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福建省泉州市2013届高三5月质量检查数学文科试题


泉州市 2013 届普通中学高中毕业班质量检测


分钟. 注意事项:







本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题) .本试卷共 6 页,满分 150 分.考试时间 120

1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上

. 2.考生作答时,将答案答在答题卡上.请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答, 超出答题区域书写的答案无效.在草稿纸、试题卷上答题无效. 3.选择题答案使用 2B 铅笔填涂,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号;非选 择题答案使用 0.5 毫米的黑色中性(签字)笔或碳素笔书写,字体工整、笔迹清楚. 4.保持答题卡卡面清洁,不折叠、不破损.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回. 参考公式: 样本数据 x1 、 x2 、?、 xn 的标准差:

s?

1 ?( x1 ? x)2 ? ( x2 ? x)2 ??? ? xn ? x ?? ? ,其中 x 为样本平均数; n

柱体体积公式: V ? Sh ,其中 S 为底面面积, h 为高;

1 Sh ,其中 S 为底面面积, h 为高; 3 4 3 2 球的表面积、体积公式: S ? 4? R , V ? ? R ,其中 R 为球的半径. 3
锥体体积公式: V ? 第Ⅰ卷(选择题 共 60 分) 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的. 1.若 i 是虚数单位,则复数 i ? (2 ? i) 在复平面内所对应的点位于 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

2.设全集 U ? R , A ? {x x( x ? 3) ? 0}, B ? {x x ? ?1} ,则图中阴影部分表示的集合为 A. (?3, ?1) B. (?1, 0)
1

C. [?1, 0)

D. (??, ?1)

3.某校组织班班有歌声比赛,8 个评委为某个班级打出的分数如茎叶图所示,则这些数据的中位数是 A. 84 B. 85 C. 86 D. 87.5

4.执行如图所示程序框图所表达的算法,若输出的 x 值为 48 ,则输入的 x 值为 A. 3 B. 6 C. 8 D. 12

5.若 a ? 0 , b ? 0 ,且 1, a, b, 4 构成等比数列,则 A. a ? b 有最小值 4
2 2

B. a ? b 有最小值 4 D. a ? b 有最小值 2

C. a ? b 无最小值
2 2

6.圆 x 2 ? y 2 ? 4 x ? 0 在点 P(1, 3) 处的切线方程为 A. x ? 3 y ? 2 ? 0 C. x ? 3 y ? 4 ? 0 B. x ? 3 y ? 4 ? 0 D. x ? 3 y ? 2 ? 0

7.下列函数中,既是奇函数又是减函数的是 A. y ? x 3
1

B. f ( x) ? ? tan x

C. f ( x) ?

x x ?1
2

D. f ( x) ? 2? x ? 2 x

8.设 a, b ? R ,那么“

a >1 ”是“ a >b >0 ”的 b
B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

A.充分而不必要条件 9.若双曲线

x2 y 2 ? ? 1? a ? 0, b ? 0 ? 的一个焦点在直线 x ? y ? 2a ? 0 上,则其渐近线方程为 a 2 b2
B. y ? ?
2

A. y ? ? 3x

3 x 3

C. y ? ?

1 x 3

D. y ? ?3x

10.已知 f ( x) ? cos ? x ? 3 sin ? x ? cos? x ?

1 ? ? ? 0? 的图象与 y ? 1 的图象的两相邻交点间 2

的距离为 ? ,要得到 y ? f ( x) 的图象,只须把 y ? cos 2 x 的图象

? 个单位 3 ? C.向左平移 个单位 6
A.向左平移

? 个单位 3 ? D.向右平移 个单位 6
B.向右平移
2

11.已知周期函数 f ( x) 的定义域为 R ,周期为 2,且当 ?1 ? x ? 1 时, f ( x) ? 1? x2 .若直线

y ? ? x ? a 与 曲 线 y ? f ( x) 恰 有 2 个 交 点 , 则 实 数 a 的 所 有 可 能 取 值 构 成 的 集 合 为
A. {a | a ? 2k ?

