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阳谷三中高一数学5月份月考试题(C)


阳谷三中高一数学 5 月份月考试题 (C) 2013.5.27
试题说明: 1. 答第Ⅰ卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上.每 小题选出答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后, 再选涂其它答案,不能答在试题卷上. 2.答第Ⅱ卷时,请用 0.5mm 黑色中性笔将答案答在答题纸上.答卷前将密封线内的项目 填写

清楚.

第 I 卷(选择题,共 48 分)
一、 选择题(本题共 12 小题,每小题 4 分,共 48 分.在每小题给出的 A、B、C、D 四个 选择中,只有一项是符合题目要求的.) 1. sin 570 ?
?

A. 3

B. ?

3 2

C. ?

1 2

D.

1 2

,, , 2.已知平面向量 a ? (11) b ? (1 ? 1) ,则向量 ? A. (?2, 1)
, B. ( ?1 2)

1 3 a? b? 2 2
1) C. ( ?2, , D. ( ?1 0)

3.已知 cos ? ? , ? 为第四象限角,则 tan ? ? A. 1 B. ?1 C.

3 5

4.下列函数中,周期为 A. y ? cos 4 x

? 的是 2

3 4

D.

?

4 3

B. y ? sin 2 x ??? ??? ??? ? ? ? 5.正六边形 ABCDEF 中中 BA ? CD ? FE ? ??? ? ???? A.0 B. BE C. AD 6.已知 tan ? ? 4, tan ? ? ?3 ,则 tan(? ? ? ) ?

C. y ? cos

x 4

D. y ? sin

x 2

??? ? D. CF

7 7 D. ? 11 13 ??? 1 ??? ? ? ??? ? 7.在 △ ABC 中,已知 D 是 AB 边上一点,若 CD ? CA ? ? CB ,则 ? ? 3 1 1 2 2 A. B. ? C. D. ? 3 3 3 3
A.

7 11

B.

7 13

C. ?

-1-

8. 如果点 P(2cos ? ,sin 2? ) 位于第三象限,那么角 ? 所在的象限是 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

9.函数 f ( x) ? sin x ? 3 cos x( x ?[ ??,0]) 的单调递增区间是 A. [ ?

?

,? ] 2 3

?

B. [?

10. 已 知 函 数 f ( x ) ? sin(? x ?

?
4

5? ? ,? ] 6 6

C. [?

?
3

, 0]

D. [?

?
6

, 0]

) (其中 ? ?0 )的最小正周期为 ? ,为了得到函数

g ( x) ? cos ? x 的图象,只要将 y ? f ( x) 的图象

? 个单位长度 8 ? C. 向左平移 个单位长度 4
A. 向左平移

? 个单位长度 8 ? D. 向右平移 个单位长度 4
B. 向右平移

w.w.w.k.s.5.u. c.o.m

11.已知函数 f ( x) = A cos( ? x ? ? )的图象如图所示,

? 2 f ( ) ? ? ,则 f (0) = 2 3 2 1 2 A. ? B. C.- 3 2 3
3? ? x) 是 4

D.

1 2

w. w.w.k.s.5. u.c.o. m

12.已知函数 f ( x) ? a sin x ? b cos x ( a 、 b 为常数, a ? 0 , x? R)在 x ? 值,则函数 y ? f (

?
4

处取得最小

A.偶函数且它的图象关于点 (? ,0) 对称 C.奇函数且它的图象关于点 (

B.偶函数且它的图象关于点 (

3? ,0) 对称 2

3? ,0) 对称 2

D.奇函数且它的图象关于点 (? ,0) 对称

第 II 卷(非选择题共 82 分)
二、填空题(本题共 4 个小题,每小题 3 分,共 12 分.请把答案填在答题纸的指定位置.)

sin 400? sin(?230? ) 13.化简 的结果为 cos850? tan(?50? )



,, 3) ? 14.设向量 a ? (1 2) b ? (2, ,若向量 ?a ? b 与向量 c ? (?4, 7) 共线,

则? ?



