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2016高考数学二轮复习微专题强化练习题:27转化与化归思想、数形结合思想


第一部分



27

一、选择题 1.已知 f(x)=2x,则函数 y=f(|x-1|)的图象为( )

[答案] D [解析] 法一:f(|x-1|)=2|x 1|.


当 x=0 时,y=2.可排除 A、C. 当 x=-1 时,y=4.可排除 B. 法二:y=

2x→y=2|x|→y=2|x 1|,经过图象的对称、平移可得到所求.


[方法点拨] 1.函数图象部分的复习应该解决好画图、识图、用图三个基本问题,即对 函数图象的掌握有三方面的要求: ①会画各种简单函数的图象; ②能依据函数的图象判断相应函数的性质; ③能用数形结合的思想以图辅助解题. 2.作图、识图、用图技巧 (1)作图:常用描点法和图象变换法.图象变换法常用的有平移变换、伸缩变换和对称 变换. 描绘函数图象时,要从函数性质入手,抓住关键点(图象最高点、最低点、与坐标轴的 交点等)和对称性进行. (2)识图:从图象与轴的交点及左、右、上、下分布范围、变化趋势、对称性等方面找 准解析式与图象的对应关系. (3)用图:图象形象地显示了函数的性质,因此,函数性质的确定与应用及一些方程、 不等式的求解常与图象结合研究. 3.利用基本函数图象的变换作图 ①平移变换: y=f(x)h<0,左移 ― ― → y=f(x-h), |h|个单位 y=f(x)k<0,下移 ― ― → y=f(x)+k. |k|个单位 ②伸缩变换: y=f(x)错误!y=f(ωx),
k>0,上移|k|个单位 h>0,右移|h|个单位

y=f(x)

0<A<1,纵坐标缩短到原来的A倍 A>1,纵坐标伸长到原来的A倍

― ― →

y=Af(x).

③对称变换: y=f(x) ― ― → y=-f(x), y=f(x) ― ― → y=f(-x), y=f(x)
关于直线x=a对称 关于y轴对称 关于x轴对称

― ― →

y=f(2a-x),

y=f(x) ― ― → y=-f(-x).
? ?a,a-b≤1 2. (文)(2014· 哈三中二模)对实数 a 和 b, 定义运算“*”: a*b=? , 设函数 f(x) ? ?b,a-b>1

关于原点对称

=(x2+1)*(x+2),若函数 y=f(x)-c 的图象与 x 轴恰有两个公共点,则实数 c 的取值范围是 ( ) A.(2,4]∪(5,+∞) C.(-∞,1)∪(4,5] [答案] B [解析] 由 a*b 的定义知,当 x2+1-(x+2)=x2-x-1≤1 时,即-1≤x≤2 时,f(x)= x2+1;当 x<-1 或 x>2 时,f(x)=x+2,∵y=f(x)-c 的图象与 x 轴恰有两个公共点,∴方
2 ? ?x +1 ?-1≤x≤2?, 程 f(x)-c=0 恰有两不同实根, 即 y=c 与 y=? 的图象恰有两个交点, ?x+2 ?x<-1或x>2?, ?

B.(1,2]∪(4,5] D.[1,2]

数形结合易得 1<c≤2 或 4<c≤5.

[方法点拨] 关于函数零点的综合题,常常将幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、 二次函数揉合在一起组成一个大题, 零点作为其条件的构成部分或结论之一, 解题时主要依 据题目特点:①分离参数,将参数的取值范围转化为求函数的值域;②数形结合,利用图象 的交点个数对参数取值的影响来讨论;③构造函数,借助于导数来研究. (理)已知 f(x)是定义在(-3,3)上的奇函数,当 0<x<3 时,f(x)的图象如图所示,那么不等 式 f(x)cosx<0 的解集是( )

π π A.(-3,- )∪(0,1)∪( ,3) 2 2 C.(-3,-1)∪(0,1)∪(1,3) [答案] B [分析]

π π B.(- ,-1)∪(0,1)∪( ,3) 2 2 π D.(-3,- )∪(0,1)∪(1,3) 2

由奇函数图象的对称性可画出 f(x)的图象,不等式 f(x)· cosx<0 可等价转化为

?f?x?>0 ?f?x?<0 ? 或? ,结合图形可得出解集. ?cosx<0 ?cosx>0 ? ? ?f?x?>0, ?f?x?<0, [解析] 不等式 f(x)cosx<0 等价于? 或? ?cosx>0. ?cosx<0, ? ?