3 5 或 2k ? , k ? Z } 4 4 5 C. {a | a ? 2k ? 1 或 2 k ? , k ? Z } 4

B. {a | a ? 2k ?

1 3 或 2k ? , k ? Z } 4 4

D. {a | a ? 2k ? 1 , k ? Z }

12.如图,在棱长为 1 的正方体 ABCD ? A1B1C1D1 的对角线 AC1 上任取一点 P, 以 A 为球心, AP 为半径作一个球.设 AP ? x ,记该球面与正方体表面的交线 的长度和为 f ( x) ,则函数 f ( x) 的图象最有可能的是
y y y y

O

1

2

3 x

O

1

2

3 x

O

1

2

3 x

O

1

2

3 x

A.

B.

C.

D.

第Ⅱ卷(非选择题

共 90 分)


二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分.将答案填在答题卡的相应位置. 13.已知向量 a ? (4, m) , b ? (?1, 2) ,若 a ? b ? a ? b ,则实数 m 等于

(0,50] 14. 根据 2012 年初我国发布的 《环境空气质量指数 AQI 技术规定 (试行), 共分为六级: 》AQI
为优, (50,100] 为良, (100,150] 为轻度污染, (150, 200] 为中度 污染, (200,300] 为重度污染,300 以上为严重污染.2013 年 5 月 1 日出版的 《A 市早报》 报道了 A 市 2013 年 4 月份中 30 天的 AQI 统计数据, 右图是根据统计数据绘制的频率分布直方图. 根据图中 的信息可以得出 A 市该月环境空气质量优良的总天数 为 .

15.一水平放置的平面图形 OABC ,用斜二测画法画出它的直观图 O ' A ' B ' C ' 如图 所示,此直观图恰好是一个边长为 2 的正方形,则原平面图形 OABC 的面积
3





16.对于 30 个互异的实数,可以排成 m 行 n 列的矩形数阵,右图所示的 5 行 6 列的矩形数阵就是 其中之一.

x1 y1 数选出,记为 a1 , a2 , ???am ,并设其中最小的数为 a ;把每列中最小 ? ? 的数选出,记为 b1 , b2 , ???bn ,并设其中最大的数为 b . z1
两位同学通过各自的探究,分别得出两个结论如下: ①a 和 b 必相等; ③a 可能大于 b ; ②a 和 b 可能相等; ④b 可能大于 a .

将 30 个互异的实数排成 m 行 n 列的矩形数阵后,把每行中最大的

x2 y2 ? ? z2

? ? ? ? ?

? ? ? ? ?

? x6 ? y6 ? ? ? ? ? z6

以上四个结论中,正确结论的序号是__________________(请写出所有正确结论的序号) . 三、解答题:本大题共6小题,共74分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.在某次模块水平测试中,某同学对于政治、历史、地理这三个学科每个学科是否能达到优秀 水平的概率都为

1 ,记政治、历史、地理达到优秀水平的事件分别为 A1 、 A2 、 A3 ,未达到优 2

秀水平的事件分别为 A1 、 A2 、 A3 . (Ⅰ)若将事件 “该同学这三科中恰有两科达到优秀水平” 记为 M ,试求事件 M 发生的概 率; (Ⅱ)请依据题干信息,仿照(Ⅰ)的叙述,设计一个关于该同学测试成绩情况的事件 N ,使 得事件 N 发生的概率大于 85 % ,并说明理由.

18.已知 ?ABC 外接圆 O 的半径为 1 ,且 OA ? OB ? ?

??? ??? ? ?

