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专题八 第1讲 几何证明选讲


错误!未找到引用源。

第1讲

几何证明选讲

错误!未找到引用源。考情解读错误!未找到引用源。 本讲主要考查相似三角形与射影定 理,圆的切线及圆内接四边形的性质与判定定理,圆周角定理及弦切角定理,相交弦、切割 线、割线定理等,本部分内容多数涉及圆,并且多是以圆为背景设计的综合性考题,考查逻 辑推理能力. 错误!未找到

引用源。 1.(1)相似三角形的判定定理 判定定理 1:对于任意两个三角形,如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应 相等,那么这两个三角形相似. 判定定理 2:对于任意两个三角形,如果一个三角形的两边和另一个三角形的两边对应成比 例,并且夹角相等,那么这两个三角形相似. 判定定理 3:对于任意两个三角形,如果一个三角形的三条边和另一个三角形的三条边对应 成比例,那么这两个三角形相似. (2)相似三角形的性质 ①相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比; ②相似三角形周长的比等于相似比; ③相似三角形面积的比等于相似比的平方. (3)直角三角形的射影定理 直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项;两直角边分别是它们在斜边上 射影与斜边的比例中项. 2.(1)圆周角定理 圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半. (2)圆心角定理:圆心角的度数等于它所对弧的度数. 3.(1)圆内接四边形的性质定理 ①圆的内接四边形的对角互补; ②圆内接四边形的外角等于它的内角的对角. (2)圆内接四边形判定定理 如果一个四边形的对角互补,那么这个四边形的四个顶点共圆. 4.(1)圆的切线的性质定理 圆的切线垂直于经过切点的半径. (2)圆的切线的判定定理 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.

(3)弦切角定理 弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角. (4)相交弦定理 圆内的两条相交弦,被交点分成的两条线段长的积相等. (5)切割线定理 从圆外一点引圆的切线和割线,切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项. 5.证明等积式成立,应先把它写成比例式,找出比例式中给出的线段所在三角形是否相似, 若不相似,则进行线段替换或等比替换. 6.圆幂定理与圆周角、弦切角联合应用时,要注意找相等的角,找相似三角形,从而得出线 段的比.由于圆幂定理涉及圆中线段的数量计算,所以应注意代数法在解题中的应用. 错误!未找到引用源。 热点一 相似三角形及射影定理 错误! 未找到引用源。 例 1 错误! 未找到引用源。 如图所示, 在 Rt△ABC 中,∠ACB=90° ,CD⊥AB 于 D,且 AD∶BD=9∶4,则 AC∶BC 的值 为________. 答案 3∶2 解析 方法一 因为∠ACB=90° ,CD⊥AB 于 D, 所以由射影定理,得 AC2=AD· AB,BC2=BD· AB. AC AD· AB AD 所以( )2= = . BC BD· AB BD 又 AD∶BD=9∶4, 所以 AC∶BC=3∶2. 方法二 因为 AD∶BD=9∶4, 所以可设 AD=9k,BD=4k,k∈R+. 又∠ACB=90° ,CD⊥AB 于 D, 由射影定理,得 CD2=AD· BD, 所以 CD=6k. 由勾股定理,得 AC=3 13k和 BC=2 13k, 所以 AC∶BC=3∶2. 思维升华 含斜边上的高的直角三角形是相似三角形中的基本图形,本题中出现多对相似三 角形,这为解决问题提供了许多可以利用的有效信息.另外,直角三角形的射影定理是相似 三角形的性质在直角三角形中的一个经典应用,在类似问题中应用射影定 理十分简捷. 错误!未找到引用源。 如图,∠B=∠D,AE⊥BC,∠ACD=90° ,且 AB

=6,AC=4,AD=12,BE 的长为________. 答案 4 2 解析 ∵AC=4,AD=12,∠ACD=90° , ∴CD2=AD2-AC2=128, ∴CD=8 2. 又∵AE⊥BC,∠B=∠D,∴△ABE∽△ADC, ∴ AB BE AB· CD 6×8 2 = ,∴BE= = =4 2. AD CD AD 12

