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2016年台州职业技术学院单招数学模拟试题(附答案)


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2016 年台州职业技术学院单招数学模拟试题(附答案)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的. 1.若 sin 2? ? 0 且 cos ? ? 0 ,则 ? 是 A.第二象限角 C.第三象限角 B.第一或第三象限角 D.第二或第四象限角 ( )



2.给出两个命题: p : | x |? x 的充要条件是 x 为正实数; q :不等式

| x ? y |?| x | ? | y | 取等号的条件是 x, y 异号,则下列哪个复合命题是真命题
( ) C. ? p且q D. ? p或q ( )

A. p且q

B. p或q

3.设等差数列 ?an ? 的公差为 2,前 n 项和为 S n ,则下列结论中正确的是 A. S n ? nan ? 3n(n ? 1) C. S n ? nan ? n(n ? 1)
4.复数 (

B. S n ? nan ? 3n(n ? 1) D. S n ? nan ? n(n ? 1)
( ) C. i D. ? i

1 ? i 100 ) 的值等于 1? i
B.-1

A.1

5.过点 (?4, 0) 作直线 l 与圆 x 2 ? y 2 ? 2 x ? 4 y ? 20 ? 0 交于 A、B 两点,如果

| AB |? 8 ,则
A. l 的方程为 5x ? 12y ? 20 ? 0或x ? 4 ? 0 ; B. l 的方程为 5x ? 12y ? 20 ? 0或x ? 4 ? 0 ; C. l 的方程为 5x ? 12y ? 20 ? 0 ; D. l 的方程为 5x ? 12y ? 20 ? 0 ;





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6.函数 y ?

lg | x | 的图象大致是 x

( )

A.

B.

C.

D.
( )
2

7.如果 a ? 0, ? 1 ? b ? 0 ,那么下列不等式中正确的是 A. a ? ab ? ab
2

B. ab ? a ? ab
2

C. a ? ab ? ab

D. ab ? ab ? a
2

8.设函数 f ( x) 在 x ? 1 处连续,且 lim
x ?1

f ( x) ? 2 ,则 f (1) 等于 x ?1
C. 1 D. 2

( )

A. ? 1

B. 0

9.球面上有三点,其中任意两点的球面距离都等于球的大圆周长的 小圆的周长为 4? ,则这个球的表面积为 ( ) B. 24? C. 48?

1 ,经过这三点的 6

A. 12?

D. 64?

10.若一系列函数的解析式相同,值域相同,但定义域不同,则称这些函数为“同族 函数”,那么函数解析式为 y ? x 2 ,值域为 ? 1, 4? 的“同族函数”共有 ( A.7 个 ) C.9 个 D.10 个

B.8 个

11.6 支签字笔与 3 本笔记本的金额之和大于 24 元,而 4 支签字笔与 5 本笔记本的金 额之和小于 22 元,则 2 支签字笔与 3 本笔记本的金额比较结果是 ( )
B.2 支签字笔贵 C.相同 D.不确定

A.3 本笔记本贵

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12.如图,在 ?ABC 中, ?CAB ? ?CBA ? 30 ,AC、BC 边上的高分别为 BD、AE,则
0

以 A、B 为焦点,且过 D、E 的椭圆与双曲线的离心率的倒数和为 A. 3 C. 2 3 B. 1 D. 2

( )

E

C

D

A

B

第Ⅱ卷(非选择题共 90 分)

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分.把答案填在题中横线上. 13.已知 A 箱内有红球 1 个和白球 5 个,B 箱内有白球 3 个,现随意从 A 箱中取出 3 个球放入 B 箱,充分搅匀后再从中随意取出 3 个球放入 A 箱,则红球由 A 箱移入 到 B 箱, 再返回到 A 箱的概率等于. 14.已知函数 y ? f ( x) 是偶函数, y ? g ( x) 是奇函数, 它们的定义域是 [?? , ? ] ,且它们在 x ? [0, ? ] 上的 图象如图所示,则不等式 是. 15.如图,在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,点 M 是 BC 的中点,则 D1B 与 AM 所成角的余弦值 是. 16.如图,一条直角走廊宽为 1.5m,一转动灵活的平 A D S

y
1

y ? f ( x)

O
?1

? 4

f ( x) ? 0 的解集 g ( x)

? ? x 3y ? g ( x)
C1 B1
11

D1 A1

B

C M

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板手推车,其平板面为矩形,宽为 1m.问:要想 顺利通过直角走廊,平板手推车的长度不能超 过米. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分 12 分)甲、乙两名射手在一次射击中的得分为两个相互独立的随击 变量 ? 与 ? ,且 ? 、 ? 的分布列为:

?
p

1

2 0.2

3 0.6

?
p

1 0.3

2

3 0.3

a

b

(1)求 a, b 的值; (2)甲、乙两名射手在一次射击中的得分均小于 3 的概率 谁大? (3)计算 ? 、? 的期望和方差,并以此分析甲乙的技术状况.

