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河北省石家庄市第一中学2013-2014学年高二上学期开学考试 数学文试题 Word版含答案


石家庄一中 2012 级高二级部第一学期开学考试数学试卷 试卷Ⅰ(共 60 分)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的.每小题选出答案后,请填涂在答题卡上. 1.已知集合 M ? ??1, 0,1? , N ? ?0,1, 2? ,则如图所示韦恩图 部分所表示的集合为( C ) A. ?0,

1? B. ??1, 0,1? C. ??1, 2? D. ??1, 0,1, 2? 中的阴影

2.在下列命题中,不是公理 的是( A ) .. A.平行于同一个平面的两个平面相互平行 B.过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面 C.如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上所有的点都在此平面内 D.如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线 3.下列函数中既不是奇函数也不是偶函数的是( D ) A. y ? 2
| x|

B. y ? lg( x ?

x 2 ? 1)

C. y ? 2 ? 2
x

?x

D. y ? lg

4.过点 (1, 0) 且与直线 x ? 2 y ? 2 ? 0 平行的直线方程是( D ) A. x ? 2 y ? 1 ? 0 C. 2 x ? y ? 2 ? 0 B. x ? 2 y ? 1 ? 0 D. x ? 2 y ? 1 ? 0

1 x ?1

5.设 l , m 是两条不同的直线, ? 是一个平面,则下列命题正确的是( B ) A.若 l ? m , m ? ? ,则 l ? ? C.若 l //? , m ? ? ,则 l //m 6.为了得到函数 y ? sin(2 x ? B.若 l ? ? , l //m ,则 m ? ? D.若 l //? , m//? ,则 l //m

) 的图像,只需把函数 y ? sin(2 x ? ) 的图像( B ) 3 6 ? ? A.向左平移 个长度单位 B.向右平移 个长度单位 4 4 ? ? C.向左平移 个长度单位 D.向右平移 个长度单位 2 2 7.等比数列 x , 3x ? 3 , 6 x ? 6 , ? 的第四项等于( A ) A. ?24 B. 0 C. 9 x ? 9 D. 24
8. 在 ?ABC 中, 角 A、 B、 C 所对的边分别为 a 、b 、c , 若 b cos C ? c cos B ? a sin A , 则 ?ABC 的形状为( B ) A.锐角三角形 C.钝角三角形

?

?

B.直角三角形 D.不确定 半圆的直径

9.已知某几何体的三视图如图所示,其中正视图中

为 2 ,则该几何体的体积为( A. 24 ? C. 24 ?

C )

?
3 3 ? 2

B. 24 ?

?
2

D. 24 ? ?

10.已知点 A ? ?1,1? 、 B ?1, 2 ? 、 C ? ?2, ?1? 、 D ? 3, 4 ? ,则向量 AB 在 CD 方向上的投影为 ( A ) A.

??? ?

??? ?

3 2 2

B.

3 15 2

C. ?

3 2 2

D. ?

3 15 2

11.设 f ( x) 是定义在实数集 R 上的函数,满足条件 y ? f ( x ? 1) 是偶函数,且当 x ? 1 时,

1 2 3 1 f ( x) ? ( ) x ? 1 ,则 f ( ) 、 f ( ) 、 f ( ) 的大小关系是( D ) 3 2 2 3 1 3 2 2 1 3 A. f ( ) ? ( ) ? f ( ) B. f ( ) ? f ( ) ? f ( ) 3 2 3 3 3 2 3 2 1 2 3 1 C. f ( ) ? f ( ) ? f ( ) D. f ( ) ? f ( ) ? f ( ) 2 3 3 3 2 3 x 12 . 设 函 数 f ( x) ? e ? 2 x ? a ( a?R , e 为 自 然 对 数 的 底 数 ) . 若 存 在 b ? [ 0 , 1] 使
f ( f (b)) ? b 成立,则 a 的取值范围是( B )
A. [1, e] B. [1,1 ? e] C. [e,1 ? e] D. [0,1]

试卷 II(90 分)
二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.答案填在答题纸相 应的空内. 13.已知函数 f ( x ) ? ?