1 . 2

(Ⅰ)求 AB 边的长及角 C 的大小; (Ⅱ)从圆 O 内随机取一个点 M ,若点 M 取自 ?ABC 内 的概率恰为

3 3 ,试判断 ?ABC 的形状. 4?
4

19.在数列 {an } 和等比数列 {bn } 中, a1 ? 0 , a3 ? 2 , bn ? 2 (Ⅰ)求数列 {bn } 及 {an } 的通项公式; (Ⅱ)若 cn ? an ? bn ,求数列 {cn } 的前 n 项和 Sn .

an ?1

(n ? N * ) .

20.已知长方体 ABCD ? A1B1C1D1 中,底面 ABCD 为正方形, D1 D ? 面 ABCD , AB ? 4 ,

AA1 ? 2 ,点 E 在棱 C1D1 上,且 D1E ? 3 .
(Ⅰ)试在棱 CD 上确定一点 E1 ,使得直线 EE1 / / 平面 D1 DB ,并 证明; (Ⅱ)若动点 F 在底面 ABCD 内,且 AF ? 2 ,请说明点 F 的轨迹, 并探求 EF 长度的最小值.

21.已知 F (0,1) 是中心在坐标原点 O 的椭圆 C 的一个焦点,且椭圆 C 的离心率 e 为 (Ⅰ)求椭圆 C 的方程;

1 . 2

(Ⅱ)设: M ( x1 , y1 ) 、 N ( x2 , y2 ) 为椭圆 C 上不同的点,直线 MN 的斜率为 k1 ; A 是满足

???? ???? ? ??? ? OM ? ON ? ? OA( ? ? 0 )的点,且直线 OA 的斜率为 k2 .
①求 k1 ? k2 的值; ②若 A 的坐标为 ( ,1) ,求实数 ? 的取值范围.

3 2

5

22.定义域为 D 的函数 f ? x ? ,其导函数为 f '( x) .若对 ?x ? D ,均有 f ( x) ? f '( x) ,则称函数

f ? x ? 为 D 上的梦想函数.
(Ⅰ)已知函数 f ? x ? ? sin x ,试判断 f ( x) 是否为其定义域上的梦想函数,并说明理由; (Ⅱ)已知函数 g ? x ? ? ax ? a ? 1( a ? R , x ? (0, ? ) )为其定义域上的梦想函数,求 a 的取 值范围; (Ⅲ)已知函数 h ? x ? ? sin x ? ax ? a ?1( a ? R , x ? [0, ? ] )为其定义域上的梦想函数,求

a 的最大整数值.

泉州市 2013 届普通中学高中毕业班质量检测 文科数学试题参考解答及评分标准
说明: 一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力,并给出了一种或几种解法供参考,如果考 生的解法与本解答不同,可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则. 二、对计算题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后继部分的解答未改变该题的内容 和难度,可视影响的程度决定后继部分的给分,但不得超过该部分正确解答应给分数的一半;如 果后继部分的解答有较严重的错误,就不再给分. 三、解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 四、只给整数分数.选择题和填空题不给中间分. 一、选择题:本大题考查基础知识和基本运算.每小题 5 分,满分 60 分. 1.B 7.D 2.A 8.B 3.C 9.A 4.B 10.C 5.B 11.C 6.D 12.B

二、填空题:本大题考查基础知识和基本运算.每小题 4 分,满分 16 分. 13. 2 14. 12 15. 8 2 16.② ③

三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.本小题主要考查古典概型等基础知识,考查运算求解能力以及应用意识,考查必然与或然思 想等.满分 12 分.
6

解: (Ⅰ)依题意,总的基本事件有“ ( A1 , A2 , A3 ) , ( A , A2 , A3 ) , ( A , A2 , A3 ) , ( A , A2 , A3 ) , 1 1 1 ,共 ( A1 , A2 , A3 ) , ( A1 , A2 , A3 ) , ( A1 , A2 , A3 ) , ( A1 , A2 , A3 ) ” 8 种,??????2 分 事件 M 包含的基本事件有“ ( A , A2 , A3 ) , ( A , A2 , A3 ) , ( A , A2 , A3 ) ” ,共 3 种,?4 分 1 1 1 由于每个基本事件发生的可能性都相等,故事件 M 发生的概率 P ( M ) ?

