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高二数学寒假作业

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作业 1《常用逻辑用语》
一、选择题
1.设 a ? R ,则 a ? 1 是 A.充分不必要条件 2.“ ? ? k? ?

1 ? 1的 a






B. 必要不充分条件 C.充要条件 D. 既不充分又不必要条件

5 1 ? , k ?

Z ”是“ sin 2? ? ”的( 12 2

A.充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C.充要条件 D. 既不充分又不必要条件 3. “直线 l 与平面 ? 内无数条直线都垂直”是“直线 l 与平面 ? 垂直”的( )条件 A.充要条件 B.充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分又不必要条件 4. 命题“若 a ? b ,则 a ? c ? b ? c ”的逆否命题是( ) A. 若 a ? c ? b ? c ,则 a ? b B. 若 a ? c ? b ? c ,则 a ? b a ? c ? b ? c a ? b C. 若 ,则 D. 若 a ? c ? b ? c ,则 a ? b 5.以下有四种说法,其中正确说法的个数为: ( ) (1) “m 是实数”是“m 是有理数”的充分不必要条件;
2 2 (2) “ a ? b ”是“ a ? b ”的充要条件;

(3) “ x ? 3 ”是“ x ? 2 x ? 3 ? 0 ”的必要不充分条件; B B ? ”是“ A ? ? ”的必要不充分条件. (4) “ A? A. 0 个 B. 1 个 C. 2 个 D. 3 个 6.用反证法证明命题: “三角形的内角中至少有一个不大于 60 度”时,反设正确的是( ) 。
2

A.假设三内角都不大于 60 度; B. 假设三内角都大于 60 度; C. 假设三内角至多有一个大于 60 度; D. 假设三内角至多有两个大于 60 度。 7“ cos? ? cos ? ”是“ ? ? ? ”的( )

A.充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C.充要条件 D. 既不充分又不必要条件 8 下列四个结论: ①若 p :2 是偶数, q :3 不是质数,那么 p ? q 是真命题; ②若 p : ? 是无理数, q : ? 是有理数,那么 p ? q 是真命题; ③若 p :2>3, q :8+7=15,那么 p ? q 是真命题; ④若 p :每个二次函数的图象都与 x 轴相交,那么 ? p 是真命题; 其中正确结论的个数是( A.1 B.2 ) C.3 D.4

9. 给出四个命题:①未位数是偶数的整数能被 2 整除;②有的菱形是正方形;③ ?x ? R , x ? 0 ;④ ?x ? R , 2 x ? 1 是奇数.下列说法正确的是( ) A. 四个命题都是真命题 B. ①②是全称命题 C. ②③是特称命题 D.四个命题中有两个假命题
2 10 . 已 知 命 题 p : ?x ? R, x ?

p . q . p ? q . p ? q 中是真命题的个数(
A.4 个 B.3 个 C.2 个 )
1

1 ?2 x2

,命题 q 是命题 p 的否定,则命题 ) D.1 个

11.在下列命题中,真命题是(

A. “x=2 时,x2-3x+2=0”的否命题;B.“若 b=3,则 b2=9”的逆命题; C.若 ac>bc,则 a>b; D.“相似三角形的对应角相等”的逆否命题 12..已知 P:|2x-3|<1, Q:x(x-3)<0, 则 P 是 Q 的( ) A.充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C.充要条件 D. 既不充分又不必要条件 二、填空题 13.①一个命题的逆命题为真,它的否命题也一定为真; ②在 ?ABC 中, “ ?B ? 60? ”是“ ?A, ?B, ?C 三个角成等差数列”的充要条件. ③?

?x ? 1 ?x ? y ? 3 2 2 是? 的充要条件;④“am <bm ”是“a<b”的充分必要条件. ? y ? 2 ? xy ? 2
. .

