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选修2-2 导数及其应用 典型例题

时间:2017-08-19


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第一章 导数及其应用 1.1 变化率与导数 【知识点归纳】 1.平均变化率:

2.瞬时速度:

3.导数及导函数的概念:

4.导数的几何意义: 拓展知识: 5.平均变化率的几何意义: 6.导数与切线的关系:

【典型例题】 题型一 求平均变化率: 例

1.已知函数 y ? f ( x) ? 2x ?1 的图像上一点(1,1)及其邻近一点 (1 ? ?x,1 ? ?y) ,则
2

?y =_______. ?x
变式训练: 1.以 v0 (v0 ? 0) 速度竖直向上抛出一物体,t 秒时的高度为 s (t ) ? v0t ?

1 2 gt ,求物体在 t 0 到 2

t0 ? ?t 这段时间的平均速度 v .

2.求正弦函数 y ? sin x 在 x ? 0 和 x ?

?
2

附近的平均变化率,并比较他们的大小.

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题型二 实际问题中的瞬时速度 例 2 已知质点 M 按规律 s ? 2t ? 3 做直线运动(位移单位:cm,时间单位:s)
2

(1)当 t ? 2, ?t ? 0.01 时,求

?s ?s ; (2)当 t ? 2, ?t ? 0.001 时,求 ; ?t ?t

(3)求质点 M 在 t=2 时的瞬时速度.

题型三 求函数的导数及导函数的值 例 3 求函数 y ? x ?

1 在 x ? 1 处的导数. x

题型四 曲线的切线问题 例 4 (1)已知曲线 y ? 2 x 上一点 A(1,2) ,求点 A 处的切线方程.
2

(2)求过点(-1,-2)且与曲线 y ? 2 x ? x 想切的直线方程.
3

(3)求曲线 f ( x ) ?
3

1 3 x ? x 2 ? 5 在 x=1 处的切线的倾斜角. 3

(4)曲线 y ? x 在点 P 处的切线斜率为 3,求点 P 的坐标.

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1.2 导数的计算 【知识点归纳】 1.常见函数的导数:

2.基本初等函数的导数公式:

3.导数的运算法则:

4.复合函数的导数:

【典型例题】 题型 一 基本初等函数导数公式运用 例 1 给出下列结论:

1 1 ?3 ?] ?? ; ②若 y ? 2 , y? ? ?2 x ; 则 ③若 f ( x) ? 3x , [ f 1 3? ; 则 () ? 6 6 2 x 1 ④.若 y ? 3 x ,则 y? ? 3 x 3
① (cos

?

)? ? ? sin

?

其中正确的是_________________. 题型 二 导数运算法则的应用 例 2 求下列函数的导数: (1) y ?

1 5 2 3 x x 1 x ? x ; cos . ?cos x ; (2) y ? lg x ? e x ; (3) (4) y ? x ? sin ? 5 3 2 2 x

变式训练:判断下面的求导是否正确,如果不正确,加以改正.

1 ? cos x 2 x(1 ? cos x) ? x 2 sin x ( )? ? x2 x2
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题型 三 复合函数求导的应用 例 7 求下列函数的导数. (1) y ? (1 ? cos 2 x)3 ; (2) y ? sin
2

1 . x

变式训练:求函数 y ? (2 x2 ? 3) 1 ? x 2 的导数

题型 四 切线方程及应用 例 4 曲线 y ? sin x ? e x 在点(0,1)处的切线方程是?

3 变式训练:曲线 y ? x ? x ? 2 在 P 处的切线平行于直线 y ? 4 x ? 1 ,则点 P 的坐标为

_________. 题型 五 利用导数求参数问题 例 5 若曲线 y ? x ? ax 在坐标原点处的切线方程是 2 x ? y ? 0 ,则实数 a=_________
3

ex 变式训练:若函数 f ( x) ? 在 x=a 处的导数值为函数值互为相反数,求 a 的值 x

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题型 六 对数求导数的应用(选讲) 例 6 求下列函数的导数 (1) y ? ( x ? 1)( x ? 2)( x ? 3)( x ? 3) ; (2) y ?

( x ? 1)( x ? 2)( x ? 3) 1 (x ? ? ) ; 2x ?1 2

题型 七 求导数的实际应用 例 7 有一把梯子贴靠在笔直的墙上, 已知梯子上端下滑的距离 s (单位: 关于时间 t (单 m) 位 s)的函数为 s ? s(t ) ? 5 ? 25 ? 9t 2 .求函数在 t ?

7 时的导数,并解释它的实际意义. 15

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1.3 导数在研究函数中的应用 1.3.1 函数的单调性与导数 【知识点归纳】 1.函数的单调性与其导数的关系:

2.利用导数求函数的单调区间:

3.导数的绝对值的大小与图像的关系(选讲) : 【典型例题】 题型 一 里用导数的信息确定函数大致图像 例 1 已知导函数 f ?( x ) 的下列信息: 当 2 ? x ? 3 时, f ( x)? ? 0 ; 当 x ? 3 或 x ? 2 时, f ?( x) ? 0 ; 试画出函数 f(x)图像的大致形状. 当 x ? 3 或 x ? 2 时, f ?( x) ? 0 ;

题型 二 判断或者证明函数的单调性 例 2 试判断函数 f ( x) ? ln x ? x 在其定义域上的单调性.

