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浙江省余姚中学2015-2016学年高一下学期期中考试数学试卷


2015 学年度 余姚中学 高一数学期中试卷参考答案 第二学期
命题人 李辉 审题人 郭路栋

一、选择题(本大题共 8 个小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选 项中,只有一个是符合题目要求的) 1、已 知 ?ABC 中, A ? 45?, a ? 2, b ? 2 ,那么 ? B 为( A. 30 ? B. 60 ? D C.

30 ? 或 150? ) B.若 a ? b ,则 a 2 ? b 2 D.若 a ? b ? 0 ,则
n-1

A

) D. 60 ? 或 120?

2、下列不等式中成立的是( A.若 a ? b ,则 ac2 ? bc 2

C.若 a ? b ? 0 ,则 a 2 ? ab ? b2

1 1 ? a b

3、已知等比数列{an}的前 n 项和为 Sn=x·3 -,则 x 的值为(

C

)

A.

B.-

C.

D.-

4、在 ?ABC 中, a, b, c 为内角 A, B, C 的对边,且 cos2B ? cos B ? cos(A ? C ) ? 1 ,则 ( C ) A. a, b, c 成等差数列 C. a, b, c 成等比数列 5、在数列{an}中,对任意 n∈N*,都有 B. a, c, b 成等差数列 D. a, c, b 成等比数列

an+2-an+1 =k(k 为常数),则称{an}为“等差 an+1-an

比数列” .下面对“等差比数列”的判断: ①k 不可能为 0; ②等差数列一定是等差比数列; ③等比数列一定是等差比数列; ④通项公式为 an=a·bn+c(a≠0,b≠0,1)的数列一定是等差比数列. 其中正确的判断为 A.①② ( D ) C.③④ D.①④

B.②③

6、设 M 是 ?ABC内一点 , 且AB ? AC ? 2 3, ?BAC ? 30?, 定义f (M ) ? (m, n, p),
1 1 4 其中 m、n、p 分别是 ?MBC , ?MCA, ?MAB的面积, 若f ( M ) ? ( , x, y)则 ? 2 x y

的最小值是( A.8

D

) B.9

C.16

D.18

7、已知数列{an}满足 an+1=+,且 a1=,则该数列的前 2016 项的和 等于( A.1511 B ) B. 1512 C. 3024 D.2016

8、变量 x,y 满足约束条件则目标函数 z=3|x|+|y-3|的取值范围 是( A. A ) B. C.[-2,3] D.[1,6]

二、填空题(本大题共 7 小题,9-12 每小题 6 分,每空 3 分,13-15 每小题 4 分, 共 36 分.请把答案填在题中的横线上)
? ? ?? 9、已知 tan ?、 t a ?n 是 方 程 x 2 ? 6 x ? 7? 0的 两 根 , 且 ? , ? ? ? ? , ? , 则 ? 2 2?
tan ?( ? ? =_ )

1

_; ? ? ? =

?

3? 4

.

10、用正奇数按下表排列 第1列 第一行 第二行 第三行 … 则 2017 在第 15 第2列 1 13 17 … 行第 2 列. 第3列 3 11 19 27 第4列 5 9 21 25 第5列 7 23

253

11、 “”称为 a,b,c 三个正实数的“调和平均数”,若正数 x,y 满足“x,y,xy 的调 和平均数为 3”,则 x 与 y 的关系式为 7 .

x+y+1=xy

;x+2y 的最小值是

12、已知数列 ?an ? 有 a1 ? a , a2 ? 2 ,对任意的正整数 n , S n ? a1 ? a2 ? ? ? an , 并有 S n 满足 S n ?
n(a n ? a1 ) ,则 a = 2

0

; an = 2(n-1) . a>1 . 6- 2 . 4

13、已知不等式 x ? 4 ? x ? 3 <a 有解,则 a 的取值范围为

14、 若△ABC 的内角满足 sin A+ 2sin B=2sin C, 则 cos C 的最小值是

15、若关于 x 的不等式(2x-1)2<ax2 的解集中整数恰好有 3 个,则实数 a 的取值范

? 25 49? 围是____ ? , ? ? 9 16 ?

