项公式及前 n 项和公式,解题时要认真审题,仔细解 答. 4. [答案]D [解析]∵数列{an}是公差为

? 的等差数列,且 f (a1 ) ? f (a2 ) ???? ? f (a5 ) ? 5? 8

∴( 2 a1 ? a2 ? ? ? a5) ? (cosa1 ? cosa2 ? ? ? cosa5 ) ? 5? ∴ (cosa1 ? cosa2 ? ? ? cosa5 ) ? 0, 得 a3 ? 即 ( 2 a1 ? a2 ? ? ? a5) ? 2 ? 5a3 ? 5?

?
2

, a1 ?
2

?
4

, a5 ?

3? 4
2 2

3? 2 13? 2 ? ∴ [ f (a3 )] ? a1a3 ? (2a3 ? cos a3 ) ? a1 a5 ? ? ? 16 16
[点评]本题难度较大,综合性很强.突出考查了等差数列性质和三角函数性质的综合使 用,需考生加强知识系统、网络化学习. 另外, (cosa1 ? cosa2 ? ? ? cosa5 ) ? 0, 隐蔽 性较强,需要考生具备一定的观察能力. 5. [解析] 对于 1≤k≤25,ak≥0(唯 a25=0),所以 Sk(1≤k≤25)都为正数.
? ? 当 26≤k≤49 时,令 25 ? ? ,则 k ? k? ,画出 k?终边如右, 25

y
13? 23? 24? ? 12? ? 2?

其终边两两关于 x 轴对称,即有 sin k? ? ? sin(50 ? k? ) , 所以 Sk ? sin ? + sin 2? ++
1 1 1 2 1 23

?

sin 23? + sin 24? +0
1 24

26? 27? ?

?

49? 48?

x

37? 38?

1 1 + 26 sin 26? + 27 sin 27? + 1 k sin k?

1 1 1 1 =1 sin ? + 1 sin 2? ++ ( 24 ? 26 ) sin 24? + ( 23 ? 27 ) sin 23? + 1 2

+ ( 501 ?1 ) sin(50 ? k )? ,其中 k=26,27,,49,此时 0 ? 50 ? k ? k , ?k k 所以 501 ?1 ? 0 ,又 0 ? (50 ? k )? ? 24? ? ? ,所以 sin(50 ? k )? ? 0 , ?k k 从而当 k=26,27,,49 时,Sk 都是正数,S50=S49+a50=S49+0=S49>0. 对于 k 从 51 到 100 的情况同上可知 Sk 都是正数. 综上,可选 D. [评注] 本题中数列难于求和,可通过数列中项的正、负匹配来分析 Sk 的符号,为此,需 借助分类讨论、 数形结合、 先局部再整体等数学思想.而重中之重,是看清楚角序列的终 边的对称性,此为攻题之关键. 6. 【答案】B 【解析】在等差数列中,? a1 ? a11 ? a4 ? a8 ? 16,? s11 ?

11? (a1 ? a11 ) ? 88 ,答案为 B 2

【点评】本题主要考查等差数列的通项公式、性质及其前 n 项和公式,同时考查运算求 解能力,属于中档题.解答时利用等差数列的性质快速又准确. 7. C【解析】本题考查归纳推理的思想方法. 观察各等式的右边,它们分别为 1,3,4,7,11,, 发现从第 3 项开始,每一项就是它的前两项之和,故等式的右边依次为 1,3,4,7,11,18,29,47,76,123,, 故 a ? b ? 123.
10 10

【点评】归纳推理常常可借助前几项的共性来推出一般性的命题.体现考纲中要求了解 归纳推理.来年需要注意类比推理等合情推理. 8. 考点分析:本题考察等比数列性质及函数计算.
2 2 2 2 f ?an ? f ?an ? 2 ? ? an an ? 2 ? an 解 析 : 等 比数列 性质 , an an ? 2 ? an ?1 ?1 ,①

? ?

2

? f 2 ?an ?1 ? ;
;③ ;④



f ?an ? f ?an ? 2 ? ? 2an 2an?2 ? 2an ? an?2 ? 22an?1 ? f 2 ?an ?1 ?
an an ? 2 ? an ?1 ? f 2 ?an ?1 ?
2
2

f ?an ? f ?an ? 2 ? ?

f ?an ? f ?an ? 2 ? ? ln an ln an ? 2 ? ?ln an ?1 ? ? f 2 ?an ?1 ? .选 C
9.

【答案】B 【解析】? a1 ? a5 ? 10 ? 2a1 ? 4d ? 10 ,而 a4 ? a1 ? 3d ? 7 ,解得 d ? 2 .

【考点定位】该题主要考查等差数列的通项公式,考查计算求解能力. 10.答案 A 【命题意图】本试题主要考查等差数列的通项公式和前 n 项和的公式的运用,以及裂项 求和的综合运用,通过已知中两项,得到公差与首项,得到数列的通项公式,并进一步裂 项求和. 【解析】由 Sn , a5 ? 5, S5 ? 15 可得

?a1 ? 4d ? 5 ?a1 ? 1 ? ? ? ? an ? n ? ? 5? 4 d ? 1 d ? 15 ? ?5a1 ? ? ? 2

?

1 1 1 1 ? ? ? an an?1 n(n ? 1) n n ? 1

1 1 1 1 1 1 100 S100 ? (1 ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? ) ? 1? ? 2 2 3 100 101 101 101
11. 【答案】C

【解析】由图可知 6,7,8,9 这几年增长最快,超过平均值,所以应该加入,因此选 C. 【考点定位】 本小题知识点考查很灵活,要根据图像识别看出变化趋势,判断变化速度 可以用导数来解,当然此题若利用数学估计过于复杂,最好从感觉出发,由于目的是使平 均产量最高,就需要随着 n 的增大, Sn 变化超过平均值的加入 ,随着 n 增大, Sn 变化不 足平均值,故舍去. 12. 【解析】选 B
2 a3a11 ? 16 ? a7 ? 16 ? a7 ? 4 ? a16 ? a7 ? q9 ? 32 ? log2 a16 ? 5

二、填空题 13. 【解析】 {a n } 的前 60 项和为 1830

可证明: bn?1 ? a4n?1 ? a4n?2 ? a4n?3 ? a4n?4 ? a4n?3 ? a4n?2 ? a4n?2 ? a4n ? 16 ? bn ? 16

b1 ? a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? 10 ? S15 ? 10 ? 15 ?
14. 【答案】

15 ?14 ? 16 ? 1830 2

3 2 【解析】将 S2 ? 3a2 ? 2 , S4 ? 3a4 ? 2 两个式子全部转化成用 a1 ,q 表示的式子.

即 ?

? a1 ? a1q ? 3a1q ? 2 , 两 式 作 差 得 : a1q 2 ? a1q3 ? 3a1q(q 2 ? 1) , 2 3 3 a ? a q ? a q ? a q ? 3 a q ? 2 ? 1 1 1 1 1

即: 2q 2 ? q ? 3 ? 0 ,解之得: q ?
15. 1006 16. 【答案】 2
n

3 or q ? ?1(舍去). 2

2 【解析】? a5 ? a10 ,?(a1q4 )2 ? a1q9 ,?a1 ? q,?an ? qn ,

? 2(an ? an ? 2 ) ? 5an ?1 ,? 2an (1 ? q 2 ) ? 5an q,? 2(1 ? q 2 ) ? 5q, 解得q ? 2或q ?

1 (舍去), ? an ? 2 n 2

【点评】本题主要考查等比数列的通项公式,转化思想和逻辑推理能力,属于中档题. 17. 35【解析】本题考查等差中项的性质及整体代换的数学思想

(解法一)因为数列 {an },{bn } 都是等差数列,所以数列 ?an ? bn ? 也是等差数列. 故由等差中项的性质,得 ? a5 ? b5 ? ? ? a1 ? b1 ? ? 2 ? a3 ? b3 ? ,即 ? a5 ? b5 ? ? 7 ? 2 ? 21 ,解 得 a5 ? b5 ? 35 . (解法二)设数列 {an },{bn } 的公差分别为 d1 , d 2 , 因为 a3 ? b3 ? (a1 ? 2d1 ) ? (b1 ? 2d2 ) ? (a1 ? b1 ) ? 2(d1 ? d2 ) ? 7 ? 2(d1 ? d2 ) ? 21, 所以 d1 ? d2 ? 7 .所以 a5 ? b5 ? (a3 ? b3 ) ? 2(d1 ? d2 ) ? 35 . 【点评】 对于等差数列的计算问题,要注意掌握基本量法这一通法,同时要注意合理使用 等差数列的性质进行巧解. 体现考纲中要求理解等差数列的概念.来年需要等差数列的 通项公式,前 n 项和,等差中项的性质等.
18. 【答案】(1)6;(2) 3 ? 2
n?4

? 11

【解析】(1)当 N=16 时,

P 0 ? x1 x2 x3 x4 x5 x6 ? x16 ,可设为 (1, 2,3, 4,5,6,?,16) ,
P 1 ? x1 x3 x5 x7 ? x15 x2 x4 x6 ? x16 ,即为 (1,3,5,7,9,? 2, 4,6,8,?,16) , P2 ? x1 x5 x9 x13 x3 x7 x11x15 x2 x6 ? x16 ,即 (1,5,9,13,3,7,11,15, 2,6,?,16) , x7 位于 P2 中的
第 6 个位置,; (2)方法同(1),归纳推理知 x173 位于 P4 中的第 3 ? 2
n?4

? 11 个位置.

【点评】本题考查在新环境下的创新意识,考查运算能力,考查创造性解决问题的能力. 需要在学习中培养自己动脑的习惯,才可顺利解决此类问题. 19.考点分析:本题考查排列、组合的应用. 解析:(Ⅰ)4 位回文数只用排列前面两位数字,后面数字就可以确定,但是第一位不能为 0,有 9(1~9)种情况,第二位有 10(0~9)种情况,所以 4 位回文数有 9 ? 10 ? 90 种. 答案:90 (Ⅱ)法一、由上面多组数据研究发现,2n+1 位回文数和 2n+2 位回文数的个数相同,所以 可以算出 2n+2 位回文数的个数.2n+2 位回文数只用看前 n+1 位的排列情况,第一位不能 为 0 有 9 种情况,后面 n 项每项有 10 种情况,所以个数为 9 ? 10 .
n

法二、可以看出 2 位数有 9 个回文数,3 位数 90 个回文数.计算四位数的回文数是可以 看出在 2 位数的中间添加成对的“00,11,22,99”,因此四位数的回文数有 90 个按此规 律推导 因此 ,而当奇数位时,可以看成在偶数位的最中间添加 0~9 这十个数, ,则答案为 9 ? 10 .
n
2

20. 解 析 : 2 n ? 1 . 设 公 差 为 d ( d ? 0 ), 则 有 1 ? 2 ,解得 d ?2 ,所以 d ?? 1 ? d? ? 4

an ? 2n ? 1 .
21. 【答案】 3018











an ? n cos

n? ?1 2

,





S2012 ? (1? 0 ? 2 ?1 ? 3? 0 ? 4 ?1? ?? 2012 ?1) ? 2012
? (?2 ? 4 ? 6 ? ? ? 2010 ? 2012) ? 2012 ? 2 ? 503 ? 2012 ? 3018
【考点定位】 本题主要考察数列的项、 前 n 项和,考查数列求和能力,此类问题关键是并 项求和.
22. 【答案】1,

1 n(n ? 1) 4
析 】





? S2 ? a3

,





a1 ? a ? d ? a1 ? 2d ? d ?

1 1 ? n(n 2? 1) . 1 a ? a ? d ? 1, Sn ? 2 4

1

【考点定位】 本小题主要考查等差数列的基本运算,考查通项公式和前 n 项和公式的计 算.
三、解答题 23. 【命题意图】 本试题主要考查了等差数列与等比数列的概率、 通项公式、 前 n 项和公式、

数列求和等基础知识,考查化归与转化的思想方法,考查运算能力、推理论证的能力. (1) 设 等 差 数 列 ?an ? 的 公 差 为 d , 等 比 数 列 ?bn ? 的 公 比 为 q , 由 a1 ? b1 ? 2 , 得
3 ? ?2 ? 3d ? 2q ? 27 ? ?d ? 3 ,故 a4 ? 2 ? 3d , b4 ? 2q , S4 ? 8 ? 6d , 由条件得方程组 ? ?? 3 q ? 2 ? ? 8 ? 6 d ? 2 q ? 10 ? ?

3

an ? 3n ?1, bn ? 2n (n ? N * )
( 2 )

a a Tn ? anb1 ? an ?1b2 ? an ?2b3 ? ? ? a1bn ? 2n a1 ? 2n ?1 a2 ? ? ? 2an ? 2n (a1 ? 2 ? ? ? nn ) 2 2 ?1 an 3n ? 1 3n ? 2 3n ? 5 ? n ?1 ? n ? 2 ? n ?1 ? cn ? cn ?1 n ?1 2 2 2 2

Tn ? 2n [(c1 ? c2 ) ? (c2 ? c3 ) ? ?? (cn ? cn?1 )] ? 2n (c1 ? cn?1 ) ? 10 ? 2n ? 2(3n ? 5) ? 10bn ? 2an ?12 ? Tn ?12 ? 10bn ? 2an
方法二:数学归纳法 (1)当 n ? 1 时, T1 ? 12 ? a1b1 ? 12 ? 16, ?2a1 ? 10b1 ? 16 ,故等式成立。

【点评】该试题命制比较直接,没有什么隐含的条件,就是等比与等差数列的综合应用, 但方法多样,第二问可以用错位相减法求解证明,也可用数学归纳法证明,给学生思维空 间留有余地,符合高考命题选拔性的原则. 24. 【解析】(1)由正弦定理得:

a cos C ? 3a sin C ? b ? c ? 0 ? sin A cos C ? 3 sin A sin C ? sin B ? sin C
? sin A cos C ? 3 sin A sin C ? sin(a ? C ) ? sin C ? 3 sin A ? cos A ? 1 ? sin( A ? 30? ) ? ? A ? 30? ? 30? ? A ? 60?
(2) S ?

1 2

1 bc sin A ? 3 ? bc ? 4 2

a 2 ? b2 ? c2 ? 2bc cos A ? b ? c ? 4
解得: b ? c ? 2
25. (1)证明:由 S2

? a2 S1 ? a1 ,得 a1 ? a2 ? a1a2 ? a1 ,即 a2 ? a2 a1 .
a2 ? a2 , a1

因 a2 ? 0 ,故 a1 ? 1 ,得

又由题设条件知 Sn?2 ? a2 Sn?1 ? a1 , Sn?1 ? a2 Sn ? a1 两式相减得 Sn?2 ? Sn?1 ? a2 ? Sn?1 ? Sn ? ,即 an?2 ? a2 an?1 , 由 a2 ? 0 ,知 an?1 ? 0 ,因此

an ? 2 ? a2 an ?1

综上,

an ? 2 ? a2 对所有 n ? N * 成立,从而 ?an ? 是首项为 1,公比为 a2 的等比数列. an ?1

(2)当 n ? 1 或 2 时,显然 S n ?

n (a1 ? an ) ,等号成立. 2

设 n ? 3 , a2 ? ?1且 a2 ? 0 ,由(1)知, a1 ? 1 , an ? a2n?1 ,所以要证的不等式化为:

n ?1 ? a2n?1 ? ? n ? 3? 2 n ?1 2 n 1 ? a2 n ? ? n ? 2 ? 即证: 1 ? a2 ? a2 ? ? ? a2 ? ? 2 1 ? a2 ? a2 2 ? ? ? a2 n ?1 ?
当 a2 ? 1 时,上面不等式的等号成立. 当 ?1 ? a2 ? 1 时, a2r ?1 与 a2n?r ?1 ,( r ? 1, 2,3,?, n ? 1 )同为负; 当 a2 ? 1 时,

a2r ?1与 a2n?r ?1 ,( r ? 1, 2,3,?, n ? 1 )同为正;

因此当 a2 ? ?1且 a2 ? 1 时,总有 ( a2r ?1 )( a2n?r ?1 )>0,即

a2r ? a2n?r ? 1 ? a2n ,( r ? 1, 2,3,?, n ? 1 ).
2 n?r n 上面不等式对 r 从 1 到 n ? 1 求和得, 2( a2 ? a2 ? ? ? a2 ) ? (n ? 1) 1 ? a2

?

