浙江省余姚中学2015-2016学年高一下学期期中考试数学试卷

2015 学年度 余姚中学 高一数学期中试卷参考答案 第二学期
命题人 李辉 审题人 郭路栋

一、选择题（本大题共 8 个小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选 项中，只有一个是符合题目要求的） 1、已 知 ?ABC 中， A ? 45?, a ? 2, b ? 2 ,那么 ? B 为（ A． 30 ? B． 60 ? D C． 30 ? 或 150? ） B．若 a ? b ，则 a 2 ? b 2 D．若 a ? b ? 0 ，则
n-1

A

） D． 60 ? 或 120?

2、下列不等式中成立的是（ A．若 a ? b ，则 ac2 ? bc 2

C．若 a ? b ? 0 ，则 a 2 ? ab ? b2

1 1 ? a b

3、已知等比数列{an}的前 n 项和为 Sn=x·3 -,则 x 的值为(

C

)

A.

B.-

C.

D.-

4、在 ?ABC 中， a, b, c 为内角 A, B, C 的对边，且 cos2B ? cos B ? cos(A ? C ) ? 1 ，则 （ C ） A． a, b, c 成等差数列 C． a, b, c 成等比数列 5、在数列{an}中，对任意 n∈N*，都有 B． a, c, b 成等差数列 D． a, c, b 成等比数列

an＋2－an＋1 ＝k(k 为常数)，则称{an}为“等差 an＋1－an

比数列” ．下面对“等差比数列”的判断： ①k 不可能为 0； ②等差数列一定是等差比数列； ③等比数列一定是等差比数列； ④通项公式为 an＝a·bn＋c(a≠0，b≠0,1)的数列一定是等差比数列． 其中正确的判断为 A．①② ( D ) C．③④ D．①④

B．②③

6、设 M 是 ?ABC内一点 , 且AB ? AC ? 2 3, ?BAC ? 30?, 定义f (M ) ? (m, n, p),
1 1 4 其中 m、n、p 分别是 ?MBC , ?MCA, ?MAB的面积, 若f ( M ) ? ( , x, y)则 ? 2 x y

的最小值是（ A．8

D

） B．9

C．16

D．18

7、已知数列{an}满足 an+1=+,且 a1=,则该数列的前 2016 项的和 等于( A.1511 B ) B. 1512 C. 3024 D.2016

8、变量 x,y 满足约束条件则目标函数 z=3|x|+|y-3|的取值范围 是( A. A ) B. C.[-2,3] D.[1,6]

二、填空题（本大题共 7 小题，9-12 每小题 6 分，每空 3 分，13-15 每小题 4 分， 共 36 分．请把答案填在题中的横线上）
? ? ?? 9、已知 tan ?、 t a ?n 是 方 程 x 2 ? 6 x ? 7? 0的 两 根 ， 且 ? , ? ? ? ? , ? ， 则 ? 2 2?
tan ?( ? ? =_ )

1

_； ? ? ? =

?

3? 4

.

10、用正奇数按下表排列 第1列 第一行 第二行 第三行 … 则 2017 在第 15 第2列 1 13 17 … 行第 2 列. 第3列 3 11 19 27 第4列 5 9 21 25 第5列 7 23

253

11、 “”称为 a,b,c 三个正实数的“调和平均数”,若正数 x,y 满足“x,y,xy 的调 和平均数为 3”,则 x 与 y 的关系式为 7 .

x+y+1=xy

；x+2y 的最小值是

12、已知数列 ?an ? 有 a1 ? a ， a2 ? 2 ，对任意的正整数 n ， S n ? a1 ? a2 ? ? ? an ， 并有 S n 满足 S n ?
n(a n ? a1 ) ，则 a = 2

0

； an = 2（n-1） . a＞1 . 6－ 2 . 4

13、已知不等式 x ? 4 ? x ? 3 ＜a 有解，则 a 的取值范围为

14、 若△ABC 的内角满足 sin A＋ 2sin B＝2sin C， 则 cos C 的最小值是

15、若关于 x 的不等式(2x－1)2<ax2 的解集中整数恰好有 3 个，则实数 a 的取值范

? 25 49? 围是____ ? , ? ? 9 16 ?