画出 f(x)在(-3,3)上的图象,cosx 的图象又熟知,运用数形结合,如图所示,从“形” π π 中找出图象分别在 x 轴上、下部分的对应“数”的区间为(- ,-1)∪(0,1)∪( ,3). 2 2

3 3. (文)已知 an= , 数列{an}的前 n 项和为 Sn, 关于 an 及 Sn 的叙述正确的是( 2n-11 A.an 与 Sn 都有最大值 C.an 与 Sn 都有最小值 [答案] C 3 [解析] 画出 an= 的图象, 2n-11 B.an 与 Sn 都没有最大值 D.an 与 Sn 都没有最小值

)

点(n,an)为函数 y= a6 最大

3 11 图象上的一群孤立点,( ,0)为对称中心,S5 最小,a5 最小, 2 2x-11

(理)(2015· 安徽理,9)函数 f(x)=

ax+b 的图象如图所示,则下列结论成立的是( ?x+c?2

)

A.a>0,b>0,c<0 C.a<0,b>0,c<0 [答案] C [解析] 考查函数的图象与应用.

B.a<0,b>0,c>0 D.a<0,b<0,c<0

ax+b b 由 f(x)= 及图象可知,x≠-c, -c>0, 则 c<0; 当 x=0 时,f(0)= 2>0, 所以 b>0; c ?x+c?2 b 当 y=0,ax+b=0,所以 x=- >0,所以 a<0.故 a<0,b>0,c<0,选 C. a [方法点拨] 1.给出解析式判断函数图象的题目,一般借助于平移、伸缩、对称变换, 结合特殊点(与坐标轴的交点、最高(低)点、两图象的交点等)作出判断. 2.由函数图象求解析式或求解析式中的参数值(或取值范围)时,应注意观察图象的单 调性、对称性、特殊点、渐近线等然后作出判断. 3.数形结合的途径 (1)通过坐标系“形”题“数”解 借助于建立直角坐标系、 复平面可以将图形问题代数化. 在高考中主要以解析几何作为 知识载体来考查.值得强调的是,“形”“题”“数”解时,通过辅助角引入三角函数也是 常常运用的技巧(这是因为三角公式的使用,可以大大缩短代数推理). 实现数形结合,常与以下内容有关:①实数与数轴上的点的对应关系;②函数与图象的 对应关系;③曲线与方程的对应关系;④以几何元素和几何条件为背景,建立起来的概念, 如复数、三角函数等;⑤所给的等式或代数式的结构含有明显的几何意义.如等式(x-2)2 +(y-1)2=4. (2)通过转化构造“数”题“形”解 许多代数结构都有着对应的几何意义,据此,可以将数与形进行巧妙地转化.例如,将 a>0 与距离互化,将 a2 与面积互化,将 a2+b2+ab=a2+b2-2|a||b|cosθ(θ=60° )与余弦定理 沟通,将 a≥b≥c>0 且 b+c>a 中的 a、b、c 与三角形的三边沟通,将有序实数对(或复数) 和点沟通,将二元一次方程与直线对应,将二元二次方程与相应的圆锥曲线对应等等.这种 代数结构向几何结构的转化常常表现为构造一个图形(平面的或立体的).另外,函数的图象 也是实现数形转化的有效工具之一, 正是基于此, 函数思想和数形结合思想经常相伴而充分 地发挥作用. 4.(文)已知函数 f(x)满足下面关系:①f(x+1)=f(x-1);②当 x∈[-1,1]时,f(x)=x2, 则方程 f(x)=lgx 解的个数是( A.5 C.9 [答案] C [分析] 由 f(x+1)=f(x-1)可知 f(x)为周期函数, 结合 f(x)在[-1,1]上的解析式可画出 f(x) ) B .7 D.10

的图象,方程 f(x)=lgx 的解的个数就是函数 y=f(x)与 y=lgx 的图象的交点个数. [解析] 由题意可知,f(x)是以 2 为周期,值域为[0,1]的函数. 由方程 f(x)=lgx 知 x∈(0,10]时方程有解,画出两函数 y=f(x)与 y=lgx 的图象,则交点 个数即为解的个数.又∵lg10=1,故当 x>10 时,无交点.∴由图象可知共 9 个交点.