?

n ?1 1 ? a2 n ? ? 2 n 综上 , 当 a2 ? ?1 且 a2 ? 0 时 , 有 S n ? (a1 ? an ) , 当且仅当 n ? 1, 2 或 a2 ? 1 时等号成 2
由此得 1 ? a2 ? a2 ? ? ? a2 ?
2 n

立.

26. [解析](1)由已知得,交点 A 的坐标为

? ? ? ? ?
A

a

? 1 n 2 ,0 ? ,对 y ? ? x ? a 求导得 ? 2 2 ? ?
n

y ? ?2 x
程 为

'




n



线




n


n


n



线



y ? ? 2 a (x ?
(2)由(1)知 f(n)= 即知,
n

a
a

n

2
n

), 即y ? ? 2 a x ? a .则f (n) ? a
,则

f (n) ? 1 n3 n ? 3 成立的充要条件是 ? 2n 3 ? 1 a f (n) ? 1 n ? 1

a

? 2n 3 ? 1 对于所有的 n 成立,特别地,取 n=2 时,得到 a≥ 17

当 a ? 17, n ? 3时 ,

a ? 4 ? (1? 3)
n n
1 2

n

? 1 ? Cn ? 3 ? Cn ? 3 ? Cn ? 3 ? ?
2 3 3

1

2

2

3

3

? 1? Cn ? 3 ? Cn ? 3 ? Cn ? 3

? 1? 2n ?
>2n +1
3

3

2 1 ? n 5 (n ? 2) ? (2n ? 5)? ? ? ? 2 ?

当 n=0,1,2 时,显然

( 17 )

n

? 2n ?1

3

f ( n) ? 1 故当 a= 17 时, ? f ( n) ? 1
所以满足条件的 a 的最小值是 (3)由(1)知 f ( k ) ?
n

n 对所有自然数都成立 n ?1
3

3

17 .
n 1 1 f (1) ? f (n) a ? a , ?? k ? 2k f (k ) ? f (2k ) k ?1 a ? a f (0) ? f (1) 1 ? a n

a
1

n

,则

?
k ?1

n

下面证明:

? f ( k ) ? f ( 2k ) ?
k ?1

27 f (1) ? f (n) ? . 4 f (0) ? f (1)

首先证明:当 0<x<1 时,

1 x?x
3

?

27 x 4

27 2 x( x ? x) ? 1,0 ? x ? 1 4 81 2 则g ' ( x) ? x( x ? ) 4 3 2 2 ( ' x) ? 0;当 ? x ? 1时, g ' ( x) ? 0 当 0 ? x ? 时, g 3 3 2 故 g(x)在区间(0,1)上的最小值 g(x)min=g ( ) ? 0 3
设函数 g ( x) ? 所以,当 0<x<1 时,g(x)≥0,即得

1 x?x
k
2

? 1

27 x 4 ? 27 k ,从而 4 a

由 0<a<1 知 0<a <1( k ?
k

N

*

),因此

a ?a

2k

?
k ?1

n

n 1 1 ?? k f (k ) ? f (2k ) k ?1 a ? a2 k

?

27 n k ? 4 k ?1 a
n ?1

27 a ? a ? ? 4 1? a

27 a ? a ? ? 4 1? a 27 f (1) ? f (n) ? ? 4 f (0) ? f (1)
[点评]本小题属于高档题,难度较大,需要考生具备扎实的数学基础和解决数学问题的 能力.主要考查了导数的应用、不等式、数列等基础知识;考查了思维能力、运算能力、 分析问题与解决问题的能力和创新意识能力;且又深层次的考查了函数、转换与化归、 特殊与一般等数学思维方法.

n

27. [解析]取 n=1,得 a2 a 1
2

? s2 ? s1 ? 2a1 ? a2 ,
② ③



取 n=2,得 a2 ? 2a1 ? 2a2 , 又②-①,得 a2 (a2 ? a1 ) ? a2 (1)若 a2=0, 由①知 a1=0, (2)若 a2 ? 0,易知a2 ? a1 ? 1, 由①④得: a1 ?



2 ? 1, a2 ? 2 ? 2; a1 ? 1 ? 2, a2 ? 2 ? 2; 2 ? 1, a2 ? 2 ? 2;

(2)当 a1>0 时,由(I)知, a1 ?

当 n ? 2时,有( 2 ? 2)an ? s2 ? sn , (2+ 2 )an-1=S2+Sn-1 所以,an= 2an?1 (n ? 2) 所以 an ? a1 ( 2 ) n?1 ? ( 2 ? 1) ? ( 2 ) n?1 令 bn ? lg

10a1 1 100 , 则bn ? 1 ? lg( 2 ) n?1 ? lg n?1 an 2 2
1 lg 2 为公差,且单调递减的等差数列. 2

所以,数列{bn}是以 ? 则 b1>b2>b3>>b7= lg

10 ? lg1 ? 0 8 1 100 1 ? lg1 ? 0 当 n≥8 时,bn≤b8= lg 2 128 2
所以,n=7 时,Tn 取得最大值,且 Tn 的最大值为

T7=

( 7 b1 ? b7) 21 ? 7 ? lg 2 2 2

[点评]本小题主要从三个层面对考生进行了考查. 第一,知识层面:考查等差数列、 等比 数列、对数等基础知识;第二,能力层面:考查思维、运算、分析问题和解决问题的能力; 第三,数学思想:考查方程、分类与整合、化归与转化等数学思想.
28. [解](1)选取 a1

? ( x, 2) ,Y 中与 a1 垂直的元素必有形式 (?1, b)

所以 x=2b,从而 x=4 (2)证明:取 a1 ? ( x1, x1 ) ? Y .设 a2 ? (s, t ) ? Y 满足 a1 ? a2 ? 0 . 由 ( s ? t ) x1 ? 0 得 s ? t ? 0 ,所以 s 、 t 异号. 因为-1 是 X 中唯一的负数,所以 s 、 t 中之一为-1,另一为 1, 故 1?X 假设 xk ? 1 ,其中 1 ? k ? n ,则 0 ? x1 ? 1 ? xn . 选取 a1 ? ( x1, xn ) ?Y ,并设 a2 ? (s, t ) ? Y 满足 a1 ? a2 ? 0 ,即 sx1 ? txn ? 0 , 则 s 、 t 异号,从而 s 、 t 之中恰有一个为-1. 若 s =-1,则 x1 ? txn ? t ? x1 ,矛盾; 若 t =-1,则 xn ? sx1 ? s ? xn ,矛盾. 所以 x1=1 (3)[解法一]猜测 xi ? qi ?1 ,i=1, 2, , n 记 Ak ? {?1, 1, x2 , ?, xk } ,k=2, 3, , n. 先证明:若 Ak ?1 具有性质 P,则 Ak 也具有性质 P. 任取 a1 ? (s, t ) , s 、 t ? Ak .当 s 、 t 中出现-1 时,显然有 a2 满足 a1 ? a2 ? 0 ; 当 s ? ?1 且 t ? ?1 时, s 、 t ≥1. 因为 Ak ?1 具有性质 P,所以有 a2 ? (s1, t1 ) , s1 、 t1 ? Ak ?1 ,使得 a1 ? a2 ? 0 , 从而 s1 和 t1 中有一个是-1,不妨设 s1 =-1. 假设 t1 ? Ak ?1 且 t1 ? Ak ,则 t1 ? xk ?1 .由 (s, t ) ? (?1, xk ?1 ) ? 0 ,得 s ? txk ?1 ? xk ?1 ,与

s ? Ak 矛盾.所以 t1 ? Ak .从而 Ak 也具有性质 P
现用数学归纳法证明: xi ? qi ?1 ,i=1, 2, , n.

当 n=2 时,结论显然成立; 假设 n=k 时, Ak ? {?1, 1, x2 , ?, xk } 有性质 P,则 xi ? qi ?1 ,i=1, 2, , k; 当 n=k+1 时,若 Ak ?1 ? {?1, 1, x2 , ?, xk , xk ?1} 有性质 P,则 Ak ? {?1, 1, x2 , ?, xk } 也有性质 P,所以 Ak ?1 ? {?1, 1, q, ?, qk ?1, xk ?1} . 取 a1 ? ( xk ?1, q) ,并设 a2 ? (s, t ) 满足 a1 ? a2 ? 0 ,即 xk ?1s ? qt ? 0 .由此可得 s 与 t 中有 且只有一个为-1. 若 t ? ?1 ,则 s ? 1 ,所以 xk ?1 ?
q s

? q ,这不可能;

所以 s ? ?1 , xk ?1 ? qt ? q ? qk ?1 ? qk ,又 xk ?1 ? q k ?1 ,所以 xk ?1 ? q k . 综上所述, xi ? qi ?1 xi ? qi ?1 ,i=1, 2, , n [解法二]设 a1 ? (s1, t1 ) , a2 ? (s2 , t2 ) ,则 a1 ? a2 ? 0 等价于
s1 t1 t2 ??s 2

.

记 B ? {s | s ? X , t ? X ,| s |?| t |},则数集 X 具有性质 P 当且仅当数集 B 关于 t 原点对称 注意到-1 是 X 中的唯一负数, B ? (??, 0) ? {? x2 , ? x3 , ?, ? xn }共有 n-1 个数, 所以 B ? (0, ? ?) 也只有 n-1 个数. 由于
xn x n ?1
x n ?1 x n?2
xn xn?1

?

xn xn?2

???
xn x2

xn x2

?
xn x1

xn x1

,已有 n-1 个数,对以下三角数阵

?
?

xn x n?2
x n ?1 x n ?3

???
???

?

x n ?1 x1

x2 x1

注意到

xn x1

?

x n ?1 x1

???

x2 x1

,所以

xn x n ?1

?

x n ?1 x n?2

???

x2 x1

,从而数列的通项公式为

2 k ?1 xk ? x1 ( x ) ? q k ?1 ,k=1, 2, , n x1

29.解:(1)? an?1 ? an

? 3,?bn?1 ? bn ? n ? 2 ,?b1 ? 1,?b2 ? 4, b3 ? 8
n3 , 2n ? 7

(2)由 an ?1 ? an ? 2n ? 7 ? bn ?1 ? bn ?

由 bn?1 ? bn ? 0 ? n ? 4 , 即 b4 ? b5 ? b6 ? ? ; 由 bn?1 ? bn ? 0 ? n ? 4 , 即

b1 ? b2 ? b3 ? b4
?k ? 4 .
(3) 由

an?1 ? an ? (?1)n?1 ? bn?1 ? bn ? (?1)n?1 (2n ? n)

,



bn ? bn?1 ? (?1)n (2n?1 ? n ?1)(n ? 2, n ? N * ) , ?b2 ? b1 ? 21 ?1, b3 ? b2 ? (?1)(22 ? 2),?, bn?1 ? bn?2 ? (?1)n?1 (2n?2 ? n ? 2), bn ? bn?1 ? (?1)n (2n?1 ? n ?1)

当 n ? 2k (k ? N * ) 时,以上各式相加得

bn ? b1 ? (2 ? 22 ? ? ? 2n?2 ? 2n?1 ) ? [1 ? 2 ? ? ? (n ? 2) ? (n ? 1)] ?
2 ? 2n n ? 3 2 2 ? 2n n 2n n 5 ? ? 1 ?? ? ? 3 2 3 2 3
*

2 ? 2n?1 (?2) n ? 1 ? (?2) 2

?

? bn ?

当 n ? 2k ?1(k ? N ) 时,

bn ? bn ?1 ? (?1)n?1 (2n ? n) ?

2 ? 2n?1 n ? 1 2n n 13 ? ? 1 ? (2n ? n) ? ? ? ? 3 2 3 2 6

? 2n n 13 ?? 3 ? 2 ? 6 , (n ? 2k ? 1) ? ? bn ? ? , (k ? N * ) n ( n ? 2k ) ?2 n 5 ? ? , ? ?3 2 3
30.解析:(1)设数列

?an ? 的公比为 q ( q ? 0, q ? 1 )
2 4 3

由 a5 , a3 , a4 成等差数列,得 2a3 ? a5 ? a4 ,即 2a1q ? a1q ? a1q 由 a1 ? 0, q ? 0 得 q ? q ? 2 ? 0 ,解得 q1 ? ?2,
2

q2 ? 1(舍去)

∴ q ? ?2 (2)证法一:对任意 k ? N?

Sk ?2 ? Sk ?1 ? 2Sk ? (Sk ?2 ? Sk ) ? (Sk ?1 ? Sk )

? ak ?1 ? ak ?2 ? ak ?1 ? 2ak ?1 ? ak ?1 ? (?2) ? 0
所以,对任意 k ? N? , Sk ?2 , 证法二

Sk , Sk ?1 成等差数列

2a1 (1 ? q k ) 对任意 k ? N? , 2Sk ? 1? q a1 (1 ? q k ? 2 ) a1 (1 ? q k ?1 ) a1 (2 ? q k ? 2 ? q k ?1 ) ? ? 1? q 1? q 1? q 2a1 (1 ? q k ) a1 (2 ? q k ? 2 ? q k ?1 ) ? 1? q 1? q

Sk ?2 ? Sk ?1 ?

2Sk ? ( Sk ? 2 ? Sk ?1 ) ?
?

a1 [2(1 ? q k ) ? (2 ? q k ? 2 ? q k ?1 ) 1? q

?

a1q k 2 (q ? q ? 2) ? 0 1? q

因此,对任意 k ? N? , Sk ?2 ,
31. 解 析 :(Ⅰ) 由

Sk , Sk ?1 成等差数列.
可 得 3a4 ? 84, a4 ? 28, 而 , a9=73, 则 于 是

a3+a4+a5=84,a5=73 ,

5d ? a9 ? a4 ? 45, d ? 9

a1 ? a4 ? 3d ? 28 ? 27 ? 1

an ? 1 ? (n ? 1) ? 9 ? 9n ? 8 ,即 an ? 9n ? 8 .
(Ⅱ)对任意 m∈N﹡, 9 ? 9n ? 8 ? 9
m 2m

,则 9 ? 8 ? 9n ? 9
m

2m

? 8,

即9

m ?1

?

8 8 ? n ? 9 2 m ?1 ? ,而 n ? N * ,由题意可知 bm ? 92m?1 ? 9m?1 , 9 9

于是 S m ? b1 ? b2 ? ? ? bm ? 91 ? 93 ? ? ? 92m?1 ? (90 ? 91 ? ? ? 9m?1 )

?

9 ? 9 2 m?1 1 ? 9 m 9 2 m?1 ? 9 9 m ? 1 9 2 m?1 ? 10 ? 9 m ? 1 9 2 m?1 ? 1 9 m ? ? ? ? ? ? , 1? 9 80 8 80 80 8 1 ? 92

9 2 m?1 ? 1 9 m ? 即 Sm ? . 80 8
32. 【解析】
? 解 : (1) 当 n ? k ? N 时 , S n ? ?

