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高二第二学期数学理科综合卷


高二第二学期数学理科综合卷
一、选择题: (本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.) 1.若复数 Z ? ( x 2 ? 4) ? ( x ? 2)i 为纯虚数,则实数的值为 D. ? 2 或 2
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)A. ? 2

B.0

C.2


2.椭圆 x2 ? my 2 ? 1 的焦点在 y 轴上,长轴长是短轴长的两倍,则 m 的值为 A.







1 4

B.

1 2

C. 2

D.4

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3.已知 m, n 是两条不同直线, ? , ? , ? 是三个不同平面,下列命题中正确的是( B. 若? ? ? , ? ? ? , 则?‖ ?
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)A. 若m‖? , n‖? , 则m‖ n

C. 若m‖? , n‖ ? , 则?‖ ? 4. “ a ? 0且b ? 0 ”是“方程 A.充分不必要条件 C. 充要条件

D. 若m ? ? , n ? ? , 则m‖ n
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x2 y2 ? ? 1 表示双曲线”的 a b
B. 必要不充分条件
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D. 既不充分也不必要条件

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5、已知点 P ? ?1,3, ?4? ,且该点在三个坐标平面 yoz 平面, zox 平面, xoy 平面上的射影的坐标依次为 ? x1, y1, z1 ? ,? x2 , y2 , z2 ? 和

? x3 , y3 , z3 ? ,则(
2 2 A、 x2 ? y3 ? z12 ? 0 2 2 C、 x3 ? y12 ? z2 ?0


2 2 B、 x12 ? y2 ? z3 ?0

D、以上结论都不对

6.已知空间四边形 OABC ,其对角线为 OB, AC , M , N 分别 是边 OA, CB 的中点,点 G 在线段 MN 上,且使 MG ? 2GN , 用向量 OA, OB, OC 表示向量 OG 是 A. OG ? OA ? OB ? OC
? 1 ??? ? 1 ???? 1 ??? 6 3 3 ???? ??? ? 2 ??? ? 2 ???? C. OG ? OA ? OB ? OC 3 3
2 2

??? ? ??? ? ??? ?

????


????



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????

? 1 ??? ? 2 ???? 1 ??? 6 3 3 ???? 1 ??? ? 2 ??? ? 2 ???? D. OG ? OA ? OB ? OC 2 3 3

B. OG ? OA ? OB ? OC

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7、 “若 x, y ? R 且 x ? y ? 0 ,则 x, y 全为 0”的否命题是( A.若 x, y ? R 且 x ? y ? 0 ,则 x, y 全不为 0
2 2



B.若 x, y ? R 且 x ? y ? 0 ,则 x, y 不全为 0
2 2

C.若 x, y ? R 且 x, y 全为 0,则 x ? y ? 0
2 2

D.若 x, y ? R 且 xy ? 0 ,则 x ? y ? 0
2 2

8.利用数学归纳法证明“ (n ? 1)(n ? 2) ? ? ? (n ? n) ? 2 ?1? 3 ? ? ? ? ? (2n ? 1), n ? N
n

*

”时,从“ n ? k ”变到

“ n ? k ? 1 ”时,

左边应增乘的因式是





A. 2k ? 1

B.

2k ? 1 k ?1

C.

( 2k ? 1)( 2k ? 2) k ?1


D.

2k ? 3 k ?1

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9、过点 (0, 2) 与抛物线 y 2 ? 8x 只有一个公共点的直线有(

A.1 条 B.2 条 C.3 条 D.无数多条 10.如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底面为 45°,腰和上底均为1的等腰梯形,那么原平面图形的

面积是(

) (B)
1? 2 2

(A) 2 ? 2

(C)
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2? 2 2

(D) 1 ? 2

二、填空题: (本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.) 11.已知 a ? (2, ?1,3), b ? (?4, 2, x) , 且 a // b , 则 x ? 12.抛物线 y ? 4 x 2 的准线方程是
2 2

?

?

? ?