18.(本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) 是定义在 R 上的偶函数,当 x ? 0 时,

f ( x) ? ?
(1)求当 x

7x . x ? x ?1
2

? 0 时 f ( x) 的解析式;

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(2)试确定函数 f ( x)(x ? 0) 的单调区间,并证明你的结论; (3)若 x1 ? 2, x2 ? 2 且 x1 ? x 2 ,证明: | f ( x1 ) ? f ( x2 ) |? 2 .

19.(本小题满分 12 分)在四棱锥 P ? ABCD 中, AD ? AB , CD // AB ,

PD ? 底面 ABCD ,

AB ? 2 ,直线 PA 与底面 AD

ABCD 成 600 角,点 M , N 分别是 PA, PB 的中点.
(1)求二面角 P ? MN ? D 的大小; (2)当

CD AB

的值为多少时, ?CDN 为直角三角形.

20.(本小题满分 12 分)已知在 x 轴上有一点列:

P 1 ( x1 , 0), P 2 ( x2 , 0), P 3 ( x3 , 0), ?,

Pn ( xn , 0), ? ,点 Pn?2 分有向线段 Pn Pn ?1 所成的比为 ? ,其中 n ? N * , ? ? 0 为
常数, x1 ? 1, x2 ? 2 . (1)设 an ? xn?1 ? xn ,求数列 ?an ? 的通项公式; (2)设 f (? ) ? lim x n ,当 ? 变化时,求 f (? ) 的取值范围.
n ? ??

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21.(本小题满分 12 分)在东西方向直线延伸的湖岸上有一港口 O,一艘机艇以 40km/h 的速度从 O 港出发,先沿东偏北的某个方向直线前进到达 A 处,然后改向 正北方向航行,总共航行 30 分钟因机器出现故障而停在湖里的 P 处,由于营救人 员不知该机艇的最初航向及何时改变的航向,故无法确定机艇停泊的准确位置,试 划定一个最佳的弓形营救区域(用图形表示),并说明你的理由. P A 0 北

22.(本小题满分 14 分)如图,设 ?OFP 的面积为 S ,已知 OF ? FP ? 1 . (1)若

1 3 ,求向量 OF 与 FP 的夹角 ? 的取值范围; ?S? 2 2
3 | OF | ,且 | OF |? 2 ,当 | OP | 取最小值时,建立适当的直角坐标系, 4

(2)若 S ? 求

以 O 为中心, F 为一个焦点且经过点 P 的椭圆方程.

P

O

F

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参考答案
一、选择题 C D C A A D A B C C B A

提示:3。可理解为首项是 an ,公差是 ? 2 的等差数列 ?an ? ,故

S n ? na n ?

1 n(n ? 1)( ?2) 2

? nan ? n(n ? 1)
4.只要注意到

1? i ? i ,即可迅速得到答案. 1? i

5.此题可转化为求过点 (?4, 0) 的直线 5x ? 12y ? 20 ? 0或x ? 4 ? 0 ,

5x ? 12y ? 20 ? 0 与圆 x 2 ? y 2 ? 2 x ? 4 y ? 20 ? 0 相交所得的弦长是否为 | AB |? 8 的
问题. 6. 应注意到函数 y ? D.

lg | x | 是奇函数, 可排除 A, B 选项, 代数值 x ? 1, y ? 0 检验即得 x

8. 特殊值法, 令 f ( x) ? ( x ? 1)(x ? 1) , 得 f (1) ? 2 . 9. 由已知得小圆半径 r ? 2 , 三点组成正三角形, 边长为球的半径 R , 所以有

1 1 3 2 ( R) 2 ? ( ? R) ? 2 2 , R 2 ? 12 , 所以球的表面积 S ? 48? . 2 3 2 10. 由题意知同族函数的定义域非空, 且由 ? 1, ? 2, 1, 2 中的两个(这里 ? 1, 1 和 ? 2, 2
1 1 1 1 中各有一个), 或三个, 或全部元素组成, 故定义域的个数为 C2 C2 ? C2 C2 ? 1 ? 9 .

