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2014一轮复习指导资料 第2章 第10节 变化率与导数、导数的计算

时间:2013-09-04


第二章 函数、导数及其应用

第十节

变化率与导数、导数的计算

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考纲要求

考情分析 1.导数是高考命题的热点,是 必考内容,主要考查导数的

1.了解导数概念的实际背景.
2.理解导数的几何意义. 3.能根据导数的定义求函数y =c,y=x,y=x2,y= 1 的 x 导数.

概念、导数的几何意义、导
数的计算等. 2.考查形式以选择题、填空题

4.能利用给出的基本初等函数
的导数公式和导数的四则运 算法则求简单函数的导数.

为主,在解答题中通常出现 在解答过程中.
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一、导数的概念 1.函数 f(x)从 x1 到 x2 的平均变化率

f?x2?-f?x1? 函数 f(x)从 x1 到 x2 的平均变化率为 x2-x1 ,若 Δx
Δy =x2-x1,Δy=f(x2)-f(x1),则平均变化率可表示为Δx.

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2.f(x)在 x=x0 处的导数 函数 y=f(x)在 x=x0 处的瞬时变化率是 f?x0+Δx?-f?x0? Δy lim →0 Δx Δx ______________________=lim Δx,称其为函数 y=f(x) Δx→0 在 x=x0 处的导数,记作 f′(x0)或y′|x=x0 ,即 f′(x0)=

f?x0+Δx?-f?x0? lim Δx→0 Δx ________________________.

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3.导函数
当x变化时,f′(x)称为f(x)的导函数,则f′(x)=
f?x+Δx?-f?x? lim Δx→0 Δx

y′=

.

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1.f′(x)与f′(x0)相同吗?
提示:f′(x)是一个函数,f′(x0)是常数,f′(x0)是函数f′(x)在点 x0处的函数值.

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二、导数的几何意义
函数y=f(x)在x=x0处的导数,就是曲线y=f(x)在点P(x0,y0) 处的切线的 斜率 ,过点P的切线方程为: y-y0=f′(x0)(x-x0) .

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2.曲线y=f(x)在点P0(x0,y0)处的切线与过点P0(x0,y0)的切
线,两种说法有区别吗? 提示:两种说法有区别.在点P0(x0 ,y0)处的切线说明点P0 在曲线y=f(x)上,且P0为切点;过点P0(x0,y0)的切线则点P0不一 定在曲线上,或点P0在曲线上也不一定为切点.

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三、几种常见函数的导数
函数 f(x)=c f(x)=xn(n∈Q*) 导函数 f′(x)=0 f′(x)=nxn-1 f′(x)=cos_x f′(x)=-sin_x f′(x)=axln_a(a>0且a≠1) f′(x)=ex 1 f′(x)=xln a(a>0 且 a≠1) 1 f′(x)=x

f(x)=sin x f(x)=cos x f(x)=ax(a>0且 a≠1)
f(x)=ex f(x)=logax(a>0且 a≠1) f(x)=ln x

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四、可导函数的四则运算法则 (1)[f(x)± g(x)]′= (2)[f(x)· g(x)]′=
f′(x)±g′(x) f′(x)g(x)+f(x)g′(x)

; ;

f′?x?g?x?-f?x?g′?x? f?x? [g?x?]2 (3)[ ]′= g?x?

(g(x)≠0).

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五、复合函数的导数(理) 复合函数y=f(g(x))的导数和函数y=f(u),u=g(x)的导数间 的关系为y′x= 对x的导数的积. yu′u′x ,即y对x的导数等于y对u的导数与u

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函数求导的原则 对于函数求导,一般要遵循先化简、再求导的原则,求导 时,不但要重视求导法则的应用,而且要特别注意求导法则对

求导的制约作用.在实施化简时,首先必须注意变换的等价
性,避免不必要的运算失误.

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1.在曲线 y=x2+1 的图象上取一点(1,2)及附近一点(1 Δy +Δx,2+Δy),则Δx为( 1 A.Δx+Δx+2 C.Δx+2 ) 1 B.Δx-Δx-2 1 D.2+Δx-Δx

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解析:Δy=(1+Δx)2+1-12-1=(Δx)2+2Δx, Δy ∴Δx=Δx+2.

