nbhkdz.com冰点文库

高考一轮复习:圆中的比例线段与圆内接四边形

时间:


我爱学习网 在线学习网 分享学习方法 励志人生

第3讲

圆中的比例线段与圆内接四边形

【2015 年高考会这样考】 1.考查相交弦定理,切割线定理的应用. 2.考查圆内接四边形的判定与性质定理. 【复习指导】 本讲复习时, 紧紧抓住相交弦定理、切割线定理以及圆内接四边形的判定与性质 定理,重点以基本知识、基本方法为

主,通过典型的题组训练,掌握解决问题的 基本技能.

基础梳理 1.圆中的比例线段 定理名称 基本图形 条件 结论 (1)PA· PB= 相交弦定理 弦 AB、 CD 相 交于圆内点 P PC· PD; (2)△ACP∽ △DBP PA 切⊙O 于 切割线定理 A,PBC 是⊙ O 的割线 (1)PA2= PB· PC; (2)△PAB∽ △PCA (1)PA· PB= 割线定理 PAB、PCD 是 ⊙O 的割线 PC· PD; (2)△PAC∽ △PDB 2.圆内接四边形 (1)圆内接四边形性质定理:圆内接四边形的对角互补. (2)圆内接四边形判定定理: ①如果四边形的对角互补,则此四边形内接于圆;
我爱学习网 http://www.5ixuexi.net 高中数学学习 http://www.5ixuexi.net/gaozhong/shuxue

应用 (1)在 PA、PB、 PC、PD 四线段 中知三求一; (2)求弦长及角 (1)已知 PA、 PB、 PC 知二可求 一; (2)求解 AB、AC (1)求线段 PA、 PB、PC、PD 及 AB、CD; (2)应用相似求 AC、BD

我爱学习网 在线学习网 分享学习方法 励志人生

②若两点在一条线段同侧且对该线段张角相等,则此两点与线段两个端点共圆, 特别的,对定线段张角为直角的点共圆. 双基自测 1.(2011· 天津)如图,四边形 ABCD 是圆 O 的内接四边形,延长 AB 和 DC 相交 BC 于点 P.若 PB=1,PD=3,则AD的值为________.

解析 ∵ABCD 为圆内接四边形,∴∠PBC=∠ADP,又∠P=∠P,∴△BCP∽ BC PB 1 △DAP,∴AD=PD=3. 1 答案 3 2.(2011· 广州调研)如图,四边形 ABCD 内接于⊙O,BC 是直径,MN 与⊙O 相 切,切点为 A,∠MAB=35° ,则∠D=________.

解析

连接 BD,由题意知,∠ADB=∠MAB=35° ,∠BDC=90° ,故∠D=∠

ADB+∠BDC=125° . 答案 125° 3.(2011· 深圳调研)如图,AB 是⊙O 的直径,D 是⊙O 上一点,E 为 BD 的中点, ⊙O 的弦 AD 与 BE 的延长线相交于点 C, 若 AB=18, BC=12, 则 AD=________.

解析 如图,连接 AE,∵AB 是⊙O 的直径,

我爱学习网 http://www.5ixuexi.net

高中数学学习 http://www.5ixuexi.net/gaozhong/shuxue

我爱学习网 在线学习网 分享学习方法 励志人生

∴AE⊥BE,又 E 是 BD 的中点, ∴∠BAE=∠EAC, 从而 E 是 BC 的中点, ∴BE=EC=6,AB=AC=18, 由 CD· CA=CE· CB,得(18-AD)×18=6×12,故 AD=14. 答案 14 4.(2011· 广州模拟)如图,过点 D 作圆的切线切于 B 点,作割线交圆于 A,C 两 点,其中 BD=3,AD=4,AB=2,则 BC=________.

解析 ∵∠A=∠DBC,∠D=∠D, AD AB 3 ∴△ABD∽△BCD,BD=BC,解得 BC=2. 3 答案 2 5.如图所示,已知⊙O 的两条弦 AB、CD 相交于 AB 的中点 E,且 AB=4,DE =CE+3,则 CD 的长为________.

解析 由相交弦定理知, EA· EB=EC· ED.(*) 又∵E 为 AB 中点,AB=4,DE=CE+3, ∴(*)式可化为 22=EC(CE+3)=CE2+3CE, ∴CE=-4(舍去)或 CE=1. ∴CD=DE+CE=2CE+3=2+3=5. 答案 5
我爱学习网 http://www.5ixuexi.net 高中数学学习 http://www.5ixuexi.net/gaozhong/shuxue

我爱学习网 在线学习网 分享学习方法 励志人生

考向一

相交弦定理的应用

【例 1】?(2011· 广东实验中学质检)如图,半径为 2 的⊙O 中,∠AOB=90° ,D 为 OB 的中点,AD 的延长线交⊙O 于点 E,则线段 DE 的长为________.