11. 设签字笔与笔记本的价格分别是 x, y , 2 支签字笔与 3 本笔记本的金额比较结果是

k,即

2 x ? 3 y ? k ,已知 6 x ? 3 y ? 24 , 4 x ? 5 y ? 22 ,在直角坐标系中画图,可知直线 2 x ? 3 y ? k 的斜率始终为负, 故有 ? k ? 0, k ? 0 , 所以选 B.

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12. 设 | AB |? 2c , 则在椭圆中, 有 c ? 3c ? 2a ,

1 a 1? 3 , 而在双曲线中, 有 ? ? e1 c 2 1 1 1? 3 3 ?1 1 a 3 ?1 , ∴ ? 3c ? c ? 2a , ? ? ? ? ? 3. e1 e2 2 2 e2 c 2
1 ? ? 15 14. ( ? , 0) ? ( , ? ) 15. 3 3 4 15
16. 3 2 ? 2

二、填空题 13.

提示: 15. 设正方体的棱长为 a , 过 B 点作直线 BN // AM 交 DA 的延长线于 N , 连

D1 N , 在 ?D1 NB 中, BN ?
cos?D1 BN ? 15 . 15

5 13 , BD1 ? 3 , D1 N ? , ∴ 2 2

16. 设 ?E / DA ? ? , 则有 BC ?

1.5 ? cos? 1.5 ? sin? 1.5(sin? ? cos? ) ? 1 ? ? , sin? cos? sin? cos?

根据小车的转动情况, 可大胆猜测只有 ? ? 450 时, BCmax ? 3 2 ? 2 . 三、解答题 17.(1)∵ a ? 0.1 ? 0.6 ? 1 , ∴ a ? 0.3 , 同理 b ? 0.4 . -------3 分

(2) p(? ? 3) ? 0.3 ? 0.1 ? 0.4 , p(? ? 3) ? 0.4 ? 0.3 ? 0.7 , ∴ p(? ? 3) ? p(? ? 3) -------------------3 分

(3) E? ? 1? 0.3 ? 2 ? 0.1 ? 3 ? 0.6 ? 2.3 E? ? 1? 0.3 ? 2 ? 0.4 ? 3 ? 0.3 ? 2 ----8 分

D? ? (1 ? 2.3) 2 ? 0.3 ? (2 ? 2.3) 2 ? 0.1 ? (3 ? 2.3) 2 ? 0.6 ? 0.81
同理 D? ? (1 ? 2) 2 ? 0.3 ? (2 ? 2) 2 ? 0.4 ? (3 ? 2) 2 ? 0.3 ? 0.6 ----------10 分

由计算结果 E? ? E? ,说明在一次射击中甲的平均得分比乙高,但 D? ? D? , 说明甲得分的稳定性比乙差,因而,甲乙两人的技术水平都不够全面. --------12 分 18.(1)若 x ? 0 ,则 ? x ? 0 , ∵函数 f ( x) 是定义在 R 上的偶函数,

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∴ f ( x) ? f (? x) ?
7x ( x ? 0) x ? x ?1
2

----------3 分

) . --------------6 分 (2)当 x ? 0 时, f ' ( x) ? 7( x2 ? 1)(x ? 1 2 ( x ? x ? 1)

显然当 0 ? x ? 1 时, f ' ( x) ? 0 ;当 x ? 1 时, f ' ( x) ? 0 ,又 f ( x) 在 x ? 0 和 x ? 1 处连 续, ∴函数 f ( x) 在 [0, 1] 上为减函数,在 [1, ? ?) 上为增函数. -----------8 分 (3)∵函数 f ( x) 在 [1, ? ?) 上为增函数,且 f ( x) ? 0 , ∴当 x ? 2 时,有 0 ? f ( x) ? f (2) ? ?2 ,------------------10 分 又当 x1 , x2 ? 2 时,得 ? 2 ? f ( x1 ) ? 0 且 ? 2 ? f ( x2 ) ? 0 , 即 0 ? ? f ( x2 ) ? 2 ∴ ? 2 ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 2 即得 | f ( x1 ) ? f ( x2 ) |? 2 . ----------12 分

19.(1)由已知 AB ? AD, PD ? AB ,

得 AB ? 平面 PAD ,

又 MN // AB , ∴ MN ? 平面 PAD , MN ? PM , MN ? DM , ∴ ?PMD 为二面角 P ? MN ? D 的平面角. 由已知 ?PAD ? 600 , 得 ?MPD ? 300 , ∵ DM 是 Rt ?PDA 斜边 PA 上的中线, ∴ ?PMD 为等腰三角形, ----------3 分

MD ? MP

?PMD ? 1200 ,
-------------6 分

即二面角 P ? MN ? D 的大小为 1200 .

(2)显然 ?DCN ? 900 .

