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高考数学总复习:选修4-1 第1讲 相似三角形的判定及有关性质


第1讲 相似三角形的判定及有关性质

抓住5个考点

突破4个考向

考点梳理
1.平行线等分线段定理及其推论 平行线 相等 (1)定理:如果一组_______在一条直线上截得的线段____, 相等 那么在其他直线上截得的线段也_____. 中点 (2)推论:①经过三角形一边的_____与另一边平行的直线必

中点 _____第三边.②经过梯形一腰的_____,且与底边平行的直 平分 平分 线_____另一腰.

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2.平行线分线段成比例定理及推论 对应线段 (1)定理:三条平行线截两条直线,所得的_________成比 例. (2)推论:平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的 对应线段 延长线)所得的_________成比例.

3.相似三角形的判定
相等 (1)定义:如果在两个三角形中,对应角_____、对应边 成比例 _________ ,则这两个三角形叫做相似三角形. (2)判定定理1:两角对应_____的两个三角形相似. 相等 (3)判定定理2:两边对应_______,并且夹角_____的两个 成比例 相等

三角形相似.
成比例 (4)判定定理3:三边对应_______的两个三角形相似.
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4.相似三角形的性质 (1)性质定理1:相似三角形对应边上的高、中线和它们周

相似比 长的比都等于_______. 平方 (2)性质定理2:相似三角形的面积比等于相似比的_____. 5.直角三角形的射影定理
两直角边 直角三角形斜边上的高是_________ 在斜边上射影的比例中项;两直角边 斜边 斜边 分别是它们在_____上射影与_____的

比例中项.
如图,在Rt△ABC中,CD是斜边上的 AD· BD 高,则有CD2=_______, AD· AB BD· AB AC2=______,BC2= _______.
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考点自测
1. 如图,已知 a∥b∥c,直线 m,n 分别 与 a, c 交于点 A, C 和 A′, b, B, B′, 3 C′,如果 AB=BC=1,A′B′= , 2 则 B′C′=________.

解析
答案

由平行线等分线段定理可直接得到答案.
3 2

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2. 如图,BD,CE是△ABC的高,BD, CE交于F,写出图中所有与△ACE相 似的三角形________. 解析 由Rt△ACE与Rt△FCD和

Rt△ABD各共一个锐角,因而它们均相

似,又易知∠BFE=∠A,故
Rt△ACE∽Rt△FBE. 答案 △FCD、△FBE、△ABD

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3. (2013· 西安模拟)如图,在△ABC 中,M,N分别是AB,BC的中点,

AN,CM交于点O,那么△MON与
△AOC面积的比是________.
解析 ∵M,N 分别是 AB、BC 中点,

1 故 MN 綉 AC, 2 S△MON ?MN?2 1 ∴△MON∽△COA,∴ =? AC ? = . 4 ? S△AOC ?

答案

1∶4
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4. (2011· 陕西)如图,∠B=∠D,AE⊥BC, ∠ACD=90°,且AB=6,AC=4,AD =12,则AE=________.
解析 由于∠ACD=∠AEB=90° ,∠B=∠D,

AB AE ∴△ABE∽△ADC,∴AD=AC. 又 AC=4,AD=12,AB=6, AB· AC 6×4 ∴AE= AD = =2. 12

答案

2
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5.

(2010· 广东)如图,在直角梯形 ABCD 中,DC∥AB,CB⊥AB,AB=AD=a, a CD= ,点 E,F 分别为线段 AB,AD 2 的中点,则 EF=________.
解析 连接 DE 和 BD,依题知,EB∥DC,EB=DC=

a ,∴EBCD 为矩形,∴DE⊥AB,又 E 是 AB 的中点, 2 所以△ABD 为等腰三角形.故 AD=DB=a,∵E,F 1 1 分别是 AD,AB 的中点,∴EF= DB= a. 2 2 a 答案 2
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考向一

平行线等分线段成比例定理的应用

【例1】?如图,F为?ABCD边AB上一

点,连DF交AC于G,延长DF交CB
的延长线于E. 求证:DG· DE=DF· EG.
证明 ∵四边形 ABCD 是平行四边形,

∴AD∥BC,AB∥DC,AD=BC, DG AD ∵AD∥BC,∴ EG = EC , DF BC AD DG DF 又∵AB∥DC,∴DE=EC= EC ,∴ EG =DE, 即 DG· DE=DF· EG.
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利用平行截割定理解决问题,特别注意被平
行线所截的直线,找准成比例的线段,得到相应的比例 式,有时需要进行适当的变形,从而得到最终的结果.