以上说法中,判断错误的有___________. 14.命题“至少有一个偶数是素数”的否定为 15. 命题“ ?x0 ? R, x0 ? 1 ? 0.”的否定为:
2

3 2 16.已知命题 p:“对任意的 x∈R, x ? x ? 1 ? 0 ”,则命题┐p 是

三、解答题
17.(本题满分 12 分)
2 设 p :方程 x ? mx ? 1 ? 0 有两个不等的负根, q :方程 4 x2 ? 4(m ? 2) x ? 1 ? 0 无实

根,若 p 或 q 为真,p 且 q 为假,求 m 的取值范围.

18. (本大题共 12 分) 已知命题 P : 1 ?

x ?1 ? 2 ;Q : x2 ? 2x ?1 ? m2 ? 0 ? m ? 0? 若 ? P 是 ?Q 的必要非充分条 3

件,试求实数 m 的取值范围.

2

19 .已知 a ? 0, a ? 1 ,命题 p : 函数 y ? loga (x ? 1)在 (0, ??) 上单调递减,命题 q : 曲线

y ? x2 ? (2a ? 3) x ? 1与 x 轴交于不同的两点,若 p ? q 为假命题, p ? q 为真命题,求
实数 a 的取值范围。

20.(本题满分 12 分) 在平面直角坐标系 x O y 中,直线 l 与抛物线 y 2 =2 x 相交于 A、B 两点。 (1)求证:命题“如果直线 l 过点 T(3,0) ,那么 OA ? OB =3”是真命题; (2)写出(1)中命题的逆命题,判断它是真命题还是假命题,并说明理由。

22、 (本题 10 分) 已知命题 P: 方程

x2 y2 ? ? 1 表示焦点在 x 轴上的双曲线; 命题 Q: 4 ? k 1? k

“P ? Q” 为真, 命题 “P ? Q” a ? ( 2 , - 1 , k ) , b ? ( 1 , 0 , 1 - k ) 的夹角为锐角 , 如果命题 为假。求 k 的取值范围;

3

作业 2《圆锥曲线》
一、选择题
1、抛物线 y= (A) (0,2)

1 2 x 焦点为( 4

) (C) (0,

(B) (0,1)

1 ) (D) (1,0) 16


2、以椭圆

x2 y2 ? ? 1 的焦点为焦点,离心率 e=2 的双曲线方程是( 25 9

(A)

x2 y2 x2 y2 x2 y2 x2 y2 ? ? 1 (B) ? ? 1 (C) ? ? 1 (D) ? ?1 6 12 6 14 4 14 4 12 x2 y2 ? ? 1 的两个焦点,AB是过焦点F1的弦, 9 25
) (D)8 )

3、已知F1、F2 是椭圆

若∣AB∣=8,则∣F2A∣+∣F2B∣=( (A)12 (B) 16 (C)4

x2 y2 x2 y2 ? ? 1(k﹤9)的( ? ? 1 与曲线 4、 曲线 25 ? k 9 ? k 25 9

(A)长轴相等 (B)焦距相等 (C)离心率相等 (D)准线相同 2 5、设抛物线性 x =-4y 的通径为AB,O为顶点,S为△AOB面积,则有( (A)AB=8,S=4 (B)AB=-4,S=2 (C)AB=4,S=4 (D)AB=4, S=2 6.设椭圆



x2 y 2 ? ? 1( m ? 0 , n ? 0 )的右焦点与抛物线 y 2 ? 8x 的焦点相同,离心率为 m2 n2

1 ,则此椭圆的方程为 2
(A)

x2 y 2 ? ?1 12 16

(B)

x2 y 2 x2 y 2 x2 y 2 ? 1 (D) ? ?1 ? ? 1 (C) ? 48 64 64 48 16 12

7.已知椭圆

x2 y2 ? ? 1 (a ? 5) 的两个焦点为 F1 、 F2 ,且 | F1 F2 |? 8 ,弦 AB 过点 F1 ,则 a 2 25 △ ABF ) (A)10 (B)20 (C)2 41 (D) 4 41 2 的周长为(
( x ? 1) 2 ? y 2 x?4 ? 1 ,则 AC ? BC ? 2