答案:C

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2.已知 f(x)=ax3+3x2+2,若 f′(-1)=4,则 a 的值为 ( ) 10 A. 3 16 C. 3 13 B. 3 19 D. 3

解析:由条件知 f′(x)=3ax2+6x,所以 f′(-1)=3a- 10 6=4,得 a= 3 .
答案:A
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x 3.曲线 y= 在点(1,-1)处的切线方程为( x-2 A.y=x-2 C.y=2x-3 B.y=-3x+2 D.y=-2x+1

)

x-2-x 2 解析:y′= 2 =- 2,故 y′|x=1=-2,因此 ?x-2? ?x-2? 所求切线方程为 y-(-1)=-2(x-1),即 y=-2x+1.
答案:D

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4.若曲线f(x)=x4 -x在点P处的切线平行于直线y=3x,则
点P的坐标为________. 解析:设切点P为(x0,f(x0)),f′(x)=4x3-1, 由题意知f′(x0)=4x-1=3,∴x0=1,∴f(x0)=0. ∴切点P为(1,0).

答案:(1,0)

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5. (2013· 淄博模拟)已知函数
?π? f?4?的值为________. ? ?

?π? f(x)=f′?4?cos ? ?

x+sin x, 则

?π? 解析:f′(x)=-f′?4?sin ? ? ?π? ∴f′?4?=- ? ? ?π? ∴f′?4?= ? ? ?π? ∴f?4?=( ? ?

x+cos x,

2 ?π? 2 ? ?+ 2 f′?4? 2 ,

2-1, 2 2 2-1)× 2 + 2 =1.
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答案:1

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【考向探寻】

1.利用导数的概念求有关变化率.
2.利用导数的概念,解决有关的实际问题.

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【典例剖析】 用导数定义求函数 f(x)= x在 x=1 处的导数.

Δy 解决本题的关键是正确的求出 Δy,Δx,然后求出极限 即可,需要严格按照定义来求解.

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解:∵Δy=f(1+Δx)-f(1)= 1+Δx-1, 1+Δx-1 Δy 1 ∴Δx= = , Δx 1+Δx+1 ∴lim Δx→0 1 1 =2. 1+Δx+1

1 ∴f′(1)=2.

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【互动探究】 1 若将本例改为“利用导数的定义求函数 y= 的导 x 数”,结果如何?

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x- x+Δx 1 1 解:∵Δy= - = x x+Δx x2+x·Δx -Δx = 2 , x +x·Δx? x+ x+Δx? -1 Δy ∴Δx= 2 , x +x·Δx? x+ x+Δx? Δy -1 1 3 ∴lim Δx= =-2x-2, Δx→0 2x x 1 3 即 y′=-2x-2.
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(1)根据导数的概念求函数的导数是求导的基本方法.确定y =f(x)在x=x0处的导数有两种方法:一是导数定义法,二是导函 数的函数值法. (2)求函数y=f(x)在x=x0处的导数的求解步骤

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【考向探寻】 1.利用基本初等函数的导数公式及导数运算法则求导数.

2.求复合函数的导数.(理)

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【典例剖析】 求下列函数的导数: x (1)y= ; 1-x+x2 (2)y=3xex-2x+e; ln x (3)y= 2 ; x +1 (4)y=xcos x-sin x; (理) (5)y=(3-2x)5;(6)y=ln(x2+1).
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(理)运用导数公式和导数的运算法则及复合函数求导法则求
导. (文)运用导数公式和导数的运算法则求导即可.

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x′?1-x+x2?-x?1-x+x2?′ 解:(1)y′= ?1-x+x2?2 1-x+x2-x?0-1+2x? 1-x2 = = 2 2 2 2. ?1-x+x ? ?1-x+x ? (2)y′=(3xex)′-(2x)′+e′ =(3x)′ex+3x(ex)′-(2x)′+0 =(3xln 3)·x+3xex-2xln 2 e =(3e)xln(3e)-2xln 2.

