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7函数的基本性质(一)(单调性、奇偶性、周期性)-学生版

时间:2015-08-15


教学内容概要
高中数学备课组 日期 教师: 上课时间 年级:高三 学生:

主课题:函数的基本性质一(单调性、奇偶性、周期性) 教学目标:
1、掌握函数单调性的证明方法; 2、掌握奇偶性的判断方法及奇偶性的性质与应用; 3、掌握函数周期性的应用;

教学重点:
1、函数单调性、奇偶性的判断; 2、函数各个性质的

应用;

教学难点:
函数性质的综合。

家庭作业
1、完成拓展内容 2、复习知识点

1

教学内容
【知识精讲】
1、函数的单调性 若函数 f ?x ? 满足 则称函数 f ?x ? 在区间 D 上是单调递增函数。 若函数 f ?x ? 满足 则称函数 f ?x ? 在区间 D 上是单调递减函数。 单调性是函数的局部性质, 反映的是函数在其定义域的某个子集上所具备的变化趋势, 所以 在描述单调性的时候必须阐明单调区间。 2、函数奇偶性 (1)函数奇偶性的定义: 函数 f ?x ? 满足,则称 f ?x ? 为奇函数 函数 f ?x ? 满足,则称 f ?x ? 为偶函数 (2)判断奇偶性的基本步骤:

(3)奇函数的性质、 、 偶函数的性质、

3、函数的周期性 对于函数 y ? f ?x ? , 如果一个常数 T ?T ? 0? , 使得对于定义域内的任意一个 x , 都有, 那么这个函数 f ?x ? 叫做周期函数, 非零常数 T 叫做 f ?x ? 的周期, 对于一个周期函数来说, 如果在所有的周期中存在一个最小正数,那么这个最小正数叫做这个函数的最小正周期。 4、补充常用性质:

2

①若 f ( x ? a ) ? ? f ( x) ,则 f ( x ? 2a ) ? ? f ( x ? a ) ? ??? f ( x)? ? f ( x) ,即 T ? 2a ; ②若 f ( x ? a ) ?

1 1 ,则 f ( x ? 2a ) ? ? f ( x ? a) f ( x)

1 ? f ( x) ,即 T ? 2a ; 1 f ( x)

③若 f ( x ? a ) ? ?

1 1 1 ,则 f ( x ? 2a ) ? ? ?? ? f ( x) ,即 T ? 2a 。 1 f ( x ? a) f ( x) ? f ( x)

④若 f ( x ?

a 1 ? f ( x) a 1 ? f ( x) 或 f (x ? ) ? , T ? 2a )? 2 1 ? f ( x) 2 1 ? f ( x)

⑤如果奇函数满足 f ( x ? T ) ? ? f ( x) 则可以推出其周期是 2T ,且可以推出对称轴为

x?

T ? 2kT (k ? z ) ,根据 f ( x) ? f ( x ? 2T ) 可以找出其对称中心为 (kT, 0) (k ? z ) (以 2

上T ? 0 ) 如果偶函数满足 f ( x ? T ) ? ? f ( x) 则亦可以推出周期是 2T ,且可以推出对称中心为

(

T ? 2kT ,0) (k ? z ) ,根据 f ( x) ? f ( x ? 2T ) 可以推出对称轴为 x ? T ? 2kT (k ? z )(以 2

上T ? 0 ) 。 ⑥如果奇函数 y ? f ( x) 满足 f (T ? x) ? f (T ? x) ( T ? 0 ) ,则函数 y ? f ( x) 是以 4T 为 周期的周期性函数。如果偶函数 y ? f ( x) 满足 f (T ? x) ? f (T ? x) ( T ? 0 ) ,则函数

y ? f ( x) 是以 2T 为周期的周期性函数。

【经典例题】
例 1、根据函数的单调性填空:
3

(1)函数 y ? ? x2 ? 2x ? 8 的单调递减区间是。

(2)函数 f ? x ? ? ax2 ? 4 ? a ? 1? x ? 3 在 ?2, ??? 上递减,则 a 的取值范围是。

(3)若函数 f ? x ? ? x ? a ? 2 在 ?0, ??? 上为增函数,则实数 a 的取值范围是。

(4)设 y ? f ? x ? 是 R 上的减函数,则 y ? f

? x ? 3 ? 的单调递减区间为。

? x 2 ? 1 ( x ? 1) (5)若函数 f ( x) ? ? 在 R 上是单调递增函数,则 a 的取值范围是。 ?ax ? 1 ( x ? 1)

例 2、判断下列各函数的奇偶性: (1) f ( x) ? ( x ? 1)

1? x 1? x ; (2) f ( x ) ? x lg 1? x 1? x
1 1 ? ) 3 ?1 2
x

(3) f ( x) ? 1 ? x2 ? x2 ?1 (4) f ( x ) ? x (

2 ? ( x ? 0) ?x ? x 2 (5) f ( x) ? ? 2 (6) f ( x) ? x ? x ? a ? 1(a ? R) ( x ? 0) ? ?? x ? x

例 3、若 f ( x ) 为奇函数,且在 (??, 0) 上是减函数,又 f (?2) ? 0 ,则 x ? f (x ) ?0 的解集为 ___________.