3 .??6 分 8

(Ⅱ)方案一:记“该同学这三科中至少有一科达到优秀水平”的事件为 N ,则事件 N 发生的 概率大于 85 % .????8 分 理由:事件 N 包含的基本事件有“ ( A1 , A2 , A3 ) , ( A , A2 , A3 ) , ( A , A2 , A3 ) , 1 1 ,共 ( A1 , A2 , A3 ) , ( A1 , A2 , A3 ) , ( A1 , A2 , A3 ) , ( A1 , A2 , A3 ) ” 7 种,??10 分 由于每个基本事件发生的可能性都相等,所以 P ( N ) ?

7 ? 85% .??12 分 8

方案二:记 “该同学参加这次水平测试成绩不全达到优秀水平”的事件为 N ,则事件 N 发生 的概率大于 85 % .????8 分 理由:事件 N 包含的基本事件有“ ( A , A2 , A3 ) , ( A , A2 , A3 ) , ( A , A2 , A3 ) , 1 1 1 ,共 ( A1 , A2 , A3 ) , ( A1 , A2 , A3 ) , ( A1 , A2 , A3 ) , ( A1 , A2 , A3 ) ” 7 种,??10 分 由于每个基本事件发生的可能性都相等,故 P ( N ) ?

7 ? 85% .???12 分 8

18.本小题主要考查向量的数量积、几何概型、解三角形等基础知识,考查运算求解能力,考查 函数与方程思想等. 满分 12 分. 解: (Ⅰ)依题意 OA ? OB ? OA ? OB ? cos ?AOB ? ?

1 ,??????2 分 2 1 2? 得 cos ?AOB ? ? ,又 0 ? ?AOB ? ? ,故 ?AOB ? ,?4 分 2 3
又 ?AOB 为等腰三角形, 故 AB ? 3 , 而 ?C ? ????5 分

??? ??? ? ?

??? ??? ? ?

1 ? 1 2? ?AOB ? 或 ?C ? (2? ? ?AOB) ? .??????6 分 2 3 2 3

(Ⅱ)依题意,从圆 O 内随机取一个点,取自 ?ABC 内的概率 P ?

S?ABC , S圆O

7

可得 S?ABC ?

3 3 .??????8 分 4

设 BC ? a , AC ? b . 设 ?C ?

2? 1 3 3 ,由 S?ABC ? ? ab ? sin C ? ,得 ab ? 3 , ……① 3 2 4
2 2 2 2

由 AB ? a ? b ? 2ab cos C ? 3 ,得 a ? b ? ab ? 3 , ……②
2 2 2 联立①②得 a ? b ? 0 ,这是不可能的. 所以必有 ?C ?

?
3

.

????9 分

由 S?ABC ?
2

1 3 3 ,得 ab ? 3 , ……① ? ab ? sin C ? 2 4
2 2 2 2 2 2

由 AB ? a ? b ? 2ab cos C ? 3 ,得 a ? b ? ab ? 3 , a ? b ? 6

…②???11 分

联立①② 解得 a ? b ? 3 ,所以 ?ABC 为等边三角形.??????12 分 19.本小题主要考查等比数列、数列通项公式、数列求和等基础知识,考查运算求解能力,考查 函数与方程思想等. 满分 12 分. 解法一: (Ⅰ)依题意 b1 ? 2 , b3 ? 23 ? 8 ,??????2 分 设数列 {bn } 的公比为 q ,由 bn ? 2
an ?1

