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【步步 第一章 解三角形章末综合检测(B)


第一章

解三角形章末检测(B)

姓名:________ 班级:________ 学号:________ 得分:________ (时间:120 分钟 满分:150 分) 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 1.在△ABC 中,a=2,b= 3,c=1,则最小角为( ) π π A. B. 12 6 π π

C. D. 4 3 2.△ABC 的三内角 A、B、C 所对边的长分别是 a、b、c,设向量 p=(a+c,b),q= (b-a,c-a),若 p∥q,则角 C 的大小为( ) π π A. B. 6 3 π 2π C. D. 2 3 → → → 3.在△ABC 中,已知| AB |=4,|AC|=1,S△ABC= 3,则AB?AC等于( ) A.-2 B.2 C.±4 D.±2 4.△ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,若 c= 2,b= 6,B=120°,则 a 等于( ) A. 6 B.2 C. 3 D. 2 sin B 5.在△ABC 中,A=120°,AB=5,BC=7,则 的值为( ) sin C 8 5 5 3 A. B. C. D. 5 8 3 5 6.已知锐角三角形的边长分别为 2,4,x,则 x 的取值范围是( ) A.1<x< 5 B. 5<x< 13 C.1<x<2 5 D.2 3<x<2 5 7.在△ABC 中,a=15,b=10,A=60°,则 cos B 等于( ) 2 2 2 2 A.- B. 3 3 6 6 D. 3 3 8.下列判断中正确的是( ) A.△ABC 中,a=7,b=14,A=30°,有两解 B.△ABC 中,a=30,b=25,A=150°,有一解 C.△ABC 中,a=6,b=9,A=45°,有两解 D.△ABC 中,b=9,c=10,B=60°,无解 9.在△ABC 中,B=30°,AB= 3,AC=1,则△ABC 的面积是( 3 3 A. B. 4 2 C.- C. 3或 3 2 D. 3 3 或 2 4
1

)

π 3 10.在△ABC 中,BC=2,B= ,若△ABC 的面积为 ,则 tan C 为( 3 2 A. 3 B.1 C.

)

3 3 D. 3 2 11.在△ABC 中,如果 sin Asin B+sin Acos B+cos Asin B+cos Acos B=2,则△ ABC 是( ) A.等边三角形 B.钝角三角形 C.等腰直角三角形 D.直角三角形 4 4 4 2 2 2 12.△ABC 中,若 a +b +c =2c (a +b ),则角 C 的度数是( ) A.60° B.45°或 135° C.120° D.30° 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 号 答 案 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) sin A cos B 13.在△ABC 中,若 = ,则 B=________.

a

b

14.在△ABC 中,A=60°,AB=5,BC=7,则△ABC 的面积为________. 15. 一船自西向东匀速航行, 上午 10 时到达一座灯塔 P 的南偏西 75°距塔 64 海里的 M 处, 下午 2 时到达这座灯塔的东南方向的 N 处, 则这只船的航行速度为________海里/小时. 16.在△ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c.若( 3b-c)cos A=acos C,则 cos A=________. 三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分) 17.(10 分)如图,H、G、B 三点在同一条直线上,在 G、H 两点用测角仪器测得 A 的仰 角分别为 α ,β ,CD=a,测角仪器的高是 h,用 a,h,α ,β 表示建筑物高度 AB.

18.(12 分)设锐角三角形 ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,a=2bsin A. (1)求 B 的大小. (2)若 a=3 3,c=5,求 b.

2

19.(12 分)如图所示,已知⊙O 的半径是 1,点 C 在直径 AB 的延长线上,BC=1,点 P 是⊙O 上半圆上的一个动点, 以 PC 为边作等边三角形 PCD, 且点 D 与圆心分别在 PC 的两侧.

(1)若∠POB=θ ,试将四边形 OPDC 的面积 y 表示为关于 θ 的函数; (2)求四边形 OPDC 面积的最大值.

20.(12 分)为了测量两山顶 M、N 间的距离,飞机沿水平方向在 A、B 两点进行测量,A、 B、M、N 在同一个铅垂平面内(如示意图).飞机能够测量的数据有俯角和 A,B 间的距离, 请设计一个方案,包括:①指出需要测量的数据(用字母表示,并在图中标出);②用文字和 公式写出计算 M、N 间的距离的步骤.

