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【步步高】2016高考数学大一轮复习 12.6随机变量的均值与方差试题 理 苏教版


第6讲
一、填空题

离散型随机变量的均值与方差

1.若随机变量 X 的分布列如下表:则 EX=________.

X P
解析 由分布列的性质,

0 2x

1 3x

2 7x

3 2x

4 3x

5

x

1 可得 2x+3x+7x+2x+3x+x=1,∴x= . 18 ∴EX=0×2x+1×3x+2×7x+3×2x+4×3x+5x 20 =40x= . 9 答案 20 9

2.有 10 件产品,其中 3 件是次品,从中任取两件,若 ξ 表示取到次品的个数,则 Eξ 等 于________. C7C3 C3 解析 ξ =1 时,P= 2 ;ξ =2 时,P= 2 , C10 C10 C7C3 C3 7×3+2×3 3 ∴Eξ =1× 2 +2× 2 = = . 2 C10 C10 C10 5 答案 3 5
1 1 2 1 1 2

3.已知随机变量 X+Y=8,若 X~B(10,0.6),则 E(Y),D(Y)分别是________. 解析 若两个随机变量 Y, X 满足一次关系式 Y=aX+b(a, b 为常数), 当已知 E(X)、 D(X) 时,则有 E(Y)=aE(X)+b,D(Y)=a D(X).由已知随机变量 X+Y=8,所以有 Y=8-X. 因此,求得 E(Y)=8-E(X)=8-10×0.6=2,
2

D(Y)=(-1)2D(X)=10×0.6×0.4=2.4.
答案 2;2.4 4.已知 X 的概率分布为

X P

-1 1 2

0 1 3

1 1 6

1 23 则在下列式子中:①E(X)=- ;②D(X)= ; 3 27 1 ③P(X=0)= .正确的序号是________. 3

1

1 1 1 解析 E(X)=(-1)× +1× =- ,故①正确. 2 6 3

D(X)=?-1+ ?2× +?0+ ?2× +?1+ ?2× = ,故②不正确. 3 3 3

? ?

1?

?

1 ? 2 ?

1?

?

1 ? 3 ?

1?

?

1 5 6 9

由分布列知③正确. 答案 ①③ 5. 一个篮球运动员投篮一次得 3 分的概率为 a, 得 2 分的概率为 b, 不得分的概率为 c(a、

b、c∈(0,1)),已知他投篮一次得分的均值为 2,则 + 的最小值为________. a 3b
解析 由已知得,3a+2b+0×c=2, 2 即 3a+2b=2,其中 0<a< ,0<b<1. 3 2 1 3a+2b?2 1 ? 1 2b a 10 又 + = ? + ?=3+3+ a +2b≥ 3 + a 3b 2 ?a 3b? 2 2b a 16 · = , a 2b 3

2

1

2b a 当且仅当 = ,即 a=2b 时取“等号”又 3a+2b=2, a 2b 1 1 2 1 16 即当 a= ,b= 时, + 的最小值为 . 2 4 a 3b 3 答案 16 3

6.罐中有 6 个红球,4 个白球,从中任取 1 球,记住颜色后再放回,连续摸取 4 次,设 ξ 为取得红球的次数,则 ξ 的期望 E(ξ )=________. 答案 12 5

7.两封信随机投入 A、B、C 三个空邮箱,则 A 邮箱的信件数 X 的数学期望 E(X)=________. 2 答案: 3 8.某种种子每粒发芽的概率都为 0.9,现播种了 1 000 粒,对于没有发芽的种子,每粒 需要再补种 2 粒,补种的种子数记为 X,则 X 的数学期望为________. 解析 种子发芽率为 0.9,不发芽率为 0.1,每粒种子发芽与否相互独立,故设没有发芽 的种子数为 Y, 则 Y~B(1 000,0.1), ∴E(Y)=1 000×0.1=100, 故需补种的期望为 E(X) =2·E(Y)=200. 答案 200 9.签盒中有编号为 1、2、3、4、5、6 的六支签,从中任意取 3 支,设 X 为这 3 支签的 号码之中最大的一个,则 X 的数学期望为________.
2

解析 由题意可知,X 可以取 3,4,5,6,

P(X=3)= 3= ,P(X=4)= 3= , P(X=5)= 3= ,P(X=6)= 3= .
由数学期望的定义可求得 E(X)=5.25. 答案 5.25 10.某毕业生参加人才招聘会,分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历.假定该毕 2 业生得到甲公司面试的概率为 ,得到乙、丙两公司面试的概率均为 p,且三个公司是 3 1 否让其面试是相互独立的.记 X 为该毕业生得到面试的公司个数.若 P(X=0)= , 12 则随机变量 X 的数学期望 E(X)=________. 1 解析 由已知条件 P(X=0)= 12 1 1 1 2 即(1-p) × = ,解得 p= , 3 12 2 随机变量 X 的取值分别为 0,1,2,3. C4 3 C6 10
2

1 C6

1 20

C3 C6 C5 C6
2

2

3 20 1 2

P(X=0)= , P(X=1)= ×?1- ?2+2× ×? ?2= , 2? 3 ? 3 ?2? 3 P(X=2)=2× × ×?1- ?+?1- ?×? ?2= , 2 3 2
2 3 1 ? 2 ? 1 6 1? 2 ? 1? 1 ?1? 1

1 12

? ? ?

2? ?1?

? ? ?

5 12

P(X=3)= ×? ?2= . 2
因此随机变量 X 的分布列为

2 ?1? 3 ? ?