-2-

15.如图, D, E , F 分别是 ? ABC 边 AB, BC , CA 上的 中点,有下列 4 个结论: ① FD ? DA ? AF ? 0 ② FD ? DE ? EF ? 0 ③ DE ? DA ? BE ? 0 ④ AD ? BE ? AF ? 0 其中正确的结论题号是____________. 16.定义在区间 ? 0 ,
C

??? ??? ??? ? ? ? ??? ??? ??? ? ? ?

??? ??? ??? ? ? ? ???? ??? ??? ? ?

F

E D B

A

? ?? 过点 P 作 ? 上的函数 y ? 3cos x 的图象与 y ? 8 tan x 的图象的交点为 P , ? 2?

PP ? x 轴于点 P1 ,直线 PP 与 y ? sin x 的图象交于点 P2 ,则线段 P P2 的长为____. 1 1 1
三、解答题(本题共 7 个小题,满分 70 分.其中 23 小题为发展题,请把解题步骤写在答题 纸的指定位置) 17. (本小题 8 分)已知 sin(? ? ? ) ? ? , ? 是第二象限角,分别求下列各式的值: 3 (Ⅰ) cos(2? ? ? ) ; (Ⅱ) tan(? ? 7? ) .

1

18. (本小题 8 分)已知角 ? 的终边过点 A( ?2, 4) ,求下列各式的值. (Ⅰ) 2sin 2 ? ? sin ? cos ? ? cos 2 ? ; (Ⅱ) tan 2? .

19. ( 本 小 题 10 分 ) 设 e1,e2 是 正 交 单 位 向 量 , 如 果 OA ? 2e1 ? me2 , OB ? ne1 ? e2 ,

??? ?

??? ?

??? ? ? ?? ? ? OC ? 5e1 ? e2 , 若 A, B, C 三点在一条直线上, 且 m ? 2n , 求 m, n 的值.

20.(本小题 10 分)已知 cos ? ? (Ⅰ) cos(2? ? ? ) 的值. (Ⅱ) ? 的值.

5 10 ? ,且 ? , ? ? (0, ) .求: , sin(? ? ? ) ? 5 10 2

-3-

21.(本小题 12 分)已知函数 f ( x) ? 3sin x cos x ? cos(? ? 2 x) . (Ⅰ)求函数的周期; (Ⅱ)将函数 y ? f ( x) 的图象向右平移

1 2

原来的 4 倍,纵坐标不变,得到函数 y ? g ( x) 的图象,求 g(x)的单调递减区间.

π 个单位后,再将得到的图象上各点的横坐标伸长到 6

22.(本小题 12 分)设函数 f ( x) ? a cos2 ? x ? 3a cos ? x sin ? x ? b(0 ? ? ? 2, a ? 0) , x ? 其函数图象的一条对称轴. (Ⅰ)求 ? 的值; (Ⅱ)若 f ( x) 的定义域为 ??

?
6是

? ? ?? ,值域为 [?1,5] ,求 a, b 的值. , ? 3 3? ?

23.(本小题 10 分,其中每小题 5 分) (Ⅰ)某同学在一次研究性学习中发现,以下五个式子的值都等于一个常数.

sin 2 13? ? cos2 17? ? sin 13? cos17? , sin 2 15? ? cos2 15? ? sin 15? cos15? , sin 2 18? ? cos2 12? ? sin 18? cos12? , sin 2 (?18? ) ? cos2 48? ? sin(?18? ) cos48? , sin 2 (?25? ) ? cos2 55? ? sin(?25? ) cos55? ,
(1)试从上述五个式子中选择一个,求出这个常数. (2)根据(1)的计算结果,将该同学的发现推广为三角恒等式,并证明你的结论.

(Ⅱ)求函数 y ? 2 ? 2 sin x cos x ? sin x ? cos x , x ?[? , ] 的最大值和最小值. 2 2

? ?

