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2015年高考江苏数学卷19题解法探究

时间:2016-04-06


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2015 年高考江苏数学卷 19 题解法探究
朱允洲 (江苏省徐州高等师范学校 ) 题目: 已知函数 ( f x ) =x +ax +b (a, b∈R ) ,
3 2

(1 ) 试讨论 ( f x ) 的单调性; (2 )

若 b=c-a (实数 c 是与 a 无关的常数) , 当函数 ( f x ) 有三个

1≤c≤1, 所以 c=1。 ②当 a<0 时, p (x ) (0 ) =0, p (x ) (- 2a ) = 极大值=p 极小值=p 3
3 3 4a3 , 应有 4a <a-c<0, 即 a<c<a- 4a 恒成立, 坌a ∈ (-∞, -3 ) , 于是 27 27 27

3) 3 a 的取值范围恰好是 (-∞, -3 ) ∪ (1, ∪ (3 , +∞ ) , 不同的零点时, amax<c< (a- 4a ) 即 -3≤c ≤1。 综上, 由 ①② 得 c =1, 经检验 c =1 min, 2 2 27 求 c 的值。 满足题意。 本题考查了函数的零点、 导数的运算、 函数的极值等知识, 涉 法 3: 设函数 ( f x ) =x3+ax2-a+c, 由 f( ′ x ) =0, 得 x=0, 或 x=- 2a , 当 及函数与方程、 数形结合和分类讨论以及化归与转化的数学思想, 3 同时考查了学生对多参数问题的分析处理的能力。下面给出几种 与标准答案不同的解法。 解 (1 ) 略 ) 法 1: 显然, a=0 不合题意。对 ( f x ) 求导, f( ′ x ) =3x2+2ax, 令 (2 f( ′ x ) =0, 得 x=0, 或 x=- 2a , 易知 0, - 2a 是函数的两个极值点, 函 3 3 f x ) 有三个不同的零点 圳( f 0 ) · ( f - 2a ) <0 , 即 (a -c ) (a3- 27 a + 数( 3 4 3) 27 c) >0, 因为此不等式的解集恰好为 (-∞, -3 ) ∪ (1, ∪ (3 , 4 2 2 +∞ ) , 此处求解可有两种思路: ) 思路一 (方程法 方程 (a-c ) (a - 27 a+ 27 c ) =0 的根应为: a=-3, 1, 3 (二重 4 4 2
3

a >0 时, ( f x)极 大 值 = 4a -a +c, ( f x)极 小 值 =c -a; 当 a <0 时, ( f x)极 小 值 = 27
3 4a3 -a+c, ( f x) (a ) = 4a -a, 易知其图象关于原点对 极大值 =c-a。令 h 27 27

3

称 (如图) , 且h (3 ) =-1, h ( 3姨 3 ) =0。 将 h (a ) 的图象上下平移 2 2 有: c 个单位,
y 2

h (a ) = 4a - a 27 3 2


O -1 -2

3姨 3 a 2

23 , 3 , 根) , 将它们带入方程得: c =-3, 1, 经检验只有 c =1 时, 上 2 27 3 。 述方程的解为: -3, 1, 2 思路二 (待定系数法 ) 3) 2 ( a-1 ) (a+3 ) >0 的解集为 (-∞, -3 ) ∪ (1, 因为不等式 (a- 3 ) 2 2

当 c>0 时, {a h (a ) >0 , a >0 } 奂 {a h (a ) +c>0, a >0 } , {a h (a ) +c<0, a <0 } 奂 {a h (a ) <0 , a <0 } {a h (a ) <0 , a <0 } 奂 {a h (a ) +c<0, a <0 } f x) 有三个零点等价于 [h (a ) +c] · (c-a ) <0。考虑 a<0 情 函数 ( (* ) {a h (a ) +c>0, a >0 } 奂 {a h (a ) >0 , a >0 } 当 c<0 时,

2 3 ∪ (3 , +∞ ) , 所以 (a-c ) (a3- 27 a+ 27 c ) = (a- 3 ) ( a-1 ) (a+3 ) , 解得 况, 由h (a ) <0 得: a∈ (-∞, - 3姨 3 ) , 而h (a ) +c = 4a -a+c <0 的解 2 4 4 2 2 27 c=1。 集为 (-∞, -3 ) (** ) , 由 (* ) 式知由 h (a ) 向上平移 c 个单位, 同时 c 当 c =1 时, ( f x ) =x3+ax2+1-a = (x +1 )圳 , 因( f x ) x2+ (a-1 ) x+1-a 圳 3 a>0。 由 (** ) 式知-3 为方程 4a -a+c=0 的根, 得 c=1, 将 c=1 带入原 (a-1 ) x+1-a=0 有两个异于-1 的根, 于是 有三个不同的零点, 故 x2+ 27

由 Δ>0 及 1+ (a-1 ) (-1 ) +1-a≠0,得 a 的取值范围 (-∞, -3 ) ∪ (1, 函数 ( f x) 检验符合题意。 3) ∪ (3 , +∞ ) 。综上, c=1。 2 2 法 2: 由 x3+ax2+1-a=0, 得 x3+ax2=a-c, 令p (x ) =x3+ax2, q (x ) =a注: 1.由 h (a ) 图象平移的对称性知: 当函数 ( f x) 有三个不同的零

若 a∈ (-∞, -3) ∪ (- 3 , -1 ) ∪ (3, +∞ ) , 则 c=-1; 特别地, 若 c, 函数 ( f x ) 有三个不同的零点, 等价转化为两函数 p (x ) 与q (x ) 的 点时, 2 2 图象有三个不同的交点。 p( ′ x ) =3x2+2ax, 令 p( ′ x ) =0 , 得 x=0, 或 x=2a , 且易知其为 p (x) 的两个极值点, ① 当 a > 0 时, p (x) 极大 值 =p 3 (- 2a ) =- 4a , p (x) (0 ) =0, 应有 0<a-c< 4a , 即 a- 4a <c< 极小值 =p 3 27 27 27
3 3) a 恒成立, 坌a ∈ (1, ∪ (3 , +∞) , 于是 (a - 4a ) 即 max < c < amin, 2 2 27 3 3 3

a∈ (-∞, - 3姨 3 ) ∪ ( 3姨 3 , +∞ ) , 则 c=0; 2 2 2. 若函数 ( f x)有三个不同的零点, 将h (a ) 的图象向上平移 个单位与向下平移个单位, 则 a 的取值范围关于原点 c (c > 0) 对称。

誗编辑

段丽君

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