__.

三、解答题（本大题共 5 个小题，共 74 分．解答应写出文字说明，证明过程或演 算步骤） 16、 （本 小题满分 14 分） 在 ?ABC 中， a 、 b 、 c 分别是角 A 、 B 、 C 所对的边．已知 a ? 2 ， c ? 5 ，
cos B ? 3 ． （1）求边 b 的值； （2）求 sin C 的值． 5

解： （1） b ? 17 （2） sin C ?
4 17 17

17、 （本小题满分 15 分） 已知不等式 ax 2 ? 5x ? 2 ? 0 的解集是 M ． （1）若 2 ? M ，求 a 的取值范围； （2）若 M ? x

?

1 ? x ? 2 ，求不等式 ax 2 ? 5x ? a 2 ? 1 ? 0 的解集． 2

?

解： （1）∵ 2 ? M ，∴ a ? 22 ? 5 ? 2 ? 2 ? 0 ，∴ a ? ?2 （2）∵ M ? x

?

1 ? x ? 2 ，∴ 1 , 2 是方程 ax 2 ? 5x ? 2 ? 0 的两个根， 2 2

?

5 ?1 ?2?? ? ?2 a ∴由韦达定理得 ? ?1 ? 2 ? ? 2 ? a ?2

解得 a ? ?2

∴不等式 ax 2 ? 5x ? a 2 ? 1 ? 0 即为： ?2x2 ? 5x ? 3 ? 0 其解集为 x ? 3 ? x ?

?

1 ． 2

?

18、 （本题满分 15 分） 已知 ?ABC 的三个内角 A，B，C 成等差数列，它们的对边分别为 a，b，c ，且满足

a:b ? 2 : 3 ，c ? 2．
（1）求 A, B,C ； （2）求 ?ABC 的面积 S ． 解： （1）∵ A ， B ， C 成等差数列，∴ A ? C ? 2 B ， 又∵ A ? B ? C ? 180? ，∴ B ? 60?，A ? C ? 120? ， 由正弦定理 ∴
2 ?
a b c a sin A ，可知 ? ， ? ? sin A sin B sin C b sin B

sin A sin A 2 ， ? ? sin A ? ? 2 3 sin 60 3 2 ? ? ∵ 0 ? A ? 120 ，∴ A ? 45? ， C ? 120? ? A ? 75? ，综上， A ? 45?，B ? 60?，C ? 75? ；

（2） sinC ? sin 75? ? sin(30? ? 45? ) ? 由

6? 2 ， 4

a b 2 a b ? ? ? ? ? ? ? ? sin 45 sin 60 sin 75 2 3 2 2

2 6? 2 4

，

得 a ? 2( 3 ? 1)，b ? 6( 3 ? 1) ， ∴ S?ABC ? ac sin B ? ? 2( 3 ? 1) ? 2 ? 19、 （本小题满分 15 分） 在数列 ?an ? 中， a1 = （1）求 an ， sn ；
1 1 ，其前 n 项和为 sn ，且 s n ?a n ?1 ? (n ? N ? ) . 2 2
1 2 1 2 3 ? 3? 3 ． 2

（2）设 bn ? log2 (2sn ? 1) ? 2 ，数列 ?cn ? 满足：

cn ? ?bn ? 3? ? ?bn ? 4? ? 1 ? (n ? 1)(n ? 2) ? 2bn ， 数 列 ?cn ? 的 前 n 项 和 为 Tn ， 求 使
1 成立的最小整数 n 的值. 1009 1 1 解： （1）由 S n ? a n ?1 ? 得 S n ?1 ? a n ? (n ? 2) 2 2 2Tn ? 2 n ?

? n ? 2 时, an ? an?1 ? an 即 an?1 ? 2an

①

又 n ? 1 时， a1 ? a 2 ?

1 1 ， a1 ? , ? a2 ? 1 2 2

? a2 ? 2a1 ②
由① ②及 a1 ? 0 得数列 ?an ? 为等比数列

an ?

1 n ?1 1 ? 2 ? 2 n ? 2 ， S n ? 2 n ?1 ? 2 2

（2） bn ? log2 (2n ? 1 ? 1) ? 2 ? n ? 2, bn ? 3 ? n ? 1, bn ? 4 ? n ? 2 则 cn ? (n ? 1)(n ? 2) ? 1 ? (n ? 1)(n ? 2) ? 2n?2
? cn ? 1 1 1 ? 2 n?2 ? ? ? 2 n?2 (n ? 1)(n ? 2) n ?1 n ? 2

1 1 ? 2n 1 1 ? 2 ?1 1 1 1 ? ? Tn ? ? ? ? ? ? ? ?? n ?1 n ? 2 ? 1? 2 ?2 3 3 4
?

?

?