-4-

答案解析: 17.解:(Ⅰ)因为 sin(? ? ? ) ? ? sin ? ,所以 sin ? ? ,----------2 分 3 有 ? 是第二象限角,所以 cos ? ? ?

1

2 2 3 ,

----------4 分 ----------5 分

2 2 所以 cos(2? ? ? ) ? cos ? ? ? 3 ;
(Ⅱ) tan(? ? 7? ) ? tan ? ?

sin ? 1 2 ?? ?? . ----------8 分 cos ? 4 2 2

4 ----------1 分 ? ?2 , ?2 2sin 2 ? ? sin ? cos ? ? cos 2 ? 2sin 2 ? ? sin ? cos ? ? cos 2 ? ? 所以 sin 2 ? ? cos 2 ? 2tan 2 ? ? tan ? ? 1 ----------3 分 ? tan 2 ? ? 1
18、解:(Ⅰ)由条件得 tan ? ?

?

2 ? (?2) 2 ? (?2) ? 1 9 ? ; (?2)2 ? 1 5
2 tan ? 2 ? (?2) 4 ? ? . 2 1 ? tan ? 1 ? (?2) 2 3

----------4 分

(Ⅱ) tan 2? ?

----------8 分

19、解:以 O 为原点, e1,e2 的方向分别为 x, y 轴的正方方向,建立平面直角坐标系 xOy , 则 OA ? (2, m), OB ? (n, ?1), OC ? (5, ?1) , 所以 AC ? (3, ?1 ?m), BC ? (5 ? n,0) , 又因为 A, B, C 三点在一条直线上, 所以 AC / / BC , 所以 3 ? 0 ? (?1 ? m) ? (5 ? n) ? 0 ,与 m ? 2n 构成方程组

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

----------3 分

??? ?

??? ?

?mn ? 5m ? n ? 5 ? 0 , ? m ? 2n ?
? m ? ?1 ?m ? 10 ? 解得 ? . 1 或? ?n ? ? 2 ? n ? 5 ?

----------6 分

----------10 分

-5-

20、解:(Ⅰ)因为 ? ,

? ? ? ? ? (0, ) ,所以 ? ? ? ? (? , ) ,
2
2 2

----------1 分

所以 sin ? ? 1 ? cos 2 ? ? ?

2 5 , 5 3 10 , 10
----------3 分

cos(? ? ? ) ? 1 ? sin 2 (? ? ? ) ?

cos(2? ? ? ) ? cos[? ? (? ? ? )] ? cos ? cos(? ? ? ) ? sin ? sin(? ? ? )
所以 ? 5 ? 3 10 ? 2 5 ? 10 5 10 5 10 ; ----------6 分

?

2 10
cos ? ? cos[? ? (? ? ? )]

(Ⅱ) ? cos ? cos(? ? ? ) ? sin ? sin(? ? ? )

----------8 分

?

5 3 10 2 5 10 2 ? ? ? ? 5 10 5 10 2

又因为 ? ? (0, 所以 ? ?

?
2

),
----------10 分

?
4

.

21、解:(Ⅰ) 因为

1 3 1 3sin x cos x ? cos( ? ? 2 x) ? sin 2 x ? cos 2 x 2 2 2 ? sin(2 x ? ) 6

?

----------4 分

所以 f ( x) ? sin(2 x ? 6 ) ,

?

2? ?? ; 2 1 (Ⅱ)由条件得 g ( x) ? ? cos x , 2 1 令 2k? ? ? ? 2 x ? 2k? ,即 4k? ? 2? ? x ? 4k? , 所以 g(x)的单调递减区间为 [4k? ? 2? , 4k? ] ,其中 k ? Z .
所以函数 y ? f ( x) 的周期 T ? 22、解: (Ⅰ)因为,

----------6 分 ----------10 分

----------12 分

a cos 2 ? x ? 3a cos ? x sin ? x ? b a(1 ? cos 2? x) 3a ? sin 2? x ? b 2 2 ? a ? a sin(2? x ? ) ? ? b 6 2 ?
-6-

所以 f ( x) ? a sin(2? x ? 6 ) ? 2 ? b , 又因为 x ?