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?ln x?′?x2+1?-ln x· 2+1?′ ?x (3)y′= ?x2+1?2 1 2 1 x ?x +1?-2xln x x?1-2ln x?+x = = . ?x2+1?2 ?x2+1?2 (4)y′=x′cos x+x(cos x)′-cos x =cos x-xsin x-cos x=-xsin x.

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(理) (5)令 u=3-2x,y=u5,则 u′(x)=-2,y′(u)=5u4= 5(3-2x)4, ∴ y′(x) = u′(x)· y′(u) = - 2×5(3 - 2x)4 = - 10(3 - 2x)4. 1 (6)令 u=x +1,y=ln u,则 u′(x)=2x,y′(u)=u=
2

1 , x2+1
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一般说来,分式函数求导,要先观察函数的结构特征,可 化为整式函数或较为简单的分式函数;对数函数的求导,可先 化为和、差的形式;三角函数的求导,先利用三角函数公式转 化为和或差的形式.

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对较复杂的函数求导时,应先化简再求

导,特别是对数函数真数是分式或根式时,可运用对数的运算
性质转化真数为有理式或整式求解更为方便.

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【活学活用】 1.求下列各函数的导数: x+x5+sin x (1)y= ; x2 (2)y=sin x· x. ln
x+x5+sin x 3 3 sin x 解:(1)∵y= =x-2+x + x2 , x2 3 5 ∴y′=-2x-2+3x2+(-2x-3sin x)+x-2· x cos 3 5 =-2x-2+3x2-2x-3sin x+x-2cos x.
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1 (2)y′=cos x· x+sin x· ln x 1 =cos xln x+xsin x.

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【考向探寻】 1.求曲线的切线方程.

2.求曲线的切线倾斜角的取值范围.
3.与曲线的切线有关的综合问题.

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【典例剖析】 π (1)(2013· 江门模拟)若曲线 f(x)=x· x+1 在 x=2 sin 处的切线与直线 ax+2y+1=0 互相垂直,则实数 a 等于 A.-2 C.1 B.-1 D.2

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1 (2)(2013· 海口模拟)已知曲线 y1=2-x 与 y2=x3-x2+2x 在 x=x0 处切线的斜率的乘积为 3,则 x0 的值为 A.-2 1 C.2 B.2 D.1

1 3 4 (3)(12 分)已知曲线 y=3x +3. ①求曲线在点 P(2,4)处的切线方程; ②求曲线过点 P(2,4)的切线方程;
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题号 (1) (2)

分析

求导数,得f′

?π? ? ? ,根据两直线位置关系求a. ?2?

求导数,得斜率,根据条件求x0. ①求导数,求切线斜率,写出切线方程;

(3)

②设切点,求切点坐标,写出切线方程;
③设切点,由k=1求切点坐标,写出切线方程.

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(1)据已知可得 f′(x)=sin x+xcos x, 故
?π? a ? ?=1,由两直线垂直可得- ×1=-1, f′ 2 2 ? ?

解得 a=2.
答案:D

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1 (2)由题知 y′1=x2,y′2=3x2-2x+2, 1 所以两曲线在 x=x0 处切线的斜率分别为x2, 0
2 3x0-2x0+2 3x2-2x0+2,所以 =3,解得 x0=1. 0 x2 0

答案:D

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(3)①∵y′=x2, ∴在点 P(2,4)处的切线的斜率 k=y′|x=2=4.2 分 ∴曲线在点 P(2,4)处的切线方程为 y-4=4(x-2), 即 4x-y-4=0.4 分 1 3 4 1 ②设曲线 y=3x +3与过点 P(2,4)的切线相切于点 Ax0, 3 4 3 x0+ ,则切线的斜率 3 k=y′|x=x0=x2.5 分 0

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∴切线方程为 即

?1 3 4? y-?3x0+3?=x2(x-x0), 0 ? ?

2 3 4 2 y=x0· x0+ .6 x- 3 3



∵点 P(2,4)在切线上, 2 3 4 2 ∴4=2x0- x0+ , 3 3 即 x3-3x2+4=0, 0 0 ∴x3+x2-4x2+4=0, 0 0 0 ∴x2(x0+1)-4(x0+1)(x0-1)=0, 0
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∴(x0+1)(x0-2)2=0, 解得 x0=-1 或 x0=2,7 分 故所求的切线方程为 4x-y-4=0 或 x-y+2=0.8 分 ③设切点为(x0,y0), 故切线的斜率为 k=x2=1, 0 解得
? 5? x0=± 1,故切点为?1,3?,(-1,1).10 ? ?



