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教学设计:集合的基本运算(第2课时)


集合的基本运算(第 2 课时)
(一)教学目标 1.知识与技能 (1)了解全集的意义. (2)理解补集的含义,会求给定子集的补集. 2.过程与方法 通过示例认识全集, 类比实数的减法运算认识补集, 加深对补集概念的理解, 完善集合运算体系,提高思维能力. 3.情感、态度与价值观 通过补集概念的形成与发展、理解与掌握,感知事物具有相对性,渗透相对 的辨证观点. (二)教学

重点与难点 重点:补集概念的理解;难点:有关补集的综合运算. (三)教学方法 通过示例,尝试发现式学习法;通过示例的分析、探究,培养发现探索一般性 规律的能力. (四)教学过程 教学环 节 提出问 题 教学内容 示例 1:数集的拓展 示例 2:方程(x – 2) (x2 – 学生思考讨论. 师生互动 设计意图 挖掘旧知, 导入新知, 激发学习兴 趣. 师:教学学科中许多时候,许 多问题都是在某一范围内 进行研究. 如实例 1 是在 实数集范围内不断扩大数 集. 实例 2: ①在有理数范 围内求解;②在实数范围 合作交流, 探究新知, 了解全集、 补集的含 义.

导入课 3) = 0 的解集. ①在有理数范围内, 题 ②在实数范围内. 1.全集的定义. 如果一个集合含有我们所研究 形成概 问题中涉及的所有元素,称这个集 念 合为全集,记作 U. 示例 3:A = {全班参加数学兴 趣小组的同学},B = {全班设有参

加数学兴趣小组的同学 },U = {全 班同学},问 U、A、B 三个集关系如 何. 2.补集的定义 补集:对于一个集合 A,由全 集 U 中不属于集合 A 的所有元素组

内求解. 类似这些给定的 集合就是全集. 师生合作,分析示例 生:①U = A∪B, ②U 中元素减去 A 中元素就 构成 B.

成的集合称为集合 A 相对于全集 U 师:类似②这种运算得到的集 的补集,记作 ? UA. 即 ? UA = {x | x∈U,且 x ? A }, Venn 图表示
? UA
A

合 B 称为集合 A 的补集, 生师合作交流探究补集的 概念.
U

学生先尝试求解,老师指导、 点评. 例1 设 U = {x | x 是小于 9 例 1 解: 根据题意可知, U = {1, 加深对补集 概念的理 解,初步学 会求集合的 补集.

2,3, 4,5, 6,7 ,8},所以 的正整数},A = {1,2,3},B = {3, ? UA = {4, 5, 6, 7, 8}, 应用举 4,5,6},求 ? UA, ? UB. ? UB = {1, 2, 7, 8}. 例 例 2 设全集 U = {x | x 是三 深化概 例 2 解:根据三角形的分类可 角形},A = {x|x 是锐角三角形}, 念 知 A∩B = ? , B = {x | x 是钝角三角形}. 求 A A∪B = {x | x 是锐角三角形或 ∩B, ? U (A∪B). 钝角三角形},
?
U

(A∪B) = {x | x 是直角三

角形}. 补集的性质: ①A∪( ? UA) = U, 性质探 究 ②A∩( ? UA) = ? . 师:提出问题 生:合作交流,探讨 能力提升. 探究补集的

师生:学生说明性质①、②成 性质,提高 学生的归纳 能力.

练习 1:已知全集 U = {1, 2, 3, 4, 立的理由,老师点评、阐述. 变式练习: 求 A∪B, 求 ? U (A 5, 6, 7},A={2, 4, 5},B = {1, 3, 师:

5, 7}, 求 A∩( ? UB), ( ? UA)∩( ? UB). ∪ B)并比较与( ? UA) ∩( ? UB)的 总结: ( ? UA)∩( ? UB) = ? U (A∪B), ( ? UA)∪( ? UB) = ? U (A∩B). 结果. 解:因为 ? UA = {1, 3, 6, 7},
?
U

B = {2, 4, 6}, 所以 A∩( ? UB)

= {2, 4}, ( ? UA)∩( ? UB) = {6}.

例2

填空

师生合作分析例题.

(1)若 S = {2,3,4},A = {4, 例 2(1) :主要是比较 A 及 S 3},则 ? SA = . 的区别,从而求 ? SA .

(2)若 S = {三角形},B = {锐角 例 2(2) :由三角形的分类找 B 三角形},则 ? SB = . 的补集.

(3)若 S = {1,2,4,8},A = ? , 例 2(3) :运用空集的定义. 则 ? SA = . 例2 (4) : 利用集合元素的特征.

(4)若 U = {1,3,a2 + 3a + 1},综合应用并集、补集知识求解. 进一步深化 应用举 例

A = {1,3},? UA = {5},则 a

.例2 (7) :解答过程中渗透分类 理解补集的 概念. 掌握 补集的求 法.