[审题视点] 由勾股定理求 AD,再由相交弦定理求 DE. 解析 延长 DO 交圆 O 于另一点 F,易知 OD=1,则 AD= AO2+OD2= 5.由 3 5 相交弦定理得,AD· DE=BD· DF,即 5· DE=1×3,DE= 5 . 答案 3 5 5 相交弦定理主要用于与圆有关的比例线段的计算与证明,解题时要与 相似三角形及圆周角、弦切角等相关知识综合应用 . 【训练 1】 (2011· 广东)如图,AB、CD 是半径为 a 的圆 O 的两条弦,它们相交 2a 于 AB 的中点 P,PD= 3 ,∠OAP=30° ,则 CP=________.

3 AP2 9 解析 依题 AP=PB= 2 a,由 PD· CP=AP· PB,得 CP= PD =8a. 9 答案 8a 考向二 切割线定理的应用

【例 2】?如图所示,PA 为⊙O 的切线,A 为切点,PBC 是过点 O 的割线,PA= 10,PB=5,∠BAC 的平分线与 BC 和⊙O 分别交于点 D 和 E,求 AD· AE 的值.

我爱学习网 http://www.5ixuexi.net

高中数学学习 http://www.5ixuexi.net/gaozhong/shuxue

我爱学习网 在线学习网 分享学习方法 励志人生

[审题视点] 由切割线定理知 PA2=PB· PC,可得直径 BC 的长,要求 AD· AE,由 △ACE∽△ADB,得 AD· AE=CA· BA,只要求出 CA,BA 的长即可. 解 如图所示,连接 CE,∵PA 是⊙O 的切线,PBC 是⊙O 的割线,

∴PA2=PB· PC.又 PA=10,PB=5,∴PC=20,BC=15. ∵PA 切⊙O 于 A, ∴∠PAB=∠ACP. 又∠P 为公共角,∴△PAB∽△PCA. AB PA 10 1 ∴CA=PC=20=2. ∵BC 为⊙O 的直径,∴∠CAB=90° . ∴AC2+AB2=BC2=225.∴AC=6 5,AB=3 5. 又∠ABC=∠E,∠CAE=∠EAB, AB AD ∴△ACE∽△ADB,∴AE=AC . ∴AD· AE=AB· AC=3 5×6 5=90. 在圆中通过连接圆上的两点、作圆的切线等可以创造使用圆周角定理、 圆心角定理、 弦切角定理的条件, 这是在圆的问题上解决角之间关系的重要技巧.

【训练 2】 如图,⊙O 与⊙O′外切于 P,两圆公切线 AC,分别 切⊙O、⊙O′于 A、C 两点,AB 是⊙O 的直径,BE 是⊙O′的 切线,E 为切点,连 AP、PC、BC. 求证:AP· BC=BE· AC. 证明 由题意可知∠APC=90° ,连 BP,则∠APB=90° ,∴B、P、C 在同一直 线上,即 P 点在 BC 上,由于 AB⊥AC,易证 Rt△APB∽Rt△CAB.
我爱学习网 http://www.5ixuexi.net 高中数学学习 http://www.5ixuexi.net/gaozhong/shuxue

我爱学习网 在线学习网 分享学习方法 励志人生

AB PB ∴CB=AB,即 AB2=BP· BC,又由切割线定理,得 BE2=BP· BC,∴AB=BE,又 Rt△APB∽Rt△CAB, AB AP ∴CB=CA,即 AP· BC=AB· AC, ∴AP· BC=BE· AC. 考向三 圆内接四边形性质的应用

【例 3】?(2011· 辽宁三校联考)已知四边形 PQRS 是圆内接四边形,∠PSR=90° , 过点 Q 作 PR、PS 的垂线,垂足分别为点 H、K.