8.已知 A(-1,0),B(1,0),点 C(x,y)满足: A.6 B.4

C.2

D.不能确定

2 9.抛物线 y ? 2 px 与直线 ax ? y ? 4 ? 0 交于 A、B 两点,其中点 A 的坐标为(1,2) ,

设抛物线的焦点为 F,则|FA|+|FB|等于(
4



A.7 10.双曲线
x2 a2

B. 3 5
2

C.6

D.5

y ?b 2 ? 1( a, b ? 0) 的左、右焦点分别为 F1、F2,过焦点 F2 且垂直于 x 轴的弦

为 AB,若 ?AF 1 B ? 90? ,则双曲线的离心率为 A. 2
1

(2 ? 2 )

B. 2 ? 1

C. 2 ? 1

(2 ? 2 ) D. 1 2

x y x2 y 2 ? ? 1 相交于 A、B 两点,该椭圆上点 P,使得△APB 的面 11.直线 ? ? 1 与椭圆 4 3 16 9
积等于 3,这样的点 P 共有 A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 )

12. 已知 F 是抛物线 y = x 2 的焦点, P 是该抛物线上的动点, 则线段 PF 中点的轨迹方程( A. x 2 =2 y- 1 B. x 2 =2 y-

1 4

1 1 C. x 2 =y- 2 16

D. x 2 =2 y-2

二、填空题
13.已知椭圆

x2 y2 x2 y2 ? ? 1与双曲线 ? m, n, p, q ? R ? 有共同的焦点 F1、F2,P 是 m n p q

?

?

椭圆和双曲线的一个交点,则 PF1 ? PF2 =

???? ???? ?

.

14、经过两点 P(-2 2 ,0) 、Q(0, 5 )的椭圆标准方程为——————————————— 15、一抛物线型拱桥,当水面离拱顶 2 米时,水面宽度为 4 米;若水面下降 1 米时,则水面宽度为 16、 设 F 是抛物线 x =4y 的焦点, P 在抛物线上运动, A (2, 3) 是平面上一定点, 当|PA|+|PF| 最小时,P 点的坐标是——————————。
2

三、解答题
17.过抛物线 y 2 ? 8x 焦点的直线L与这个抛物线相交于A、B两点,设AB中点M的纵坐 标为 4,求直线L的方程。

18.已知椭圆 C 的焦点 F1(- 2 2 ,0)和 F2( 2 2 ,0) ,长轴长 6,设直线 y ? x ? 2 交椭 圆 C 于 A、B 两点,求线段 AB 的中点坐标。

5

19. 已知双曲线与椭圆

14 x2 y2 ? ? 1 共焦点,它们的离心率之和为 ,求双曲线方程. 5 9 25

20.已知顶点在原点,焦点在 x 轴上的抛物线被直线 y ? 2 x ? 1 截得的弦长为 15 , 求抛物线的方程。

21.已知 A、B、C 是长轴长为 4 的椭圆上的三点,点 A 是长轴的一个顶点,BC 过椭圆中心 O,如图,且 AC · BC =0,|BC|=2|AC|, (1)求椭圆的方程; (2)如果椭圆上两点 P、Q 使∠PCQ 的平分线垂直 AO,则是否存在实 数λ ,使 PQ =λ AB ?

22.已知定点 F (1, 0) ,动点 P (异于原点)在 y 轴上运动,连接 PF,过点 P 作 PM 交 x 轴 于点 M ,并延长 MP 到点 N ,且 PM ? PF ? 0 , | PN |?| PM | . (1)求动点 N 的轨迹 C 的方程; (2)若直线 l 与动点 N 的轨迹交于 A 、 B 两点,若

???? ? ??? ?

??? ?

???? ?

??? ? ??? ? OA ? OB ? ?4 且 4 6 ?| AB |? 4 30 ,求直线 l 的斜率 k 的取值范围.