4

例 4、 (1)已知 f ( x ) 是 R 上的奇函数,且当 x ? (0, ??) 时, f ( x) ? x(1 ? 3 x ) , 则 f ( x ) 的解析式为。

x? R, (2) 已知 f ( x ) 是偶函数, 当 x ? 0 时,f ( x ) 为增函数, 若 x1 ? 0, x2 ? 0 , 且 | x1 |?| x2 | ,
则()

A f (? x1 ) ? f (? x2 ) B f (? x1 ) ? f (? x2 )
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C ? f ( x1 ) ? f (? x2 ) D ? f ( x1 ) ? f (? x2 )
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例 5 、 已 知 函 数 f ( x ) 的 定 义 域 是 x ? 0 的 一 切 实 数 , 对 定 义 域 内 的 任 意 x1 , x2 都 有 ,且当 x ? 1 时 f ( x) ? 0, f (2) ? 1 , f (x 1? x 2) ? f( x 1 )? f ( x 2 ) (1)求证: f ( x ) 是偶函数; (2) f ( x ) 在 (0, ??) 上是增函数;

例 6、 (1) 已知 g ( x) ? ? x ? 3, f ( x) 是二次函数, 且 f ( x) ? g ( x) 为奇函数, 当 x ? ?? 1,2?时,
2

得 f ( x ) 最小值为 1,求 f ( x ) 的表达式 (2)已知函数 f ( x ) 对一切 x, y 都有 f ( x ? y) ? f ( x) ? f ( y) ,
5

求证: f ( x ) 是奇函数:若 f (?3) ? a ,试用 a 表示 f (12)

例 7、设函数 f ( x) 的定义域 ? x x ? R, 且x ?

? ?

k 1 ,如果 f ( x) 为 , k ? Z ?, f ( x ? 1) ? ? 2 f ( x)

x 奇函数,且当 0 ? x ? 1 时, f ( x) ? 3

2

2003 ) (1)求 f ( 4
6

1 ? x ? 2k ? 1(k ? Z ) 时,求 f ( x) 的表达式 2 1 (3)请问是否存在正整数 k ,使得当 2k ? ? x ? 2k ? 1(k ? Z ) 时, 2
(2)当 2k ?

log 3 f ( x) ? x 2 ? kx ? 2k 有解?如果存在,求出所有的 k ,如果不存在,说明理由

【拓展提高】
例 8、 已知函数 y ? f ( x) 是定义在 R 上的周期函数, 周期 T ? 5 , 函数 y ? f ( x)(?1 ? x ? 1) 是奇函数 又知 y ? f ( x) 在 [0,1] 上是一次函数,在 [1, 4] 上是二次函数,且在 x ? 2 时函数取
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得最小值 ?5 。 (1)证明: f (1) ? f (4) ? 0 ;
7

(2)求 y ? f ( x), x ?[1, 4] 的解析式; (3)求 y ? f ( x) 在 [4,9] 上的解析式
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例 9、 ( 1 )若函数 y ? f ( x) 为偶函数并且图像关于直线 x ? a(a ? 0) 对称,求证:函数

y ? f ( x) 为周期函数.
(2) 若函数 y ? f ( x) 为奇函数并且图像关于直线 x ? a(a ? 0) 对称, 求证: 函数 y ? f ( x) 是以 4 a 为周期的函数.

例 10、 (包含部分恒成立问题)定义在 D 上的函数 f ( x) ,如果满足:对任意 x ? D ,存在 常数 M ? 0 , 都有 | f ( x) |? M 成立, 则称 f ? x ? 是 D 上的有界函数, 其中 M 称为函数 f ? x ?

