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第二章 点、直线、平面之间的位置关系


第二章

点、直线、平面之间的位置关系 单 元 同 步 检 测 试 题

一.选择题 1.设 m, n 是两条不同的直线, ? , ? , ? 是三个不同的平面,给出下列四个命题: ①若 m ? ? , n / /? ,则 m ? n ③若 m / /? , n / /? ,则 m / / n 其中正确命题的序号是 ( ) A.①和② B.

②和③ ②若 ? / / ? , ? / /? , m ? ? ,则 m?? ④若 ? ? ? , ? ? ? ,则 ? // ?

C.③和④

D.①和④ )

2.若长方体的三个面的对角线长分别是 a, b, c ,则长方体体对角线长为(

A. a2 ? b2 ? c2

B.

1 2 a ? b2 ? c2 2


C.

2 a 2 ? b2 ? c 2 2

D.

3 2 a ? b2 ? c 2 2

3.下列说法不正确的 是( ....

A.空间中,一组对边平行且相等的四边形是一定是平行四边形; B.同一平面的两条垂线一定共面; C.过直线上一点可以作无数条直线与这条直线垂直,且这些直线都在同一个平面内; D.过一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直. 4.互不重合的三个平面最多可以把空间分成( )个部分 A. 4 B. 5 C. 7 D. 8

0 5.在三棱锥 A ? BCD 中, AC ? 底面 BCD, BD ? DC, BD ? DC, AC ? a, ?ABC ? 30 ,

则点 C 到平面 ABD 的距离是( A.

)

5 a 5

B.

15 a 5

C.

3 a 5

D.

15 a 3


E 是 AC CE 垂直于( 6.在正方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 中,若 1 1 的中点,则直线
A. AC B. BD C. A1D

D. A1D1

7.三棱锥 P ? ABC 的高为 PH ,若三个侧面两两垂直,则 H 为△ ABC 的( ) A.内心 B.外心 C.垂心 D.重心 8. 在四面体 ABCD 中, 已知棱 AC 的长为 2 , 其余各棱长都为 1 , 则二面角 A ? CD ? B 的余弦值为 ( )

A.

1 2

B.

1 3

C.

3 3

D.

2 3

9.四面体 S ? ABC 中,各个侧面都是边长为 a 的正三角形, E , F 分别是 SC 和 AB 的中点,则异面直线
1

EF 与 SA 所成的角等于(
A. 90
0

) B. 60
0

C. 45

0

D. 30

0

V

10. 如右图所示, 正三棱锥 V ? ABC(顶点在底面的射影是底面正三角形的中心) 中, D, E, F 分别是 VC,VA, AC 的中点, P 为 VB 上任意一点,则直线 DE 与
E F D

PF 所成的角的大小是(
A. 30 二.填空题
0


0

B. 90

C. 60

0

D.随 P 点的变化而变化

A P B

C

11.直线 l 与平面 ? 所成角为 30 , l
0

? ? A, m ? ? , A ? m ,则 m 与 l 所成角的取值范围是 ______

12 .棱长为 1 的正四面体内有一点 P ,由点 P 向各面引垂线,垂线段长度分别为 d1 , d2 , d3 , d4 ,则

d1 ? d2 ? d3 ? d4的值为
0 13 .直二面角 ? - l - ? 的棱 l 上有一点 A ,在平面 ? , ? 内各有一条射线 AB , AC 与 l 成 45 ,

AB ? ? , AC ? ? ,则 ?BAC ?
14.三棱锥 P ? ABC, PA ? PB ? PC ? 73, AB ? 10, BC ? 8, CA ? 6, 则二面角 P ? AC ? B 的大小为 15.在正三棱锥 P ? ABC (顶点在底面的射影是底面正三角形的中心)中, AB ? 4, PA ? 8 ,过 A 作与

PB, PC 分别交于 D 和 E 的截面,则截面 ? ADE 的周长的最小值是
三.解答题:

AB 、AD 、C1D1 的中点.求证: E F 16. 如图, 在正方体 ABCD ? A 平面 D1EF 1B 1C1D 1 中, 、 、G 分别是
∥平面 BDG .

E 是 AA1 的中点.(1)求证: AC BDE ; 17.如图,在正方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 中, 1 // 平面
(2)求证:平面 A1 AC ? 平面 BDE .

2

18.已知 ABCD 是矩形, PA ? 平面 ABCD , AB ? 2 , PA ? AD ? 4 , E 为 BC 的中点. (1)求证: DE ? 平面 PAE ; (2)求直线 DP 与平面 PAE 所成的角.

19. 如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 是 ?DAB ? 60 且边长为 a 的菱形,侧面 PAD 是等边三
0

角形,且平面 PAD 垂直于底面 ABCD . (1)若 G 为 AD 的中点,求证: BG ? 平面 PAD ; (2)求证: AD ? PB ; (3)求二面角 A ? BC ? P 的大小.