5 故所求切线方程为 y-3=x-1 和 y-1=x+1, 即 3x-3y+2=0 和 x-y+2=0.12 分
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(1)函数y=f(x)在点P(x0,y0)处的导数f′(x0)表示函数y=f(x)在 x=x0 处的瞬时变化率,导数f′(x0)的几何意义就是函数y=f(x)在 P(x0 ,y0)处的切线的斜率,且在该点处的切线方程为y-y0 = f′(x0)(x-x0).

(2)利用导数的几何意义求曲线的切线方程的步骤
①求出函数y=f(x)在点x0处的导数f′(x0); ②根据直线的点斜式方程,得切线方程y-y0 =f′(x0)(x- x0).
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求曲线的切线要注意“过点P的切线”与

“在点P处的切线”的差异,过点P的切线中,点P不一定是切
点、点P也不一定在已知曲线上,而在点P处的切线,必以点P为 切点.

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【活学活用】
2.已知直线l1为曲线y=x2+x-2在点(1,0)处的切线,l2为该 曲线的另一条切线,且l1⊥l2. (1)求直线l2的方程; (2)求由直线l1、l2和x轴所围成的三角形的面积.

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解:(1)y′=2x+1,∴y′|x=1=3. 直线 l1 的方程为 y=3x-3. 设直线 l2 与曲线 y=x2+x-2 的切点为 B(b,b2+b-2), 则 l2 的方程为 y=(2b+1)x-b2-2. 1 2 因为 l1⊥l2,则有 2b+1=-3,b=-3, 1 22 所以直线 l2 的方程为 y=-3x- 9 .

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? 1 ?y=3x-3, ?x=6, ? (2)解方程组? 得? 1 22 ?y=-3x- 9 , ?y=-5. ? 2 ? 所以直线 l1 和 l1、l2 与 x
?1 5? l2 的交点的坐标为?6,-2?. ? ?

? 22 ? 轴交点的坐标分别为(1,0)、?- 3 ,0?. ? ?

1 25 5 125 所以所求三角形的面积为 S=2× 3 ×|-2|= 12 .

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? 8? 1 3 已知曲线 y=3x 上一点 P?2,3?, 求过点 P 的切线方程. ? ?



?1 3? y′=?3x ?′=x2,得 ? ?

y′|x=2=4,即过点 P 的切线方

程的斜率为 4. 8 则所求的切线方程是 y-3=4(x-2),即 12x-3y-16= 0.
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在导数几何意义的应用问题中,往往只考虑导数本身的 应用问题,而没有充分考虑导数本身的应用与实际问题的结 合,导致错误.虽然点
? 8? P?2,3?在曲线上,但过点 ? ?

P 的切线

不一定以 P 为切点. 要充分考虑导数本身的应用与实际问题 的结合, 本题中所求的是“过 P 点的切线”, 而不只是求“切 点是 P”的切线,所以过点 P 但不以 P 为切点的切线方程也 是符合题意的.
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解:(1)当 P 为切点时,同上解; (2)当 P 点不是切点时,设切点为 Q(x0,y0),则切线方 1 3 2 程为 y-3x0=x0(x-x0), 因为切线过点
? 8? P?2,3?,把 ? ?

P 点的坐标代入以上切线方

程,求得 x0=-1 或 x0=2(即点 P,舍去),

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所以切点为

? 1? Q?-1,-3?, ? ?

即所求切线方程为 3x-3y+2=0; 综上所述,过点 P 的切线方程为 12x-3y-16=0 或 3x -3y+2=0.

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对于点不在曲线上的切线问题,要先确定所给的点的坐标

不满足曲线方程,此时要先设出相应的切点坐标,利用导数的
几何意义求出相应的切线的斜率,再结合直线的点斜式方程求 出含参数的切线方程,再把已知点代入求解出对应的参数,进 而解得切线方程.

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