__.

三、解答题(本大题共 5 个小题,共 74 分.解答应写出文字说明,证明过程或演 算步骤) 16、 (本 小题满分 14 分) 在 ?ABC 中, a 、 b 、 c 分别是角 A 、 B 、 C 所对的边.已知 a ? 2 , c ? 5 ,
cos B ? 3 . (1)求边 b 的值; (2)求 sin C 的值. 5

解: (1) b ? 17 (2) sin C ?
4 17 17

17、 (本小题满分 15 分) 已知不等式 ax 2 ? 5x ? 2 ? 0 的解集是 M . (1)若 2 ? M ,求 a 的取值范围; (2)若 M ? x

?

1 ? x ? 2 ,求不等式 ax 2 ? 5x ? a 2 ? 1 ? 0 的解集. 2

?

解: (1)∵ 2 ? M ,∴ a ? 22 ? 5 ? 2 ? 2 ? 0 ,∴ a ? ?2 (2)∵ M ? x

?

1 ? x ? 2 ,∴ 1 , 2 是方程 ax 2 ? 5x ? 2 ? 0 的两个根, 2 2

?

5 ?1 ?2?? ? ?2 a ∴由韦达定理得 ? ?1 ? 2 ? ? 2 ? a ?2

解得 a ? ?2

∴不等式 ax 2 ? 5x ? a 2 ? 1 ? 0 即为: ?2x2 ? 5x ? 3 ? 0 其解集为 x ? 3 ? x ?

?

1 . 2

?

18、 (本题满分 15 分) 已知 ?ABC 的三个内角 A,B,C 成等差数列,它们的对边分别为 a,b,c ,且满足

a:b ? 2 : 3 ,c ? 2.
(1)求 A, B,C ; (2)求 ?ABC 的面积 S . 解: (1)∵ A , B , C 成等差数列,∴ A ? C ? 2 B , 又∵ A ? B ? C ? 180? ,∴ B ? 60?,A ? C ? 120? , 由正弦定理 ∴
2 ?
a b c a sin A ,可知 ? , ? ? sin A sin B sin C b sin B

sin A sin A 2 , ? ? sin A ? ? 2 3 sin 60 3 2 ? ? ∵ 0 ? A ? 120 ,∴ A ? 45? , C ? 120? ? A ? 75? ,综上, A ? 45?,B ? 60?,C ? 75? ;

(2) sinC ? sin 75? ? sin(30? ? 45? ) ? 由

6? 2 , 4

a b 2 a b ? ? ? ? ? ? ? ? sin 45 sin 60 sin 75 2 3 2 2

2 6? 2 4



得 a ? 2( 3 ? 1),b ? 6( 3 ? 1) , ∴ S?ABC ? ac sin B ? ? 2( 3 ? 1) ? 2 ? 19、 (本小题满分 15 分) 在数列 ?an ? 中, a1 = (1)求 an , sn ;
1 1 ,其前 n 项和为 sn ,且 s n ?a n ?1 ? (n ? N ? ) . 2 2
1 2 1 2 3 ? 3? 3 . 2

(2)设 bn ? log2 (2sn ? 1) ? 2 ,数列 ?cn ? 满足:

cn ? ?bn ? 3? ? ?bn ? 4? ? 1 ? (n ? 1)(n ? 2) ? 2bn , 数 列 ?cn ? 的 前 n 项 和 为 Tn , 求 使
1 成立的最小整数 n 的值. 1009 1 1 解: (1)由 S n ? a n ?1 ? 得 S n ?1 ? a n ? (n ? 2) 2 2 2Tn ? 2 n ?

? n ? 2 时, an ? an?1 ? an 即 an?1 ? 2an



又 n ? 1 时, a1 ? a 2 ?

1 1 , a1 ? , ? a2 ? 1 2 2

? a2 ? 2a1 ②
由① ②及 a1 ? 0 得数列 ?an ? 为等比数列

an ?

1 n ?1 1 ? 2 ? 2 n ? 2 , S n ? 2 n ?1 ? 2 2

(2) bn ? log2 (2n ? 1 ? 1) ? 2 ? n ? 2, bn ? 3 ? n ? 1, bn ? 4 ? n ? 2 则 cn ? (n ? 1)(n ? 2) ? 1 ? (n ? 1)(n ? 2) ? 2n?2
? cn ? 1 1 1 ? 2 n?2 ? ? ? 2 n?2 (n ? 1)(n ? 2) n ?1 n ? 2

1 1 ? 2n 1 1 ? 2 ?1 1 1 1 ? ? Tn ? ? ? ? ? ? ? ?? n ?1 n ? 2 ? 1? 2 ?2 3 3 4
?

?

?