6

作业 3《导数及应用》
一 选择题
1. 已知函数 f(x)=ax +c,且 f ?(1) =2,则 a 的值为 (
2

) D. 0

A.1 2.函数 y ? cos 2 x在点( A.

B. 2

C.-1 )

?
4

,0) 处的切线方程是(
B. 4 x ? 2 y ? ? ? 0 D. 4 x ? 2 y ? ? ? 0 ).

4x ? 2 y ? ? ? 0

C. 4 x ? 2 y ? ? ? 0

3.设 y=x-lnx,则此函数在区间(0,1)内为( A.单调递增 B、有增有减
2

C、单调递减,

D、不确定 ). D. – 4 )

4. 已知 f(x)=x +2x·f' (1) ,则 f' (0)等于( A. 0 B. –2 C. 2 5.如果一个函数的导函数是 f′(x)=

1 1 + , 则这个函数可能是( x ln 2 sin 2 x
B. f ( x ) = log2 x +

A. f ( x ) = log2 x -

1 tan x 1 tan x

1 tan x 1 tan x
( )

C. f ( x ) = - log2 x 6.函数 y ? 2 ? x ? x
2 3

D. f ( x ) = - log2 x +



A.极小值-

2 ,极大值 0 3

B. 极小值-

2 ,极大值 3 3

C.极小值

50 ,极大值 3 27

D. 极小值

50 ,极大值 2 27

7. 设 f ( x) ? sin x ? cos x ,那么 A. f ?( x) ? cos x ? sin x C. f ?( x) ? ? cos x ? sin x 8. 若函数 f ( x) ? x ? B. f ?( x) ? cos x ? sin x D. f ?( x) ? ? cos x ? sin x

4 在点 P 处取得极值,则 P 点坐标为 x
7

A. (2,4) B. (2,4) 、 (-2,-4)C. (4,2)D. (4,2) 、 (-4,-2) 9.在曲线 y ? x 2 上切线倾斜角为 A.(0,0) B.(2,4)

? 的点是 4
C. ( ,

1 1 ) 4 16

D. ( , )

1 1 2 4

10. 方程 2 x 3 ? 6 x 2 ? 7 ? 0 在(0,+∞)内的根的个数为 A.0
3

B.1
B.(1,0)

C.2
C.(-1,0)

D.3
) D.(1,4)

11.曲线 y=x +x-2 在点 P0 处的切线平行于直线 y=4x-1,则 P0 的坐标可能是( A.(0,1) 12. 函数 f ( x) ?

ax2 ? 1 在区间 (0,??) 上单调递增,那么实数 a 的取值范围是( ) x
B. a

A. a ? 0

?0

C. a

?0

D. a ? 0

二 填空题
13.函数 y= 3x
2

? 2 ln x 的单调增区间是

,减区间是

.

14、直线 y=a 与函数 f(x)=x3-3x 的图象有三个互不相同的公共点,则 a 的取值范围 是 . 15.过(1,e)点作曲线 y ? e x 的切线,则切线方程是_________. 16.抛物线 y ? 4 x 2 在点(1,4)处的切线方程是 .

三 解答题
2 17.已知抛物线 y ? x ? 4 与直线 y ? x ? 2

(Ⅰ)求两曲线的交点; (Ⅱ)求抛物线在交点处的切线方程.

18. 求下列函数的导数: (1) y = ln

(2) y = sin(- 5x + 2) . x;

3 2 19.已知函数 f ( x) ? ax ? 3x ? x ? b ,其中 a, b ? R , a ? 0 ,又 y ? f ( x) 在 x ? 1 处的

切线方程为 2 x ? y ? 1 ? 0 ,求函数 f ( x) 的解析式.

8

20.已知函数 f ( x) ? x3 ? 3x ; (Ⅰ)求 f ( x ) 的单调区间; (Ⅱ)求 f ( x ) 在区间[-3,2]上的最值.

