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高考一轮复习:平行截割定理与相似三角形


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第1讲
【2015 年高考会这样考】

平行截割定理与相似三角形

考查相似三角形的判定和性质定理的应用及直角三角形的射影定理的应用. 【复习指导】 复习本讲时, 只要掌握好教材上的内容, 熟练教材上的习题即可达到高考的要求, 该部分的复习以基础知识、基本方法为

主,掌握好解决问题的基本技能即可.

基础梳理 1.平行截割定理 (1)平行线等分线段定理及其推论 ①定理:如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等,那么在任一条(与这组 平行线相交的)直线上截得的线段也相等. ②推论:经过梯形一腰的中点而且平行于底边的直线平分另一腰. (2)平行截割定理及其推论 ①定理: 两条直线与一组平行线相交, 它们被这组平行线截得的对应线段成比例. ②推论:平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线),截得的三角形 与原三角形的对应边成比例. (3)三角形角平分线的性质 三角形的内角平分线分对边成两段的长度比等于夹角两边长度的比. (4)梯形的中位线定理 梯形的中位线平行于两底,并且等于两底和的一半. 2.相似三角形 (1)相似三角形的判定 ①判定定理 a.两角对应相等的两个三角形相似.
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b.两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似. c.三边对应成比例的两个三角形相似. ②推论: 平行于三角形一边的直线和其他两边相交,所构成的三角形与原三角形 相似. ③直角三角形相似的特殊判定 斜边与一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似. (2)相似三角形的性质 相似三角形的对应线段的比等于相似比,面积比等于相似比的平方. (3)直角三角形射影定理 直角三角形一条直角边的平方等于该直角边在斜边上射影与斜边的乘积, 斜边上 的高的平方等于两条直角边在斜边上射影的乘积. 双基自测 1.如图所示,已知 a∥b∥c,直线 m、n 分别与 a、b、c 交于点 A,B,C 和 A′, 3 B′,C′,如果 AB=BC=1,A′B′=2,则 B′C′=________.

解析 由平行线等分线段定理可直接得到答案. 3 答案 2 2.如图所示,BD、CE 是△ABC 的高,BD、CE 交于 F,写出图中所有与△ACE 相似的三角形________.

解析 由 Rt△ACE 与 Rt△FCD 和 Rt△ABD 各共一个锐角,因而它们均相似, 又易知∠BFE=∠A,故 Rt△ACE∽Rt△FBE. 答案 △FCD、△FBE、△ABD

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3.(2011· 西安模拟)如图,在△ABC 中,M、N 分别是 AB、BC 的中点,AN、CM 交于点 O,那么△MON 与△AOC 面积的比是________. 1 解析 ∵M、N 分别是 AB、BC 中点,故 MN 綉2AC, ∴△MON∽△COA,∴ 答案 1∶4 4.如图所示,已知 DE∥BC,BF∶EF=3∶2,则 AC∶AE=______,AD∶DB =________. S△MON MN2 1 = 2= . S△AOC AC 4

AE DE EF 解析 ∵DE∥BC,∴AC=BC =BF. AE EF 2 ∵BF∶EF=3∶2,∴ = = .∴AC∶AE=3∶2. AC BF 3 AB 3 同理 DE∥BC,得 AB∶AD=3∶2,即AD=2. AD 2 AD 2 ∴ AB =3,即 = =2. AB-AD 3-2 AD 即BD=2.∴AD∶BD=2∶1. 答案 3∶2 2∶1

5.(2010· 广东)如图,在直角梯形 ABCD 中,DC∥AB,CB⊥AB,AB=AD=a, a CD=2,点 E、F 分别为线段 AB、AD 的中点,则 EF=________.

a 解析 连接 DE 和 BD, 依题知, EB∥DC, EB=DC=2, ∴EBCD 为平行四边形, ∵CB⊥AB,∴DE⊥AB,又 E 是 AB 的中点,故 AD=DB=a,∵E,F 分别是
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1 1 AD、AB 的中点,∴EF=2DB=2a. a 答案 2

考向一

平行截割定理的应用

【例 1】?(2011· 广州测试(二))在梯形 ABCD 中,AD∥BC,AD=2,BC=5,点 E、 AE 3 F 分别在 AB、CD 上,且 EF∥AD,若EB=4,则 EF 的长为________. [审题视点] 把梯形的两腰 BA、CD 分别延长交于一点,利用平行截割定理可求 解. PA AD 2 解析 如图所示,延长 BA、CD 交于点 P,∵AD∥BC,∴PB=BC =5,

PA 2 AE 3 AE 3 PA 14 PA 14 AD PA ∴AB=3,又∵EB=4,∴AB=7,∴AE= 9 ,∴PE=23.∵AD∥EF,∴ EF =PE 14 23 =23,又 AD=2,∴EF= 7 . 答案 23 7 在解题时要注意添加辅助线.