1 1 1 1 ? ? 2 n ? 1 ? 2 n ?1 ? 2 n?2 2 n?2 2 1 ? 2n ? , 得 n ≥2016, ? 2n ? n?2 1009 1 所以,使得 2Tn ? 2 n ? 成立的最小整数 n 的值为 2016. 1009

?

?

20、 (本小题满分 15 分) 已知正项数列 ?an ? 的前三项分别为 1, 3, 5 , S n 为数列的前 n 项和,满足:
2 2 nSn n 3 ? An 2? Bn ?? A ,B ? R n , ?N * ?? 3 ?. ?1 ? ? n ? 1? Sn ? ? n ? 1

(1) 求 A, B 的值;

(2) 求数列 ?an ? 的通项公式; (3) 若数列 ?bn ? 满足 ? n ? 1? an ?

b b1 b2 ? 2 ?…? n ? n ? N? ? ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 2 2 2n

Tn .
解:(1) 解:? a1 ? 1, a2 ? 3, a3 ? 5 ,? S1 ? 1, S2 ? 4, S3 ? 9 , 在 nSn2?1 ? ? n ? 1? Sn2 ? ? n ? 1? ?3n3 ? An2 ? Bn ? 中,分别令 n ? 1, n ? 2 得:
2 ? S2 ? 2S12 ? 2 ? 3 ? A ? B ? ? ? ?16 ? 2 ? 2 ?3 ? A ? B ? ?? ? 2 2 ?162 ? 48 ? 3 ? 24 ? 4 A ? 2 B ? ?2S3 ? 3S2 ? 3 ? 24 ? 4 A ? 2B ? ? ?

(2) 由(1), nSn2?1 ? ? n ? 1? Sn2 ? ? n ? 1? ?3n3 ? 3n2 ? n?? n ? N * ? ,变形为:
2 Sn S2 ?1 ? n ? 3n 2 ? 3n ? 1? n ? N ? ? ,分别令 n ? 1, 2, …得 ? n ? 1? n

?A ? B ? 4 ?A ? 3 ?? ?? . ?2 A ? B ? 7 ?B ? 1

2 S2 S2 ? 1 ? 3 ? 12 ? 3 ? 1 ? 1 2 1 2 2 S3 S 2 ? ? 3 ? 22 ? 3 ? 2 ? 1 3 2 ? ? ? 2 Sn S2 2 ? n ?1 ? 3 ? n ? 1? ? 3 ? n ? 1? ? 1 n n ?1

(?

2 Sn S2 2 ? 1 ? 3 12 ? 22 ? ? ? ? n ? 1? ? 3 ?1 ? 2 ? ? ? ? n ? 1? ? ? ? n ? 1? ? n ? 2,且n ? N * ? n 1 n ? n ? 1? 1 ? 3 ? ? n ? 1? n ? 2n ? 1? ? 3 ? ? n ? 1? 6 2 ? n3 ? 1

?

?

? Sn ? n2 ? n ? 2, 且n ? N * ? , ? S1 ? 1 ,

? an ? Sn ? Sn?1 ? 2n ?1? n ? 2,且n ? N * ? ,? a1 ? 1 ,? an ? 2n ?1? n ? N * ?

? Sn ? n2 ? n ? N * ? .

(3)

当 n ? 1 时, T1 ? b1 ? 4 , 当 n ? 2 时,由 ? n ? 1? an ?

b b1 b2 ? 2 ??? n ?n ? N* ? 得 2 2 2n b ?1 b b , nan ?1 ? 1 ? 2 ??? n 2 2 2 2n ?1 b 两式相减得: ? n ? 1? an ? nan ?1 ? n ? n ? 2,且n ? N * ? , 2n ?bn ? ? 4n ?1? 2n ? n ? 2, 且n ? N * ? ,
?Tn ? 4 ? 7 ? 22 ? 11? 23 ? 15 ? 24 ? ? ? ? 4n ? 1? 2n 2Tn ? 8 ? 7 ? 23 ? 11? 24 ? ? ? ? 4n ? 5? 2n ? ? 4n ? 1? 2n ?1 (?
?Tn ? ?4 ? 7 ? 22 ? 4 ? 23 ?1 ? 2 ? 22 ? ?? 2n?3 ? ? ? 4n ?1? 2n?1

?Tn ? ? 4n ? 5? ? 2n?1 ? 8 ? n ? 2,且n ? N * ?

? T1 ? 4 , ?Tn ? ? 4n ? 5? ? 2n?1 ? 8 n ? N *

?

?.


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