1 1 1 1 ? ? 2 n ? 1 ? 2 n ?1 ? 2 n?2 2 n?2 2 1 ? 2n ? , 得 n ≥2016, ? 2n ? n?2 1009 1 所以，使得 2Tn ? 2 n ? 成立的最小整数 n 的值为 2016. 1009

?

?

20、 （本小题满分 15 分） 已知正项数列 ?an ? 的前三项分别为 1, 3, 5 ， S n 为数列的前 n 项和，满足：
2 2 nSn n 3 ? An 2? Bn ?? A ,B ? R n , ?N * ?? 3 ?. ?1 ? ? n ? 1? Sn ? ? n ? 1

(1) 求 A, B 的值；

(2) 求数列 ?an ? 的通项公式； (3) 若数列 ?bn ? 满足 ? n ? 1? an ?

b b1 b2 ? 2 ?…? n ? n ? N? ? ，求数列 ?bn ? 的前 n 项和 2 2 2n

Tn .
解：(1) 解：? a1 ? 1, a2 ? 3, a3 ? 5 ，? S1 ? 1, S2 ? 4, S3 ? 9 ， 在 nSn2?1 ? ? n ? 1? Sn2 ? ? n ? 1? ?3n3 ? An2 ? Bn ? 中，分别令 n ? 1, n ? 2 得：
2 ? S2 ? 2S12 ? 2 ? 3 ? A ? B ? ? ? ?16 ? 2 ? 2 ?3 ? A ? B ? ?? ? 2 2 ?162 ? 48 ? 3 ? 24 ? 4 A ? 2 B ? ?2S3 ? 3S2 ? 3 ? 24 ? 4 A ? 2B ? ? ?

(2) 由(1)， nSn2?1 ? ? n ? 1? Sn2 ? ? n ? 1? ?3n3 ? 3n2 ? n?? n ? N * ? ，变形为：
2 Sn S2 ?1 ? n ? 3n 2 ? 3n ? 1? n ? N ? ? ，分别令 n ? 1, 2, …得 ? n ? 1? n

?A ? B ? 4 ?A ? 3 ?? ?? . ?2 A ? B ? 7 ?B ? 1

2 S2 S2 ? 1 ? 3 ? 12 ? 3 ? 1 ? 1 2 1 2 2 S3 S 2 ? ? 3 ? 22 ? 3 ? 2 ? 1 3 2 ? ? ? 2 Sn S2 2 ? n ?1 ? 3 ? n ? 1? ? 3 ? n ? 1? ? 1 n n ?1

(?

2 Sn S2 2 ? 1 ? 3 12 ? 22 ? ? ? ? n ? 1? ? 3 ?1 ? 2 ? ? ? ? n ? 1? ? ? ? n ? 1? ? n ? 2，且n ? N * ? n 1 n ? n ? 1? 1 ? 3 ? ? n ? 1? n ? 2n ? 1? ? 3 ? ? n ? 1? 6 2 ? n3 ? 1

?

?

? Sn ? n2 ? n ? 2, 且n ? N * ? ， ? S1 ? 1 ，

? an ? Sn ? Sn?1 ? 2n ?1? n ? 2，且n ? N * ? ，? a1 ? 1 ，? an ? 2n ?1? n ? N * ?

? Sn ? n2 ? n ? N * ? .

(3)

当 n ? 1 时， T1 ? b1 ? 4 ， 当 n ? 2 时，由 ? n ? 1? an ?

b b1 b2 ? 2 ??? n ?n ? N* ? 得 2 2 2n b ?1 b b ， nan ?1 ? 1 ? 2 ??? n 2 2 2 2n ?1 b 两式相减得： ? n ? 1? an ? nan ?1 ? n ? n ? 2，且n ? N * ? ， 2n ?bn ? ? 4n ?1? 2n ? n ? 2, 且n ? N * ? ，
?Tn ? 4 ? 7 ? 22 ? 11? 23 ? 15 ? 24 ? ? ? ? 4n ? 1? 2n 2Tn ? 8 ? 7 ? 23 ? 11? 24 ? ? ? ? 4n ? 5? 2n ? ? 4n ? 1? 2n ?1 (?
?Tn ? ?4 ? 7 ? 22 ? 4 ? 23 ?1 ? 2 ? 22 ? ?? 2n?3 ? ? ? 4n ?1? 2n?1

?Tn ? ? 4n ? 5? ? 2n?1 ? 8 ? n ? 2，且n ? N * ?

? T1 ? 4 ， ?Tn ? ? 4n ? 5? ? 2n?1 ? 8 n ? N *

?

?.