热点二 相交弦定理、割线定理、切割线定理、切线长定理的应用 错误!未找到引用源。例 2 错误!未找到引用源。 如图所示,AB 为 ⊙O 的直径,P 为 BA 的延长线上一点,PC 切⊙O 于点 C,CD⊥AB, 垂足为 D,且 PA=4,PC=8,则 tan∠ACD 和 sin P 的值为________. 答案 1 3 , 2 5

解析 连接 OC,BC.因为 PC 为⊙O 的切线,所以 PC2=PA· PB. 故 82=4· PB,所以 PB=16.所以 AB=16-4=12. 由条件,得∠PCA=∠PBC, 又∠P=∠P, 所以△PCA∽△PBC. AC PC 所以 = . BC PB 因为 AB 为⊙O 的直径,所以∠ACB=90° . 又 CD⊥AB,所以∠ACD=∠B. AC PC 8 1 所以 tan∠ACD=tan B= = = = . BC PB 16 2 因为 PC 为⊙O 的切线,所以∠PCO=90° . 又⊙O 直径为 AB=12,所以 OC=9,PO=10. OC 6 3 所以 sin P= = = . PO 10 5 思维升华 (1)求非特殊角的函数值的关键是将这些角归结到直角三角形中,利用直角三角形 的边之比表示出角的三角函数值,然后根据已知条件将这些比值转化为已知线段的比值. (2)线段成比例的证明,一般利用三角形相似进行转化,在圆中的相关问题,应注意灵活利用 圆中的切割线定理、相交弦定理等求解相关线段的长度或构造比例关系. 错误!未找到引用源。 (2013· 广东)如图,AB 是圆 O 的直径,点 C 在圆 O 上,延长 BC 到 D 使 BC=CD,过 C 作圆 O 的切线交 AD 于 E.若 AB=6,ED=2,则 BC=____________. 错误!未找到引用源。

答案 2 3 解析 C 为 BD 中点,且 AC⊥BC,故△ABD 为等腰三角形.AB=AD=6,∴AE=4,DE=2, 又 AE AC = ?AC2=AE· AD=4×6=24,AC=2 6,在△ABC 中,BC= AB2-AC2= 36-24 AC AD

=2 3. 热点三 圆的有关性质的综合应用 错误!未找到引用源。例 3 错误!未找到引用源。 如图,△ABC 的角平分 线 AD 的延长线交它的外接圆于点 E. 1 若△ABC 的面积 S= AD· AE,则∠BAC 的大小为________. 2 答案 90° 解析 由已知条件,可得∠BAE=∠CAD. 因为∠AEB 与∠ACD 是同弧所对的圆周角, AB AD 所以∠AEB=∠ACD.故△ABE∽△ADC.所以 = , AE AC 即 AB· AC=AD· AE. 1 1 又 S= AB· ACsin∠BAC,且 S= AD· AE, 2 2 故 AB· ACsin∠BAC=AD· AE, 则 sin∠BAC=1.又∠BAC 为△ABC 的内角, 所以∠BAC=90° . 思维升华 高考中对几何证明的命题集中在圆和三角形、四边形相结合的综合性题目上,这 类试题往往要综合运用多个定理和添加一定的辅助线才能解决.已知圆的切线时,第一要考 虑过切点和圆心的连线得直角;第二应考虑弦切角定理;第三涉及线段成比例或线段的积时 要考虑切割线定理.同时注意四点共圆的判定及性质的应用. 错误!未找到引用源。 (2013· 湖北)如图,圆 O 上一点 C 在直径 AB 上的射 影为 D, 点 D 在半径 OC 上的射影为 E, 若 AB=3AD, 则 答案 8 解析 易知△CDO∽△CED, ∴ CD CO = , CE CD CE 的值为________. EO

2 1 设圆 O 半径为 R,则 AD= R,OD= R, 3 3 1 8 ∴CD2=R2-( R)2= R2, 3 9 CD2 8 1 CE ∴CE= = R,EO= R,故 =8. CO 9 9 EO