20. 如图, 四棱锥 P-ABCD 的底面是 AB=2, BC= 2 的矩形, 侧面 PAB 是等边三角形, 且侧面 PAB⊥底面 ABCD. (1)证明:BC⊥侧面 PAB; (2)证明:侧面 PAD⊥侧面 PAB; (3)求侧棱 PC 与底面 ABCD 所成角的大小. P A B C D

3

一、选择题 1. A ③若 m / /? , n / /? ,则 m / / n ,而同平行同一个平面的两条直线有三种位置关系 ④若 ? ? ? , ? ? ? ,则 ? // ? ,而同垂直于同一个平面的两个平面也可以相交 2.C 设同一顶点的三条棱分别为 x, y, z ,则 x2 ? y 2 ? a2 , y 2 ? z 2 ? b2 , x2 ? z 2 ? c2 得x ? y ?z ?
2 2 2

1 2 1 2 2 2 2 2 2 2 (a ? b 2 ? c 2 ) ,则对角线长为 (a ? b ? c ) ? a ?b ?c 2 2 2

3. D 一组对边平行就决定了共面;同一平面的两条垂线互相平行,因而共面; 这些直线都在同一个平面内即直线的垂面;把书本的书脊垂直放在桌上就明确了 4.D 可以想象为两个平面垂直相交,第三个平面与它们的交线再垂直相交 5.B 6.B 7.C 8.C 作等积变换 VA? BCD ? VC ? ABD

BD 垂直于 CE 在平面 ABCD 上的射影 BC ? PA ? BC ? AH
取 AC 的中点 E ,取 CD 的中点 F , EF ?

1 2 3 , BE ? , BF ? 2 2 2

cos ? ?

EF 3 ? BF 3

9.C 取 SB 的中点 G ,则 GE ? GF ? 10.B

a 2 ,在△ SFC 中, EF ? a , ?EFG ? 450 2 2

连接 VF , BF ,则 AC 垂直于平面 VBF ,即 AC ? PF ,而 DE // AC ,? DE ? PF

二 填空题
0 0 0 11. ? 当 m 在 ? 内适当旋转 ?30 ,90 ? ? 解析: 直线 l 与平面 ? 所成的 30 的角为 m 与 l 所成角的最小值,

0 就可以得到 l ? m ,即 m 与 l 所成角的的最大值为 90

12.

1 3 1 3 6 6 解析:作等积变换: ? ? (d1 ? d2 ? d3 ? d4 ) ? ? ? h, 而 h ? 3 4 3 4 3 3
0

13. 60 或 120 解析: 不妨固定 AB ,则 AC 有两种可能 14. 60 解析:注意 P 在底面的射影是斜边的中点 15. 30
0
0

0

解析:底面边长为 2 3 ,高为 1 , tan ? ?

1 3

16. E 、 F 分别是 AB 、 AD 的中点,? EF ∥ BD 又 EF ? 平面 BDG , BD ? 平面 BDG ? EF ∥平面 BDG
4

D1G

EB ? 四边形 D1GBE 为 , D1E ∥ GB

又 D1E ? 平面 BDG , GB ? 平面 BDG ? D1E ∥平面 BDG ,

EF

D1E ? E ,? 平面 D1EF ∥平面 BDG
BD ? O ,

17. (1)设 AC

E 、 O 分别是 AA1 、 AC 的中点,? AC EO 1 ∥

BDE 又 AC ? 平面 BDE , EO ? 平面 BDE ,? AC 1 ∥平面 1
(2)

AA1 ? 平面 ABCD , BD ? 平面 ABCD , AA1 ? BD

又 BD ? AC , AC

AA1 ? A ,? BD ? 平面 A1 AC

BD ? 平面 BDE ,? 平面 BDE ? 平面 A1 AC
2 2 2 18.在 ?ADE 中, AD ? AE ? DE ,? AE ? DE

PA ? 平面 ABCD , DE ? 平面 ABCD ,? PA ? DE
又 PA

AE ? A ,? DE ? 平面 PAE

(2) ? DPE 为 DP 与平面 PAE 所成的角 在 Rt ?PAD , PD ? 4 2 ,在 Rt ?DCE 中, DE ? 2 2 在 Rt ?DEP 中, PD ? 2 DE ,? ?DPE ? 30 ……13 分
0

19. (1) ?ABD 为等边三角形且 G 为 AD 的中点,? BG ? AD 又平面 PAD ? 平面 ABCD ,? BG ? 平面 PAD ……4 分 (2) PAD 是等边三角形且 G 为 AD 的中点,? AD ? PG 且 AD ? BG , PG

BG ? G ,? AD ? 平面 PBG ,

PB ? 平面 PBG ,? AD ? PB
(3)由 AD ? PB , AD ∥ BC ,? BC ? PB 又 BG ? AD , AD ∥ BC ,? BG ? BC

? ?PBG 为二面角 A ? BC ? P 的平面角
在 Rt ?PBG 中, PG ? BG ,? ?PBG ? 45
0

20. (Ⅰ)证:∵侧面 PAB 垂直于底面 ABCD,且侧面 PAB 与底面 ABCD 的交线是 AB, 在矩形 ABCD 中,BC⊥AB,∴BC⊥侧面 PAB. (Ⅱ)证:在矩形 ABCD 中,AD∥BC,BC⊥侧面 PAB,∴AD⊥侧面 PAB. 又 AD 在平面 PAD 上,所以,侧面 PAD⊥侧面 PAB (Ⅲ)解:在侧面 PAB 内,过点 P 做 PE⊥AB.垂足为 E,连结 EC,∵侧面 PAB 与底面 ABCD 的交线是 AB,PE⊥AB.所以 PE⊥底面 ABCD.于是 EC 为 PC 在底面 ABCD 内的射影, ∴∠PCE 为侧棱 PC 与底面 ABCD 所成的角,
0 在△PAB 和△BEC 中,易求得 PE= 3, EC ? 3 ,在 Rt△PEC 中,∠PCE=45

5


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