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专题三离散型随机变量的分布列及均值与方差


专题三:离散型随机变量的分布列及均值与方差
知识点归纳 1、可以一一列出可能取的值的随机变量叫离散型随机变量,其分布列可表示为:

X P

x1

x2 P2

? ?

xn Pn

P1

分布列的性质为:

/>pi ? 0(i ? 1,2,?, n)
数学期望(均值)和方差分别为:

i ?1

? pi ? p1 ? p2 ? ? ? pn ? 1

n

E ( X ) ? ? xi pi ? x1 p1 ? x 2 p 2 ? ? ? x n p n
i ?1

n

D( X ) ? ? ( xi ? E ( X )) 2 pi ? ( x1 ? E ( X )) 2 p1
i ?1

n

? ( x 2 ? E ( X )) 2 p 2 ? ? ? ( x n ? E ( X )) 2 p n

2、均值和方差的性质: 若 ? ? a? ? b 则 E? ? aE? ? b , D? ? a D? ; D( X ) ? E ( X 2 ) ? ( EX ) 2 。
2

3、常见分布的均值与方差:
分布名称 两点分布 分布列 期望 p 方差 p(1-p)

P(? ? 1) ? p P(? ? 0) ? 1 ? p

X~B(n,p) 几何分布 超几何 分布

P(x=k)=

c

k
n

pk (1-p)n-k

np

np(1-p)

P(? ? k ) ? p(1 ? p) k ?1

1 p

1? p p2

P (? ? k ) ?

k n C M C N? km ? n CN

nM N

题型一:离散型随机变量分布列性质 解题思路:熟记离散型随机变量分布列性质并结合其它相关知识。

例 1: 随机变量 ? 的分布列为 P( ? ? k ) ?

1 5 ak ( k ? 1,2??5)则 P( ? ? ? ) ? 2 2 45 a 2a 5a a ?1 a ? 3 解。 P(? ? 1) ? ? ? P(? ? 5) ? 1 ∴ 45 ? 45 ? ? ? 45 ? 1 3 1 5 1 2 1 P( ? ? ? ) ? P(? ? 1) ? P(? ? 2) ? ? ? 2 2 15 15 5

1

题型二:离散型随机变量分布列及均值与方差的问题 解题思路:弄清题目中的事件属于哪类事件和随机变量的取值情况及其概率是关键。 [例 2](2001 年天津)一个袋子里装有大小相同的 3 个红球和 2 个黄球.从中同时取出 2 个, 则其中含红球个数的数学的期望是__________(用数字作答) . 提示:含红球个数的分布列是 ξ P 0 1 2

1 6 10 10 1 6 3 6 数学期望 E? ? 0 ? ? 1? ? 2 ? ? . 10 10 10 5 启发:作为填空题还有更快的解法吗?

3 10

[例 3]一盒中有 9 个正品和 3 个次品,每次取一测试,不放回在取出一个正品前已取出的废 品数为 ? ,求期望、方差。 解

?
P

0

1

2

3

9 12
次 次 正

3 9 . 12 11

3 2 9 12 11 10

3 2 1 12 11 10

P(? ? 2) ?

A 2 ? A1 3 2 9 9 9 9?2 3 ? ? ? 3 3 9 ? E? ? ? ? ? 0.3 12 11 10 220 A12 44 220 220

D? ? (

9 9 1 ? 0.3) 2 ? 1 ? ( ? 0.3) 2 ? 2 ? ( ? 0.3) 2 ? 3 44 220 220 9 9?4 9 90 9 351 ? ? ? ? (0.3) 2 ? ? ? 44 2 2 0 2 2 0 220 100 1100

启发:若每次取一测试,再放回呢?求期望,方差结果怎样?

例 4. (2005 年全国卷二)甲、乙两队进行一场排球比赛.根据以往经验,单局比赛甲队胜 乙队的概率为 0.6,本场比赛采用五局三胜制,即先胜三局的队获胜,比赛结束.设各 局比赛相互间没有影响.令 ? 为本场比赛的局数.求 ? 的概率分布和数学期望. [解答]单局比赛甲队胜乙队的概率为 0.6,乙队胜甲队的概率为 1-0.6=0.4, 比赛 3 局结束有两种情况:甲队胜 3 局或乙队胜 3 局,因而 P( ? =3)= 前 第 0.63 ? 0.43 ? 0.28 , 比赛 4 局结束有两种情况: 3 局中甲队胜 2 局, 4 局甲队胜; 或前 3 局中乙队胜 2 局,第 4 局乙队胜, 因而 P ? =4) C3 ? 0.6 ? 0.4 ? 0.6 + ( =
2 2

2

C32 ? 0.42 ? 0.6 ? 0.4 ? 0.3744 ,比赛 5 局结束有两种情况:前 4 局中甲队胜 2 局、乙
队胜 2 局,第 5 局甲胜或乙胜, 因而 P( ? =5)= C4 ? 0.6 ? 0.4 ? 0.6 + C4 ? 0.4 ? 0.6 ? 0.4 ? 0.3456 ,
2 2 2 2 2 2