错误!未找到引用源。 1.证明两角相等,关键是确定两角之间的关系,多利用中间量进行转化,可以通过证明三角 形相似或全等,利用平行线的有关定理,如同位角相等、内错角相等等,也可利用特殊平面 图形的性质,如利用等腰三角形的两个底角相等、圆中同弧或等弧所对的圆周角相等寻找中 间量进行过渡. 2.证明或寻找圆内接图形中的角之间的关系,除了注意平面图形中的垂直、平行关系之外, 还应注意弦切角、同弧所对角等性质的灵活运用. 错误!未找到引用源。 错误!未找到引用源。真题感悟错误!未找到引用源。 1.(2014· 湖南)如图,已知 AB,BC 是⊙O 的两条弦,AO⊥BC,AB= 3,BC=2 2,则⊙O 的半径等于________. 错误!未找到引用源。 答案 3 2

解析 如图,延长 AO 交圆 O 于点 D,连接 BD,则 AB⊥BD. 在 Rt△ABD 中,AB2=AE· AD. ∵BC=2 2,AO⊥BC,∴BE= 2. ∵AB= 3,∴AE=1, 3 ∴AD=3,∴r= . 2 2. (2014· 广东)如图, 在平行四边形 ABCD 中, 点 E 在 AB 上且 EB=2AE, △CDF的面积 AC 与 DE 交于点 F,则 =_________________________. △AEF的面积 答案 9 解析 在平行四边形 ABCD 中,因为 EB=2AE,所以 S△CDF CD 2 所以△AEF∽△CDF,所以 =( ) =9. S△AEF AE 错误!未找到引用源。押题精练错误!未找到引用源。 a 1.如图,在直角梯形 ABCD 中,DC∥AB,CB⊥AB,AB=AD=a,CD= , 2 点 E,F 分别为线段 AB,AD 的中点,则 EF=________. 答案 a 2 AE 1 AE CD = = ,故 =3.因为 AE∥CD, AB 3 CD AE

解析 连接 DE,由于 E 是 AB 的中点, a 故 BE= . 2

a 又 CD= ,AB∥DC,CB⊥AB, 2 ∴四边形 EBCD 是矩形. 在 Rt△ADE 中,AD=a, a F 是 AD 的中点,故 EF= . 2 2.(2014· 陕西)如图,△ABC 中,BC=6,以 BC 为直径的半圆分别交 AB, AC 于点 E,F,若 AC=2AE,则 EF=____________. 答案 3 解析 ∵∠A=∠A,∠AEF=∠ACB, AC BC BC ∴△AEF∽△ACB,∴ = ,∴2= ,∴EF=3. AE EF EF 3.(2014· 天津改编)如图,△ABC 是圆的内接三角形,∠BAC 的平分线交圆于 点 D,交 BC 于点 E,过点 B 的圆的切线与 AD 的延长线交于点 F.在上述条件 下, 给出下列四个结论: ①BD 平分∠CBF; ②FB2=FD· FA; ③AE· CE=BE· DE; ④AF· BD=AB· BF. 则所有正确结论的序号是________. 答案 ①②④

解析 对于①,∵BF 是圆的切线, ∴∠CBF=∠BAC,∠4=∠1. 又∵AD 平分∠BAC, ∴∠1=∠2. 又∠2=∠3,∴∠3=∠4, 即 BD 平分∠CBF,故①正确; 对于②,根据切割线定理有 FB2=FD· FA, 故②正确; 对于③,∵∠3=∠2,∠BED=∠AEC, ∴△BDE∽△ACE. ∴ AE CE = ,即 AE· DE=BE· CE,故③错误; BE DE

对于④,∵∠4=∠1,∠BFD=∠AFB, BF BD ∴△BFD∽△AFB,∴ = , AF AB 即 AF· BD=AB· BF,故④正确. 错误!未找到引用源。 (推荐时间:40 分钟) 1.(2014· 湖北)如图,P 为⊙O 外一点,过 P 点作⊙O 的两条切线,切点分别为 A,B.过 PA 的中点 Q 作割线交⊙O 于 C,D 两点.若 QC=1,CD=3,则 PB=________. 错误!未找到引用源。 答案 4 解析 由切割线定理得 QA2=QC· QD=4,解得 QA=2.则 PB=PA=2QA=4. 2.(2014· 重庆)过圆外一点 P 作圆的切线 PA(A 为切点),再作割线 PBC 依次交圆于 B,C.若 PA=6,AC=8,BC=9,则 AB=________. 答案 4 解析 由切割线定理得 PA2=PB· PC=PB· (PB+BC),即 62=PB· (PB+9),解得 PB=3(负值舍 去).由弦切角定理知∠PAB=∠PCA,又∠APB=∠CPA,故△APB∽△CPA,则 即 AB 6 = ,解得 AB=4. 8 3+9 AB AP = , CA CP