π 21.(12 分)在△ABC 中,内角 A、B、C 对边的边长分别是 a、b、c.已知 c=2,C= . 3 (1)若△ABC 的面积等于 3,求 a,b. (2)若 sin B=2sin A,求△ABC 的面积.

3

22.(12 分) 如图所示,扇形 AOB,圆心角 AOB 等于 60°,半径为 2,在弧 AB 上有一动 点 P,过 P 引平行于 OB 的直线和 OA 交于点 C,设∠AOP=θ ,求△POC 面积的最大值及此时 θ 的值.

第一章 解三角形 章末检测 答案 (B) 1.B [∵a>b>c,∴C 最小. a2+b2-c2 22+? 3?2-12 3 ∵cos C= = = , 2ab 2 2?2? 3 π 又∵0<C<π ,∴C= .] 6 2.B [∵p∥q,∴(a+c)(c-a)-b(b-a)=0. 2 2 2 2 2 2 ∴c =a +b -ab,∵c =a +b -2abcos C, 1 π ∴cos C= ,又∵0<C<π ,∴C= .] 2 3 → ∴| AB |?|AC|?sin A 1 = ?4?1?sin A= 3. 2 3 .又∵0°<A<180°, 2 ∴A=60°或 120°. → → → AB ?AC=|AB|?|AC|cos A =4?1?cos A=±2.] ∴sin A= 4.D [由正弦定理得 = , sin B sin C

b

c

c?sin B 2sin 120° 1 = = , b 2 6 ∵c<b,∴C 为锐角. ∴C=30°,∴A=180°-120°-30°=30°. ∴a=c= 2.] 2 2 2 5.D [由余弦定理得 BC =AB +AC -2AB?AC?cos A, 2 2 2 即 7 =5 +AC -10AC?cos 120°, sin B AC 3 ∴AC=3.由正弦定理得 = = .] sin C AB 5
∴sin C=
4

6.D

?2 +4 -x >0 ? [由题意,x 应满足条件? 2 2 2 ?2 +x -4 >0 ?

2

2

2

解得:2 3<x<2 5.] 15 10 7.D [由正弦定理得 = . sin 60° sin B 10?sin 60° 3 ∴sin B= = . 15 3 ∵a>b,A=60°,∴B<60°. ∴cos B= 1-sin B=
2

1-?

3 2 6 ? = .] 3 3

8.B [A:a=bsin A,有一解; B:A>90°,a>b,有一解; C:a<bsin A,无解; D:c>b>csin B,有两解.] 2 2 2 9.D [由余弦定理 AC =AB +BC -2AB?BCcos B, 3 2 2 2 ∴1 =( 3) +BC -2? 3?BC? . 2 2 整理得:BC -3BC+2=0. ∴BC=1 或 2. 1 1 1 3 当 BC=1 时,S△ABC= AB?BCsin B= ? 3?1? = . 2 2 2 4 1 1 1 3 当 BC=2 时,S△ABC= AB?BCsin B= ? 3?2? = .] 2 2 2 2 1 3 10.C [由 S△ABC= BC?BAsin B= 得 BA=1,由余弦定理得 2 2 AC2=AB2+BC2-2AB?BCcos B, ∴AC= 3,∴△ABC 为直角三角形, 其中 A 为直角, AB 3 ∴tan C= = .] AC 3 11.C [由已知,得 cos(A-B)+sin(A+B)=2, 又|cos(A-B)|≤1,|sin(A+B)|≤1, 故 cos(A-B)=1 且 sin(A+B)=1, 即 A=B 且 A+B=90°,故选 C.] 4 4 4 2 2 2 2 12.B [由 a +b +c =2c a +2b c , 2 2 2 2 ?a +b -c ? 2 得 cos C= 2 ?2ab? a4+b4+c4+2a2b2-2c2a2-2b2c2 1 = = 2 2 4a b 2 ? cos C=± 13.45° 解析 sin A sin B 由正弦定理, = . 2 .∴角 C 为 45°或 135°.] 2

a

b

sin B cos B ∴ = .∴sin B=cos B.

b

b

∴B=45°. 14.10 3
5

解析 设 AC=x,则由余弦定理得: BC2=AB2+AC2-2AB?ACcos A, 2 2 ∴49=25+x -5x,∴x -5x-24=0. ∴x=8 或 x=-3(舍去). 1 ∴S△ABC= ?5?8?sin 60°=10 3. 2 15.8 6 解析 如图所示,

在△PMN 中, = , sin 45° sin 120° 64? 3 ∴MN= =32 6, 2 ∴v= =8 6(海里/小时). 4 16. 3 3 由( 3b-c)cos A=acos C,得( 3b-c)?