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【训练1】如图,在△ABC中,DE∥
BC,EF∥CD,若BC=3,DE= 2,DF=1,则AB的长为 ________.
解析 ?DE∥BC, ? 由 ?EF∥CD, ?BC=3,DE=2 ? AE ? AC =

AF DE 2 AD= BC =3,又 DF=1, 故可解得 AF=2,∴AD=3, AD 2 9 又 AB = ,∴AB= . 3 2 9 答案 2

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考向二

相似三角形的判定

【例2】?如图,在△ABC中,D、E分别是 BC、AB上任意点,△EFM∽△CDM, 求证:△AEF∽△ABD. 证明 ∵△EFM∽△CDM,∴∠1= ∠2,∴EF∥BC,∴△AEF∽△ABD. 判定三角形相似的思路大致有以下几条:

(1)已知条件,判定思路;
(2)一对等角,再找一对等角或找夹边成比例; (3)两边成比例,找夹角相等; (4)含有等腰三角形,找顶角相等或找一对底角相等或找 腰对应成比例.
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【训练2】 如图,网格中的每个小正方形的边长都是1,每个
小正方形的顶点叫做格点. △ACB和△DCE的顶点都在格点上,ED的延长线交AB于

点F.

(1)求证:△ACB∽△DCE; (2)求证:EF⊥AB.
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证明

DC CE DE 2 (1)因为 AC =BC= AB= , 3

所以△ACB∽△DCE.

(2)由△ACB∽△DCE,知∠B=∠E.

又∠BDF=∠CDE,
在Rt△CDE中,∠E+∠CDE=90°, 所以∠BDF+∠B=90°, 所以∠EFB=90°,即EF⊥AB.

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考向三

相似三角形的性质

【例3】?如图,在Rt△ABC中,∠ACB
=90°,CD⊥AB,E为AC的中点, ED、CB延长线交于一点F.

求证:FD2=FB· FC. 证明 ∵E是Rt△ACD斜边中点,
∴ED=EA,∴∠A=∠1, ∵∠1=∠2,∴∠2=∠A, ∵∠FDC=∠CDB+∠2=90°+∠2, ∠FBD=∠ACB+∠A=90°+∠A, ∴∠FBD=∠FDC, ∵∠F是公共角,∴△FBD∽△FDC,
FB FD ∴FD= FC,∴FD2=FB· FC.

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运用相似三角形的性质解决问题,主要考
虑相似三角形的对应边、对应角、周长、面积之间的关 系,多用于求某条线段的长度、求证比例式的存在、求

证等积式的成立等,在做题时应注意认真观察图形特
点,确定好对应边、对应角等.

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【训练3】如图,△ABC中,AB=AC, AD是边BC的中线,P为AD上一点, CF∥AB,BP的延长线分别交AC,

CF于点E,F,求证:BP2=PE· PF.
证明 连接CP, ∵△ABC为等腰三角形,AD为中线, ∴BP=CP,∠ABP=∠ACP,

∵AB∥CF,∴∠ABP=∠F,
∴∠F=∠ACP.∵∠EPC为公共角,∴△PCE∽△PFC,
PC PE ∴PF=PC,∴PC2=PF· PE.

又∵BP=PC,∴BP2=PF· PE.
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考向四

直角三角形射影定理的应用

【例4】?已知圆的直径AB=13,C为圆上一点,过C作CD⊥ AB于D(AD>BD),若CD=6,则AD=________.

解析

如图,连接AC,CB,∵AB是⊙O的直径,

∴∠ACB=90°. 设AD=x,∵CD⊥AB于D,

∴由射影定理得CD2=AD· DB,
即62=x(13-x), ∴x2-13x+36=0,解得x1=4,x2=9. ∵AD>BD,∴AD=9. 答案 9
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利用直角三角形的射影定理解决问题首先 确定直角边与其射影,再就是要善于将有关比例式进行 适当的变形转化,有时还要将等积式转化为比例式或将

比例式转化为等积式,并且注意射影定理的其他变式.

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【训练4】 在△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于D,AD∶ BD=2∶3.则△ACD与△CBD的相似比为________.

解析

如图所示,在Rt△ACB中,

CD⊥AB,由射影定理得: CD2=AD· BD,

又∵AD∶BD=2∶3,令AD=2x,
BD=3x(x>0),
∴CD2=6x2,∴CD= 6x.

又∵∠ADC=∠BDC=90°,∠A=∠BCD. ∴△ACD∽△CBD.
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易知△ACD 与△CBD 的相似比为 AD 2x 6 CD= 6x= 3 . 即相似比为 6∶3.
答案 6∶3

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