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13.已知圆 C: x ? y ? 1,点 A ? ?2,0? 及点 B(3, a ) ,从 A 点观察 B 点,要使视线不被圆 C 挡住,则实数 a 的取值范围 是 14 已知曲线 C : ;

x2 y2 ? ? ?1 ,则“ 4 ? k ? 5 ”是“曲线 C 表示焦点在 y 轴上的椭圆”的______________条件. k ?5 3?k

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15.已知某个几何体的三视图如下,根据图中标出的尺寸(单位:cm) ,可得这个几何体的体积是
1 l



2 2 1

2 2 1

主视图

左视图

俯视图

三、解答题:

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16(本小题满分 12 分)

如图,在平行四边形 OABC 中,点 C(1,3) . (1)求 OC 所在直线的斜率; (2)过点 C 做 CD⊥AB 于点 D,求 CD 所在直线的方程.
y

C

B D

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O


1

A

x

17(本小题满分 12 分) 设函数 y ? lg(? x ? 7 x ? 12) 的定义域为 A.
2

⑴求集合 A . ⑵设 p : x ? A , q : x ? a ,且 p 是 q 的充分不必要条件,求实数 a 的取

值范围.

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18、 (本小题满分 12 分) 设椭圆方程为 x ?
2
? ? 1 ? y2 =1,求点 M(0,1)的直线 l 交椭圆于点 A、B,O 为坐标原点,点 P 满足 OP ? (OA ? OB ) ,当 l 绕点 2 4

M 旋转时,求动点 P 的轨迹方程.
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19(本小题满分 12 分) 如图,已知正方形 ABCD 和矩形 ACEF 所在的平面互相垂 (I)证明:BD 垂直于平面 ACEF (2)求二面角 A-DF-B 的大小; (3)在线段 AC 上找一点 P,使 PF 与 AD 所成的角为 600 试确定点 P 的位置. D
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直, AB ? 2, AF ? 1 . E F C B A

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20(本小题满分 13 分)
2 2

已知方程 x ? y ? 2x ? 4 y ? m ? 0 . (Ⅰ)若此方程表示圆,求 m 的取值范围; (Ⅱ)若(Ⅰ)中的圆与直线 x ? 2 y ? 4 ? 0 相交于 M,N 两点,且 OM ? ON(O 为坐标原点)求 m 的值; (Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,求以 MN 为直径的圆的方程.

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211 学

21 科网

如图,平面直角坐标系 xOy 中,

?AOB 和 ?COD 为等腰直角三角形, A(?2, 0) , C (a, 0)(a ? 0) 设 ?AOB 和 ?COD 的外接圆圆心分别为 M , N .
(Ⅰ)若圆 M 与直线 CD 相切,求直线 CD 的方程; (Ⅱ)若直线 AB 截圆 N 所得弦长为 4,求圆 N 的标准方程; (Ⅲ)是否存在这样的圆 N,使得圆 N 上有且只有三个点到直线 AB 的距离为 2 ,若存在,求此时圆 N 的标准方程;若不存在, 说明理由. B y D N

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瑞安中学 2008 学年第二学期高二年级期末考试 数学答案(理科)
一、选择题: (本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.) 1 2 3 4 5 6
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7

8

9 0

1

A

A

D

A

B

A
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B

C

C

A

二、填空题: (本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.) 11. ? 6 12. y ? ?

1 16

13. (??, ?