?log 3 x, x ? 0 ?2 , x ? 0
x

,则 f ( f ( )) ?

1 9

***



1 4

?5 x ? 2 y ? 18 ? 0 ? 14.设变量 x 、 y 满足 ? 2 x ? y ? 0 ,若直线 kx ? y ? 2 ? 0 经过该可行域,则 k 的最大 ?x ? y ?3 ? 0 ?
值为 .1 15 . 已知 三棱 柱 ABC ? A1 B1C1 的 6 个顶 点 都在 球 O 的 球面 上,若 AB ? 3,AC ? 4 ,

AB ? AC , AA1 ? 12 ,则球 O 的体积为

133 2197 ?? ?. 6 6

16. 已知 f ( x) ?

1 , 各项均为正数的数列 ? an ? 满足 a1 ? 1 ,an ? 2 ? f (an ) , 若 a2 0 1 1? x


? 2 0 1 a



则 a20 ? a11 的值是 【解析】由题意得, a3 ?

1 2 8 , a5 ? ,…, a11 ? , 2 3 13
?1? 5 ,易得 a 2010 = a 2008 =…= a 24 = a 22 = a 24 = a 20. , 2

∵ a 2010 ? a 2012 ,且 a n. >0,∴ a 2010 ?

∴ a 20. + a11 =

? 1 ? 5 8 3 ? 13 5 + = . 26 2 13

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.请将解答过程书写在答题纸上, 并写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 10 分) (Ⅰ) l 的方程为 (m ? 2m ? 3) x ? (2m ? m ? 1) y ? 2m ? 6 , 根据下列条件分别确定 m 的值.
2 2

① x 轴上的截距是 ? 3 ; ② l 的倾斜角为

? ; 4

(Ⅱ)求经过直线 l1 : x ? y ? 1 ? 0 , l 2 : 5 x ? y ? 1 ? 0 的交点,并且与直线

3x ? 2 y ? 1 ? 0 垂直的直线方程.
17 解:(Ⅰ)①把 x ? ?3, y ? 0 代入方程整理得: 3m ? 4m ? 15 ? 0 ,
2

解得: m ? ? 或m ? 3 (舍去) 所以, m ? ?

5 3

5 .………………………………………3 分 3

(2)②由已知得: ?
2

m 2 ? 2m ? 3 ? ? tan , 2 4 2m ? m ? 1

整理得: 3m ? m ? 4 ? 0 ,解得: m ?

4 或m ? ?1 (舍去) 3

所以, m ?

4 .………………………………………………6 分 3

(Ⅱ)设所求直线为 l ,斜率为 k ,设 l1 , l 2 交点为 M .

由已知 ?

?x ? y ? 1 ? 0 ?x ? 0 ,解得 ? ,∴ M 点坐标为 (0, ? 1) . ?5 x ? y ? 1 ? 0 ? y ? ?1

设直线 3x ? 2 y ? 1 ? 0 斜率为 k ? ,则 k ? ? ?

3 , 2

∵ 它与所求直线垂直,∴ k ? k ? ? ?1 ,解得: k ? 代入直线方程的点斜式得: y ? (?1) ? 18. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ?

2 . 3

2 x ………………10 分 3

? ? ? 2 cos ? x ? ? , x ? R . 12 ? ?

(Ⅰ)求 f ? ?

? ?? ? 的值; ? 6?

(Ⅱ)若 cos ? ?

3 ? 3? ? ,? ? ? , 2? ? ,求 5 ? 2 ?

?? ? f ? 2? ? ? . 3? ?

18 解:(Ⅰ) f ? ?

? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? 2 cos ? ? ? ? ? 2 cos ? ? ? ? 2 cos ? 1 . 4 ? 6? ? 6 12 ? ? 4?
……………4 分

(Ⅱ)

?? ? ? ? ?? ? ? ? f ? 2? ? ? ? 2 cos ? 2? ? ? ? ? 2 cos ? 2? ? ? ? cos 2? ? sin 2? 3? 3 12 ? 4? ? ? ?
……………6 分 因为 cos ? ?

3 4 ? 3? ? ,? ? ? , 2? ? ,所以 sin ? ? ? ,…………8 分 5 5 ? 2 ? 24 7 2 2 , cos 2? ? cos ? ? sin ? ? ? …10 分 25 25

所以 sin 2? ? 2sin ? cos ? ? ? 所以 f ? 2? ?

? ?

??

7 ? 24 ? 17 .……………12 分 ? ? cos 2? ? sin 2? ? ? ? ? ? ? ? 25 ? 25 ? 25 3?

19. (本小题满分 12 分) 如图 4,在边长为 1 的等边三角形 ABC 中, D, E 分别是 AB, AC 边上的点, AD ? AE , F 是

BC 的中点, AF 与 DE 交于点 G ,将 ?ABF 沿 AF 折起,得到如图 5 所示的三棱锥 A ? BCF ,
其中 BC ?

2 . 2

(1) 证明: DE //平面 BCF ;(2) 证明: CF ? 平面 ABF ;

(3) 当 AD ?

2 时,求三棱锥 F ? DEG 的体积 VF ? DEG . 3

A

A

G

D

G

E

E
D

B

F

C

F 图 4

C
B 图 5

【答案】 (1)在等边三角形

ABC 中, AD ? AE

?

AD AE ? DB EC ,在折叠后的三棱锥 A ? BCF 中

也成立,? DE / / BC ,? DE ? 平面 BCF ,

BC ? 平面 BCF ,? DE / / 平面 BCF ; …………………………………3 分
BF ? CF ? 1 2.

(2)在等边三角形 ABC 中, F 是 BC 的中点,所以 AF ? BC ①,
BC ? 2 2 2 ,? BC

? 在三棱锥 A ? BCF 中,

? BF 2 ? CF 2 ?CF ? BF ②

? BF ? CF ? F ?CF ? 平面ABF ; …………………………………6 分
(3)由(1)可知 GE / /CF ,结合(2)可得 GE ? 平面DFG .

1 1 1 1 1 ?1 3 ? 1 3 ?VF ? DEG ? VE ? DFG ? ? ? DG ? FG ? GF ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 3 2 3 2 3 ? ? 3 2 ? 3 324 ……10 分
20. (本小题满分 12 分) 设 S n 为数列{ a n }的前项和,已知 a1 ? 0 ,2 a n ? a1 ? S1 ? S n , n ? N
?

(Ⅰ)求 a1 ,并求数列{ a n }的通项公式;(Ⅱ)求数列{ na n }的前 n 项和.
【答案】解: (Ⅰ)

? S1 ? a1 . ? 当n ? 1时, 2a1 ? a1 ? S1 ? S1

? a1 ? 0, a1 ? 1. …………………2 分
当n ? 1时,a n ? s n ? s n ?1 ? 2a n ? a1 2a n ?1 ? a1 ? ? 2a n ? 2a n ?1 ? a n ? 2a n ?1 S1 S1

? {a n }时首项为a1 ? 1公比为q ? 2的等比数列,a n ? 2 n ?1 , n ? N * .
………………………………5 分 (Ⅱ)

设Tn ? 1 ? a1 ? 2 ? a 2 ? 3 ? a3 ? ? ? n ? a n ? qTn ? 1 ? qa1 ? 2 ? qa 2 ? 3 ? qa3 ? ? ? n ? qa n

? qTn ? 1 ? a 2 ? 2 ? a3 ? 3 ? a 4 ? ? ? n ? a n ?1 …………………7 分
上式左右错位相减:

(1 ? q )Tn ? a1 ? a 2 ? a3 ? ? ? a n ? na n ?1

1? qn ? a1 ? na n ?1 ? 2 n ? 1 ? n ? 2 n 1? q

? Tn ? (n ? 1) ? 2 n ? 1, n ? N * . …………………10 分
21. (本小题满分 12 分)19.(本小题满分 12 分) 已知向量 a ? (cos? ,sin? ) , b ? (cos ? ,sin ? ) ,且 a 与 b 满足 | ka ? b |? 中实数 k ? 0 . (Ⅰ)试用 k 表示 a ? b ; (Ⅱ)求 a ? b 的最小值,并求此时 a 与 b 的夹角 ? 的值. 解: (I)因为 | ka ? b |? 3 | a ? kb | ,所以 | ka ? b | ? 3 | a ? kb | ,
2 2

3 | a ? kb | ,其

?

?

?

?

?

?

?

?

? ? ? ? ? ? ? ? k 2 a 2 ? 2ka ? b ? b 2 ? 3a 2 ? 6ka ? b ? 3k 2b 2 ,……3 分
? ? ? ? 8ka ? b ? (3 ? k 2 )a 2 ? (3k 2 ? 1)b 2 ,
? ? (3 ? k 2 ) ?1 ? (3k 2 ? 1) ?1 2k 2 ? 2 k 2 ? 1 . …………6 分 a ?b ? ? ? 8k 8k 4k
(Ⅱ)由(1) a ? b ? 当且仅当

? ?

k 2 ?1 k 1 k 1 1 ? ? ?2 ? ? ,…………9 分 4k 4 4k 4 4k 2

k 1 ,即 k ? 1 时取等号. …………10 分 ? 4 4k 1 1 ? ? ? ? ? 此时, a ? b ?| a | ? | b | ? cos? ? , cos? ? , ? ? , 2 2 3 1 ? ? ? ? ? 所以 a ? b 的最小值为 ,此时 a 与 b 的夹角 ? 为 …………12 分 2 3

22. (本小题满分 12 分) 已知函数 y ? f ( x) , 若存在 x0 ? R , 使 f ( x0 ) ? x0 , 则称 x0 是函数 y ? f ( x) 的一个不动点. 设 二次函数 f ( x) ? ax ? (b ? 1) x ? (b ?1) .
2

(Ⅰ)对任意实数 b ,函数 f ( x) 恒有两个相异的不动点,求 a 的取值范围; (Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下,若 y ? f ( x) 的图象上 A, B 两点的横坐标是 f ( x) 的不动点, 且 A, B 两点关于直线 y ? kx ?

1 2a 2 ? 1

对称,求 b 的最小值.

解: (Ⅰ)∵函数 f ( x) 恒有两个相异的不动点, ∴ ∴

f ( x) ? x ? ax 2 ? bx ? (b ? 1) ? 0





















? ? b2 ? 4a(b ? 1) ? b2 ? 4ab ? 4a ? 0 对 b ? R 恒成立,

(4a)2 ? 16a ? 0 ,得 a 的取值范围为 (0,1) .……………4 分 x ? x2 b 2 (Ⅱ)由 ax ? bx ? (b ? 1) ? 0 得 1 ?? , 2 2a 1 由题知 k ? ?1 , y ? ? x ? 2 ,……………6 分 2a ? 1 b b 1 设 A, B 中点为 E ,则 E 的横坐标为 (? , ? 2 ) ,……………10 分 2a 2a 2a ? 1 b b 1 ∴ ? , ? ? 2 2a 2a 2a ? 1 a 1 2 1 ∴ b?? 2 ,当且仅当 2a ? (0 ? a ? 1) ,即 ?? ?? 1 2a ? 1 4 a 2a ? a 2 2 a? 时等号成立,∴ b 的最小值为 ? .……………12 分 2 4


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