1 2 1 1 n ? kn 取 最 大 值 , 即 8 ? ? k 2 ? k 2 ? k 2 , 故 2 2 2

9 7 9 ? n(n ? 2) ,又 a1 ? S1 ? ,所以 an ? ? n 2 2 2 9 ? 2an n 2 3 n ?1 n ? n ?1 , Tn ? b1 ? b2 ? ? ? bn ? 1 ? ? 2 ? ? ? n ? 2 ? n ?1 (2) 因为 bn ? n 2 2 2 2 2 2 1 1 n 1 n n?2 所以 Tn ? 2Tn ? Tn ? 2 ? 1 ? ? ? ? n ? 2 ? n ?1 ? 4 ? n ? 2 ? n ?1 ? 4 ? n ?1 2 2 2 2 2 2
k ? 4 ,从而 an ? S n ? S n ?1 ?
【点评】 本题考查数列的通项,递推、 错位相减法求和以及二次函数的最值的综合应用. 利用 an ? ?

? S1 (n ? 1), 来实现 an 与 Sn 的相互转化是数列问题比较常见的技巧之一,要注 S ? S n ?1 ? n

意 an ? Sn ? Sn?1 不能用来求解首项 a1 ,首项 a1 一般通过 a1 ? S1 来求解.运用错位相减 法求数列的前 n 项和适用的情况:当数列通项由两项的乘积组成,其中一项是等差数列、 另一项是等比数列.
33. 【答案】解:(1)当 n =4 时,符合条件的集合 A 为: ?2?, ?1, 4?, ?2,3?, ?1,3, 4? ,

∴ f (4) =4. ( 2 )任取偶数 x ? Pn ,将 x 除以 2 ,若商仍为偶数.再除以 2 ,··· 经过 k 次以后.商 必为奇数.此时记商为 m .于是 x =m?2k ,其中 m 为奇数 k ? N * . 由条件知.若 m ? A 则 x ? A ? k 为偶数;若 m ? A ,则 x ? A ? k 为奇数. 于是 x 是否属于 A ,由 m 是否属于 A 确定. 设 Qn 是 Pn 中所有奇数的集合.因此 f (n) 等于 Qn 的子集个数. 当 n 为偶数〔 或奇数)时, Pn 中奇数的个数是

n n ?1 ( ). 2 2

? n 2 ?2 ? n为偶数 ? ∴ f (n)= ? n ?1 . ?2 2 n为奇数 ? ? ?
【考点】集合的概念和运算,计数原理. 【解析】(1)找出 n =4 时,符合条件的集合个数即可. (2)由题设,根据计数原理进行求解.

34. 【答案】解:(1)∵ bn ?1

? 1?

bn an ? bn ,∴ an ?1 ? = an an 2 ? bn 2

bn ?1 ?b ? 1? ? n ? ? an ?
2

2

.



bn ?1 an ?1

2 ? 2 ? ?b ? ?b ? ?b ? ?b ? ?b ? ? 1 ? ? n ? .∴ ? n ?1 ? ? ? n ? ? ? 1 ? ? n ? ? ? ? n ? ? 1? n ? N *? ? ? ? an ? ? an ? ? an?1 ? ? an ? ? ? an ? ? ? ?

2

2

2

.

2 ? ?? bn ? ? ? ∴数列 ?? ? ? 是以 1 为公差的等差数列. a ? ?? n ? ? ?

(2)∵ an > 0,bn > 0 ,∴ ∴ 1 < an?1 ?

? an ? bn ?
2

2

? an 2 ? bn 2 < ? an ? bn ? .
2

an ? bn an 2 ? bn 2

? 2 .(﹡)

设等比数列 {an } 的公比为 q ,由 an > 0 知 q > 0 ,下面用反证法证明 q =1 若 q > 1, 则 a1 =

a2 2 < a2 ? 2 ,∴当 n > log q 时, an?1 ? a1qn > 2 ,与(﹡)矛盾. q a1 a2 1 > a2 > 1 ,∴当 n > log q 时, an?1 ? a1qn <1 ,与(﹡)矛盾. q a1

若 0 < q < 1, 则 a1 =

∴综上所述, q =1 .∴ an ? a1 ? n ? N *? ,∴ 1 < a1 ? 2 . 又∵ bn?1 ? 2 ?

bn 2 2 的等比数列. = ? bn ? n ? N *? ,∴ {bn } 是公比是 an a1 a1

若 a1 ? 2 ,则

2 > 1 ,于是 b1 < b2 < b3 . a1
即 a1 ?

又由 a n ?1 ?

a n ? bn a n ? bn
2 2

a1 ? bn a12 ? bn 2

,得 bn =

a1 ? a12 2 ? a12 a12 ? 1

.

∴ b1,b2,b3 中至少有两项相同,与 b1 < b2 < b3 矛盾.∴ a1 = 2 .

∴ bn =

2?

? 2? ? 2?
2

2?
2

? 2?

2

?1

= 2.

∴ a1 =b2 = 2 . 【考点】等差数列和等比数列的基本性质,基本不等式,反证法. 【解析】(1)根据题设 a n ?1 ?
2 2

a n ? bn a n ? bn
2 2

和 bn ?1 ? 1 ?

bn ?b ? b ,求出 n ?1 ? 1 ? ? n ? ,从 an ?1 an ? an ?

2

?b ? ?b ? 而证明 ? n ?1 ? ? ? n ? ? 1 而得证. ? an ?1 ? ? an ?

(2) 根据基本不等式得到 1 < an?1 ? 比 q =1 .

an ? bn an 2 ? bn 2

? 2 , 用反证法证明等比数列 {an } 的公

从而得到 an ? a1 ? n? N *? 的结论 , 再由 bn?1 ? 2 ? 等比数列.最后用反证法求出 a1 =b2 = 2 .
35. 【解析】

bn 2 2 的 = ? bn 知 {bn } 是公比是 an a1 a1

解(1)对任意 n ? N ,三个数 A(n), B(n), C (n) 是等差数列,所以

?

B(n) ? A(n) ? C (n) ? B(n),
即 an?1 ? a1 ? an?2 , 亦即 an?2 ? an?1 ? a2 ? a1 ? 4. 故数列 ?an ? 是首项为 1,公差为 4 的等差数列.于是 an ? 1 ? (n ?1) ? 4 ? 4n ? 3. (Ⅱ)(1)必要性:若数列 ?an ? 是公比为 q 的等比数列,则对任意 n ? N ,有
?

an?1 ? anq . 由 an ? 0 知, A(n), B(n), C (n) 均大于 0,于是
B(n) a2 ? a3 ? ... ? an?1 q(a1 ? a2 ? ... ? an ) ? ? ? q, A(n) a1 ? a2 ? ... ? an a1 ? a2 ? ... ? an C (n) a3 ? a4 ? ... ? an?2 q(a2 ? a3 ? ... ? an?1) ? ? ? q, B(n) a2 ? a3 ? ... ? an?1 a2 ? a3 ? ... ? an?1


B (n) C (n) = = q ,所以三个数 A(n), B(n), C (n) 组成公比为 q 的等比数列. A( n ) B ( n )
?

(2)充分性:若对于任意 n ? N ,三个数 A(n), B(n), C (n) 组成公比为 q 的等比数列, 则

B(n) ? qA(n), C (n) ? qB(n) ,
于是 C(n) ? B(n) ? q ? B(n) ? A(n)?, 得 an?2 ? a2 ? q(an?1 ? a1 ), 即

an?2 ? qan?1 ? a2 ? a1.
由 n ? 1 有 B(1) ? qA(1), 即 a2 ? qa1 ,从而 an?2 ? qan?1 ? 0 . 因为 an ? 0 ,所以

an ? 2 a2 ? ? q ,故数列 ?an ? 是首项为 a1 ,公比为 q 的等比数列, an ?1 a1

综上所述,数列 ?an ? 是公比为 q 的等比数列的充分必要条件是:对任意 n∈N﹡,三个数

A(n), B(n), C (n) 组成公比为 q 的等比数列.
【点评】本题考查等差数列、等比数列的定义、性质及充要条件的证明.第一问由等差 数列定义可得;第二问要从充分性、 必要性两方面来证明,利用等比数列的定义及性质易 得证. 36.考点分析:考察等差等比数列的通项公式,和前 n 项和公式及基本运算. 解析:(Ⅰ)设等差数列 {an } 的公差为 d ,则 a2 ? a1 ? d , a3 ? a1 ? 2d ,
?3a ? 3d ? ?3, ?a ? 2, ?a ? ?4, 由题意得 ? 1 解得 ? 1 或? 1 ?d ? ?3, ?d ? 3. ?a1 (a1 ? d )(a1 ? 2d ) ? 8.

所以由等差数列通项公式可得
an ? 2 ? 3(n ? 1) ? ?3n ? 5 ,或 an ? ?4 ? 3(n ? 1) ? 3n ? 7 .

故 an ? ?3n ? 5 ,或 an ? 3n ? 7 . (Ⅱ)当 an ? ?3n ? 5 时, a 2 , a3 , a1 分别为 ?1 , ?4 , 2 ,不成等比数列; 当 an ? 3n ? 7 时, a 2 , a3 , a1 分别为 ?1 , 2 , ?4 ,成等比数列,满足条件.
??3n ? 7, n ? 1, 2, 故 | an |?| 3n ? 7 |? ? ? 3n ? 7, n ? 3.

记数列 {| an |} 的前 n 项和为 S n . 当 n ? 1 时, S1 ?| a1 |? 4 ;当 n ? 2 时, S2 ?| a1 | ? | a2 |? 5 ; 当 n ? 3 时,
Sn ? S2 ? | a3 | ? | a4 | ??? | an | ? 5 ? (3 ? 3 ? 7) ? (3 ? 4 ? 7) ? ? ? (3n ? 7)

?5?

(n ? 2)[2 ? (3n ? 7)] 3 2 11 ? n ? n ? 10 . 当 n ? 2 时,满足此式. 2 2 2

n ? 1, ?4, ? 综上, Sn ? ? 3 2 11 n ? n ? 10, n ? 1. ? ?2 2

?2a1 ? a2 ? 3 ? 37.解析:(Ⅰ)由 ?2 ? a1 ? a2 ? ? a3 ? 7 ,解得 a1 ? 1 . ? ?2 ? a2 ? 5 ? ? a1 ? a3
n ? 1 (Ⅱ) 由 2Sn ? an?1 ? 2n?1 ? 1 可 得 2Sn?1 ? an ? 2 ( n ? 2 ), 两 式 相 减 , 可 得

2an ? an?1 ? an ? 2n , 即 an?1 ? 3an ? 2n , 即 an?1 ? 2n?1 ? 3 an ? 2n

?

?

, 所 以 数 列

?a

n

? 2n ? ( n ? 2 ) 是 一 个 以 a2 ? 4 为 首 项 ,3 为 公 比 的 等 比 数 列 . 由 2a1 ? a2 ? 3 可

得 , a2 ? 5 , 所以 an ? 2n ? 9 ? 3n?2 , 即 an ? 3n ? 2n ( n ? 2 ), 当 n ? 1 时 , a1 ? 1 , 也满足该 式子,所以数列 ?an ? 的通项公式是 an ? 3n ? 2n .
n ?1 n ?1 n n1 ? 2? 2 ?, 2 (Ⅲ) 因 为 3n ? 3n?1 ? 2 ? 3 所 以 3n ? 2n ? 3? ,所以

1 1 ? ,于是 an 3n ?1

?1? 1? ? ? n 1 1 1 1 1 3? ?1? ? 3 3? ? ? ? ? ? ? 1 ? ? ? ? n ?1 ? ? ?1 ? ? ? ? ? . 1 a1 a2 an 3 3 2? ? 2 ? ?3? ? 1? 3
n 1 1 1 3? ?1? ? 点评 : 上述证法实质上是证明了一个加强命题 ? ? ? ? ? ?1 ? ? ? ? , 该加强 a1 a2 an 2 ? ? ? ? 3? ?

n

命题的思考过程如下. 考虑构造一个公比为 q 的等比数列 ?bn ? , 其前 n 项和为 Tn ?

b1 ?1 ? q n ? 1? q

, 希望能得到

n b1 ?1 ? q n ? b 3 b 1 1 1 b1 ?1 ? q ? 3 , 考虑到 ? ??? ? ? ? 1 , 所以令 1 ? 即可 . 由 1? q 2 a1 a2 an 1? q 2 1? q 1? q

an 的通项公式的形式可大胆尝试令 q ?
1 1 ? bn ? n ?1 就可以了. an 3
当然, q 的选取并不唯一,也可令 q ? 在于,当 n ? 1 时,

1 1 , 则 b1 ? 1 , 于是 bn ? n?1 , 此时只需证明 3 3

3 1 3 1 ,此时 b1 ? , bn ? n?1 ,与选取 q ? 不同的地方 4 2 2 3

1 1 ? bn ,当 n ? 2 时, ? bn ,所以此时我们不能从第一项就开始放缩, an an

应该保留前几项,之后的再放缩,下面给出其证法. 当
n ?1 时 ,

1 3 ?1? ; 当 n?2 a1 2

时 ,

1 1 1 3 ? ?1? ? a1 a2 5 2

; 当 n?3

时,

1 1 1 1 1 3 ? ? ?1? ? ? . a1 a2 a3 5 19 2 1 ? bn ,所以 an

当 n ? 4 时,

1 1 1 1 1 ? ?? ? ?1? ? ? a1 a2 an 5 19
综上所述,命题获证. 下面再给出

3 ? ?1? ?1 ? ? ? 32 ? ? ?2? 1? 1 2

n ?3

? ? ? ? ?1? 1 ? 1 ? 3 ? 3 . 5 19 16 2

1 1 1 3 ? ? ? ? ? 的两个证法. a1 a2 an 2

法 1:(数学归纳法) ①当 n ? 1 时,左边 ?

1 3 ? 1 ,右边 ? ,命题成立. a1 2
1 3 ? 成立.为了证明当 n ? k ? 1 时命 i 2 i ?1 3 ? 2
i k

②假设当 n ? k ( k ? 2 , k ? N )时成立,即 ? 题也成立,我们首先证明不等式:
i ?1

1 1 1 ( i ? 1 , i ? N ). ? ? i i ?1 3 ?2 3 3 ? 2i 1 1 1 1 1 要证 i ?1 ,只需证 i ?1 ,只需证 3i ?1 ? 2i ?1 ? 3i ?1 ? 3 ? 2i , ? ? i ? i ?1 i ?1 i i ?1 i 3 ?2 3 ? 3? 2 3 ?2 3 3 ?2 1 1 1 只需证 ?2i ?1 ? ?3 ? 2i ,只需证 ?2 ? ?3 ,该式子明显成立,所以 i ?1 . ? ? i i ?1 3 ?2 3 3 ? 2i k ?1 k ?1 1 1 1 1 k 1 1 3 3 ? ? ? 1 ? ? 1 ? ? ? ,所以命 于是当 n ? k ? 1 时, ? i ? ? i i i i i 3 ? 2 i ?2 3 ? 2 3 i ?1 3 ? 2 3 2 2 i ?1 3 ? 2
题在 n ? k ? 1 时也成立. 综合①②,由数学归纳法可得,对一切正整数 n ,有

1 1 1 3 ? ?? ? ? . a1 a2 an 2

备注:不少人认为当不等式的一边是常数的时候是不能用数学归纳法的 ,其实这是一个 错误的认识. 法 2:(裂项相消法)(南海中学钱耀周提供) 当 n ? 1 时,

1 3 1 1 1 3 ? 1 ? 显然成立.当 n ? 2 时, ? ? 1 ? ? 显然成立. a1 2 a1 a2 5 2
n

1 2 n ?1 当 n ? 3 时, an ? 3n ? 2n ? ?1 ? 2? ? 2n ? 1 ? Cn ? 2 ? Cn ? 22 ? ? ? Cn ? 2n?1 ? 2n ? 2n

1 2 n ?1 2 ? 1 ? Cn ? 2 ? Cn ? 22 ? ? ? Cn ? 2n?1 ? Cn ? 22 ? 2n ? n ? 1? , 又因 为 a2 ? 5 ? 2 ? 2 ? ? 2 ? 1? ,

所以 an ? 2n ? n ? 1? ( n ? 2 ),所以

1 1 1? 1 1? ? ? ? ? ? ( n ? 2 ),所以 an 2n ? n ? 1? 2 ? n ? 1 n ?