5 5 3) ? ( 3, ??) 3 3

14.必要不充分

15.2

三、解答题: (本大题共 5 题,其中 18 题 6 分,19 题 7 分,20-22 题各 12 分)

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16 解: (1)? 点 O(0,0) ,点 C(1,3) ,
? OC 所在直线的斜率为 kOC ? 3 ? 0 ? 3 . (4 分)
1? 0

(2)在 ? OABC 中, AB // OC ,? CD⊥AB,? CD⊥OC.
? CD 所在直线的斜率为 kCD ? ? 1 .
3

(8 分)
即x ? 3 y ?10 ? 0 .(12 分)

? CD 所在直线方程为 y ? 3 ? ? ( x ? 1),
2 17. .⑴∵由 ? x ? 7 x ? 12 ? 0 解得 3 ? x ? 4 , ∴A= (3, 4)

1 3

⑵由⑴知 p : 3 ? x ? 4 , ∵ p 是 q 的充分不必要条件,∴ p ? q ∴ (3, 4) 是 (a, ??) 的真子集,∴ a ≤ 3 ∴ a 的取值范围是 ? ??,3? 18.解:设 P(x,y)是所求轨迹上的任一点, ①当斜率存在时,直线 l 的方程为 y=kx+1,A(x1,y1) ,B(x2,y2) , 由 4x2+y2-4=0 y=kx+1 得

(4+k2)x2+2kx-3=0, x1+x2=-
?

2k 8 , y1+y2= , 2 4?k 4? k2
? 1 ? (OA ? OB ) 2

由 OP ?

得:

(x,y)=

1 (x1+x2,y1+y2) , 2

x ? x2 k ? x? 1 ?? ? ? 2 4? k2 即: ? ? y ? y1 ? y 2 ? 4 ? 2 4? k2 ?

消去 k 得:4x2+y2-y=0 当斜率不存在时,AB 的中点为坐标原点,也适合方程 所以动点 P 的轨迹方程为:4x2+y2-y= 0.

19.解:(1)略 (2)以 CD, CB, CE 为正交基底,建立空间直角坐标系,则

??? ? ??? ? ??? ?

E (0, 0,1), D( 2, 0, 0), B 0, 2, 0 , A

?

? ?

2, 2, 0 ,

?

? ??? ? ??? ? 面ADF的法向量t ? (1,0,0), BD ? ( 2, ? 2,0), BF ? ( 2,0,1) .
设面 DFB 法向量 n ? (a, b, c), 则n ? BD ? 0, n ? BF ? 0 ,

?

? ??? ?

? ??? ?

??? ? 1 令a=1,得n ? (1,1, ? 2) cos ? n,t ?? , 故 二面角 A-DF-B 大小 600 2 ? ? 2a ? c ? 0 ??? ? ??? ? (3)设 P(a, a,0) 0 ? a ? 2 ,则PF ? ( 2 ? a, 2 ? a,1), CB ? (0, 2,0) ,
所以 ?

? ? 2a ? 2b ? 0

?

?

因为 ? PF , CB ?? 60 所以cos60 ?
0 0

??? ? ??? ?

2 2?

? 2?

? 2 ? a? ?1
2 ?a
2

?

1 , 2

解得 a ?

2 故存在满足条件的点 P 为 AC 的中点. 2
?

(2)? ?AEP 是二面角 A ? DE ? P 的平面角,在 Rt ?PAC 中当 ?PEA ? 90 时, PE ? 20 解: (Ⅰ) x 2 ? y 2 ? 2 x ? 4 y ? m ? 0 D=-2,E=-4,F= m

2 7 a 7

D 2 ? E 2 ? 4 F =20- 4 m ? 0 , m ? 5 ?x ? 2 y ? 4 ? 0 x ? 4 ? 2 y 代入得 5 y 2 ? 16y ? 8 ? m ? 0 (Ⅱ) ? 2 2 ?x ? y ? 2x ? 4 y ? m ? 0 8?m 16 y1 ? y 2 ? , y1 y 2 ? ∵OM ? ON 5 5 8 得出: x1 x2 ? y1 y 2 ? 0 ∴ 5 y1 y2 ? 8( y1 ? y2 ) ? 16 ? 0 ∴m ? 5 (Ⅲ)设圆心为 ( a, b)

a?
21

x1 ? x2 4 y ? y1 8 4 2 8 2 16 4 5 ? ,b ? 1 ? 半径 r ? 圆的方程 ( x ? ) ? ( y ? ) ? 5 5 5 2 5 2 5 5


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