3.如图,四边形 ABCD 是圆 O 的内接四边形,延长 AB 和 DC 相交于点 PB 1 PC 1 BC P.若 = , = ,则 的值为________. PA 2 PD 3 AD 答案 6 6

PB PC BC PB 1 PC 1 解析 ∵∠P=∠P,∠PCB=∠PAD,∴△PCB∽△PAD.∴ = = .∵ = , = , PD PA AD PA 2 PD 3 ∴ BC 6 = . AD 6

4.如图,已知 AB 和 AC 是圆的两条弦,过点 B 作圆的切线与 AC 的延 长线相交于点 D.过点 C 作 BD 的平行线与圆相交于点 E, 与 AB 相交于 3 点 F,AF=3,FB=1,EF= ,则线段 CD 的长为________. 2 答案 4 3

解析 因为 AF· BF=EF· CF,解得 CF=2, 3 2 8 所以 = ,即 BD= .设 CD=x,AD=4x, 4 BD 3 64 4 所以 4x2= ,所以 x= . 9 3 5.如图,在△ABC 中,点 D 是 AC 的中点,点 E 是 BD 的中点,AE 交 BF BC 于点 F,则 的值为______. FC 答案 1 2

解析 过点 D 作 DM∥AF 交 BC 于点 M. ∵点 E 是 BD 的中点, ∴在△BDM 中,BF=FM, 又点 D 是 AC 的中点, ∴在△CAF 中,CM=MF, ∴ BF BF 1 = = . FC FM+MC 2

6.(2013· 广东)如图,AB 是圆 O 的直径,点 C 在圆 O 上,延长 BC 到 D 使 BC=CD,过 C 作圆 O 的切线交 AD 于 E.若 AB=6,ED=2,则 BC=________. 错误!未找到引用源。 答案 2 3 解析 C 为 BD 中点,且 AC⊥BC,故△ABD 为等腰三角形.AB=AD=6,∴AE=4,DE=2, 又 AE AC = ?AC2=AE· AD=4×6=24,AC=2 6,在△ABC 中,BC= AB2-AC2= 36-24 AC AD

=2 3. 7.如图,PA 是圆 O 的切线,切点为 A,PA=2,AC 是圆 O 的直径,PC 与 圆 O 交于点 B,PB=1,则圆 O 的半径 R=________. 答案 3

解析 由切割线定理可得 PA2=PB· PC, PA2 4 即 PC= = =4, PB 1 所以 BC=PC-PB=3, 因为 AC 是圆 O 的直径, 所以∠ABC=90° , 所以 AB2=BC· BP=3, 所以 AC2=BC2+AB2=9+3=12, 即 AC= 12=2 3, 所以 2R=2 3,即 R= 3. 8.如图,AB,CD 是圆 O 内的两条平行弦,BF∥AC,BF 交 CD 于点 E, 交圆 O 于点 F,过 A 点的切线交 DC 的延长线于点 P,若 PC=ED=1, PA=2,则 AC 的长为________. 答案 2

解析 ∵PA 是⊙O 的切线, ∴由切割线定理得 PA2=PC· PD. ∵PA=2,PC=1, ∴PD=4. 又∵PC=ED=1, ∴CE=2,由题意知四边形 ABEC 为平行四边形, ∴AB=CE=2,连接 BC,如图, ∵PA 是⊙O 的切线, ∴∠PAC=∠CBA. ∵AB,CD 是圆的两条平行弦, ∴∠PCA=∠CAB, PC CA ∴△PAC∽△CBA,∴ = , CA AB ∴AC2=PC· AB=2,∴AC= 2. 9.如图,已知 AD=5,DB=8,AO=3 10,则圆 O 的半径 OC 的长为________. 错误!未找到引用源。 答案 5 解析 由圆的割线定理得, AE· AC=AD· AB, 即(AO-OE)· (AO+OC)=AD· (AD+DB), 即(3 10 -OC)· (3 10+OC)=5×(5+8),解得 OC=5. 10.如图,PA 切⊙O 于点 A,割线 PBC 经过圆心 O,OB=PB=1,OA 绕点 O 逆时针旋转