[方法点拨] 数形结合在函数、方程、不等式中的应用 (1)用函数的图象讨论方程(特别是含参数的指数、对数、根式、三角等复杂方程)的解的 个数是一种重要的解题思路, 其基本思想是先把方程两边的代数式看作是两个熟悉函数的表 达式(不熟悉时,需要作适当变形转化为两熟悉的函数),然后在同一坐标系中作出两个函数 的图象,图象的交点个数即为方程解的个数. (2)解不等式问题经常联系函数的图象,根据不等式中量的特点,选择适当的两个(或多 个)函数,利用两个函数图象的上、下位置关系转化数量关系来解决不等式的解的问题,往 往可以避免繁琐的运算,获得简捷的解答. (3)函数的单调性经常联系函数图象的升、降;奇偶性经常联系函数图象的对称性;最 值(值域)经常联系函数图象的最高、最低点的纵坐标. 1 1 (理)已知 m、n 是三次函数 f(x)= x3+ ax2+2bx(a、b∈R)的两个极值点,且 m∈(0,1), 3 2 b+3 n∈(1,2),则 的取值范围是( a+2 2 A.(-∞, )∪(1,+∞) 5 2 B.( ,1) 5 C.(-4,3) D.(-∞,-4)∪(3,+∞) [答案] D [解析] f ′(x)=x2+ax+2b, f ′?0?>0, ? ? 由题意知?f ′?1?<0, ? ?f ′?2?>0, b>0, ? ? ∴?a+2b+1<0, ? ?a+b+2>0. )

(*)

b+3 表示不等式组(*)表示的平面区域内的点与点(-2,-3)连线的斜率,由图形易知选 a+2 D. 5.(文)直线 x+ 3y-m=0 与圆 x2+y2=1 在第一象限内有两个不同的交点,则 m 的取

值范围是(

) B. 3<m<3 D. 3<m<2

A.1<m<2 C.1<m< 3 [答案] D

[分析] 动直线 x+ 3y-m=0 是一族平行直线,直线与圆在第一象限内有两个不同交 点,可通过画图观察找出临界点,求出 m 的取值范围. [解析] 直线斜率为定值 k=- |m| =1, 2 3 .如图,平移直线到过点 A(0,1)时,m= 3,到相切时, 3

∴m=2,∴ 3<m<2. (理)若直线 y=x+b 与曲线 y=3- 4x-x2有公共点,则 b 的取值范围是( A.[1-2 2,1+2 2] C.[-1,1+2 2] [答案] D [解析] 本题考查了直线与圆的位置关系问题, 考查数形结合 思想的应用.曲线 y=3- 4x-x2对应的图象如图所示,为圆(x- 2)2+(y-3)2=4 的下半圆, 若直线 y=x+b 与此半圆相切, 则可得 |2-3+b| 2= ,解得 b=1-2 2,当且仅当 b∈[1-2 2,3]时,直 2 线与半圆有公共点,故应选 D. [点评] 对于曲线 y=3- 4x-x2,在转化过程中易被看作是一个完整的圆而致误. [方法点拨] 数形结合法在解析几何中的应用 数形结合包括“以形助数”和“以数辅形”两个方面,其应用大致可以分为两种情形: 一是借助形的生动性和直观性来阐明数之间的联系,即以形作为手段,数作为目的,比如应 用函数的图象来直观地说明函数的性质; 二是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某 些属性,即以数作为手段,形作为目的,如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质. 解析几何中, 常利用一些表达式的几何意义用图形直观助解. 或将几何问题转化为方程 B.[1- 2,3] D.[1-2 2,3] )