(1)求证:Q、H、K、P 四点共圆; (2)求证:QT=TS. [审题视点] (1)利用∠PHQ=∠PKQ=90° ; (2)先证∠HKS=∠QSP,TS=TK,再证 TS=QT. 证明 (1)∵∠PHQ=∠PKQ=90° ,∴Q、H、K、P 四点共圆. (2)∵Q、H、K、P 四点共圆,∴∠HKS=∠HQP,① ∵∠PSR=90° ,∴PR 为圆的直径, ∴∠PQR=90° ,∠QRH=∠HQP,② 而∠QSP=∠QRH,③ 由①②③得,∠QSP=∠HKS,TS=TK, 又∠SKQ=90° ,∵∠SQK=∠TKQ,∴QT=TK,∴QT=TS. (1)四边形 ABCD 的对角线交于点 P, 若 PA· PC=PB· PD, 则它的四个顶 点共圆. (2)四边形 ABCD 的一组对边 AB、DC 的延长线交于点 P,若 PA· PB=PC· PD,则 它的四个顶点共圆. 以上两个命题的逆命题也成立. 该组性质用于处理四边形与圆的关系问题时比较 有效. 【训练 3】 如图所示,AB 是⊙O 的直径,G 为 AB 延长线上的一点,GCD 是⊙ O 的割线,过点 G 作 AB 的垂线,交 AC 的延长线于点 E,交 AD 的延长线于点 F,过 G 作⊙O 的切线,切点为 H. 求证:(1)C,D,F,E 四点共圆;
我爱学习网 http://www.5ixuexi.net 高中数学学习 http://www.5ixuexi.net/gaozhong/shuxue

我爱学习网 在线学习网 分享学习方法 励志人生

(2)GH2=CE· GF.

证明 (1)如图,连接 BC. ∵AB 是⊙O 的直径,∴∠ACB=90° . ∵AG⊥FG,∴∠AGE=90° . 又∠EAG=∠BAC, ∴∠ABC=∠AEG.

又∠FDC=∠ABC, ∴∠FDC=∠AEG. ∴∠FDC+∠CEF=180° . ∴C,D,F,E 四点共圆. (2)∵GH 为⊙O 的切线,GCD 为割线, ∴GH2=GC· GD. 由 C,D,F,E 四点共圆, 得∠GCE=∠AFE,∠GEC=∠GDF. ∴△GCE∽△GFD. GC GE ∴ = , GF GD 即 GC· GD=GE· GF.∴CH2=GE· GF.

如何求解高考中几何证明选讲问题 从近两年的新课标高考试题可以看出, 高考对切割线定理的应用及四点共圆问题 重点考查,题型为填空题或解答题.
我爱学习网 http://www.5ixuexi.net 高中数学学习 http://www.5ixuexi.net/gaozhong/shuxue

我爱学习网 在线学习网 分享学习方法 励志人生

【示例】? (本题满分 10 分)(2011· 新课标全国)如图,D,E 分别为△ABC 的边 AB,AC 上的点,且不与△ABC 的顶点重合.已知 AE 的长为 m,AC 的长为 n, AD,AB 的长是关于 x 的方程 x2-14x+mn=0 的两个根.

(1)证明:C,B,D,E 四点共圆; (2)若∠A=90° ,且 m=4,n=6,求 C,B,D,E 所在圆的半径. 第(1)问连 DE,证明△ADE∽△ACB,即证∠ADE=∠ACB,根据对角 互补判定四点 C,B,D,E 共圆;第(2)问先求 AD、AB 的长,再确定 C,B,D, E 四点所在圆的圆心,进一步求半径.

[解答示范] (1)连接 DE, 根据题意, 在△ADE 和△ACB 中, AD· AB=mn=AE· AC, AD AE 即AC =AB.又∠DAE=∠CAB, 从而△ADE∽△ACB.(3 分) 因此∠ADE=∠ACB. 所以 C,B,D,E 四点共圆.(4 分) (2)m=4,n=6 时,方程 x2-14x+mn=0 的两根为 x1=2,x2=12. 故 AD=2,AB=12.(6 分) 取 CE 的中点 G,DB 的中点 F,分别过 G,F 作 AC,AB 的垂线,两垂线相交于 H 点,连结 DH.因为 C,B,D,E 四点共圆,所以 C,B,D,E 四点所在圆的 圆心为 H,半径为 DH.(8 分) 1 由于∠A=90° ,故 GH∥AB,HF∥AC.从而 HF=AG=5,DF=2×(12-2)=5. 故 C,B,D,E 四点所在圆的半径为 5 2.(10 分) 本题主要考查平面几何证明,四点共圆,三角形相似,一元二次方程 根与系数的关系. 四点共圆常用的证明方法是求证四边形的一个外角等于与它不 相邻的内角,当然也可以求出过其中三点的圆,然后证另一点也在这个圆上,也
我爱学习网 http://www.5ixuexi.net 高中数学学习 http://www.5ixuexi.net/gaozhong/shuxue

我爱学习网 在线学习网 分享学习方法 励志人生

可以证明以两个点为端点的线段的垂直平分线与以另两个点为端点的线段的垂 直平分线相交. 【试一试】 (2011· 辽宁)如图,A,B,C,D 四点在同一圆上,AD 的延长线与 BC 的延长线交于 E 点,且 EC=ED.