21. (12 分)设 f(x)=x -

3

1 2 x -2x+5 2

(Ⅰ)求函数 f(x)的单调区间。 (Ⅱ)求极值点与极值。

22. 已知函数 f(x)=2ax3+bx2-6x 在 x= ? 1 处取得极值 (1) 讨论 f(1)和 f(-1)是函数 f(x)的极大值还是极小值; (2) 试求函数 f(x)在 x=-2 处的切线方程; (3) 试求函数 f(x)在区间[-3,2] 上的最值。

9

作业 1 参考答案
一、选择题: AACCA BBCCC 二、填空题 13 ③④ 14 DA

没有一个偶数是素数 ;16.存在 x∈R, x3 ? x 2 ? 1 ? 0

15. ?x ? R, x 2 ? 1 ? 0 三、解答题

17、解:若方程 x ? mx ? 1 ? 0 有两个不等的负根,则 ?
2

? ? ? m2 ? 4 ? 0 , ? x1 ? x2 ? ? m ? 0

所以 m ? 2 ,即 p : m ? 2 . 若方程 4 x2 ? 4(m ? 2) x ? 1 ? 0 无实根,则 ? ? 16(m ? 2)2 ?16 ? 0 , 即1 ? m ? 3 , 因为 p ? q 为真,则 p, q 至少一个为真,又 p ? q 为假,则 p, q 至少一个为假. 所以 p, q 一真一假,即“ p 真 q 假”或“ p 假 q 真” . 所以 ?

?m ? 2 ? m?2 或? ? m ? 1或m ? 3 ?1 ? m ? 3

所以 m ? 3 或 1 ? m ? 2 .

故实数 m 的取值范围为 (1, 2] ? [3, ??) . 18.解:由 p : 1 ?

x ?1 ? 2 ,解得 ?2 ? x ? 10 ,∴“非 p ”: A ? {x x ? ?2或x ? 10} . 3

2 2 由 q : x ? 2 x ? 1 ? m ? 0 解得 1 ? m ? x ? 1 ? m (m ? 0)

∴“非 q ”: B ? {x x ? 1? m或x ? 1? m , m ? 0}

?m ? 0 ? 由“非 p ”是“非 q ”的必要而不充分条件可知: A ? B . ?1 ? m ? ?2 ?1 ? m ? 10 ?
∴满足条件的 m 的取值范围为 {m m ? 9} . 19 解: p 为真: 0 ? a ? 1 ; q 为真: a ?

解得 m ? 9 .

5 1 或0 ? a ? 2 2 因为 p ? q 为假命题, p ? q 为真命题,所以 p, q 命题一真一假

0 ? a ?1 a ?1 1 5 (1)当 p 真 q 假 { 1 5 ? ? a ? 1 (2)当 p 假 q 真 { 1 5?a? 2 2 ?a? 0 ? a ? 或a ? 2 2 2 2
10

综上, a 的取值范围是 [ ,1) ? ( , ??) 20、证明: (1)解法一:设过点 T(3,0)的直线 l 交抛物线 y 2 =2x 于点 A(x1,y1)、B(x2,y2). 当直线 l 的钭率下存在时,直线 l 的方程为 x=3,此时,直线 l 与抛物线相交于 A(3, 6 )、B(3,- 6 ),∴ OA ? OB ? 3 。 当直线 l 的钭率存在时,设直线 l 的方程为 y=k(x-3),其中 k≠0.

1 2

5 2

? y 2 ? 2x 1 2 1 2 2 得 ky -2y-6k=0,则 y1y2=-6. 又∵x1= y1 , x2= y2 , ? 2 2 ? y ? k ( x ? 3)
∴ OA ? OB =x1x2+y1y2=

1 ( y1 y 2 ) 2 ? y1 y 2 =3. 4

综上所述, 命题“......”是真命题. 解 法 二 : 设 直 线 l 的 方 程 为 my =x - 3 与 y 2 =2x 联 立 得 到 y -2my-6=0
2