或函数问题求解.解析几何是数形结合的典范. → AB → → 6. O 是平面上一定点, A、 B、 C 是平面上不共线的三个点, 动点 P 满足OP=OA+λ( → |AB| → AC + ),λ∈[0,+∞),则点 P 的轨迹一定通过△ABC 的( → |AC| A.外心 C.重心 [答案] B → → → AB → AB AC [分析] 因为 是AB的单位向量,故 λ( + )对应向量若以 A 为起点,则终点在 → → → |AB| |AB| |AC| → → → ∠BAC 的平分线上,结合OP-OA=AP可知点 P 的轨迹. → → → → AB AC AB AC → [解析] 如图所示,易知AP=λ( + ),而 与 是单位向量,故点 P 在∠BAC → → → → |AB| |AC| |AB| |AC| 的平分线上,所以点 P 的轨迹通过△ABC 的内心,应选 B. B.内心 D.垂心 )

[方法点拨] 数形结合法在三角函数、平面向量、复数等知识中的应用 三角函数的图象、平面向量都是天然的数形结合点和数形结合的工具. 7.(文)已知点 P 在抛物线 x2=-2y 上,抛物线的焦点为 F,则点 P 到点 Q(-1,-2) 与点 F 距离之和的最小值为( A.2 5 C. 2 [答案] C [解析] 过 P 向抛物线的准线作垂线 PP′, 垂足为 P′, 由抛物线的定义知|PF|=|PP′|, 5 因此当 P,Q,P′三点共线时,即 P 为 P1 点时,|PP′|+|PQ|取到最小值|P1′Q|= . 2 (理)设直线 x=t 与函数 f(x)=x2,g(x)=lnx 的图象分别交于点 M、N,则当|MN|达到最小 时 t 的值为( ) ) 3 B. 2 D.3

A.1 C. 5 2

1 B. 2 D. 2 2

[答案] D [解析] 在同一坐标系中画出函数 f(x)=x2 与 g(x)=lnx 的图象如图,作直线 x=t,由题 1 2 意知 t>0,则|MN|=t2-lnt,令 y=t2-lnt(t>0),则 y′=2t- ,由 y′>0 得 t> ,由 y′<0 t 2 得 0<t< 2 2 2 2 ,∴y=t2-lnt 在(0, )上单调递减,在( ,+∞)上单调递增,故 t= 时,y 2 2 2 2 2 时,|MN|取最小值. 2

取最小值,即 t=

?g?x?+x+4,x<g?x? ? 8.(文)设函数 g(x)=x2-2(x∈R),f(x)=? ,则 f(x)的值域是( ? ?g?x?-x,x≥g?x?

)

9 ? A.? ?-4,0?∪(1,+∞) 9 ? C.? ?-4,+∞? [答案] D [解析] 由题意知
2 ? ?x +x+2,x<g?x?, f(x)=? 2 ?x -x-2,x≥g?x?, ?

B.[0,+∞) 9 ? D.? ?-4,0?∪(2,+∞)

2 ? ?x +x+2,x∈?-∞,-1?∪?2,+∞?, =? 2 ?x -x-2,x∈[-1,2], ?

? ?? ?x+2? +4,x∈?-∞,-1?∪?2,+∞?, =? 1 9 x- ? - ,x∈[-1,2]. ?? ? 2? 4
2 2

1

7

所以结合图形,可得当 x∈(-∞,-1)∪(2,+∞)时,f(x)的值域为(2,+∞);当 x∈[- 9 - ,0?.故选 D. 1,2]时,f(x)的值域为? ? 4 ?
? ?a,a-b≤1, (理)对实数 a 和 b, 定义运算“?”: a?b=? 设函数 f(x)=(x2-2)?(x-x2), ?b,a-b>1, ?