1 1 1 1 1? 1 1 1 1 1? 1? 1? 3 ? ? ? ? ? ? 1 ? ?1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1 ? ?1 ? ? ? . a1 a2 a3 an 2? 2 3 4 n ?1 n ? 2? n? 2
综上所述,命题获证.

38. 【命题意图】本试题主要考查了数列的通项公式以及函数与数列相结全的综合运用.先

从函数入手,表示直线方程,从而得到交点坐标,再运用数学归纳法进行证明,根据递推 公式构造等比数列进而求得数列的通项. 解:(1)为 f (4) ? 42 ? 8 ? 3 ? 5 ,故点 P(4,5) 在函数 f ( x ) 的图像上,故由所给出的两点

P(4,5), Qn ( xn , f ( xn )) ,可知,直线 PQn 斜率一定存在.故有
直线 PQn 的直线方程为 y ? 5 ?

f ( xn ) ? 5 ( x ? 4) ,令 y ? 0 ,可求得 xn ? 4

?5 ?

xn 2 ? 2 xn ? 8 4x ? 3 ?5 ( x ? 4) ? ? x?4? x ? n xn ? 4 xn ? 2 xn ? 2
4 xn ? 3 xn ? 2

所以 xn ?1 ?

下面用数学归纳法证明 2 ? xn ? 3 当 n ? 1 时, x1 ? 2 ,满足 2 ? x1 ? 3 假设 n ? k 时, 2 ? xk ? 3 成立,则当 n ? k ? 1 时, xk ?1 ?

4 xk ? 3 5 , ? 4? xk ? 2 xk ? 2




2 ? xk ? 3 ? 4 ? xk ? 2 ? 5 ? 1 ?

5 5 11 5 ? ? 2 ? ? 4? ?3 xk ? 2 4 4 xk ? 2

2 ? xk ?1 ? 3 也成立
综上可知 2 ? xn ? 3 对任意正整数恒成立. 下面证明 xn ? xn?1 由 xn?1 ? xn ?

4 xn ? 3 4 x ? 3 ? xn 2 ? 2 xn ?( xn ? 1)2 ? 4 ? xn ? n ? xn ? 2 xn ? 2 xn ? 2
2

由 2 ? xn ? 3 ? 1 ? xn ?1 ? 2 ? 0 ? ?( xn ?1) ? 4 ? 3 ,故有 xn?1 ? xn ? 0 即 xn ? xn?1 综上可知 2 ? xn ? xn?1 ? 3 恒成立. (2) 由 xn ?1 ?

4x ? 3 4 xn ? 3 2 得到该数列的一个特征方程 x ? 即 x ? 2 x ? 3 ? 0 , 解得 x?2 xn ? 2

x ? 3 或 x ? ?1

? xn?1 ? 3 ?

4 xn ? 3 x ?3 ?3 ? n xn ? 2 xn ? 2



xn?1 ? (?1) ?

4 xn ? 3 5x ? 5 ② ?1 ? n xn ? 2 xn ? 2

两式相除可得

xn ?1 ? 3 1 xn ? 3 x ?3 2?3 1 ,而 1 ? ? ? ?? x1 ? 1 2 ? 1 3 xn ?1 ? 1 5 xn ? 1

故数列 ?

? xn ? 3 ? 1 1 ? 是以 ? 为首项以 为公比的等比数列 3 5 ? xn ? 1 ?

xn ? 3 9 ? 5n ?1 ? 1 4 1 1 ? 3? . ? ? ? ( )n?1 ,故 xn ? n ?1 3? 5 ?1 3 ? 5n?1 ? 1 xn ? 1 3 5
法 二 ( 先 完 成 Ⅱ, 用 Ⅱ 证 Ⅰ):(Ⅱ) Q PQn 的 方 程 为

y ?5 ? x?4 , 令 y ? 0 得 x ? 2xn ? 3? 5 xn ? 4
2 n

xn?1 ? 4 ? 5 xn ? 2
(不动点法) 令 x ? 4 ? 5 ,得函数 g ( x) ? 4 ? 4 的不动点 x1 ? ?1, x2 ? 3 . x?2 x?2

5(x ?1) ?xn?1 ?1? 5? 5 ? n xn ? 2 xn ? 2 (x ?3) ?xn?1 ?3 ?1? 5 ? n xn ? 2 xn ? 2
上两式相除得

xn?1 ?1 x ?1 x ?1 是等比数列,其中公比 q ? 5 ,首项为 ? 5? n .可见数列 n xn?1 ? 3 xn ? 3 xn ? 3

? ?

x1 ?1 x ?1 4 (n? N ? ) 即为所求. ? ?3 . ? n ??3?5n?1 ? xn ? 3? x1 ? 3 xn ?3 3?5n?1 ?1
(Ⅰ)①由上知 xn ? 3? ②又 xn?1 ? 3? ③易见,数列

4 4 ) ? 2 (当 n ?1 时). ? 2 ? (1? 3?5n?1 ?1 3?5n?1 ?1

4 ? 3 (当 n ?1 时). 3?5n ?1

?3?54 ?1? (n? N ) 单调递减,所以数列 ?3? 3?54 ?1? (n? N ) 单调递增,即
n?1
?

n?1

?

xn ? xn?1 . 综合①②③得: 2 ? xn ? xn?1 ? 3 . 【点评】 以函数为背景,引出点的坐标,并通过直线与坐标轴的交点得到数列的递推公式. 既考查了直线方程,又考查了函数解析式,以及不等式的证明,试题比较综合,有一定的 难度.做这类试题那就是根据已知条件,一步一步的翻译为代数式,化简得到要找的关系 式即可.
39. 【考点定位】此题作为压轴题难度较大,考查学生分析问题解决问题的能力,考查学生严

谨的逻辑思维能力. 解 :(1)











r1 ? A? ? 1.2 , r2 ? A? ? ?1.2 , c1 ? A? ? 1.1 , c2 ? A? ? 0.7 , c3 ? A? ? ?1.8 ∴ k ? A? ? 0.7

(2)先用反证法证明 k ? A?≤ 1: 若 k ? A? ? 1 则 | c1 ? A? |?| a ? 1|? a ? 1 ? 1 ,∴ a ? 0 由题目所有数和为 0 即 a ? b ? c ? ?1

同 理 可 知 b ? 0 ,∴ a ? b ? 0 ∴ c ? ?1 ? a ? b ? ? 1 与题目条件矛盾 ∴ k ? A?≤ 1. 易知当 a ? b ? 0 时, k ? A? ? 1 存在 (3) k ? A? 的最大值为

∴ k ? A? 的最大值为 1

2t ? 1 . t?2 2t ? 1 首先构造满足 k ( A) ? 的 A ? {ai, j }(i ? 1,2, j ? 1,2,...,2t ?1) : t?2 t ?1 , a1,1 ? a1,2 ? ... ? a1,t ? 1, a1,t ?1 ? a1,t ?2 ? ... ? a1,2t ?1 ? ? t?2

a2,1 ? a2,2

t 2 ? t ?1 ? ... ? a2,t ? , a2,t ?1 ? a2,t ?2 ? ... ? a2,2t ?1 ? ?1 . t (t ? 2)
2t ? 1 , t?2

经计算知, A 中每个元素的绝对值都小于 1,所有元素之和为 0,且

| r1 ( A) |?| r2 ( A) |?

| c1 ( A) |?| c2 ( A) |? ... ?| ct ( A) |? 1 ?

t 2 ? t ?1 t ? 1 2t ? 1 , ?1? ? t (t ? 2) t ?2 t ?2
t ? 1 2t ? 1 . ? t?2 t?2

| ct ?1 ( A) |?| ct ? 2 ( A) |? ... ?| c2t ?1 ( A) |? 1 ?
下面证明

2t ? 1 是 最 大 值 . 若 不 然 , 则 存 在 一 个 数 表 A ? S (2, 2t ? 1) , 使 得 t?2 2t ? 1 . k ( A) ? x ? t?2

由 k ( A) 的定义知 A 的每一列两个数之和的绝对值都不小于 x ,而两个绝对值不超过 1 的数的和,其绝对值不超过 2,故 A 的每一列两个数之和的绝对值都在区间 [ x, 2] 中. 由 于 x ? 1 ,故 A 的每一列两个数符号均与列和的符号相同,且绝对值均不小于 x ? 1 . 设 A 中有 g 列的列和为正,有 h 列的列和为负,由对称性不妨设 g ?h ,则

g ? t, h ? t ? 1 . 另外,由对称性不妨设 A 的第一行行和为正,第二行行和为负.
考虑 A 的第一行,由前面结论知 A 的第一行有不超过 t 个正数和不少于 t ? 1 个负数,每 个正数的绝对值不超过 1(即每个正数均不超过 1),每个负数的绝对值不小于 x ? 1 (即每 个负数均不超过 1 ? x ). 因此

| r1 ( A) |? r1 ( A) ? t ?1 ? (t ?1)(1 ? x) ? 2t ?1 ? (t ?1) x ? x ? ? 2t ?1 ? (t ? 2) x ? ? x ,
故 A 的第一行行和的绝对值小于 x ,与假设矛盾. 因此 k ? A? 的最大值为

2t ? 1 . t?2

40. 【解析】(I)必要条件
2 当 c ? 0 时, xn?1 ? ? xn ? xn ? c ? xn ? 数列 {xn } 是单调递减数列

充分条件
2 数列 {xn } 是单调递减数列 ? x1 ? x2 ? ? x1 ? x1 ? c ? c ? x12 ? 0

得:数列 {xn } 是单调递减数列的充分必要条件是 c ? 0 (II)由(I)得: C ? 0 ①当 c ? 0 时, an ? a1 ? 0 ,不合题意 ②当 c ? 0 时, x2 ? c ? x1 , x3 ? ?c2 ? 2c ? x2 ? c ? 0 ? c ? 1
2 2 xn?1 ? xn ? c ? xn ? 0 ? xn ? c ? 1 ? 0 ? x1 ? xn ? c
2 2 xn?2 ? xn?1 ? ?( xn ?1 ? xn ) ? ( xn?1 ? xn ) ? ?( xn?1 ? xn )( xn?1 ? xn ?1)

当c ?

1 1 时, xn ? c ? ? xn ? xn ?1 ? 1 ? 0 ? xn ? 2 ? xn ?1 与 xn?1 ? xn 同号, 4 2

由 x2 ? x1 ? c ? 0 ? xn?2 ? xn ? 0 ? xn?1 ? xn
2 lim xn?1 ? lim(? xn ? xn ? c) ? lim xn ? c n?? n?? n??

当c ?

1 1 时,存在 N ,使 xN ? ? xN ? xN ?1 ? 1 ? xN ? 2 ? xN ?1 与 xN ?1 ? xN 异号 4 2

与数列 {xn } 是单调递减数列矛盾 得:当 0 ? c ?

1 时,数列 {xn } 是单调递增数列 4

2011 年高考试题数学(理科)
数列
一、选择题:

1. (2011 年高考天津卷理科 4)已知 ?an ? 为等差数列, 其公差为-2, 且 a7 是 a3 与 a9 的等比中 项, Sn 为 ?an ? 的前 n 项和, n ? N ,则 S10 的值为
*

A.-110

B.-90

C.90

D.110

已知 ?an ? 为等差数列,其公差为-2,且 a7 是 a3 与 a9 的等比中项,

Sn 为 ?an ? 的前 n 项和, n ? N * ,则 S10 的值为
B.-90

A.-110 【答案】D.

C.90

D.110

2 【解析】∵ a7 ? a3 ? a9 , d ? ?2 ,∴ (a1 ? 12) 2 ? (a1 ? 4)(a1 ? 16) ,解之得 a1 ? 20 ,

∴ s10 ? 10 ? 20 ?

10 ? 9 (?2) ? 110 . 2

2. (2011 年高考江西卷理科 5)已知数列 {an } 的前 n 项和 S n 满足: S n ? S m ? S n? m ,且 a1 ? 1 , 那么 a10 ? ( A. 1 答案:A 解析:? S2 ? a1 ? a2 ? 2S1 ,? a2 ? 1 ) B. 9 C. 10 D. 55

? S3 ? S1 ? S2 ? 3,?a3 ? 1 ,? S4 ? S1 ? S3 ? 4,?a4 ? 1 ,? a10 ? 1

S A?2 ? Sn ? 24 ,则 k ?
(A)8 【答案】D 【解析】 Sk ?2 ? Sk ? ak ?2 ? ak ?1 ? a1 ? (k ? 2 ? 1)d ? a1 ? (k ? 1 ?1)d (B)7 (C)6 (D)5

? 2a1 ? (2k ? 1)d ? 2 ?1 ? (2k ? 1) ? 2 ? 4k ? 4 ? 24 ? k ? 5 故选 D。
5.(2011 年高考上海卷理科 18)设 {an } 是各项为正数的无穷数列, Ai 是边长为 ai , ai ?1 的矩形 面积( i ? 1, 2,? ) ,则 { An } 为等比数列的充要条件为( A. {an } 是等比数列。 B. a1 , a3 ,?, a2n?1 ,? 或 a2 , a4 ,?, a2 n ,?是等比数列。 C. a1 , a3 ,?, a2n?1 ,? 和 a2 , a4 ,?, a2 n ,?均是等比数列。 D. a1 , a3 ,?, a2n?1 ,? 和 a2 , a4 ,?, a2 n ,?均是等比数列,且公比相同。 【命题意图】本题考查等比数列的概念及充要条件的判断问题,难度较大. 【答案】D 【解析】由题意知 Ai = ai ai ?1 , 若 { An } 是等比数列,则 )

An ?1 an ?1an ? 2 an ? 2 A a A a = = 为非 0 常数,即 2 = 3 , 3 = 4 ,??, An an an ?1 an A1 a1 A2 a2

∴ a1 , a3 , a5 ,? 和 a2 , a4 , a6 ,? 成等比数列,且公比相等; 反之, 若奇数项和偶数项分别成等比数列, 且公比相等, 设为 q , 则 是等比数列,故选 D. 二、填空题 1. (2011 年 高 考 广 东 卷 理 科 12) 设 Sn 是 等 差 数 列 {an }(n ? N * ) 的 前 n 项 和 , 且

An ?1 an ? 2 = =q , 则 { An } An an

a1 ? 1, a4 ? 7 ,则 S5 ? ______
答案:25 解析:由 a1 ? 1, a4 ? 7 可得 a1 ? 1, d ? 2, an ? 2n ?1,所以 S5 ?

(1 ? 9) ? 5 ? 25 。 2

2. (2011 年高考广东卷理科 11)等差数列 ?an ? 前 9 项的和等于前 4 项的和.若

a1 ? 1, ak ? a4 ? 0 ,则 k ?
【答案】10

.

4?3 ? 9?8 d ? 4? d 1 ?9 ? 【解析】由题得 ? ?d ? ? 2 2 6 ? ?1 ? (k ? 1)d ? 1 ? 3d ? 0

k ? 10

3. (2011 年高考湖北卷理科 13)《九章算术》 “竹九节”问题:现有一根 9 节的竹子,自下 而下各节的容积成等差数列,上面 4 节的容积共 3 升,下面 3 节的容积共 4 升,则第 5 节的 容积为 答案: 升

67 66

解析: 设从上往下的 9 节竹子的容积依次为 a1,a2,, ??, a9, 公差为 d, 则有 a1+a2+a3+a4=3, a7+a8+a9=4,即 4a5-10d=3,3a5+9d=4,联立解得: a5 ?