所以 ? 的概率分布为

?
P

3 0.28

4 0.3744

5 0.3456

? 的期望 E? =3×P( ? =3)+4×P( ? =4)+5×P( ? =5)=4.0656,
题型三:离散型随机变量在风险决策的应用 解题思路:对于风险决策问题,常用概率和期望来做决策。 例 4:在一次数学竞赛中,一学生需做两道题,一道代数题,一道几何题,学生可自由选择 解题顺序,若他先做一道,则只有当他做对时才可继续做另一道,此学生答对代数题的概率 为 0.5,得分 30 分,答对几何题的概率为 0.4,得分 50 分,设他答对两道题相互独立,问他 应先答哪道题,才能使他的得分期望值高。

题型四:离散型随机变量与其他知识的综合。 2005 年湖南)某城市有甲、乙、丙 3 个旅游景点,一位客人游览这三个景点的概率分别是 0.4,0.5,0.6,且客人是否游览哪个景点互不影响,设 ξ 表示客人离开该城市时游览的 景点数与没有游览的景点数之差的绝对值. (1)求 ξ 的分布及数学期望; (2) 记“函数 f(x)=x2-3ξx+1 在区间[2, +∞ ) 上单调递增”为事件 A, 求事件 A 的概率. [解答](1)分别记“客人游览甲景点”,“客人游览乙景点”,“客人游览丙景点” 为事件 A1,A2,A3. 由已知 A1,A2,A3 相互独立,P(A1)=0.4,P(A2)=0.5,P (A3)=0.6, 客人游览的景点数的可能取值为 0,1,2,3. 相应地,客人没有游览的景点数的可能取值为 3,2,1,0, 所以 ? 的可能取值为 1,3, P( ? =3)=P(A1· 2· 3)+ P( A1 ? A2 ? A3 ) A A = P(A1)P(A2)P(A3)+P( A1 ) P( A2 ) P( A3 ) ) =2× 0.4× 0.5× 0.6=0.24, P( ? =1)=1-0.24=0.76, 所以 ? 的分布列为 E ? =1× 0.76+3× 0.24=1.48.;
3

?
P

1 0.76

3 0.24

3 2 9 ?) ?1? ? 2, 2 4 3 所以函数 f ( x) ? x 2 ? 3?x ? 1在区间[ ? ,??) 上单调递增, 2 3 4 要使 f ( x)在[2,??) 上单调递增,当且仅当 ? ? 2, 即? ? . 2 3 4 从而 P( A) ? P(? ? ) ? P(? ? 1) ? 0.76. 3
(2)方法一 因为 f ( x) ? ( x ? 方法二: ? 的可能取值为 1,3.当 ? =1 时,函数 f ( x) ? x ? 3x ? 1在区间 2,??) 上单 [
2

调递增,当 ? =3 时,函数 f ( x) ? x ? 9 x ? 1在区间 2,??) 上不单调递增. [
2

所以 P( A) ? P(? ? 1) ? 0.76. 巩固练习 1. 已知 ? ~ B(n , P) ,若 E? ? 12 , D? ? 4 ,求 n 、 P 2. ? ~ B(6 ,

1 ) ,求 D( 2? ? 4 ) 2

3. 美国 NBA 篮球职业联赛总决赛,采用七局四胜制,预计两队实力相当,每场比赛组织 者可获利 200 万美元,问组织者在本次比赛中期望获利多少万美元。

4. 某次大奖赛共有 8 人参加,平均分成两组,第一轮赛后,每组的前两名参加下一轮比 赛(赛制规定没有并列的名次) ,如果要求你从两组中各猜 2 名能进入下一轮的选手,并规 定猜对 4 人奖励 8 分,猜对 3 人奖励 6 分,猜对 2 人奖励 4 分,猜对 1 人奖励 2 分,否则不 给分。试计算你获奖得分的期望。

5.(理)现有四道数学试题,记为 A、B、C、D,和它们应的答案记为 a 、 b 、 c 、 d , 把 A、B、C、D 和 a 、 b 、 c 、 d 分别写成左、右两列。现有一答题者,随机用 4 条线把 左、右全部连结起来,构成一个“一一对应” ,连对一个得 2 分,连错一个得 0 分。 (1)求答题者得分的分布列; (2)求所得分数的期望。

6:袋中有 1 个白球和 4 个黑球,每次从其中任取一球,直到取到白球为止。 (1)当每次取出的黑球不再放回时,求取球次数的数学期望与方差; (2)当每次取出的黑球仍放回去时,求取球次数的数学期望与方差。

4

[参考答案]
?n ? 18 ?n ? P ? 12 ? ?? 1. ? 2 ?nP(1 ? P ) ? 4 ? P ? 3 ?
2. D? ? 6 ? 3.

1 1 3 (1 ? ) ? 2 2 2

D? ? a 2 D? ? 6

?
P ∴ E? ? 1162 .5 万 4. ? 的分布列

800

1000

1200

1400

1 8

1 4

5 16

5 16

?
P

0

2

4

6

8

1 8 36 36 16 72 48 8 ∴ E? ? ? ? ? ?4 36 36 36 36
5. 得分的随机变量 ? 的分布列

18 36

8 36

1 36

?
P ∴ E? ?

0

2

4

8

3 8

1 3

1 4

1 24

2 1 ?1? ? 2 3 3

5


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