(5)已知 A = {0,2,4},? UA = {– 讨论思想. 1,1}, ? UB = {–1,0,2},求 B = 例 2(1)解: ? SA = {2} . 例 2(2)解: ? SB = {直角三角

(6)设全集 U = {2,3,m2 + 2m – 形或钝角三角形} 3},A = {|m + 1| ,2}, ? UA = {5}, 例 2(3)解: ? SA = S 求 m. 例 2(4)解:a2 + 3a + 1 = 5,

(7)设全集 U = {1,2,3,4},A a = – 4 或 1. = {x | x2 – 5x + m = 0,x∈U},例 2(5)解:利用韦恩图由 A 求 ? UA、m. 设 ? UA 先求 U = {–1,0,1,2, 4},再求 B = {1,4}.

例 2(6)解:由题 m2 + 2m – 3 = 5 且|m + 1| = 3, 解之 m = – 4 或 m = 2. 例 2(7)解:将 x = 1、2、3、 4 代入 x2 – 5x + m = 0 中,m = 4 或 m = 6, 当 m = 4 时,x2 – 5x + 4 = 0, 即 A = {1,4}, 又当 m = 6 时,x2 – 5x + 6 = 0,即 A = {2,3}. 故满足条件: ? UA = {1,4},m = 4; ? UB = {2,3},m = 6. 1.全集的概念,补集的概念. 2. ? UA ={x | x∈U,且 x ? A }. 归纳总 结 3.补集的性质: ①( ? UA)∪A = U,( ? UA)∩A = ? , ② ? U ? = U, ? UU = ? , ③( ? UA)∩( ? UB) = ( ? UA)∪( ? UB) = 课后作 业 备选例题 例1 已知 A = {0,2,4,6}, ? SA = {–1,–3,1,3}, ? SB = {–1,0,
? ?
U

引导学生自 师生合作交流,共同归纳、总 结,逐步完善. 我回顾、反 思、归纳、 总结,形成 知识体系.

(A∪B), (A∩B) 学生独立完成

U

巩固基础、 提升能力

2},用列举法写出集合 B. 【解析】∵A = {0,2,4,6}, ? SA = {–1,–3,1,3}, ∴S = {–3,–1,0,1,2,3,4,6} 而 ? SB = {–1,0,2},∴B = ? S ( ? SB) = {–3,1,3,4,6}. 例2 已知全集 S = {1,3,x3 + 3x2 + 2x},A = {1,|2x – 1|},如果 ? SA

= {0},则这样的实数 x 是否存在?若存在,求出 x;若不存在,请说明理由.

【解析】∵ ? SA = {0},∴0∈S,但 0 ? A,∴x3 + 3x2 + 2x = 0,x(x + 1) (x + 2) = 0, 即 x1 = 0,x2 = –1,x3 = –2. 当 x = 0 时,|2x – 1| = 1,A 中已有元素 1,不满足集合的性质; 当 x= –1 时,|2x – 1| = 3,3∈S; 当 x = –2 时,|2x – 1| = 5,但 5 ? S. ∴实数 x 的值存在,它只能是–1. 例3 已知集合 S = {x | 1<x≤7},A = {x | 2≤x<5},B = {x | 3≤x

<7}. 求: (1)( ? SA)∩( ? SB); (2) ? S (A∪B); (3)( ? SA)∪( ? SB); (4) ? S (A∩B). 【解析】如图所示,可得

A∩B = {x | 3≤x<5},A∪B = {x | 2≤x<7},
?
S

A = {x | 1<x<2,或 5≤x≤7}, ? SB = {x | 1<x<3}∪{7}.

由此可得: (1)( ? SA)∩( ? SB) = {x | 1<x<2}∪{7}; (2) ? S (A∪B) = {x | 1<x<2}∪{7}; (3)( ? SA)∪( ? SB) = {x | 1<x<3}∪{x |5≤x≤7} = {x | 1<x<3,或 5≤x≤7}; (4) ? S (A∩B) = {x | 1<x<3}∪{x | 5≤x≤7} = {x | 1<x<3,或 5 ≤x≤7}. 例4 若集合 S = {小于 10 的正整数}, A ? S , B ? S ,且( ? SA)∩B = {1,

9},A∩B = {2},( ? SA)∩( ? SB) = {4,6,8},求 A 和 B. 【解析】由( ? SA)∩B = {1,9}可知 1,9 ? A,但 1,9∈B, 由 A∩B = {2}知,2∈A,2∈B. 由( ? SA)∩( ? SB) = {4,6,8}知 4,6,8 ? A,且 4,6,8 ? B 下列考虑 3,5,7 是否在 A,B 中: 若 3∈B,则因 3 ? A∩B,得 3 ? A. 于是 3∈ ? SA,所以 3∈( ? SA)∩B, 这与( ? SA)∩B = {1,9}相矛盾.

故 3 ? B,即 3∈( ? SB),又∵3 ? ( ? SA)∩( ? SB), ∴3 ? ( ? SA),从而 3∈A;同理可得:5∈A,5 ? B;7∈A,7 ? B. 故 A = {2,3,5,7},B = {1,2,9}. 评注:此题 Venn 图求解更易.


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