67 67 .即第 5 节竹子的容积 . 66 66

4.(2011 年高考陕西卷理科 14)植树节某班 20 名同学在一段直线公路一侧植树,每人植一 棵,相邻两棵树相距 10 米,开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边,使每位同学从各自 树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小,这个最小值为 【答案】2000 【解析】设树苗集中放置在第 i 号坑旁边,则 20 名同学返所走的路程总和为 (米) 。

l ? 2[(i ?1) ? (i ? 2) ? ? ?2 ? 1 ?1 ? 2 ? ? ? (19 ? i) ? (20 ? i)] ?10
2 = (i ? 21i ? 210) ? 20 ? [(i ?

21 2 399 ) ? ] ? 20 即 i ? 10或11 时 lmin ? 2000 . 2 4

5.(2011 年高考重庆卷理科 11)在等差数列 ?an ? 中, a3 ? a7 ? 37 ,则 a2 ? a4 ? a6 ? a8 ? 解析:74. a2 ? a8 ? a4 ? a6 ? a3 ? a7 ? 37 ,故 a2 ? a4 ? a6 ? a8 ? 2 ? 37 ? 74 6.(2011 年高考江苏卷 13)设 1 ? a1 ? a2 ? ? ? a7 ,其中 a1 , a3 , a5 , a7 成公比为 q 的等比数 列, a 2 , a 4 , a6 成公差为 1 的等差数列,则 q 的最小值是________ 【答案】 3 3 【解析】 考察综合运用等差、 等比的概念及通项公式, 不等式的性质解决问题的能力, 难题。 由题意: 1 ? a1 ? a2 ? a1q ? a2 ? 1 ? a1q ? a2 ? 2 ? a1q ,
2 3

?a2 ? q ? a2 ? 1, a2 ? 1 ? q2 ? a2 ? 2
而? a2 ? 1 , a1 ? 1 , ?a , 2 a2 1 ,? a22? q3 ? a2 ? 2 ? 3 , 的最小值分别为 1, 2, 3; ?qmin ? 3 3 。

7. (2011 年高考北京卷理科 11)在等比数列{an}中, a1=

1 , a4=-4, 则公比 q=______________; 2

a1 ? a2 ? ... ? an ? ____________。
【答案】—2 三、解答题: 1. (2011 年高考山东卷理科 20)(本小题满分 12 分) 等比数列 ?an ? 中, a1 , a2 , a3 分别是下表第一、二、三行中的某一个数,且 a1 , a2 , a3 中 的任何两个数不在下表的同一列. 第一列 第一行 第二行 第三行 3 6 9 第二列 2 4 8 第三列 10 14 18

2 n ?1 ?

1 2

(Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)若数列 ?bn ? 满足: bn ? an ? (?1)ln an ,求数列 ?bn ? 的前 2 n 项和 S 2 n . 【解析】 (I)当 a1 ? 3 时,不合题意; 当 a1 ? 2 时,当且仅当 a2 ? 6, a3 ? 18 时,符合题意; 当 a1 ? 10 时,不合题意。 因此 a1 ? 2, a2 ? 6, a3 ? 18, 所以公式 q=3, 故 an ? 2 ? 3n?1. (II)因为 bn ? an ? (?1)n ln an

? 2 ? 3n ?1 ? (?1) n (2 ? 3n ?1 ) ? 2 ? 3n ?1 ? (?1) n [ln 2 ? (n ? 1) ln 3] ? 2 ? 3n ?1 ? (?1) n (ln 2 ? ln 3) ? (?1) n n ln 3,
所以

S2n ? 2(1 ? 3 ??? 32n?1 ) ? [?1 ?1 ?1 ? ?? (?1)2n ](ln 2 ? ln3) ? [?1 ? 2 ? 5 ? ?? (?1) n n]ln3,

所以 当 n 为偶数时, Sn ? 2 ?

1 ? 3n n ? ln 3 1? 3 2

n ? 3n ? ln 3 ? 1; 2
当 n 为奇数时, Sn ? 2 ?

1 ? 3n n ?1 ? (ln 2 ? ln 3) ? ( ? n) ln 3 1? 3 2

? 3n ?

n ?1 ln 3 ? ln 2 ? 1. 2

? n n 3 ? ln 3 ? 1, n为偶数 ? ? 2 综上所述, S n ? ? ?3n - n ? 1 ln3-ln2-1,n为奇数 ? ? 2
2.(2011 年高考辽宁卷理科 17)(本小题满分 12 分) 已知等差数列{an}满足 a2=0,a6+a8= -10 (I)求数列{an}的通项公式; (II)求数列 ?

? an ? 的前 n 项和. n ?1 ? ?2 ?

(I)设等差数列 {an } 的公差为 d,由已知条件可得 ?

?a1 ? d ? 0, ?2a1 ? 12d ? ?10,

解得 ?

? a1 ? 1, ? d ? ?1.
………………5 分

故数列 {an } 的通项公式为 an ? 2 ? n. (II)设数列 {

an a a }的前n项和为Sn ,即 Sn ? a1 ? 2 ? ? ? nn , 故S1 ? 1 , n ?1 2 2 2 ?1

Sn a1 a2 a ? ? ??? n . 2 2 4 2n
所以,当 n ? 1 时,

Sn a ?a a a ? a1 ? a1 ? 2 ? ? ? n n ?1n ?1 ? n 2 2 2 2n 1 1 1 2?n ? 1 ? ( ? ? ? ? n ?1 ? n ) 2 4 2 2 1 2?n ? 1 ? (1 ? n ?1 ) ? n 2 2
n . 2n
所以 S n ?

n 2 n ?1

.

综上,数列 {

an n }的前n项和Sn ? n ?1 . n ?1 2 2

3.(2011 年高考浙江卷理科 19)(本题满分 14 分)已知公差不为 0 的等差数列 {an } 的首项

a1 ? a ( a ? R ),设数列的前 n 项和为 Sn ,且
的通项公式及 Sn (Ⅱ)记 An ?

1 1 1 , , 成等比数列(Ⅰ)求数列 {an } a1 a2 a4

1 1 1 1 1 1 1 1 ,当 ? ? ? ... ? , Bn ? ? ? ? ... ? S1 S2 S3 Sn a1 a2 a22 a2n

n ? 2 时,试比较 An 与 Bn 的大小.[
【解析】 (Ⅰ)

1 1 1 2 ? ? ? a2 ? a1a4 ? (a1 ? d )2 ? a1 (a1 ? 3d ) ? d ? a1 ? a 2 a2 a1 a4

则 an ? a1 ? (n ?1)d ? a1 ? (n ?1)a1 ? na1 ? na ,

n(n ? 1) n(n ? 1) n(n ? 1) d ? an ? a? a 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 (Ⅱ) An ? ? ? ? ... ? ? ? ? ? ... ? 2?3 3? 4 n(n ? 1) S1 S2 S3 Sn 1? 2 a a a a 2 2 2 2 2 1 2 1 ? ? a 1? 2 a 2 ? 3 Sn ? a1n ?
? 2 1 2 1 2 1 ?? ? ? (1 ? ) a 3? 4 a n(n ? 1) a n ?1

1 1 ? ( )n 2 1 1 1 1 1 n 2 ? (1 ? 1 ) 因为 a2n ? 2 a ,所以 Bn ? ? ? ? ? ? ... ? a 2n a1 a2 a22 a2n?1 a 1 ? 1 2

0 1 2 n 当 n ? 2 时, 22 ? Cn ? Cn ? Cn ??? Cn ? n ?1 即1 ?

1 1 ? 1? n ; n ?1 2

所以当 a ? 0 时, An ? Bn ;当 a ? 0 时, An ? Bn . 4.(2011 年高考安徽卷理科 18)(本小题满分 13 分) 在数 1 和 100 之间插入 n 个实数, 使得这 n ? 2 个数构成递增的等比数列, 将这 n ? 2 个 数的乘积记作 Tn ,再令 an ? lg Tn, n≥1 . (Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ)设 bn ? tan an ? tan an?1, 求数列 {bn } 的前 n 项和 Sn . 【命题意图】 :本题考查等比和等差数列,指数和对数运算,两角差的正切公式等基本知 识,考查灵活运用知识解决问题的能力,综合运算能力和创新思维能力。 【解析】 : (Ⅰ) t1 , t2 ,……,tn?2 构成递增的等比数列,其中 t1 ? 1 , tn?2 ? 100 ,则

Tn ? t1 ? t2 ?……? tn?1 ? tn?2 Tn ? tn?2 ? tn?1 ?……? t2 ? t1

① ②

①×②并利用等比数列性质 tn?2 ? t1 ? tn?1 ? t2 ? ……=t1 ? tn?2 ? 102 得

Tn2 ? (tn?2 ? t1 ) ? (tn?1 ? t2 ) ?……?(t1 ? tn?2 ) ? 102( n?2) an ? lg Tn ? lg10n?2 ? n ? 2 , n ? 1
(Ⅱ)由(Ⅰ)知 bn ? tan an ? tan an?1 ? tan(n ? 2) ? tan(n ? 3) , n ? 1 又? tan[(n ? 3) ? tan(n ? 2)] ?

tan(n ? 3) ? tan(n ? 2) ? tan1 1 ? tan(n ? 2) ? tan(n ? 3)

? tan(n ? 2) ? tan(n ? 3) ?

tan(n ? 3) ? tan(n ? 2) ?1 tan1

所以数列 {bn } 的前 n 项和为

S n ? tan(1 ? 2) ? tan(1 ? 3) ? tan(2 ? 2) ? tan(2 ? 3) ? …… ? tan( n ? 2) ? tan( n ? 3) tan(1 ? 3) ? tan(1 ? 2) tan(2 ? 3) ? tan(2 ? 2) tan( n ? 3) ? tan( n ? 2) ? ? …… ? ?n tan1 tan1 tan1 tan(n ? 2) ? tan 3 ? ?n tan1 ?

【解题指导】 :做数列题时应优先运用数列的相关性质,本题考查的是等比数列前 n 项积,自然想到等比数列性质: tn?2 ? t1 ? tn?1 ? t2 ? ……=t1 ? tn?2 ? 102 ,倒序相乘法是借鉴 倒序相加法得到的,这样处理就避免了对 n 奇偶性的讨论。 第二问的数列求和应联想常规的方法:倒序相加法,错位相减法,裂项相消法。而出 现 tan ? ? tan ? 时自然应该联想正切的和角或差角公式。本题只要将这两个知识点有机结合 起来就可以创造性的把问题解决。 5. (2011 年高考全国新课标卷理科 17)(本小题满分 12 分) 等比数列 ?an ? 的各项均为正数,且 2a1 ? 3a2 ? 1, a32 ? 9a2 a6 . (1)求数列 ?an ? 的通项公式. (2)设 bn ? log3 a1 ? log3 a2 ? ...... ? log3 an , 求数列 ?

?1? ? 的前项和. ? bn ?

分析:(1)先求首项和公比,后求通项(2)可以先求出 bn ,然后得新数列通项后再求和
2 3 2 解析: (Ⅰ)设数列{an}的公比为 q,由 a3 ? 9a2a6 得 a3 ? 9a4 所以 q ?
2

1 。 9

由条件可知 a>0,故 q ?

1 。 3 1 。 3

由 2a1 ? 3a2 ? 1得 2a1 ? 3a2 q ? 1 ,所以 a1 ? 故数列{an}的通项式为 an=

1 。 3n

(Ⅱ ) bn ? log3 a1 ? log3 a2 ? ... ? log3 an

? ?(1 ? 2 ? ... ? n) n(n ? 1) ?? 2


1 2 1 1 ?? ? ?2( ? ) bn n(n ? 1) n n ?1

1 1 1 1 1 1 1 1 2n ? ? ... ? ? ?2((1 ? ) ? ( ? ) ? ... ? ( ? )) ? ? b1 b2 bn 2 2 3 n n ?1 n ?1
所以数列 {

2n 1 } 的前 n 项和为 ? n ?1 bn

点评:本题考查等比数列通项公式,性质、等差数列前 n 项和,对数运算以及数列求和(列

项求和)与数列综合能力的考查。解答过程要细心,公式性质要灵活运用。 6. (2011 年高考天津卷理科 20)(本小题满分 14 分) 已知数列 {an } 与 {bn } 满足: bn an ? an ?1 ? bn ?1an ? 2 ? 0, bn ?

3 ? (?1)n * , n ? N ,且 2

a1 ? 2, a2 ? 4 .
(Ⅰ)求 a3 , a4 , a5 的值; (Ⅱ)设 cn ? a2n?1 ? a2n?1 , n ? N * ,证明: ?cn ? 是等比数列; (Ⅲ)设 Sk ? a2 ? a4 ???? ? a2k , k ? N * , 证明:

?a
k ?1

4n

Sk
k

7 ? (n ? N * ) . 6

【解析】本小题主要考查等比数列的定义、数列求和等基础知识,考查运算能力、推理论证 能力、综合分析能力和解决问题的能力及分类讨论的思想方法. (Ⅰ)解:由 bn ?

?1, n是奇数 3 ? (?1) n * , n ? N ,可得 bn ? ? , 又 bn an ? an?1 ? bn?1an?2 ? 0, 2 2, n 是偶数 ?

当 n=1 时, a1 ? a2 ? 2a3 ? 0 ,由 a1 ? 2 , a2 ? 4 ,得 a3 ? ?3 ;

当 n=2 时, 2a2 ? a3 ? a4 ? 0 ,可得 a4 ? ?5 . 当 n=3 时, a3 ? a4 ? 2a5 ? 0 ,可得 a5 ? 4 . (Ⅱ)证明:对任意 n ? N ,
*

a2n?1 ? a2n ? 2a2n?1 ? 0 ,① 2a2n ? a2n?1 ? a2n?2 ? 0 ,② a2n?1 ? a2n?2 ? 2a2n?3 ? 0 ,③
②-③得

a2n ? a 2n?