? 0 ,可知 q ? 0 ,???3 分

2 由 b3 ? b1 ? q2 ? 2 ? q2 ? 8 ,得 q ? 4 ,又 q ? 0 ,则 q ? 2 ,???4 分

故 bn ? b1qn ?1 ? 2 ? 2n ?1 ? 2n ,???5 分 又由 2
a n ?1

? 2n ,得 an ? n ? 1 .??????6 分
n

(Ⅱ)依题意 cn ? (n ? 1) ? 2 .??????7 分

Sn ? 0 ? 21 ? 1? 22 ? 2 ? 23 ? ? ? ? ? (n ? 2) ? 2n?1 ? (n ? 1) ? 2n ,
则 2Sn ? 0 ? 22 ? 1? 23 ? 2 ? 24 ? ? ? ? ? (n ? 2) ? 2n ? (n ? 1) ? 2n ?1 ①-②得 ? Sn ? 2 ? 2 ? ??? ? 2 ? (n ? 1) ? 2
2 3 n n ?1

① ②??9 分

?

22 ? 2n?1 ? (n ? 1) ? 2n ?1 , 1? 2

????11 分
8

即 ? Sn ? ?4 ? (2 ? n) ? 2n ?1 ,故 Sn ? 4 ? (n ? 2) ? 2n ?1 .??????12 分 解法二: (Ⅰ)依题意 {bn } 为等比数列,则 由 bn ? 2 由
an ?1

bn ?1 , ? q (常数) bn

? 0 ,可知 q ? 0 ,??????2 分

2a n?1 ?1 ? 2a n?1 ? a n ? q , 2a n ?1

得 an ?1 ? an ? log2 q (常数) ,故 {an } 为等差数列,????4 分 设 {an } 的公差为 d ,由 a1 ? 0 , a3 ? a1 ? 2d ? 0 ? 2d ? 2 ,得 d ? 1 , 故 an ? n ? 1 .????6 分 (Ⅱ)同解法一. 20.本小题主要考查直线与直线、直线与平面的位置关系等基础知识,考查空间想象能力、推理 论证能力及运算求解能力,考查化归与转化思想等.满分 12 分. 解: (Ⅰ) CD 的四等分点 E1 , 取 使得 DE1 ? 3 , 则有 EE1 / / 平面 D1DB . 证明如下:???1 分 因为 D1E / / DE1 且 D1E ? DE1 , 所 以 四 边 形 D1EE1D 为 平 行 四 边 形 , 则

D1D / / EE1 ,???2 分
因为 DD1 ? 平面 D1DB , EE1 ? 平面 D1DB ,所以 EE1 / / 平面 D1DB .???4 分 (Ⅱ)因为 AF ? 2 ,所以点 F 在平面 ABCD 内的轨迹是以 A 为圆心,半径等于 2 的四分之 一圆弧.??????6 分 因 为 EE1 / / DD1 , D1 D ? 面 ABCD , 所 以 E1E ? 面

ABCD , ??????7 分
故 EF ?

E1 E 2 ? E1 F 2 ? 4 ? E1 F 2 .??????8 分
9

所以当 E1F 的长度取最小值时, EF 的长度最小,此时点 F 为线段 AE1 和四分之一圆 弧的交点,??????10 分 即 E1F ? E1 A ? AF ? 5 ? 2 ? 3 , 所以 EF ?

E1E 2 ? E1F 2 ? 13 .

即 EF 长度的最小值为 13 .??????12 分 21.本小题主要考查椭圆的标准方程、直线与椭圆等基础知识,考查推理论证能力、运算求解能 力,考查函数与方程思想、化归与转化思想、数形结合思想等.满分 12 分.

y 2 x2 解: (Ⅰ)依题意,可设椭圆 C 的方程为 2 ? 2 ? 1 ( a ? b ? 0 ) ,??????1 分 a b
由 c ? 1, e ?
2 2

c 1 ? ,得 a ? 2 , a 2
2 2

由 b ? a ? c ,可得 b ? 3 ,??????3 分

故椭圆 C 的方程为

y 2 x2 ? ? 1 .??????4 分 4 3

(Ⅱ)解法一:①由 M ( x1 , y1 ) 、 N ( x2 , y2 ) 且 k1 存在,得 k1 ?

y2 ? y1 ,??????5 分 x2 ? x1

由 OM ? ON ? ? OA , ? ? 0 且 k 2 存在,得 k2 ?