60° 得到 OD,则 PD 的长为________. 错误!未找到引用源。 答案 7

解析 ∵PA 切⊙O 于点 A,B 为 PO 的中点,∴∠AOB=60° ,∴∠POD=120° .在△POD 中, 1 由余弦定理,得 PD2=PO2+DO2-2PO· DO· cos∠POD=4+1-4×(- )=7,故 PD= 7. 2 11.如图,AB,CD 是⊙O 的两条弦,它们相交于点 P,连接 AD,BD,已知 AD=BD=4, PC=6,则 PA· PB=________. 错误!未找到引用源。 答案 12 解析 由 AD=BD=4, 得∠PAD=∠B, 又∠B=∠C, 所以∠PAD=∠C, 又∠ADP=∠CDA, 6+x 4 CD AD 所以△ADP∽△CDA.又 PC=6,设 PD=x,由 = ,得 = ,解得 x=2 或 x=-8(舍 AD PD 4 x 去), 即 PD=2,由相交弦定理,得 PA· PB=PC· PD=6×2=12. 12.如图,Rt△ABC 中,∠BAC=90° ,AD 是斜边 BC 上的高,若 AB∶AC=2∶1, 则 AD∶BC=________. 答案 2∶5 解析 设 AC=k,则 AB=2k,BC= 5k, ∵∠BAC=90° ,AD⊥BC,∴AC2=CD· BC, ∴k2=CD· 5k,∴CD= 5 k, 5

4 5 又 BD=BC-CD= k, 5 ∴AD2=CD· BD= 5 4 5 4 2 k· k= k , 5 5 5

2 5 ∴AD= k,∴AD∶BC=2∶5. 5 13.如图,四边形 ABCD 中,DF⊥AB,垂足为 F,DF=3,AF=2FB=2, 延长 FB 到 E,使 BE=FB,连接 BD,EC.若 BD∥EC,则四边形 ABCD 的 面积为________. 答案 6 解析 过点 E 作 EN⊥DB 交 DB 的延长线于点 N, 在 Rt△DFB 中, DF=3, FB=1,则 BD= 10,由 Rt△DFB∽Rt△ENB, 知 EN BE = , DF BD

3 10 所以 EN= , 又 BD∥EC, 所以 EN 为△BCD 底边 BD 上的高, 故 S 四边形 ABCD=S△ABD+S△BCD 10 1 1 1 1 3 10 = AB· DF+ BD· EN= ×3×3+ × 10× =6. 2 2 2 2 10 14.如图,AB 是圆 O 的直径,CD⊥AB 于 D,且 AD=2BD,E 为 AD 的 中点,连接 CE 并延长交圆 O 于 F.若 CD= 2,则 AB=________, EF=________. 答案 3 2 3 3

解析 ∵AB 为圆 O 的直径,∴AC⊥BC. ∵CD⊥AB 于 D, ∴由射影定理得 CD2=AD· BD. ∵AD=2BD,CD= 2, ∴( 2)2=2BD· BD,解得 BD=1, ∴AD=2BD=2,∴AB=AD+BD=2+1=3. 在 Rt△CDE 中,∵E 为 AD 的中点, 1 ∴DE= AD=1,又 CD= 2, 2 ∴CE= CD2+DE2= 3, 又 AE=DE=1,EB=2, AE· EB 2 3 由相交弦定理得 EF= = . CE 3 15.如图,AB 是圆 O 的直径,直线 CE 和圆 O 相切于点 C,AD⊥CE 于 点 D,若 AD=1,∠ABC=30° ,则圆 O 的面积是________. 答案 4π 解析 ∠ACD=∠ABC=30° , AD AC= =2, sin∠ACD AC AB= =4, sin∠ABC 故圆 O 的面积为 π·22=4π.


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