3

④,
*

将④代入①,可得 a2n?1 ? a2 n?3 ? ?(a2n?1 ? a2 n?1 ), 即 cn?1 ? ?cn ( n ? N ),又 c1 ? a1 ? a3 ? ?1, 故 cn ? 0 ,因此

cn ?1 ? ?1 ,所以 ?cn ? 是等比数列. cn

(III)证明:由(II)可得 a2k ?1 ? a2k ?1 ? (?1)k , 于是,对任意 k ? N 且k ? 2 ,有
*

a1 ? a3 ? ?1, ?(a3 ? a5 ) ? ?1, a5 ? a7 ? ?1, ? (?1) k (a2 k ?3 ? a2 k ?1 ) ? ?1.
将以上各式相加,得 a1 ? (?1)k a2k ?1 ? ?(k ?1), 即 a2k ?1 ? (?1)k ?1 (k ?1) , 此式当 k=1 时也成立.由④式得 a2k ? (?1)k ?1 (k ? 3). 从而 S2k ? (a2 ? a4 ) ? (a6 ? a8 ) ? ? ? (a4k ?2 ? a4k ) ? ?k ,

S2k ?1 ? S2k ? a4k ? k ? 3.
所以,对任意 n ? N * , n ? 2 ,
n Sk S S S S ? ( 4 m?3 ? 4 m?2 ? 4 m?1 ? 4 m ) ? ? a4 m?2 a4m?1 a4 m k ?1 ak m ?1 a4 m ?3
n

4n

? ?(
m ?1 n

2m ? 2 2m ? 1 2m ? 3 2m ? ? ? ) 2m 2m ? 2 2m ? 1 2m ? 3 2 3 ? ) 2m(2m ? 1) (2m ? 2)(2m ? 2)

? ?(
m ?1

?

n 2 5 3 ?? ? 2 ? 3 m?2 2m(2m ? 1) (2n ? 2)(2n ? 3)

1 n 5 3 ? ?? ? 3 m?2 (2m ? 1)(2m ? 1) (2n ? 2)(2n ? 3)
1 5 1 1 1 1 1 1 3 ? ? ? [( ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? )] ? 3 2 3 5 5 7 2n ? 1 2n ? 1 (2n ? 2)(2n ? 3)

1 5 5 1 3 ? ? ? ? ? 3 6 2 2n ? 1 (2n ? 2)(2n ? 3) 7 ? . 6

对于 n=1,不等式显然成立. 所以,对任意 n ? N * ,

S S S1 S2 ? ? ? ? 2 n?1 ? 2 n a1 a2 a2 n?1 a2 n ?( S S S S S1 S2 ? ) ? ( 3 ? 4 ) ? ? ? ( 2 n?1 ? 2 n ) a1 a2 a3 a4 a2 n?1 a2 n

1 1 1 2 1 n ? (1 ? ? ) ? (1 ? 2 ? 2 ) ? ? ? (1 ? n ? n ) 2 4 12 4 4 ? (4 ? 1) 4 (4 ? 1) 1 1 1 2 1 n ? n?( ? )?( 2 ? 2 2 ) ?? ? ( n ? n n ) 4 12 4 4 (4 ? 1) 4 4 (4 ? 1)
1 1 1 ? n?( ? ) ? n? . 4 12 3
7. (2011 年高考江西卷理科 18)(本小题满分 12 分) 已知两个等比数列 ?an? ,?bn? ,满足 a1 ? a(a ? 0) ,b1 ? a1 ? 1 ,b2 ? a2 ? 2 ,b3 ? a3 ? 3 . (1)若 a ? 1 ,求数列 ?an? 的通项公式; (2)若数列 ?an? 唯一,求 a 的值. .解: (1)当 a=1 时, b1 ? 1 ? a ? 2, b2 ? 2 ? a 2 , b3 ? 3 ? a3 ,又? ?a n ? , ?bn ?为等比数列,不 妨设 ?a n ?公比为 q1 ,由等比数列性质知: b2 ? b1b3 ? ( 2 ? a 2 ) ? 2?3 ? a 3 ? ,同时又有
2 2
[来源:Z#xx#k.Com]

a 2 ? a1q1 , a3 ? a1q1 ? ?2 ? a1q1 ? ? 2 3 ? a1q1 ? ?2 ? q1 ? ? 2 3 ? q1 ? q1 ? 2 ? 2
2 2 2 2 2

?

?

?

?

所以: a n ? 2 ?

?

2

?

n ?1

,n ?1

( 2 ) ?a n ? 要 唯 一 , ? 当 公 比 q1 ? 0 时 , 由 b1 ? 1 ? a ? 2, b2 ? 2 ? a 2 , b3 ? 3 ? a3 且

b2 ? b1b3 ? ?2 ? aq1 ?2 ? ?1 ? a ? 3 ? aq12 ? aq12 ? 4aq1 ? 3a ? 1 ? 0 ,
2

?

?

? a ? 0 ,? aq12 ? 4aq1 ? 3a ? 1 ? 0 最少有一个根(有两个根时,保证仅有一个正根)
? ?4a ? ? 4a ?3a ? 1? ? 0 ? 4a ?a ? 1? ? 0 ,此时满足条件的 a 有无数多个,不符合。
2

? 当 公 比 q1 ? 0 时 , 等 比 数 列 ?a n ? 首 项 为 a , 其 余 各项 均 为常 数 0 , 唯 一 ,此 时 由

?2 ? aq1 ?2 ? ?1 ? a ??3 ? aq12 ? ? aq12 ? 4aq1 ? 3a ? 1 ? 0 ,可推得 3a ? 1 ? 0, a ? 1 符合
3 1 综上: a ? 。 3
8. (2011 年高考湖南卷理科 16)对于 n ? N ,将 n 表示为
?

n ? a0 ? 2k ? a1 ? 2k ?1 ? a2 ? 2k ?2 ? ? ? ? ? ak ?1 ? 21 ? ak ? 20 ,当 i ? 0 时,
ai ? 1 ,当 1 ? i ? k 时, a i 为 0 或1 .记 I ?n? 为上述表示中 a i 为 0 的个数(例如:1 ? 1? 2 0 ,

4 ? 1? 2 2 ? 0 ? 21 ? 0 ? 20 ,故 I ?1? ? 0 , I ?4? ? 2 ) ,则(1) I ?12? ?

; (2)

?2 ? ? ?
I n n ?1

127

.
127

答案: I

?12? ? 2; ? 2 I ?n ? ? 1093
n ?1
3

解析: (1)由题意知 12 ? 1? 2 (2)通过例举可知: I

? 1? 2 2 ? 0 ? 21 ? 0 ? 20 ,所以 I ?12? ? 2;

?1? ? 0 , I ?2? ? 1 , I ?4? ? 2 , I ?8? ? 3 , I ?16? ? 4 , I ?32? ? 5 ,

I ?64? ? 6 , I ?128? ? 7 ,且相邻之间的整数的个数有 0,1,3,7,15,31,63.它们正好满足“杨辉三
角”中的规律: 从而

? 2 ? ? ? (1 ? 1 ? 1 ? 1 ? 1 ? 1 ? 1) ? 2
I n n ?1

127

0

? (1 ? 2 ? 3 ? 4 ? 5 ? 6) ? 21 ? (1 ? 3 ? 6 ? 10 ? 15) ? 2 2

? (1 ? 4 ? 10 ? 20) ? 23 ? (1 ? 5 ? 15) ? 24 ? (1 ? 6) ? 25 ? 1? 26 ? 1093.
评析:本小题主要考查学生的阅读理解能力、探究问题能力和创新意识.以二进制为知识背 景,着重考查等比数列求和以及“杨辉三角”中的规律的理解和运用. 9. (2011 年高考广东卷理科 20)设 b ? 0, 数列 ?an ? 满足 a1 =b, an ? (1) 求数列 ?an ? 的通项公式;

nban ?1 (n ? 2) , an ?1 ? 2n ? 2

(2) 证明:对于一切正整数 n, an ?

b n ?1 ?1 2n ?1

【解析】 (1)由 a1 ? b ? 0, 知an ?

nban?1 n 1 2 n ?1 ? 0, ? ? . an?1 ? 2n ? 2 an b b an?1

令 An ?

n 1 , A1 ? , an b
1 2 ? An ?1 b b

当 n ? 2时, An ?

?

1 2 2n ?2 2n ?1 ? 2 ? ? ? n ?1 ? n ?1 A1 b b b b 1 2 2n?2 2n?1 ? 2 ? ? ? n ?1 ? n . b b b b

?

①当 b ? 2 时,

1 ?2? (1 ? ? ? ) n n b ?b? ? b ?2 , An ? 2 b n (b ? 2) 1? b
②当 b ? 2时, An ?

n

n . 2

? nbn (b ? 2) ,b ? 2 ? an ? ? bn ? 2n ?2, b?2 ?
(2)当 b ? 2 时, (欲证 an ?

nbn (b ? 2) b n ?1 bn ?1 b n ? 2n n ? n ?1 ? 1, 只需证nb ? ( n ?1 ? 1) ) b?2 b n ? 2n 2 2

(2n ?1 ? bn ?1 )

b n ? 2n ? (2n ?1 ? bn ?1 )(bn ?1 ? 2bn ?2 ? ? ? 2n ?1 ) b?2

? 2n?1 bn?1 ? 2n?2 bn?2 ? ? ? 22n ? b2n ? 2b2n?1 ? ? ? 2n?1 bn?1

2 22 2n b n b n ?1 b ? 2 b ( ? 2 ? ? ? n ? n ? n ?1 ? ? ? ) b b 2 b 2 2
n n

? 2n bn (2 ? 2 ? ? ? 2) ? 2n ? 2n bn ? n ? 2n?1 bn ,

? an ?

nbn (b ? 2) bn?1 ? n ?1 ? 1. b n ? 2n 2 bn?1 ? 1. 2n?1

当 b ? 2时, an ? 2 ?

综上所述 an ?

b n ?1 ? 1. 2n ?1

10. (2011 年高考湖北卷理科 19)(本小题满分 13 分) 已知数列 {a n } 的前 n 项和为 Sn ,且满足: a1 ? a(a ? 0), an?1 ? rSn (n ? N ? , r ? R, r ? ?1) (Ⅰ)求数列 {a n } 的通项公式; (Ⅱ)若存在 k ? N ? , 使得 Sk ?1 , Sk , Sk ? 2 成等差数列, 试判断: 对于任意的 m ? N ? , 且 m?2,
am ?1 , am , am ? 2 是否成等差数列,并证明你的结论.

本小题主要考查等差数列、等比数列基础知识,同时考查推理论证能力,以及特殊与一 般的思想. 解析: (Ⅰ)由已知 an ?1 ? rSn ,可得 an ? 2 ? rSn ?1 ,两式相减可得 an ? 2 ? an ?1 ? r ( Sn ?1 ? Sn )ran ?1 即 an ? 2 ? (r ? 1)an ?1 又 a2 ? ra1 ? ra ,所以当 r ? 0 时,数列 {a n } 为: a, 0, ?, 0,? ; 当 r ? 0, r ? ?1 时,由已知 a ? 0 ,所以 an ? 0(n ? N ? ) 于是由 an ? 2 ? (r ? 1)an ?1 ,可得
? a2 , a3.?, an ,.? 成等比数列,

an? 2 ? r ? 1(n ? N ? ) , an?1

当 n ? 2 时, an ? r (r ? 1)n ? 2 a 综上,数列 {a n } 的通项公式为 an ? ?
?a, n ? 1 n?2 ?r (r ? 1) a, n ? 2.

(Ⅱ)对于任意的 m ? N ? ,且 m ? 2, am ?1, am , am ? 2 成等差数列,证明如下: 当 r=0 时,由(Ⅰ)知, an ?

?

a, n ? 1, 0, n ? 2.

∴对于任意的 m ? N ? ,且 m ? 2, am ?1, am , am ? 2 成等差数列; 当 r ? 0, r ? ?1 时, Sk ?1 ? Sk ?1 ? Sk ? ak ?1. ? Sk ? 2 ? Sk ? ak ?1 ? ak ? 2 , 若存在 k ? N ? ,使得 Sk ?1 , Sk , Sk ? 2 成等差数列,则

Sk ?1 ? Sk ? 2 ? 2 Sk , ? 2 Sk ? 2ak ?1 ? ak ? 2 ? 2 Sk ,

即 ak ? 2 ? ?2ak ?1 , 由 (Ⅰ) 知,a2 , a3 , ?, an , ? 的公比 r+1=—2, 于是对于任意的 m ? N ? , 且 m?2,
am ?1 ? ?2am 从而 am ? 2 ? 4am , ? am ?1 ? am ? 2 ? 2am ,

即 am ?1 , am , am ? 2 成等差数列. 综上,对于任意的 m ? N ? ,且 m ? 2, am ?1, am , am ? 2 成等差数列. 11.(2011 年高考重庆卷理科 21)(本小题满分 12 分。 (Ⅰ)小问 5 分, (Ⅱ)小问 7 分)
* 设实数数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn 满足 S n ?1 ? an ?1S n n ? N

?

?

(Ⅰ)若 a1 , S2 , ?2a2 成等比数列,求 S2 和 a3 (Ⅱ)求证:对 k ? 3 有 0 ? an ?1 ? an ? 解析: (Ⅰ)由题意 ?
2 ? S2 ? ?2a1a2

4 。 3

?S2 ? a2 S1 ? a1a2

2 ,得 S2 ? ?2S2 ,

由 S2 是等比中项知 S2 ? 0 ,因此 S2 ? ?2 , 由 S2 ? a3 ? S3 ? a3S2 ,解得, a3 ?

S2 2 ? S2 ? 1 3

(Ⅱ)证明:有题设条件有 an?1 ? Sn ? an?1 ? Sn , 故 Sn ? 1, an?1 ? 1 ,且 an ?1 ?

Sn a , Sn ? n?1 Sn ? 1 an?1 ? 1
ak ?1 ?

ak ?1 Sk ?1 a ? Sk ?2 ak ?1 ? 1 ? k ?1 ? 从而对 k ? 3 有 ak ? ① Sk ?1 ? 1 ak ?1 ? S k ? 2 ? 1 a ? ak ?1 k ?1 ak ?1 ? 1
因a
2 k ?1

1? 3 ? 2 ? ak ?1 ? 1 ? ? ak ?1 ? ? ? ? 0 ,且 ak ?1 ? 0 , 2 4 ? ?
2 4 ak 4 ?1 ,由①,只要证 2 ? 3 ak ?1 ? ak ?1 ? 1 3

2

要证 ak ?

2 2 即证 3ak ?1 ? 4 ak ?1 ? ak ?1 ? 1 ,即 ? ak ?1 ? 2 ? ? 0 ,此式明显成立, 2

?

?

因此 ak ?

4 ? k ? 3? 。 3
2 ak ? ak , 2 ak ? ak ? 1

最后证, ak ?1 ? ak ,若不然, ak ?1 ?

2 ak 2 又因 ak ? 0 ,故 2 ? 1 ,即 ? ak ? 1? ? 0 。矛盾, ak ? ak ? 1

12.(2011 年高考四川卷理科 20) (本小题共 12 分) 设 d 为非零实数,an =

1 1 2 2 n-1 n-1 n n * [C n d+2Cn d +?+(n—1)Cn d +nC nd ](n∈N ). n

(I) 写出 a1,a2,a3 并判断{an}是否为等比数列.若是,给出证明;若不是,说明理由; (II)设 bn=ndan (n∈N ),求数列{bn}的前 n 项和 Sn. 解析: (1)
*

a1 ? d a2 ? d ( d ? 1) a3 ? d ( d ? 1) 2
0 1 2 2 3 n ?1 n an ? C n d ? Cn d ? Cn d ? ? ? Cn d ? d (1 ? d ) n ?1

an ?1 ? d (1 ? d ) n an ?1 ? d ?1 an
因为 d 为常数,所以 {an } 是以 d 为首项, d ? 1 为公比的等比数列。

bn ? nd 2 (1 ? d ) n ?1
(2) Sn ? d (1 ? d ) ? 2d (1 ? d ) ? 3d (1 ? d ) ? ?? ? nd (1 ? d )
2 0 2 1 2 2 2 n ?1

? d 2 [(1 ? d )0 ? 2(1 ? d )1 ? 3(1 ? d ) 2 ? ?? ? n(1 ? d ) n ?1 ](1)

(1 ? d )Sn ? d 2[(1 ? d )1 ? 2(1 ? d )2 ? 3(1 ? d )3 ? ??? n(1 ? d )n ](2)
(2) ? (1) ? dSn ? ?d [
2

1? (1 ? (1 ? d )n ) ? d 2 n(1 ? d )n ? d ? (d 2 n ? d )(1 ? d )n 1 ? (1 ? d )

? Sn ? 1 ? (dn ?1)(1 ? d )n
13.(2011 年高考全国卷理科 20)设数列 ?an ? 满足 a1 ? 0 且

1 1 ? ? 1. 1 ? a n ?1 1 ? a n
n

(Ⅰ)求 ?a n ? 的通项公式; (Ⅱ)设 bn ?

1 ? an?1 n

, 记Sn ? ? bk , 证明:Sn ? 1.
k ?1

【解析】 : (Ⅰ)由

? 1 ? 1 1 ? ? 1.得 ? ? 为等差数列 , 1 ? a n ?1 1 ? a n ?1 ? a n ?