【训练 1】 如图,在△ABC 中,DE∥BC,EF∥CD,若 BC=3,DE=2,DF= 1,则 AB 的长为________.

解析

?DE∥BC, 由?EF∥CD, ?BC=3,DE=2

AE AF DE 2 ?AC=AD=BC =3,又 DF=1,故可解得 AF=2,

∴AD=3,
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AD 2 9 又 AB =3,∴AB=2. 9 答案 2 考向二 相似三角形的判定和性质的应用

【例 2】?已知,如图,在△ABC 中,AB=AC,BD⊥AC,点 D 是垂足. 求证:BC2=2CD· AC.

[审题视点] 作 AE⊥BC,证明△AEC 和△BDC 相似即可. 证明 过点 A 作 AE⊥BC,垂足为 E, 1 ∴CE=BE=2BC,由 BD⊥AC,AE⊥BC. 又∴∠C=∠C,∴△AEC∽△BDC. 1 2BC AC EC AC ∴DC=BC,∴ CD =BC, 即 BC2=2CD· AC. 判定两个三角形相似要注意结合图形的性质特点灵活选择判定定 理.在一个题目中,相似三角形的判定定理和性质定理可能多次用到. 【训练 2】 (2011· 惠州调研)如图,在△ABC 中,DE∥BC,DF∥AC,AE∶AC =3∶5,DE=6,则 BF=________.

AE DE 3 6 解析 因为 DE∥BC,所以△ADE∽△ABC,所以AC=BC ,即5=BC,所以 BC =10.又 DF∥AC,所以四边形 DECF 是平行四边形,故 BF=BC-FC=BC-DE =10-6=4. 答案 4
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考向三

直角三角形射影定理的应用

【例 3】 ?已知圆的直径 AB=13, C 为圆上一点, 过 C 作 CD⊥AB 于 D(AD>BD), 若 CD=6,则 AD=________. [审题视点] △ACB 为直角三角形,可直接利用射影定理求解. 解析 如图,连接 AC,CB,∵AB 是⊙O 的直径,∴∠ACB=90°

设 AD=x,∵CD⊥AB 于 D, ∴由射影定理得 CD2=AD· DB, 即 62=x(13-x), ∴x2-13x+36=0,解得 x1=4,x2=9. ∵AD>BD,∴AD=9. 答案 9 注意射影定理的应用条件. 【训练 3】 在△ABC 中, ∠ACB=90° , CD⊥AB 于 D,AD∶BD=2∶3.则△ACD 与△CBD 的相似比为________. 解析 如

图所示,在 Rt△ACB 中, CD⊥AB,由射影定理得: CD2=AD· BD, 又∵AD∶BD=2∶3,令 AD=2x, BD=3x(x>0), ∴CD2=6x2,∴CD= 6x. 又∵∠ADC=∠BDC=90° ,∴△ACD∽△CBD. AD 2x 6 易知△ACD 与△CBD 的相似比为CD= =3. 6x 即相似比为 6∶3.
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答案

6∶3

高考中几何证明选讲问题(一) 从近两年新课标高考试题可以看出, 高考主要以填空题的形式考查平行截割定理 和相似三角形判定定理的应用,难度不大. 【示例 1】 ?(2011· 陕西)如图,∠B=∠D,AE⊥BC,∠ACD=90° ,且 AB=6, AC=4,AD=12,则 AE=________.

【示例 2】? (2011· 广东)如图,在梯形 ABCD 中,AB∥CD,AB=4,CD=2,E, F 分别为 AD,BC 上的点,且 EF=3,EF∥AB,则梯形 ABFE 与梯形 EFCD 的 面积比为________.

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第1讲平行截割定理与相似三角形

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