OA ? OB =x1x2+y1y2=(my1+3) (my2+3)+ y1y2=(m2+1) y1y2+3m(y1+y2)+9=(m2+1)× (-6)+3m×2m+9
=3 (2)逆命题是: “设直线 l 交抛物线 y =2x 于 A、B 两点,如果 OA ? OB ? 3 ,那么该直线过点
2

T(3,0).”该命题是假命题. 直线 AB 的方程为 y =

例如: 取抛物线上的点 A(2,2),B(

1 ,1),此时 OA ? OB ? 3 =3, 2

2 (x+1),而 T(3,0)不在直线 AB 上. 3

21. 3 ? x或2 ? x ? 1 22.解:命题 P 为真的条件是:1< k < 4 , (3 分) 。命题 Q 为真的条件是:- 1 < k < 2 , 又∵命题“P ? Q”为真,命题“P ? Q”为假。 ∴命题 P、Q 有且仅有一个是真命题,? k ? ?2,4? ? ?? 1,1?

作业 2 参考答案(答案仅供参考)
CDABDB 13 m-p BBACBA 14

x2 y2 ? ? 1 15 2 6 8 5

16

?2,1? 17


y ? ? 2 ?x ? 2?

18 ? ?

? 9 1? , ? ? 5 5?

19 .

y2 x2 ? ? 1 20 y ? 4 x 4 12

y 2 ? ?12x

21. 解(1)以 O 为原点,OA 所在的直线为 x 轴建立如图所示的直角坐标系 x2 y? ? 则 A(2,0) ,设所求椭圆的方程为: =1(0<b<2), y 4 b2 由椭圆的对称性知|OC|=|OB|,由 AC · BC =0 得 AC⊥BC, ∵|BC|=2|AC|,∴|OC|=|AC|, ∴△AOC 是等腰直角三角形,∴C 的坐标为(1,1) ,
11

x

∵C 点在椭圆上

x 2 3y 2 12 1 4 ? ? 2 =1,∴b2= ,所求的椭圆方程为 =1 4 4 4 b 3 (2)由于∠PCQ 的平分线垂直 OA(即垂直于 x 轴) ,不妨设直线 PC 的斜率为 k,则直 线 QC 的斜率为-k,直线 PC 的方程为:y=k(x-1)+1,直线 QC 的方程为 y=-k(x-1)+1,


? y ? k ( x ? 1) ? 1 由? 2 2 ?x ? 3 y ? 4 ? 0

得:(1+3k2)x2-6k(k-1)x+3k2-6k-1=0(*)

∵点 C(1,1)在椭圆上,∴x=1 是方程(*)的一个根,则其另一根为 (xP,yP),? Q(xQ,yQ),xP=

3k 2 ? 6k ? 1 ,设 P 1 ? 3k 2

3k 2 ? 6k ? 1 , 1 ? 3k 2

同理 xQ=

3k 2 ? 6k ? 1 , 1 ? 3k 2

3k 2 ? 6k ? 1 3k 2 ? 6k ? 1 ? ) ? 2k y P ? y Q k ( x P ? xQ ) ? 2 k 1 1 ? 3k 2 1 ? 3k 2 kPQ= ? ? ? 2 2 x P ? xQ x P ? xQ 3 3k ? 6k ? 1 3k ? 6k ? 1 ? 2 2 1 ? 3k 1 ? 3k 1 而由对称性知 B(-1,-1),又 A(2,0) ∴kAB= 3 k ?(
∴kPQ=kAB,∴ AB 与 PQ 共线,且 AB ≠0,即存在实数λ ,使 PQ =λ AB . 22.解 (1)设动点 N 的的坐标为 N ( x, y) ,则 M (? x, 0), P(0, ), ( x ? 0) ,

y 2

???? ? ? ???? ? ??? ? y ??? y y2 PM ? (? x, ? ), PF ? (1, ? ) ,由 PM ? PF ? 0 得, ? x ? ? 0, 2 2 4 2 因此,动点 N 的轨迹 C 的方程为 y ? 4 x( x ? 0) .
(2)设直线 l 的方程为 y ? kx ? b , l 与抛物线交于点 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,则由 ??? ? ??? ? OA ? OB ? ?4 ,得 x1 x2 ? y1 y2 ? ?4 ,又 y12 ? 4x1 , y22 ? 4x2 ,故 y1 y2 ? ?8 .