前项为

1 1 1 1 ? 1, d ? 1, 于是 ? 1 ? (n ? 1) ?1 ? n ,?1 ? an ? , an ? 1 ? n n 1 ? a1 1 ? an

(Ⅱ) bn ?
n

1 ? an ? 1 n

1? ?

n ? 1 ?1 n ? 1 ? n ?1 ? n ? 1 ? 1 n n ?1 n n n ?1

Sn ? ? bk ? (
k ?1

1 1 1 1 1 1 1 ?1 ? )?( ? ) ??? ( ? ) ? 1? n ?1 1 2 2 3 n n ?1

14.(2011 年高考江苏卷 20)设 M 为部分正整数组成的集合,数列 {an } 的首项 a1 ? 1 ,前 n 项和为 S n ,已知对任意整数 k 属于 M,当 n>k 时, S n?k ? S n?k ? 2(S n ? S k ) 都成立 (1)设 M={1} , a 2 ? 2 ,求 a5 的值; (2)设 M={3,4} ,求数列 {an } 的通项公式 【解析】考察等差数列概念、和与通项关系、集合概念、转化与化归、分析问题与解决问题 的能力,其中(1)是容易题, (2)是难题。 (1)? k ? 1,??n ? 1, Sn?1 ? Sn?1 ? 2(Sn ? S1 ),? Sn?2 ? Sn ? 2(Sn?1 ? S1 ) 即:

an?2 ? an ? 2an?1
所以,n>1 时,?an ? 成等差,而 a 2 ? 2 ,S2 ? 3, S3 ? 2(S2 ? S1 ) ? S1 ? 7,? a3 ? 4,? a5 ? 8; (2)由题意: ?n ? 3, Sn?3 ? Sn?3 ? 2(Sn ? S3 ),(1); ?n ? 4, Sn?4 ? Sn?4 ? 2(Sn ? S4 ),(2) ,

?n ? 4, Sn?4 ? Sn?2 ? 2(Sn?1 ? S3 ),(3); ?n ? 5, Sn?5 ? Sn?3 ? 2(Sn?1 ? S4 ),(4);
当 n ? 5 时,由(1) (2)得: an?4 ? an?3 ? 2a4 ,(5) 由(3) (4)得: an?5 ? an?2 ? 2a4 ,(6) 由(1) (3)得: an?4 ? an?2 ? 2an?1 ,(7); 由(2) (4)得: an?5 ? an?3 ? 2an?1 ,(8); 由(7) (8)知: an?4 , an?1 , an?2 , 成等差, an?5 , an?1 , an?3 , 成等差;设公差分别为: d1 , d2 ,

由(5) (6)得:

an?5 ? an?3 ? 2d2 ? an?4 ? 2a4 ? 2d2 ,(9); an?4 ? an?2 ? 2d1 ? an?5 ? 2a4 ? 2d1,(10);
由(9) (10)得:an?5 ? an?4 ? d2 ? d1 , 2a4 ? d1 ? d2 , an?2 ? an?3 ? d2 ? d1; ??a n ? (n ? 2) 成 等差,设公差为 d, 在(1) (2)中分别取 n=4,n=5 得: 2a1 +6a 2 ? 15d ? 2(2a1 ? 5a2 ? 5d ),即4a2 ? 5d ? ?2;

2a1 ? 8a2 ? 28d ? 2(2a1 ? 7a2 ? 9d ),即3a2 ? 5d ? ?1 ? a2 ? 3, d ? 2,? an ? 2n ?1.
15.(2011 年高考江苏卷 23)(本小题满分 10 分) 设整数 n ? 4 , P ( a, b) 是平面直角坐标系 x O y 中的点,其中

a, b? {1 , 2 ,? 3, n , a ? }, b
(1)记 An 为满足 a ? b ? 3 的点 P 的个数,求 An ; (2)记 Bn 为满足 ( a ? b) 是整数的点 P 的个数,求 Bn 解析:考察计数原理、等差数列求和、分类讨论、归纳推理能力,较难题。 (1)因为满足 a ? b ? 3 a, b ?{1, 2,3, ?, n}, a ? b 的每一组解构成一个点 P,所以

1 3

An ? n ? 3 。
(2)设 ( a ? b) ? k ? N ,则 a ? b ? 3k , 0 ? 3k ? n ? 1,? 0 ? k ?
*

1 3

n ?1 , 3

对每一个 k 对应的解数为:n-3k,构成以 3 为公差的等差数列;

1 ? n ? 3 n ? 1 (n ? 1)(n ? 2) ? 2 3 6 2 ? n ? 3 n ? 2 (n ? 2)(n ? 1) ? 当 n-1 被 3 除余 1 时,解数一共有: 2 ? 5 ? ? ? n ? 3 ? 2 3 6 3 ? n ? 3 n ? 3 (n ? 3)n ? 当 n-1 被 3 除余 2 时,解数一共有: 3 ? 6 ? ? ? n ? 3 ? 2 3 6
当 n-1 被 3 整除时,解数一共有: 1 ? 4 ? ? ? n ? 3 ?

? (n ? 1)(n ? 2) , n ? 3k ? 1orn ? 3k ? 2 ? ? 6 ? Bn ? ? (k ? N * ) (n ? 3)n ? , n ? 3k ? 3 ? 6 ?
16.(2011 年高考北京卷理科 20)(本小题共 13 分)

若数列 An ? a1 , a2, ..., an (n ? 2) 满足 an?1 ? a1 ? 1(k ? 1,2,..., n ?1) , 数列 An 为 E 数列, 记 S ( An ) = a1 ? a2 ? ... ? an . (Ⅰ)写出一个满足 a1 ? as ? 0 ,且 S ( As ) 〉0 的 E 数列 An ; (Ⅱ)若 a1 ? 12 ,n=2000,证明:E 数列 An 是递增数列的充要条件是 an =2011; (Ⅲ)对任意给定的整数 n(n≥2) ,是否存在首项为 0 的 E 数列 An ,使得 S ? An ? =0? 如果存在,写出一个满足条件的 E 数列 An ;如果不存在,说明理由。 解: (Ⅰ)0,1,2,1,0 是一具满足条件的 E 数列 A5。 (答案不唯一,0,1,0,1,0 也是一个满足条件的 E 的数列 A5) (Ⅱ)必要性:因为 E 数列 A5 是递增数列, 所以 ak ?1 ? ak ? 1(k ? 1,2,?,1999 ). 所以 A5 是首项为 12,公差为 1 的等差数列. 所以 a2000=12+(2000—1)× 1=2011. 充分性,由于 a2000—a1000≤1, a2000—a1000≤1 …… a2—a1≤1 所以 a2000—a≤19999,即 a2000≤a1+1999. 又因为 a1=12,a2000=2011, 所以 a2000=a1+1999. 故 an?1 ? an ? 1 ? 0(k ? 1,2,?,1999 ),即An 是递增数列. 综上,结论得证。 (Ⅲ)令 ck ? ak ?1 ? ak ? 1 ? 0(k ? 1,2,?, n ? 1),则c A ? ?1. 因为 a2 ? a1 ? c1 ? a1 ? a1 ? c1 ? c2 ??

an ? a1 ? c1 ? c2 ? ? ? cn?1 ,
所以 S ( An ) ? na1 ? (n ? 1)c1 ? (n ? 2)c2 ? (n ? 3)c3 ? ? ? cn?1

?

n(n ? 1) ? [(1 ? c1 )( n ? 1) ? (1 ? c 2 )( n ? 2) ? ? ? (1 ? c n ?1 )]. 2

因为 ck ? ?1, 所以 1 ? ck 为偶数(k ? 1,?, n ? 1). 所以 *1 ? c1 )(n ? 1) ? (1 ? c2 )(n ? 2) ? ? ? (1 ? cn ) 为偶数,

所以要使 S ( An ) ? 0, 必须使

n(n ? 1) 为偶数, 2

即 4 整除 n(n ? 1), 亦即n ? 4m或n ? 4m ? 1(m ? N *) . 当

n ? 4m ? 1(m ? N*)时, E数列An的项满足a4k ?1 ? a4k ?1 ? 0, a4k ?2 ? ?1, a 4 k ? 1
(k ? 1,2,?, m) 时,有 a1 ? 0, S ( An ) ? 0;

a4k ? 1(k ? 1,2,?, m), a4k ?1 ? 0时, 有a1 ? 0, S ( An ) ? 0;
当 n ? 4m ? 1(m ? N*)时, E数列An 的项满足, a4k ?1 ? a3k ?3 ? 0, a4k ?2 ? ?1, 当 n ? 4m ? 2或n ? 4m ? 3(m ? N )时, n(m ? 1) 不能被 4 整除,此时不存在 E 数 列 An, 使得 a1 ? 0, S ( An ) ? 0. 17.(2011 年高考福建卷理科 16)(本小题满分 13 分) 已知等比数列{an}的公比 q=3,前 3 项和 S3= (I)求数列{an}的通项公式; (II)若函数 f ( x) ? A sin(2 x ? ? )( A ? 0,0 ? ? ? p ? ? ) 在 x ? 大值为 a3,求函数 f(x)的解析式。 解: (I)由 q ? 3, S3 ? 解得 a1 ?

13 。 3

?
6

处取得最大值,且最

13 a1 (1 ? 33 ) 13 得 ? , 3 1? 3 3

1 . 3 1 n ?1 n?2 所以 an ? ? 3 ? 3 . 3
(II)由(I)可知 an ? 3n?2 , 所以a3 ? 3. 因为函数 f ( x ) 的最大值为 3,所以 A=3。 因为当 x ?

?
6

时 f ( x ) 取得最大值,

所以 sin(2 ?

?
6

? ? ) ? 1.

又 0 ? ? ? ? , 故? ?

?
6

.

所以函数 f ( x ) 的解析式为 f ( x) ? 3sin(2 x ?

?
6

)

18.(2011 年高考上海卷理科 22)(18 分)已知数列 {an } 和 {bn } 的通项公式分别为 ,将集合 an ? 3n ? 6 , bn ? 2n ? 7 ( n ? N * )

{x | x ? an , n ? N *} ?{x | x ? bn , n ? N *} 中的元素从小到大依次排列,构成数列
c1 , c2 , c3 ,?, cn ,? 。
(1)求 c1 , c2 , c3 , c4 ; (2)求证:在数列 {cn } 中.但不在数列 {bn } 中的项恰为 a2 , a4 ,?, a2 n ,?; (3)求数列 {cn } 的通项公式。 解:⑴

c1 ? 9 , c2 ? 1 1, c3 ? 1 2 c4 ,? ; 13

* ⑵ ① 任意 n ? N ,设 a2n?1 ? 3(2n ?1) ? 6 ? 6n ? 3 ? bk ? 2k ? 7 ,则 k ? 3n ? 2 ,即

a2n?1 ? b3n?2
② 假设 a2n ? 6n ? 6 ? bk ? 2k ? 7 ? k ? 3n ?

1 ? N * (矛盾) ,∴ 2

a2n ?{bn }

∴ 在数列 {cn } 中.但不在数列 {bn } 中的项恰为 a2 , a4 ,?, a2 n ,?。 ⑶ b3k ?2 ? 2(3k ? 2) ? 7 ? 6k ? 3 ? a2k ?1 ,

b3k ?1 ? 6k ? 5 , a2k ? 6k ? 6 , b3k ? 6k ? 7


6k ? 3 ? 6 k ? 5? 6 k ? 6? k 6 ?7

∴ 当 k ? 1 时,依次有 b1 ? a1 ? c1 , b2 ? c2 , a2 ? c3 , b3 ? c4 ,??

? 6k ? 3 (n ? 4k ? 3) ?6k ? 5 (n ? 4k ? 2) ? ∴ cn ? ? ,k ? N*。 ? 6k ? 6 (n ? 4k ? 1) ? ? 6k ? 7 ( n ? 4k )

2010 年高考题
一、选择题

1.(2010 浙江理) (3)设 Sn 为等比数列 ?an ? 的前 n 项和, 8a2 ? a5 ? 0 ,则 (A)11 (B)5 (C) ?8 (D) ?11

S5 ? S2

解析:通过 8a2 ? a5 ? 0 ,设公比为 q ,将该式转化为 8a2 ? a2 q 3 ? 0 ,解得 q =-2,带入 所求式可知答案选 D, 本题主要考察了本题主要考察了等比数列的通项公式与前 n 项和公式, 属中档题 2. (2010 全国卷 2 理) (4) .如果等差数列 ?an ? 中, 那么 a1 ? a2 ? ... ? a7 ? a3 ? a4 ? a5 ? 12 , (A)14 【答案】C 【命题意图】本试题主要考查等差数列的基本公式和性质. 【解析】 a3 ? a4 ? a5 ? 3a4 ? 12, a4 ? 4,? a1 ? a2 ? ? ? a7 ? (B)21 (C)28 (D)35

7(a1 ? a7 ) ? 7a4 ? 28 2

3. (2010 辽宁文) (3) 设 Sn 为等比数列 ?an ? 的前 n 项和, 已知 3S3 ? a4 ? 2 ,3S2 ? a3 ? 2 , 则公比 q ? (A)3 【答案】 B 解析:选 B. 两式相减得, 3a3 ? a4 ? a3 , a4 ? 4a3 ,? q ? (B)4 (C)5 (D)6

a4 ? 4. a3

4. (2010 辽宁理) (6) 设{an}是有正数组成的等比数列, 已知 a2a4=1, S3 ? 7 , Sn 为其前 n 项和。 则 S5 ? (A) 【答案】B 【命题立意】 本题考查了等比数列的通项公式与前 n 项和公式, 考查了同学们解决问题的能 力。
2 4 【解析】由 a2a4=1 可得 a1 q ? 1 ,因此 a1 ?

15 2

(B)

31 4

(C)

33 4

(D)

17 2

1 ,又因为 S3 ? a1 (1 ? q ? q2 ) ? 7 ,联力两式 2 q

1 1 1 有 ( ? 3)( ? 2) ? 0 ,所以 q= ,所以 S5 ? 2 q q

4 ? (1 ?

1 ) 25 ? 31 ,故选 B。 1 4 1? 2

5.(2010 全国卷 2 文)(6)如果等差数列 ?an ? 中, a3 + a4 + a5 =12,那么 a1 + a2 +??+ a7 = (A)14 【答案】C 【解析】本题考查了数列的基础知识。 (B) 21 (C) 28 (D) 35

a ? a4 ? a5 ? 12 ,∴ a4 ? 4 ∵ 3

1 a1 ? a2 ? ? ? a7 ? ? 7 ? (a1 ? a7 ) ? 7a4 ? 28 2

6.(2010 安徽文)(5)设数列 {an } 的前 n 项和 Sn ? n2 ,则 a8 的值为 (A) 15 【答案】 A 【解析】 a8 ? S8 ? S7 ? 64 ? 49 ? 15 . 【方法技巧】直接根据 an ? Sn ? Sn?1 (n ? 2) 即可得出结论. 7.(2010 浙江文)(5)设 s n 为等比数列 {an } 的前 n 项和, 8a2 ? a5 ? 0 则 (A)-11 (C)5 (B)-8 (D)11
3

(B)

16

(C)

49

(D)64

S5 ? S2

解析:通过 8a2 ? a5 ? 0 ,设公比为 q ,将该式转化为 8a2 ? a2 q ? 0 ,解得 q =-2,带入 所求式可知答案选 A, 本题主要考察了本题主要考察了等比数列的通项公式与前 n 项和公式 8.(2010 重庆理) (1)在等比数列 ?an ? 中, a2010 ? 8a2007 ,则公比 q 的值为 A. 2 【答案】A B. 3 C. 4 D. 8

解析:

a2010 ?q 3 ? 8 a2007

?q ? 2

9.(2010 广东理)4. 已知 {an } 为等比数列,Sn 是它的前 n 项和。若 a2 ? a3 ? 2a1 , 且 a4 与

2 a7 的等差中项为 A.35 【答案】C

5 ,则 S5 = 4
B.33 C.31 D.29

解析: 设{ an }的公比为 q , 则由等比数列的性质知,a2 ? a3 ? a1 ? a4 ? 2a1 , 即 a4 ? 2 。 由 a4 与 2 a7 的等差中项为 ∴q ?
3

5 5 1 5 1 5 1 知, a4 ? 2a7 ? 2 ? ,即 a7 ? (2 ? ? a4 ) ? (2 ? ? 2) ? . 4 4 2 4 2 4 4

1 1 a7 1 ? ,即 q ? . a4 ? a1q 3 ? a1 ? ? 2 ,即 a1 ? 16 . 2 8 a4 8

10.(2010 广东文)

11.(2010 山东理)

12.(2010 重庆文) (2)在等差数列 ?an ? 中, a1 ? a9 ? 10 ,则 a5 的值为

(A)5 (C)8 【答案】 A 解析:由角标性质得 a1 ? a9 ? 2a5 ,所以 a5 =5 二、填空题

(B)6 (D)10

1. ( 2010 辽宁 文) ( 14 )设 Sn 为等差数列 {an } 的前 n 项和,若 S3 ? 3,S6 ? 24 ,则

a9 ?