x∈R,若函数 y=f(x)-c 的图象与 x 轴恰有两个公共点,则实数 c 的取值范围是( 3 A.(-∞,2]∪(-1, ) 2 1 1 C.(-1, )∪( ,+∞) 4 4 [答案] B 3 B.(-∞,-2]∪(-1,- ) 4 3 1 D.(-1,- )∪[ ,+∞) 4 4

)

[解析]

?x -2?-1≤x≤2?, 由已知得 f(x)=? 3 ?x-x ?x<-1或x>2?,
2 2

3

如图,要使 y=f(x)-c 与 x 轴恰有两个公共点, 3 则-1<c<- 或 c≤-2,应选 B. 4

[点评] 本小题考查分段函数及函数图象与 x 轴的交点及平移等基础知识,考查理解和 处理新信息的创新能力及数形结合思想的应用,难度较大. 1 9.函数 y= 的图象与函数 y=2sinπx(-2≤x≤4)的图象所有交点的横坐标之和等于 1-x

(

) A.2 C.6 [答案] D [解析] 依题意:两函数的图象如图所示: B .4 D.8

由两函数的对称性可知:交点 A1,A2,A3,A4,A5,A6,A7,A8 的横坐标满足 x1+x8 =2,x2+x7=2,x3+x6=2,x4+x5=2,即 x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7+x8=8,故选 D. 1 ? x 10.(文)函数 f(x)=-4log2 · log24x 在区间? ?8,4?上的最大值等于( 8 A.-24 C.25 [答案] C [解析] 设 log2x=t,则 t∈[-3,2], 故函数 f(x)可转化为 y=g(t)=-4(t-3)(t+2) 1 =-4t2+4t+24=-4(t- )2+25, 2 1 因为 t∈[-3,2],所以当 t= 时,函数 g(t)取得最大值为 25.故选 C. 2 [方法点拨] 1.化归的原则 (1)目标简单化原则,即复杂的问题向简单的问题转化;(2)和谐统一性原则,即化归应 朝着待解决的问题在表现形式上趋于和谐,在量、形、关系上趋于统一的方向进行,使问题 的条件和结论更均匀和恰当;(3)具体化原则,即化归方向应由抽象到具体;(4)低层次原则, 即将高维空间问题化归成低维空间问题.基于上述原则,化归就有一定的策略.我们在应用 化归方法时,应“有章可循,有法可依”通常可以从以下几个方面去考虑: (1)抽象问题向具体问题化归; (2)一般问题向特殊问题化归; (3)正向思维向逆向思维化归; (4)命题向等价命题化归. 2.转化与化归的常见方法 (1)直接转化法:把原问题直接转化为基本定理、基本公式或基本图形问题. B.16 D.24 )

(2)换元法:运用“换元”把超越式转化为有理式或使整式降幂等,把较复杂的函数、 方程、不等式问题转化为易于解决的基本问题. (3)数形结合法:研究原问题中数量关系(解析式)与空间形式(图形)关系,通过互相变换 获得转化途径. (4)参数法:引进参数,使原问题的变换具有灵活性,易于转化. (5)构造法:“构造”一个合适的数学模型,把问题变为易于解决的问题. (6)坐标法:以坐标系为工具,用计算方法解决几何问题,是转化方法的一个重要途径. (7)类比法:运用类比推理,猜测问题的结论,易于确定转化途径. (8)特殊化方法:把原问题的形式向特殊化形式转化,并证明特殊化后的结论适合原问 题. (9)一般化方法:若原问题是某个一般化形式问题的特殊形式且又较难解决,可将问题 通过一般化的途径进行转化. (10)等价命题法:把原问题转化为一个熟悉的或易于解决的等价命题,达到转化目的. (11)补集法:如果正面解决原问题有困难,可把原问题结果看作集合 A,而把包含该问 题的整体问题的结果类比为全集 U,通过解决全集 U 及补集?UA 获得原问题的解决. 以上所列的一些方法有些是互相交叉的,不能截然分割,只能说在哪一方面有所侧重. (理)已知集合 A={a|?x∈R,4x-a· 2x 1+1>0},B={a|?x∈R,a· sinx+ 3cosx<-2},