变式训练:证明:函数 f ( x) ?

ln x 在区间(0,2)上是单调递增函数. x

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题型 三 求函数的单调性 例 3 确定函数 f ( x) ? 2x3 ? 6x2 ? 7 的单调区间.

变式训练:求函数 y ? x ? x3 的单调性.

题型 四 含有参数的函数的单调性 例 4 已知函数 f ( x) ? ln x ? ax2 ? (2 ? a) x ,讨论 f(x)的单调性.

变式训练:已知函数 f ( x) ?

ax ? 1 在 (?2, ??) 内单调递增,求实数 a 的取值范围. x?2

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1.3.2 导数的极值与导数 【知识点归纳】 1.导数的极值的概念:

2.导数的极值的判断和求法:

【典型例题】 题型 一 求函数的极值 例 1 求下列函数的极值: (1) y ? x2 ? 7 x ? 6 ; (2) y ? x 2 ln x .

3 2 变式训练:设 f ( x) ? x ? ax ? bx ? 1的导数 f ?( x ) 满足 f ?(1) ? 2a, f ?(2) ? ?b ,其中常数

a, b ? R .
(1)求曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程. (2)设 g ( x) ? f ?( x)e ,求函数 g ( x) 的极值.
?x

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题型 二 判断函数极值点的情况 例 2 判断下列函数有无极值,若有极值,请求出极值;如果没有极值,请说明理由. (1) f ( x) ?

1 3 x ?4; 3

(2) f ( x) ?

1 3 x ? x2 ? 4x ; 3

(3) f ( x) ? 1 ? ( x ? 2) 3 .

2

变式训练:设函数 f ( x) ? ax2 ? b ln x ,其中 ab ? 0 .证明:当 ab ? 0 时,函数 f(x)没有 极值点,当 ab ? 0 时,函数 f(x)有且只有一个极值点,并求出极值.

题型 三导函数的图像与函数极值的关系 例 3 函数 f(x)的定义域为开区间(a,b) ,导函数 f′(x)在(a,b)内的图象如图所示, 则函数 f(x)在开区间(a,b)内有极小值点的个数为( ) A1个 B.2 个 C.3 个 D.4 个

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题型 四 极值的逆向问题 例 4 已知函数 f ( x) ? ax4 ln x ? bx4 ? c( x ? 0) 在 x=1 处取得极值-3-c,其中 a,b 为常数. (1)试确定 a,b 的值. (2)讨论函数 f(x)的单调区间.

综上: 若说明函数没有极值,一般不讨论有无导数,而是在区间上只有一个单调性,没有“拐点”.

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1.3.3 函数的最大小值与导数 【知识点归纳】 1.最大小值与极值的关系:

2.求最大小值的步骤:

3.开区间的最值问题: 【典型例题】 题型 一 利用导数求函数最值问题 例 1 求函数 f ( x) ? x5 ? 5x4 ? 5x3 ? 1 在区间 [?1, 4] 上的最大值和最小值.

3 变式训练:设函数 f ( x) ? ax ? bx ? c(a ? 0) 为奇函数,其图像在 (1, f (1)) 处的切线与直线

x ? 6 y ? 7 ? 0 垂直,导数的最小值为-12.
(1)求 a,b,c 的值. (2)求函数 f(x)的单调递增区间,并求函数 f(x)在[-1,3]上的最大小值.

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题型 二 含参数最值问题 例 2 设 a 为常数,求函数 f ( x) ? ? x3 ? 3ax(0 ? x ? 1) 的最大值.

变式训练:1.设 f ( x) ? ?

1 3 1 2 x ? x ? 2ax 3 2 2 (1)若 f(x)在 ( , ??) 上存在单调递增区间,求 a 的取值范围. 3 16 (2)当 0 ? a ? 2 时,f(x)在[1,4]上的最小值为 ? ,求 f(x)在该区间上的最大值. 3

题型 三 由函数的最值求参数的值 例3 设

2 3 6 ? a ? 1 ,函数 f ( x) ? x 3 ? ax 2 ? b(?1 ? x ? 1) 的最大值为 1,最小值为 ? , 3 2 2

求 a,b 的值.