???? ???? ?

??? ?

y2 ? y1 , x2 ? x1

则 k1 ? k2 ?

2 y2 ? y1 y2 ? y1 y2 ? y12 .??????6 分 ? ? 2 x2 ? x1 x2 ? x1 x2 ? x12

∵ M ( x1 , y1 ) , N ( x2 , y2 ) 在椭圆上,∴

y12 x12 y 2 x2 ? ? 1 , 2 ? 2 ? 1 ,???7 分 4 3 4 3

两式相减得 ∴ k1 ? k2 ? ?

2 2 y2 ? y12 x2 ? x12 y 2 ? y12 4 ? ?0, 2 ?? , 2 2 4 3 x2 ? x1 3

4 .??????8 分 3 3 2 ②若 A 的坐标为 ( ,1) ,则 k 2 ? ,由①可得 k1 ? ?2 . 2 3
10

设直线 MN : y ? ?2 x ? m ( m ? R ) ,

? y ? ?2 x ? m, ? 2 2 由 ? y 2 x2 得 16 x ? 12mx ? 3m ? 12 ? 0 ,????9 分 ? ? 1, ? 3 ? 4
3m . 4 ???? ???? ? ??? ? 3 ∵ OM ? ON ? ? OA ,∴ x1 ? x2 ? ? , m ? 2? . ????10 分 2
所以 x1 ? x2 ? 又由 ? ? ? ?12m ? ? 4 ?16 ? 3m ? 12 ? 0 ,解得 ?4 ? m ? 4 ,??????11 分
2 2

?

?

∴ ?2 ? ? ? 2 且 ? ? 0 .??????12 分 解法二:①设直线 MN : y ? k1 x ? m ( m ? R ) , 若 m ? 0 ,则 x1 ? x2 ? 0, 由 A 满足 OM ? ON ? ? OA ? ? R , ? ? 0 ) ( ,得

???? ???? ?

??? ?

xA ? 0 ,∵直线 OA 的斜率 k2 存在,∴ m ? 0 .

???5 分

? y ? k1 x ? m, ? 由 ? y 2 x2 得 (4 ? 3k12 ) x2 ? 6k1mx ? 3m2 ?12 ? 0 ……(*).?????6 分 ? ? ? 1, 3 ?4
∵ M ( x1 , y1 ) 、 N ( x2 , y2 ) ,∴ x1 ? x2 ? ?

6k1m . 4 ? 3k12

???7 分

∵ y1 ? y2 ? k1 ( x1 ? x2 ) ? 2m , A 满足 OM ? ON ? ? OA , ∴直线 OA 的斜率 k2 ? 经化简得 k1 ? k2 ? ?

???? ???? ?

??? ?

y1 ? y2 4 ? 3k12 2m , ? k1 ? ? k1 ? x1 ? x2 x1 ? x2 3k1
???9 分

4 . 3

②若 A 的坐标为 ( ,1) ,则 k 2 ?
2

3 2

2 ,由①可得 k1 ? ?2 . ???10 分 3
2

∴方程(*)可化为 16 x ? 12mx ? 3m ? 12 ? 0 , 下同解法一. 22.本小题主要考查函数、导数等基础知识,考查推理论证能力、运算求解能力,考查化归与转 化思想、分类与整合思想、函数与方程思想、数形结合思想等.满分 14 分.
11

解: (Ⅰ)函数 f ? x ? ? sin x 不是其定义域上的梦想函数.??????1 分 理由如下:

f ? x ? ? sin x 定义域 D ? R , f ' ? x ? ? cos x ,??????2 分
存在 x ?

?
3

,使 f ( ) ? f '( ) ,故函数 h ? x? ? sin x 不是其定义域 D ? R 上的梦想函

?

?