PM

MN

MN

解析

b2+c2-a2 a2+b2-c2 =a? , 2bc 2ab

b2+c2-a2 3 即 = , 2bc 3
3 . 3 17.解 在△ACD 中,∠DAC=α -β , 由余弦定理得 cos A= 由正弦定理,得 = , sin β sin?α -β ? asin β ∴AC= sin?α -β ? asin β sin α ∴AB=AE+EB=ACsin α +h= +h. sin?α -β ? 18.解 (1)∵a=2bsin A,∴sin A=2sin B?sin A, 1 π ∴sin B= .∵0<B< ,∴B=30°. 2 2 (2)∵a=3 3,c=5,B=30°. 2 2 2 由余弦定理 b =a +c -2accos B 2 2 =(3 3) +5 -2?3 3?5?cos 30°=7. ∴b= 7. 19.解 (1)在△POC 中,由余弦定理, 2 2 2 得 PC =OP +OC -2OP?OC?cos θ =5-4cos θ , 所以 y=S△OPC+S△PCD 1 3 = ?1?2sin θ + ?(5-4cos θ ) 2 4 π? 5 3 ? =2sin?θ - ?+ . 3? 4 ?

AC

DC

6

π π 5π 5 3 (2)当 θ - = ,即 θ = 时,ymax=2+ . 3 2 6 4 5 3 四边形 OPDC 面积的最大值为 2+ . 4 20.解 ①需要测量的数据有:A 点到 M、N 点的俯角 α 1、β 1;B 点到 M、N 点的俯 角 α 2、β 2;A、B 的距离 d(如图所示). 答

dsin α 2 ②第一步:计算 AM,由正弦定理 AM= ; sin?α 1+α 2? dsin β 2 第二步:计算 AN.由正弦定理 AN= ; sin?β 2-β 1? 第三步:计算 MN,由余弦定理 MN= AM2+AN2-2AM?ANcos?α 1-β 1?. 21.解 (1)由余弦定理及已知条件得 a2+b2-ab=4. 又因为△ABC 的面积等于 3, 1 所以 absin C= 3,由此得 ab=4. 2
? ?a +b -ab=4, 联立方程组? ?ab=4, ?
2 2

解得?

? ?a=2, ?b=2. ?

(2)由正弦定理及已知条件得 b=2a.
? ?a +b -ab=4, 联立方程组? ?b=2a, ?
2 2

2 3 ? ?a= 3 , 解得? 4 3 b= ? ? 3.

1 2 3 所以△ABC 的面积 S= absin C= . 2 3 22.解 ∵CP∥OB,∴∠CPO=∠POB=60°-θ , ∠OCP=120°. 在△POC 中,由正弦定理得 = , sin∠PCO sin θ 2 CP 4 ∴ = ,∴CP= sin θ . sin 120° sin θ 3 2 4 = ,∴OC= sin(60°-θ ). sin?60°-θ ? sin 120° 3 因此△POC 的面积为 1 S(θ )= CP?OCsin 120° 2 又 1 4 4 3 = ? sin θ ? sin(60°-θ )? 2 2 3 3 4 = sin θ sin(60°-θ ) 3

OP

CP

OC

7

1 ? 3 ? sin θ ? cos θ - sin θ ? 2 ?2 ? 3 2 2 =2sin θ ?cos θ - sin θ 3 = 4 3 3 cos 2θ - 3 3 π? 2 3 3 ? = sin?2θ + ?- 6? 3 3 ? =sin 2θ + π 3 ∴θ = 时,S(θ )取得最大值为 . 6 3

8


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