X P
1 12 1 3 5 12

0 1 12 1 5 6 3

1 1 3

2 5 12

3 1 6

E(X)=0× +1× +2× +3× = .
答案 5 3

二、解答题 11.袋中有相同的 5 个球,其中 3 个红球,2 个黄球,现从中随机且不放回地摸球,每次摸 1 个,当两种颜色的球都被摸到时,即停止摸球,记随机变量ξ 为此时已摸球的次数, 求:
3

(1)随机变量 ξ 的概率分布表; (2)随机变量 ξ 的数学期望与方差. 解 (1) ξ 2 3 5 3 3 10 4 1 10

P

5 (2)随机变量 ξ 的数学期望 E(ξ )= ; 2 随机变量 ξ 的方差 V(ξ )= 9 . 20

12.甲、乙二人进行一次围棋比赛, 约定先胜 3 局者获得这次比赛的胜利,比赛结束.假 设在一局中,甲获胜的概率为 0.6,乙获胜的概率为 0.4,各局比赛结果相互独立.已知 前 2 局中,甲、乙各胜 1 局. (1)求甲获得这次比赛胜利的概率; (2)设 ξ 表示从第 3 局开始到比赛结束所进行的局数, 求 ξ 的概率分布表及数学期望. 解 设 Ai 表示事件:第 i 局甲获胜,i=3,4,5,Bj 表示事件:第 j 局乙获胜,j=3, 4,5. (1)记 B 表示事件:甲获得这次比赛的胜利.因前 2 局中,甲、乙各胜 1 局,故甲获得 这次比赛的胜利当且仅当在后面的比赛中,甲先胜 2 局, 从而 B=A3·A4+B3·A4·A5+A3·B4·A5, 由于各局比赛结果相互独立,故

P(B)=P(A3·A4)+P(B3·A4·A5)+P(A3·B4·A5)
=P(A3)P(A4)+P(B3)P(A4)P(A5)+P(A3)P(B4)P(A5) =0.6×0 .6+0.4×0.6×0.6+0.6×0.4×0.6=0.648. (2)ξ 的可能取值为 2,3. 由于各局比赛结果相互独立,所以

P(ξ =2)=P(A3·A4+B3·B4)
=P(A3·A4)+P(B3·B4) =P(A3)P(A4)+P(B3)P(B4) =0.6×0.6+0.4×0.4=0.52,

P(ξ =3)=1-P(ξ =2)=1-0.52=0.48.
故 ξ 的概率分布表为 ξ 2 0.52 3 0.48

P

E(ξ )=2×P(ξ =2)+3×P(ξ =3)=2×0.52+3×0.48=2.48.
4

13.某车站每天上午发出两班客车,第一班客车在 8:00,8:20,8:40 这三个时刻随机 1 1 1 发出,且在 8:00 发出的概率为 ,8:20 发出的概率为 ,8:40 发出的概率为 ;第 4 2 4 1 二班客车在 9:00,9:20,9:40 这三个时刻随机发出,且在 9:00 发出的概率为 ,9: 4 1 1 20 发出的概率为 ,9:40 发出的概率为 .两班客车发出时刻是相互独立的,一位旅客 2 4 预计 8:10 到站. (1)请预测旅客乘到第一班客车的概率; (2)求旅客候车时间的概率分布; (3)求旅客候车时间的数学期望. 解 (1)第一班若在 8:20 或 8:40 发出,则旅客能乘到,其概率为

P= + = .
(2)旅客候车时间的概率分布为 候车时间(分) 概率 (3)候车时间的数学期望为 1 1 1 1 1 10× +30× +50× +70× +90× 2 4 16 8 16 15 25 35 45 =5+ + + + =30(分钟). 2 8 4 8 故这名旅客候车时间的数学期望是 30 分钟. 14.现有甲、乙两个项目,对甲项目每投资 10 万元,一年后利润是 1.2 万元、1.18 万元、 1 1 1 1.17 万元的概率分别为 、 、 ;已知乙项目的利润与产品价格的调整有关,在每次 6 2 3 调整中,价格下降的概率都是 p(0<p<1),设乙项目产品价格在一年内进行两次独立 的调整.记乙项目产品价格在一年内的下降次数为 X,对乙项目每投资 10 万元,X 取 0、1、2 时,一年后相应利润是 1.3 万元、1.25 万元、0.2 万元.随机变量 X1、X2 分 别表示对甲、乙两项目各投资 10 万元一年后的利润. (1)求 X1,X2 的概率分布和均值 E(X1),E(X2); (2)当 E(X1)<E(X2)时,求 p 的取值范围. 解 (1)X1 的概率分布为 10 1 2 30 1 4 50 1 1 × 4 4 70 1 1 × 4 2 90 1 1 × 4 4

1 1 3 2 4 4

X1

1.2

1.18

1.17

5

P
1 6 1 2 1 3

1 6

1 2

1 3

E(X1)=1.2× +1.18× +1.17× =1.18(万元).
由题设得 X~B(2,p),即 X 的概率分布为

X P
故 X2 的概率分布为

0 (1-p)
2

1 2p(1-p)

2

p2

X2 P
2

1.3 (1-p)
2

1.25 2p(1-p)
2

0.2

p2

所以 E(X2)=1.3×(1-p) +1.25×2p(1-p)+0.2×p =1.3×(1-2p+p )+2.5×(p-p )+0.2×p =-p -0.1p+1.3(万元). (2)由 E(X1)<E(X2),得-p -0.1p+1.3>1.18, 整理得(p+0.4)(p-0.3)<0,解得-0.4<p<0.3. 因为 0<p<1,所以当 E(X1)<E(X2)时,
2 2 2 2 2

p 的取值范围是 0<p<0.3.

6


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