? y ? kx ? b ?? ? 16(1 ? 2k 2 ) ? 0 1 ? k 2 16 ? 2 | AB | ? 2 ( 2 ? 32) , ∴ ? 4b ,? k k ? ? ?8 ?k 1 ? k 2 16 ( ? 32) ? 480 ∴ 4 6 ?| AB |? 4 30 即 96 ? k2 k2 1 1 解得直线 l 的斜率 k 的取值范围是 [ ?1, ? ] ? [ ,1] 2 2 作业 3 参考答案
一 选择题 ADCDA 二 填空题 13、 ? DABDC BA

又?

? y2 ? 4x

? ky 2 ? 4 y ? 4b ? 0(k ? 0) ,

? 3 ? ?, , ?? ? 3 ? ? ?

? 3? ? 0, ? 14.(-2,2)15. y = ex ? 3 ? ?
12

16. y ? 8 x ? 4



解答题
? 2 ?y ? x ? 4

17. 解: (1) 由? y ? x ? 2 , 求得交点 A (-2,0) , B (3,5) (2) 因为 y / ? 2 x , 则 y / | x?2 ? ?4, y / | x?3 ? 6 所以抛物线在 A、 B 两点处的切线方程分别为 y ? ?4( x ? 2) 与 y ? 5 ? 6( x ? 3) 即 4 x ? y ? 8 ? 0 与 6 x ? y ? 13 ? 0 18.(1) y? ?

1 1 1 1 ; ( x )? ? ? ? x x 2 x 2x

(2) y? ? cos(?5x ? 2)(?5x ? 2)? ? ?5cos(?5x ? 2) 19 . 解 :

f ?( x) ? 3ax2 ? 6 x ? 1

k ? f ?(1) ? 3a ? 5 ? ?2 ? a ? 1 ; 所 以

f (1) ? 1 ? 3 ? 1 ? b ? b ? 1 ,由 P(1, f (1)) 在直线 2 x ? y ? 1 ? 0 上,故 2 ? b ? 0 ? b ? ?2

f ( x) ? x 3 ? 3x 2 ? x ? 2
20.解:(I) ? f ( x) ? x3 ? 3x,? f '( x) ? 3x2 ? 3 ? 3( x ? 1)( x ?1). 令 f '( x) ? 0, 得 x ? ?1, x ? 1. 若

x ? (??, ?1) ? (1, ??), 则 f '( x) ? 0 ,
王新敞
奎屯 新疆

故 f ( x ) 在 (??, ?1) 上是增函数, f ( x ) 在 (1, ??) 上是增函数 若

x ? (?1,1), 则 f '( x) ? 0 ,故 f ( x) 在 (?1,1) 上是减函数

王新敞
奎屯

新疆

(II) ? f (?3) ? ?18, f (?1) ? 2, f (1) ? ?2, f (2) ? 2

?当x ? ?3 时,f ( x)在区间[-3,2]取到最小值为?18. ?当x ? ?1或2 时,f ( x)在区间[-3,2]取到最大值为2.
21(1)在 ? ? ?,? ?

? ?

2 ? 2? ?1,??? 上为单调递增区间,在 ? ? ? ,1? 上为单调递减区间. 3? ? 3 ?

(2)x=1 时,y=

7 2 157 ,x= ? 时,y= 22. (1).f(x)=2x3-6x; 故 f(1)=-4 是极小值,f(-1)=4 是 2 3 27

极大值(2).切线方程是 18x-y+32=0 (3) .最大值为 f(-1)=f(2)=4, 最小值为 f(-3)=-36

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