解析:填 15.

3? 2 ? S ? 3a1 ? d ?3 ? ?a ? ?1 ? 3 2 ,解得 ? 1 ,? a9 ? a1 ? 8d ? 15. ? ?d ? 2 ? S ? 6a ? 6 ? 5 d ? 24 6 1 ? 2 ?

2.(2010 福建理)11.在等比数列 ?a n ? 中,若公比 q=4 ,且前 3 项之和等于 21,则该数列的 通项公式 an ? 【答案】 4
n-1



【解析】由题意知 a1 ? 4a1 ? 16a1 ? 21 ,解得 a1 ? 1 ,所以通项 an ? 4

n-1



【命题意图】本题考查等比数列的通项公式与前 n 项和公式的应用,属基础题。 3. (2010 江苏卷) 8、 函数 y=x (x>0)的图像在点(ak,ak )处的切线与 x 轴交点的横坐标为 ak+1,k 为正整数,a1=16,则 a1+a3+a5=_________ 解析:考查函数的切线方程、数列的通项。 在点(ak,ak )处的切线方程为: y ? ak 2 ? 2ak ( x ? ak ), 当 y ? 0 时,解得 x ?
2
2

2

ak , 2

所以 ak ?1 ? 三、解答题

ak , a1 ? a3 ? a5 ? 16 ? 4 ? 1 ? 21 。 2

1.(2010 上海文)21.(本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第一个小题满分 6 分,第 2 个 小题满分 8 分。 已知数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,且 Sn ? n ? 5a n ?85 , n ? N (1)证明: ?an ?1 ? 是等比数列; (2)求数列 ?Sn ? 的通项公式,并求出使得 Sn?1 ? Sn 成立的最小正整数 n .
*

5 解析:(1) 当 n?1 时,a1??14;当 n≥2 时,an?Sn?Sn?1??5an?5an?1?1,所以 an ? 1 ? (an?1 ? 1) , 6

又 a1?1??15≠0,所以数列{an?1}是等比数列;
?5? (2) 由(1)知: an ? 1 ? ?15 ? ? ? ?6? ?5? Sn ? 75 ? ? ? ?6?
n ?1 n ?1

?5? ,得 an ? 1 ? 15 ? ? ? ?6?

n ?1

,从而

? n ? 90 (n?N*);
n ?1

?5? 由 Sn?1>Sn,得 ? ? ?6?

?

2 2 , n ? log 5 ? 1 ? 14.9 ,最小正整数 n?15. 25 5 6

2.(2010 陕西文)16.(本小题满分 12 分) 已知{an}是公差不为零的等差数列,a1=1,且 a1,a3,a9 成等比数列. (Ⅰ)求数列{an}的通项; 解 (Ⅱ)求数列{2 }的前 n 项和 Sn.
an

(Ⅰ)由题设知公差 d≠0,

由 a1=1,a1,a3,a9 成等比数列得 解得 d=1,d=0(舍去) , (Ⅱ)由(Ⅰ)知 2 Sm=2+2 +2 +?+2 =
2 3 n

1 ? 2 d 1 ? 8d = , 1 1 ? 2d

故{an}的通项 an=1+(n-1)×1=n.

am

=2 ,由等比数列前 n 项和公式得

n

2(1 ? 2 n ) n+1 =2 -2. 1? 2

3.(2010 全国卷 2 文) (18) (本小题满分 12 分) 已知 {an } 是各项均为正数的等比数列,且

a1 ? a2 ? 2(

1 1 1 1 1 ? ) , a3 ? a4 ? a5 ? 64( ? ? ) a3 a4 a5 a1 a2

(Ⅰ)求 {an } 的通项公式; (Ⅱ)设 bn ? (an ?

1 2 ) ,求数列 {bn } 的前 n 项和 Tn 。 an

【解析】本题考查了数列通项、前 n 项和及方程与方程组的基础知识。 (1)设出公比根据条件列出关于

a1 与 d 的方程求得 a1 与 d ,可求得数列的通项公式。

(2)由(1)中求得数列通项公式,可求出 BN 的通项公式,由其通项公式化可知其和可分 成两个等比数列分别求和即可求得。

4.(2010 江西理)22. (本小题满分 14 分) 证明以下命题: (1) 对任一正整 a,都存在整数 b,c(b<c),使得 a ,b ,c 成等差数列。 (2) 存在无穷多个互不相似的三角形△ n ,其边长 an,bn,cn 为正整数且 an 2,bn 2,cn 2 成等差数列。 【解析】作为压轴题,考查数学综合分析问题的能力以及创新能力。 (1)考虑到结构要证 a ? c ? 2b , ;类似勾股数进行拼凑。
2 2 2 2 2 2

证明:考虑到结构特征,取特值 12 ,52 ,72 满足等差数列,只需取 b=5a,c=7a,对一切正整 数 a 均能成立。 结合第一问的特征, 将等差数列分解, 通过一个可做多种结构分解的因式说明构成三角 形,再证明互不相似,且无穷。
2 2 2 2 2 2 2 证明:当 an 成等差数列,则 bn , ,bn ,cn ? an ? cn ? bn

分解得: (bn ? an )(bn ? an ) ? (cn ? bn )(cn ? bn ) 选取关于 n 的一个多项式, 4n(n2 ?1) 做两种途径的分解

4n(n2 ?1) ? (2n ? 2)(2n2 ? 2n) ? (2n2 ? 2n)(2n ? 2) 4n(n2 ?1)
?an ? n 2 ? 2n ? 1 ? 2 对比目标式,构造 ? bn ? n ? 1 (n ? 4) ,由第一问结论得,等差数列成立, ? c ? n 2 ? 2n ? 1 ? n
考察三角形边长关系,可构成三角形的三边。 下证互不相似。 任取正整数 m,n,若△m,△ n 相似:则三边对应成比例

m 2 ? 2m ? 1 m 2 ? 1 m 2 ? 2 m ? 1 ? ? , n 2 ? 2 n ? 1 n 2 ? 1 n 2 ? 2n ? 1
由比例的性质得:

m ?1 m ?1 ? ? m ? n ,与约定不同的值矛盾,故互不相似。 n ?1 n ?1

5.(2010 安徽文) (21) (本小题满分 13 分)

设 C1 , C2 ,?, Cn ,? 是坐标平面上的一列圆,它们的圆心都在 x 轴的正半轴上,且都与直线

y?

3 对每一个正整数 n ,圆 Cn 都与圆 Cn?1 相互 x 相切, 3

外切,以 rn 表示 Cn 的半径,已知 {rn } 为递增数列. (Ⅰ)证明: {rn } 为等比数列; (Ⅱ)设 r1 ? 1 ,求数列 { } 的前 n 项和. 【命题意图】本题考查等比列的基本知识,利用错位相减法求和等基本方法,考察抽象概括 能力以及推理论证能力. 【解题指导】 ( 1 )求直线倾斜角的正弦,设 Cn 的圆心为 (?n ,0) ,得 ?n ? 2rn ,同理得 结合两圆相切得圆心距与半径间的关系, 得两圆半径之间的关系, 即 {rn } 中 rn ?1 ?n?1 ? 2rn?1 , 与 rn 的关系,证明 {rn } 为等比数列; (2)利用(1)的结论求 {rn } 的通项公式,代入数列 然后用错位相减法求和.

n rn

n , rn

3 3 1 x的倾斜角记为,则有tan? = ,sin ? ? , 3 3 2 r 1 设Cn的圆心为(?n,0),则由题意得知 n ? ,得?n ? 2rn;同理 ?n 2 解:(1)将直线y=

?n+1 ? 2rn+1,从而?n+1 ? ?n ? rn ? rn+1 ? 2rn+1,将?n ? 2rn 代入,
解得rn+1 ? 3rn 故 rn 为公比q ? 3的等比数列。 (?)由于rn ? 1,q ? 3,故rn ? 3n ?1,从而 记Sn ? 1 2 n ? ? ..... ? , 则有 r1 r2 rn n ? n *31? n , rn

Sn ? 1 ? 2*3?1 ? 3*3?2 ? ......n *31? n Sn ? 1*3?1 ? 2*3?2 ? ...... ? ( n ? 1) *31? n ? n *3? n 3 ① ? ②,得 2Sn ? 1 ? 3?1 ? 3?2 ? ... ? 31? n ? n *3? n 3 1 ? 3? n 3 3 ? ? n *3? n ? ? (n ? ) *3? n , 2 2 2 3 9 1 3 9 ? (2n ? 3) *31? n ? S n ? ? (n ? ) *31? n ? 4 2 2 4
【方法技巧】对于数列与几何图形相结合的问题,通常利用几何知识,并结合图形,得出关 于数列相邻项 an 与 an ?1 之间的关系,然后根据这个递推关系,结合所求内容变形,得出通 项公式或其他所求结论.对于数列求和问题,若数列的通项公式由等差与等比数列的积构成 的数列时,通常是利用前 n 项和 Sn 乘以公比,然后错位相减解决. 6.(2010 重庆文) (16) (本小题满分 13 分, (Ⅰ)小问 6 分, (Ⅱ)小问 7 分. ) 已知 ?an ? 是首项为 19,公差为-2 的等差数列, Sn 为 ?an ? 的前 n 项和. (Ⅰ)求通项 an 及 Sn ; (Ⅱ) 设 ?bn ? an ? 是首项为 1, 公比为 3 的等比数列, 求数列 ?bn ? 的通项公式及其前 n 项和 Tn .

7.(2010 浙江文) (19) (本题满分 14 分)设 a1,d 为实数,首项为 a1,公差为 d 的等差数 列{an}的前 n 项和为 Sn,满足 S5 S6 +15=0。 (Ⅰ)若 S5 =5,求 S6 及 a1; (Ⅱ)求 d 的取值范围。

8.(2010 北京文) (16) (本小题共 13 分) 已知 | an | 为等差数列,且 a3 ? ?6 , a6 ? 0 。 (Ⅰ)求 | an | 的通项公式; (Ⅱ)若等差数列 | bn | 满足 b1 ? ?8 , b2 ? a1 ? a2 ? a3 ,求 | bn | 的前 n 项和公式 解: (Ⅰ)设等差数列 {an } 的公差 d 。 因为 a3 ? ?6, a6 ? 0

所以 ?

? a1 ? 2d ? ?6 ? a1 ? 5d ? 0

解得 a1 ? ?10, d ? 2

所以 an ? ?10 ? (n ?1) ? 2 ? 2n ?12 (Ⅱ)设等比数列 {bn } 的公比为 q 因为 b2 ? a1 ? a 2 ?a3 ? ?24, b ? ?8 所以 ?8q ? ?24 即 q =3

所以 {bn } 的前 n 项和公式为 Sn ?

b1 (1 ? q n ) ? 4(1 ? 3n ) 1? q

9.(2010 四川理) (21) (本小题满分 12 分) 已知数列{an}满足 a1=0,a2=2,且对任意 m、n∈N 都有
*

a2m-1+a2n-1=2am+n-1+2(m-n)2
(Ⅰ)求 a3,a5; (Ⅱ)设 bn=a2n+1-a2n-1(n∈N ),证明:{bn}是等差数列; (Ⅲ)设 cn=(an+1-an)q
n-1
*

(q≠0,n∈N ),求数列{cn}的前 n 项和 Sn.

*

本小题主要考查数列的基础知识和化归、分类整合等数学思想,以及推理论证、分析与解决 问题的能力. 解:(1)由题意,零 m=2,n-1,可得 a3=2a2-a1+2=6 再令 m=3,n=1,可得 a5=2a3-a1+8=20????????????2 分 (2)当 n∈N 时,由已知(以 n+2 代替 m)可得
*

a2n+3+a2n-1=2a2n+1+8
于是[a2(n+1)+1-a2(n+1)-1]-(a2n+1-a2n-1)=8 即

bn+1-bn=8

所以{bn}是公差为 8 的等差数列??????????????????5 分 (3)由(1)(2)解答可知{bn}是首项为 b1=a3-a1=6,公差为 8 的等差数列 则 bn=8n-2,即 a2n+=1-a2n-1=8n-2 另由已知(令 m=1)可得

an=

a2 n ?1 ? a1 2 -(n-1) . 2

那么 an+1-an=

a2 n ?1 ? a2 n ?1 -2n+1 2 8n ? 2 = -2n+1 2
=2n
n-1

于是 cn=2nq

.

当 q=1 时,Sn=2+4+6+??+2n=n(n+1) 当 q≠1 时,Sn=2·q +4·q +6·q +??+2n·q 两边同乘以 q,可得
0 1 2

n-1

.

qSn=2·q1+4·q2+6·q3+??+2n·qn.
上述两式相减得 (1-q)Sn=2(1+q+q +??+q
2

n-1

)-2nq

n

1 ? qn n =2· -2nq 1? q
=2·

1 ? (n ? 1)q n ? nq n?1 1? q

所以 Sn=2·

nq n?1 ? (n ? 1)q n ? 1 (q ? 1)2

?n(n ? 1) (q ? 1) ? 综上所述,Sn= ? nq n ?1 ? (n ? 1)q n ? 1 ??????????12 分 (q ? 1) 2 ? 2? (q ? 1) ?

10.(2010 全国卷 1 理) (22)(本小题满分 12 分)(注意:在试题卷上作答无效 ) ......... 已知数列 ?an ? 中, a1 ? 1, an ?1 ? c ?

1 . an

(Ⅰ)设 c ?

5 1 , bn ? ,求数列 ?bn ? 的通项公式; 2 an ? 2

(Ⅱ)求使不等式 an ? an?1 ? 3 成立的 c 的取值范围 .

11.(2010 山东理) (18) (本小题满分 12 分) 已知等差数列 ?an ? 满足: a3 ? 7 , a5 ? a7 ? 26 , ?an ? 的前 n 项和为 Sn . (Ⅰ)求 an 及 Sn ; (Ⅱ)令 bn=

1 * (n ? N ),求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn . an ? 1
2

【解析】 (Ⅰ)设等差数列 ?an ? 的公差为 d,因为 a3 ? 7 , a5 ? a7 ? 26 ,所以有

? a1 ? 2d ? 7 ,解得 a1 ? 3,d ? 2 , ? ? 2a1 ? 10d ? 26
所以 an ? 3 ? ( 2 n ?1)=2n+1 ; Sn = 3n+

n(n-1) ? 2 = n 2 +2n 。 2

(Ⅱ)由(Ⅰ)知 an ? 2n+1,所以 bn=

1 1 1 1 1 1 1 ), = = ?( = ? 2 an ? 1 (2n+1) ? 1 4 n(n+1) 4 n n+1
2

所以 Tn =

1 1 1 1 1 1 1 1 n ? (1- + ? + ? + ) = ? (1)= , 4 2 2 3 n n+1 4 n+1 4(n+1)

即数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn =

n 。 4(n+1)

【命题意图】本题考查等差数列的通项公式与前 n 项和公式的应用、裂项法求数列的和,熟 练数列的基础知识是解答好本类题目的关键。


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