3

3

数.??4 分 (Ⅱ) g ? x ? ? ax ? a ?1 , g ' ? x ? ? a ,若函数 g ? x ? ? ax ? a ? 1 在 x ? (0, ? ) 上为梦想函数, 则 ax ? a ? 1 ? a 在 x ? (0, ? ) 上恒成立,??????5 分

1 在 x ? (0, ? ) 上恒成立, x 1 1 因为 y ? 在 x ? (0, ? ) 内的值域为 ( , ?? ) ,??????7 分 x ? 1 所以 a ? .??????8 分
即a ?

?

(Ⅲ) h' ( x) ? cos x ? a ,由题意 h' ( x) ? h( x) 在 x ? [0, ? ] 恒成立, 故 cos x ? a ? sin x ? ax ? a ? 1 ,即 ax ? cos x ? sin x ? 1 在 x ? [0, ? ] 上恒成立. ①当 x ? 0 时, a ? 0 ? cos 0 ? sin 0 ? 1 ? 2 显然成立;?????9 分 ②当 0 ? x ? ? 时,由 ax ? cos x ? sin x ? 1 可得 a ? 立. 令 F ( x) ?

cos x ? sin x ? 1 对任意 x ? ? 0, ? ? 恒成 x

cos x ? sin x ? 1 (?sin x ? ) x ?x (cos cos ? ( ) ,则 F ' x ? x x2

x ? 1 ? sin ) x

,?10 分

令 k ( x) ? (? sin x ? cos x) ? x ? (cosx ? sin x ? 1) , 则 k '( x) ? (sin x ? cos x) ? x ? 当 x ? (0, 当 x?(

?

2 x ? sin( x ? ) . 4

?

?

] 时,因为 k ' ( x) ? 0 ,所以 k (x) 在 (0, ] 单调递减; 4 4

?

, ? ] 时,因为 k ' ( x) ? 0 ,所以 k (x) 在 ( , ? ] 单调递增. 4 4

?

∵ k (0) ? ?2 ? 0 , k ( ) ? ?

?

4

2 ? ?1 ? 0 , 4
12

∴当 x ? (0,

?
4

] 时, k ( x) 的值均为负数.

∵ k( ) ? ?

?

4

2 ? ? 1 ? 0 , k (? ) ? ? ? 0 , 4

∴当 x ? (

?
4

, ? ] 时,

k ( x) 有且只有一个零点 x0 ,且 x0 ? ( , ? ) . 4

?

?????11 分

∴当 x ? (0, x0 ) 时, k ( x) ? 0 ,所以 F '( x) ? 0 ,可得 F ( x) 在 (0, x0 ) 单调递减; 当 x ? ( x0 , ? ) 时, k ( x) ? 0 ,所以 F '( x) ? 0 ,可得 F ( x) 在 ( x0 , ? ) 单调递增. 则 F ( x) min ? F ( x0 ) ?

cos x0 ? sin x0 ? 1 .????12 分 x0

因为 k ( x0 ) ? 0 ,所以 cos x0 ? sin x0 ? 1 ? (? sin x0 ? cos x0 ) ? x0 ,

F ( x) min ? F ( x0 ) ? ? sin x0 ? cos x0 ? ? 2 sin( x0 ? ) .????13 分 4 ? ? ? 3? ∵ k (x) 在 ( , ? ] 单调递增, k ( ) ? ? ? 0 , k ( ) ? 2 ? 1 ? 0 , 4 2 2 4 ? 3? ∴ ? x0 ? , 2 4
所以 ?1 ? ? 2 sin( x0 ?

?

?

4

) ? 0 ,即 ?1 ? F ( x0 ) ? 0 .

又因为 a ? F ( x0 ) ,所以 a 的最大整数值为 ?1 .????14 分

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泉州市2013届高三5月质量检查数学文试题 Word版含答案

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泉州市2015届高三5月质量检测数学(文)试题含答案

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泉州市2013届高三3月质量检查(数学文)

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