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1.4 生活中的优化问题 【知识点归纳】 利用求函数的最大小值的方法求实际应用中的最优化问题 函数的极值与端点值的比较 【典型例题】 题型 一 利润最大问题 例 1 某商品每件成本 9 元,售价为 30 元,每星期卖出 432 件,如果降低价格,销售量可 以增加,且每星期多卖出商品件数与商品单价的降低值 x(单位:元, 0 ? x ? 21 )的平方 成正比,已知商品单价降低 2 元时,一星期多卖出 24 件. (1)将一星期的商品销售利润表示成 x 的函数 (2)如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大

变式训练:某分公司经销某种品牌的产品,每件产品的成本为 3 元,并且每件产品需向总公 司交 m(3≤m≤5)元的管理费,预计当每件产品的售价为 x(9≤x≤11)元时,一年的销售量 为(12-x)2 万件. (1)求分公司一年的利润 L(万元)与每件产品的售价 x 的函数关系式; (2) 当每件产品的售价为多少元时, 分公司一年的利润 L 最大, 并求出 L 的最大值 Q (m) .

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题型 二 用料最省、费用最低问题 例 2 如图,某单位用木料制作如图所示的框架,框架的下部是边长分别为 x,y(单位:米) 的矩形,上部是斜边长为 x 的等腰直角三角形,要求框架围成的总面积为 8 平方米. (Ⅰ)求 x,y 的关系式,并求 x 的取值范围; (Ⅱ)问 x,y 分别为多少时用料最省?

变式训练: 某企业拟建造如图所示的容器(不计厚度,长度单位:米),其中容器的中间为圆柱形,左 右两端均为半球形,按照设计要求容器的体积为

80? 立方米,且 l ? 2r .假设该容器的建 3

造费用仅与其表面积有关. 已知圆柱形部分每平方米建造费用为 3 千元, 半球形部分每平方 米建造费用为 c(c>3)千元.设该容器的建造费用为 y 千元. (Ⅰ)写出 y 关于 r 的函数表达式,并求该函数的定义域; (Ⅱ)求该容器的建造费用最小时的 r.

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题型 三 面积、体积最值问题 例 3 如图在二次函数 f ( x) ? 4 x ? x2 的图像与 x 轴所围成的图形中有一个内接矩形 ABCD, 求这个内接矩形的最大面积.

y

x

变式训练:请您设计一个帐篷.它下部的形状是高为 1m 的正六棱柱,上部的形状是侧棱长 为 3m 的正六棱锥(如图所示) .试问当帐篷的顶点 O 到底面中心 O1 的距离为多少时,帐篷 的体积最大?

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1.5 定积分的概念 【知识点归纳】 定积分的概念:

定积分的性质:

【典型例题】 题型 一 利用定义计算积分 例 1 利用定积分定义,计算

?

2

1

(3x ? 2)dx

题型 二 求曲边梯形的面积 例 2 利用定积分的定义求出直线 x=1,x=2 和 y=0 及曲线 y ? x 围成的图形的面积.
3

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1.6 微积分基本定理 【知识点归纳】 1.牛顿—莱布尼茨公式:

2.定积分的取值:

3.定积分的一些性质:

【典型例题】 题型 一 求简单函数的定积分 例 1 求下列函数的定积分: (1)

?

2

1

1 ( x ? ) dx ; x

2

(2)

?

?
2

?

?
2

sin xdx ;

(3)

?

9

4

x (1 ? x )dx ;

题型 二 求分段函数的定积分

? x3 , ? 2 例 2 求函数 f ( x) ? ? x , ?2 x , ?

x ? [0,1] x ? [1, 2] 在区间[0,3]上的定积分. x ? [2,3]

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?

变式训练:求定积分: (1)

?

2

0

x2 ? 1dx ;

(2)

?

2 0

1 ? sin 2xdx

题型 三 定积分的实际应用 例 3 汽车以每小时 36 km 的速度行驶,到某处需要减速停车,设汽车的减速度为

a ? 1.8 m / s2 刹车,求从开始停车到停车,汽车的走过的距离.

变式训练:等比数列 ?an ? 中, a3 ? 6 ,前三项和 s3 ?

?

3

0

4 xdx ,则公比 q 的值是多少?

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1.7 定积分的简单应用 【知识点归纳】 1.常见的平面图形的面积求法:

2.定积分在物理公式中的应用:

【典型例题】 题型 一 用定积分求平面图形的面积 例 1 求曲线 y ? x2 与 y ? x 所围成的图形的面积.

变式训练:求由抛物线 y ?
2

x 2 , y ? x ? 1 所围成的图形的面积 5

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例 2 求正弦曲线 y ? sin x, x ? [0,

3? 3? ] 和直线 x ? 及 x 轴所围成的平面图形的面积. 2 2

变式训练:求由曲线 y ? 2 x ? x2 , y ? 2 x2 ? 4 x 所围成的图形的面积

题型 二 用定积分求变速直线运动的距离 例 3 有一两汽车以每小时 36km 的速度形式,在 B 出以 2 m / s 的加速度减速停车,问从 开始刹车到停车一共行驶多少的路程.
2

题型 三 用定积分解决变力作功问题 例 4 有一个长为 25cm 的弹簧,若以 100N 的力,则弹簧伸长到 30cm,求弹簧由 25cm 伸 长到 40 所做的功.

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