(1)证明:CD∥AB; (2)延长 CD 到 F,延长 DC 到 G,使得 EF=EG,证明:A,B,G,F 四点共圆. [尝试解答] (1)因为 EC=ED,所以∠EDC=∠ECD. 因为 A,B,C,D 四点在同一圆上,所以∠EDC=∠EBA.故∠ECD=∠EBA. 所以 CD∥AB.

(2)由(1)知,AE=BE.因为 EF=EG,故∠EFD=∠EGC,从而∠FED=∠GEC. 连接 AF,BG,则△EFA≌△EGB, 故∠FAE=∠GBE.又 CD∥AB,∠EDC=∠ECD, 所以∠FAB=∠GBA.所以∠AFG+∠GBA=180° . 故 A,B,G,F 四点共圆.

我爱学习网 http://www.5ixuexi.net

高中数学学习 http://www.5ixuexi.net/gaozhong/shuxue


...第3讲 圆中的比例线段与圆内接四边形 新人教版选修4...

【创新方案】2013年高考数学一轮复习 几何证明选讲 第3讲 圆中的比例线段与圆内接四边形 新人教版选修4-1 2013年高考数学一轮复习2013年高考数学一轮复习隐藏>...

第3讲圆中的比例线段与圆内接四边形

第3讲 1.圆中的比例线段 定理名称 圆中的比例线段与圆内接四边形基础梳理 基本图形 条件 结论 (1)PA· PB= 应用 (1)在 PA、PB、 PC、PD 四线段 中知...

如图,四边形ABCD是⊙O的内接四边形,延长AB和DC相交于点...

百度高考APP 百度高考数学 与圆有关的比例线段...单选题 数学 与圆有关的比例线段 如图,四边形ABCD是⊙O的内接四边形,延长AB和DC相交于点P.若的值为( ) ...

(选做题)在圆内接△ABC中,AB=AC=,Q为圆上一点,AQ和BC的...

填空题 数学 与圆有关的比例线段圆内接四边形的性质与判定定理 (选做题) 在圆内接△ABC中,AB=AC=,Q为圆上一点,AQ和BC的延长线交于点P,且AQ:QP=1:...

如图,在圆的内接四边形ABCD中,∠ABC=90°,∠ABD=30°,...

百度高考文科数学 与圆有关的比例线段...填空题5分 文科数学 与圆有关的比例线段 如图,在圆的内接四边形ABCD中,∠ABC=90°,∠ABD=30°,∠BDC=45°,AD=1...

如图,四边形ABCD是⊙O的内接四边形,AB的延长线与DC的延...

百度高考数学 与圆有关的比例线段...简答题 数学 与圆有关的比例线段 如图,四边形ABCD是⊙O的内接四边形,AB的延长线与DC的延长线交于点E,且CB=CE. (Ⅰ...

(选修4-1 几何证明选讲)如图,ABCD为圆内接四边形,延长...

百度高考数学 与圆有关的比例线段...简答题 数学 与圆有关的比例线段 (选修4-1 几何证明选讲) 如图,ABCD为圆内接四边形,延长两组对边分别交于点E,F,∠...

(2016•佛山一模)如图,四边形ABCD是圆内接四边形,BA...

百度高考数学 与圆有关的比例线段...简答题 数学 与圆有关的比例线段 (2016•佛山一模)如图,四边形ABCD是圆内接四边形,BA、CD的延长线交于点P,且AB=AD,...

如图,四边形ABCD是⊙O的内接四边形,AB的延长线与DC的延...

百度高考数学 与圆有关的比例线段...简答题 数学 与圆有关的比例线段 如图,四边形ABCD是⊙O的内接四边形,AB的延长线与DC的延长线交于点E,且CB=CE. (1)...

...四边形ABCD是⊙O的内接四边形,BD不经过点O,AC平分∠...

百度高考数学 与圆有关的比例线段...简答题 数学 与圆有关的比例线段 (2013•运城校级三模)如图所示,四边形ABCD是⊙O的内接四边形,BD不经过点O,AC平分∠...