?

a

----------3 分

?
6 是其函数图象的一条对称轴,

所以 2? ? 6 ? 6 ? k? ? 2 , k ? Z ,即 ? ? 3k ? 1 , 又因为 0 ? ? ? 2 ,所以 k ? 0 , 故 ? ?1 ; ----------6 分

?

?

?

a ?b, 6 2 ? ? ? ? 5? 又因为 x ?[? 3 , 3 ] ,所以 2 x ? 6 ?[? 2 , 6 ] ,
(Ⅱ)由(Ⅰ)知 f ( x) ? a sin(2 x ? ) ? 所以当 2 x ? 6 ? ? 2 ,即 x ? ? 3 时, sin(2 x ? 6 ) ? sin(? 2 ) ? ?1 , min

?

?

?

?

?

?

? sin ? 1 , 所以当 2 x ? 6 ? 2 ,即 x ? 6 时, sin(2 x ? 6 ) 2 max
所以当 a ? 0 时,

?

?

?

?

?

----------8 分

f ( x) min ? ?a ?

a a a 3a ? b ? ? ? b , f ( x) max ? a ? ? b ? ? b , 2 2 2 2
----------10 分

? a ?a ? 3 ? ? 2 ? b ? ?1 ? ? 所以 ? 3a ,解得 ?b ? 1 , ? ? ?b?5 2 ? ? 2 ?
所以当 a ? 0 时,

f ( x) max ? ?a ?

a a a 3a ? b ? ? ? b , f ( x) min ? a ? ? b ? ? b , 2 2 2 2
----------12 分

? a ? a ? ?3 ??2 ?b?5 ? ? 所以 ? 3a ,解得 ?b ? ? 13 , ? ? b ? ?1 ? 2 ? ?2 ?

? a ? 3 ? a ? ?3 ? ? 综上所述 ?b ? 1 或 ?b ? ? 13 . ? 2 ? ? 2 ?

-7-

23、解: (Ⅰ)
sin 2 13? ? cos 2 17? ? sin13? cos17? 1 ? cos 26? 1 ? cos34? ? ? sin13? cos17? 2 2 ;-------------------------2 分 1 ? 1 ? sin 30? sin 4? ? ? (sin 30? ? sin 4?) 2 1 1 1 3 1 ? sin 4? ? ? sin 4? ? 2 4 2 4 ?

3 ? ? ? ? 30? .----------------------3 分 4 ,其中 1 ? cos 2? 1 ? cos 2? sin 2 ? ? cos 2 ? ? sin ? cos ? ? ? ? sin ? cos ? 2 2 1 证明: ? 1 ? sin 30? sin(? ? ? ) ? ? [sin 30? ? sin(? ? ? )] .----------------------5 分 2 1 1 1 3 1 ? sin(? ? ? ) ? ? sin(? ? ? ) ? 2 4 2 4
(2) sin 2 ? ? cos2 ? ? sin ? cos ? ? (Ⅱ)设 t ? sin x ? cos x ? 2 sin( x ? ) , 4 ? ? ? ? 3? 因为 x ?[? 2 , 2 ] ,所以 x ? 4 ?[? 4 , 4 ] , 所以当 x ? 4 ? ? 4 时, tmin ? 2 sin(? 4 ) ? ?1 , 所以当 x ? 4 ? 2 时, tmax ? 2 sin 2 ? 2 , 又因为 2sin x cos x ? (sin x ? cos x)2 ? 1 ? t 2 ? 1 ,
2 2 所以 y ? t ? t ? 1 ? (t ? 2 ) ? 4 , ? 1 ? t ? 2 ,

?

?

?

?

? ?

?

----------------------2 分

1

5

3 1 所以当 t ? ? 2 时, ymin ? ? 4 ,
所以当 t ? 2 时, ymax ? 1 ? 2 . ----------------------5 分

-8-


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