若 ?CDN ? 900 , 则 CD ? 平面 PAN ,

而 CD ? 平面 PAD ,故平面 PAN 与平面 PAD 重合,与题意不符. 由 ?CDN 是 Rt ? ,则必有 CN ? DN , 连 BD,设 AD ? a ,由已知得 AB ?

2a ,从而 BD ? 3a ,

又 PD ? AD tan600 ? 3a ,∴ PD ? BD ,得 DN ? PB , 故 DN ? 平面 PBC , -----------8 分

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∴ DN ? BC ,又 PD ? BC ,∴ BC ? 平面 PBD , ∴ BD ? BC ,反之亦然. ∵ AB // CD ∴ ∴ ?ABD ? ?CDB , ∴ Rt ?ABD ∽ Rt ?CDB -------10 分

CD BD ? , BD AB

CD ?

BD 2 , AB

CD BD 2 3 ? ? . AB AB 2 2

--------12 分

20.(1)由题意得 x n ? 2 ?

x n ? ?x n ?1 , 1? ?
-----------3 分

a n ?1 ? xn ? 2 ? xn ?1 ?

xn ? xn ?1 1 ?? an 1? ? 1? ?

又 a1 ? x2 ? x1 ? 1, ∴数列 ?an ? 是首项为 1 、公比为 ? ∴ a n ? (?

1 的等比数列, 1? ?

1 n ?1 ) 1? ?

--------------6 分

(2)∵ xn ? x1 ? ( x2 ? x1 ) ? ( x3 ? x2 ) ? ? ? ( xn ? xn?1 ) ? 1 ? a1 ? a2 ? ? ? an?1 , ? ? 0 ∴?
1 ? 1, 1? ?

n ? ??

lim x n ? 1 ?

1 1 1? 1? ?

?

2? ? 3 ??2

---------10 分

∴当 ? ? 0 时, f (? ) ? 2(? ? 2) ? 1 ? 2 ? 1 ? ( 3 , 2) ------------12 分 ??2 ??2 2 21.以 O 为原点,湖岸线为 x 轴建立直角坐标系, 设 OA 的倾斜角为 ? ,点 P 的坐标为 ( x, y) ,

| OA |? m, | AP |? n ,则有
? x ? m cos? ? ? y ? n ? m sin ? ?m ? n ? 20 ? (0 ? ? ?

?
2

)

-------------6 分

? x 2 ? y 2 ? m 2 ? n 2 ? 2mn sin ? 由此得 ? ? x ? y ? m(sin ? ? cos ? ) ? n
? x 2 ? y 2 ? m 2 ? n 2 ? 2m n ? (m ? n) 2 ? 400 ???8分 即 ? ? ? 2 ? n ? 20 ??10分 ? x ? y ? 2m sin(? ? ) ? n ? 2m ? 4 2 ?

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故营救区域为直线 x ? y ? 20 与圆 x 2 ? y 2 ? 400围城的弓形区域.(图略)--------12 分 22.(1)由题意知 ? 2 | OF | ? | FP | sin ? ? S ,
? ?| OF | ? | FP | cos? ? 1 ? ?1

可得 tan ? ? 2 S .

∵ 1 ? S ? 3 , ∴ 1 ? tan? ? 3 ,
2 2

有? ? (

? ?

, ) . --------4 分 4 3

(2)以 O 为原点, OF 所在直线为 x 轴建立直角坐标系, 设 | OF |? c ,点 P 的坐标为 ( x0 , y0 ) , ∵ S ? 3 | OF | ,
4



2 1 3 | OF | ? | y 0 |? | OF | , | y 0 |? . -------6 分 3 2 4

∴ c( x 0 ? c) ? 1, x 0 ? c ? 设 f (c ) ? c ?

1 1 9 2 2 , ∴ | OP |? x0 ? y0 ? (c ? ) 2 ? . ------8 分 c c 4

1 1 ,则当 c ? 2 时,有 f ' (c ) ? 1 ? 2 ? 0 . c c
2

∴ f (c) 在 [2, ? ?) 上增函数,∴当 c ? 2 时, f (c) 取得最小值 f (2) ? 5 ,

5 3 从而 | OP | 取得最小,此时 P ( , ? ) . 2 2
设椭圆方程为

---------------------11 分

x2 y2 ? ? 1 (a ? b ? 0) , a2 b2

?a 2 ? b 2 ? 4 x2 y2 2 2 则? ,解之得 ,故 a ? 10 , b ? 6 ? ? 1 .--------14 分 ? 25 9 10 6 ? 2 ? 2 ?1 4b ? 4a

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