1? m ? 2x ?1? ?1? 的上界。已知函数 f ? x ? ? 1 ? a ? ? ? ? ? ? ; g ( x) ? 。 1? m ? 2x ? 2? ? 4?
(1)当 a ? 1 时,求函数 f ? x ? 在 ? ??,0 ? 上的值域,并判断函数 f ? x ? 在 ? ??,0 ? 上是否为有 界函数,请说明理由;
8

x

x

(2)若函数 f ? x ? 在 ?0, ?? ? 上是以 3 为上界的有界函数,求实数 a 的取值范围; (3)若 m ? 0 ,函数 g ? x ? 在 ?0,1? 上的上界是 T ( m) ,求 T ( m) 的取值范围.

【巩固练习】
1、已知函数 f ( x ) ?

1 1 ,若函数 y ? f ( x ? m) ? 为奇函数,则实数 m 为() 4 4 ?2
x

( A) ?

1 2

( B) 0

(C )

1 2

( D) 1

9

2、函数 F ? x ? ? ?1 ?

? ?

2 ? ? f ? x ?? x ? 0 ? 是偶函数,且 f ? x ? 不恒等于零,则 f ? x ? ( ) 2 ?1 ?
x

A 是奇函数 B 是偶函数 C 既是奇函数,又是偶函数 D 非奇非偶函数 3、函数 y ?

1 ? x2 是() x ?1 ? x ? 2
D.是奇函数又是偶函数

A.奇函数 B.偶函数 C.非奇非偶函数

4.、若对正常数 m 和任意实数 x ,等式 f ( x ? m) ? (
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1 ? f ( x) 成立,则下列说法正确的是 1 ? f ( x)

)
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A 函数 f ( x ) 是周期函数,最小正周期为 2 m B 函数 f ( x ) 是奇函数,但不是周期函数
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C 函数 f ( x ) 是周期函数,最小正周期为 4 m
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D 函数 f ( x ) 是偶函数,但不是周期函数
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x 5、设函数 f ( x ) 的定义域为 R,满足 f (1 ? x) ? f (1 ? x) ,且当 x ? 1 时, f ( x) ? 3 ? 1,则

有(



A. f ? ? ? f ? ? ? f ? ?

?1? ? 3?

? 3? ? 2? ?1? ? 3?

? 2? ? 3? ? 3? ? 2?

B. f ? ? ? f ? ? ? f ? ?

? 2? ? 3? ? 3? ? 2?

? 3? ? 2? ? 2? ? 3?

?1? ? 3? ?1? ? 3?

C. f ? ? ? f ? ? ? f ? ?

? 2? ? 3?

D. f ? ? ? f ? ? ? f ? ?

6、已知定义域为 R 的函数 f ? x ? 在 ?8, ??? 上为减函数,且函数 y ? f ? x ? 8? 为偶函数, 则() A. f ? 6?>f ? 7? B. f ? 6?>f ? 9? C. f ? 7?>f ?9? D. f ? 7 ?>f ?10?

2 7、 f ? x ? 是定义在 ? ?1,1? 上的奇函数且单调递减,若 f ? 2 ? a ? ? f 4 ? a <0 ,则 a 的

?

?

10

取值范围是() A.

?

3, 2

?

B. ??, 3 ? ? 2, ?? ?

?

?

C.

?

5, 3

?

D. ??, 5 ? ? 3, ?? ?

?

?

8、下列函数:① f ( x) ? 3 , ② f ( x) ? x 3 , ③ f ( x) ? ln

x

?x 1 ,④ f ( x) ? cos 2 x


⑤ f ( x) ? ? x 2 ? 1 中,既是偶函数,又是在区间 ?0, ? ?? 上单调递减函数为 (写出符合要求的所有函数的序号) 。

9、 设函数 f ( x) 是定义在 R 上周期为 3 的奇函数, 且 f (?1) ? 2 , 则 f (2 0 1 1 )

? (2 0 f 1 2 )

? _.

10 、设 f ( x) 为定义在 R 上的奇函数,当 x ? 0 时, f ( x) ? 2x ? 2x ? b ( b 为常数) ,则

f (?1) ? 。

11、设函数 f ?x ? ?

x 为奇函数,则 a ? . ?x ? 1??x ? sin a ?

12 、设函数 y ? f ( x) 是定义在 R 上以 1 为周期的函数,若函数 g ( x) ? f ( x) ? 2 x 在区间

[2 , 3] 上的值域为 [?2 , 6] ,则 g ( x) 在区间 [?12 , 12] 上的值域为()
A. [?2 , 6] B. [?24 , 28] C. [?22 , 32] D. [?20 , 34]

13、已知函数 f ( x) ?

x 2 ? 2x ? a , x ? (0,2] ,其中常数 a> 0. x

(1) 当 a ? 4 时,证明函数 f ? x ? 在 (0,2] 上是减函数; (2) 求函数 f ? x ? 的最小值.

11


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