则 A∩B 等于( A.{a|a<-1} C.{a|a≠1} [答案] A [解析] 1 1 )≥ ×2 2x 2

) B.{a|a<1} D.{a|a<-1 或 a>1}

4x+1 1 x 1 1 由已知条件可得不等式 a< x+1 = (2 + x)对任意的 x∈R 恒成立,由 (2x+ 2 2 2 2 1 2x× x=1 可得 a<1,即 A={a|a<1};又由不等式 asinx+ 3cosx= a2+3sin(x 2

+φ)<-2 有解, 可得- a2+3<-2, 解得 a>1 或 a<-1, 即得 B={a|a>1 或 a<-1}, 则 A∩B ={a|a<-1},故应选 A. 二、填空题 11.已知等差数列{an}的公差 d≠0,且 a1、a3、a9 成等比数列,则 ________. [分析] 利用满足条件的具体数列代入求值. [答案] 13 16 a1+a3+a9 的值是 a2+a4+a10

[解析] 由题意知,只要满足 a1、a3、a9 成等比数列的条件,{an}取何种等差数列与所

求代数式的值是没有关系的.因此,可把抽象数列化归为具体数列.比如,可选取数列 an =n(n∈N*),则 a1+a3+a9 1+3+9 13 = = . a2+a4+a10 2+4+10 16

[方法点拨] 抽象问题具体化、复杂问题简单化的化归思想 (1)本题如果从已知条件 a2 a9?(a1+2d)2=a1(a1+8d),解得 a1 与 d 的关系后,代入 3=a1· a1+a3+a9 a1+?a1+2d?+?a1+8d? 所求式子: = ,也能求解,但计算较繁琐,易错.因 a2+a4+a10 ?a1+d?+?a1+3d?+?a1+9d? 此,把抽象数列转化为具体的简单的数列进行分析,可以很快得到答案. (2)对于某个在一般情况下成立的结论或恒成立问题,可运用一般与特殊相互转化的化 归思想,将一般性问题特殊化、具体化,使问题变得简便. 三、解答题 12.如图所示,在四棱锥 S-ABCD 中,底面 ABCD 是菱形,SA⊥平面 ABCD,M、N 分别为 SA、CD 的中点.

(1)证明:直线 MN∥平面 SBC; (2)证明:平面 SBD⊥平面 SAC. [解析] (1)如图所示,取 SB 中点 E,连接 ME,CE.

因为 M 为 SA 的中点, 1 故 ME∥AB,且 ME= AB. 2 因为 N 为菱形 ABCD 中边 CD 的中点, 1 故 CN 綊 AB,ME 綊 CN,所以四边形 MECN 是平行四边形,即 MN∥EC. 2 又因为 EC?平面 SBC,MN?平面 SBC, 所以直线 MN∥平面 SBC. (2)连接 AC,BD,相交于点 O. 因为 SA⊥底面 ABCD,故 SA⊥BD. 因为四边形 ABCD 是菱形, 所以 AC⊥BD.

又因为 SA∩AC=A,故 BD⊥平面 SAC. 又因为 BD?平面 SBD, 所以平面 SBD⊥平面 SAC. [方法点拨] 1.转化与化归思想 转化与化归的基本内涵是:人们在解决数学问题时,常常将待解决的问题 A,通过某种 转化手段, 归结为另一问题 B, 而问题 B 是相对较容易解决的或已经有固定解决模式的问题, 且通过问题 B 的解决可以得到原问题 A 的解.用框图可直观地表示为:

其中问题 B 称为化归目标或方向,转化的手段称为化归策略.化归思想有着坚实的客 观基础,它着眼于揭示联系,实现转化,通过矛盾转化解决问题. 2.立体几何中的沿表面最短距离问题一般都转化为侧面展开图中两点间距离或点到直 线的距离求解. 3.立体几何问题要注意利用线线、线面、面面平行与垂直的相互转化探寻解题思路, 对于不易观察的空间图形可部分地画出其平面图形. 利用线面位置关系的判定与性质定理将 空间问题向平面转化. 4.立体几何中常采用等体积法将求距离问题转化为体积的计算问题. 5.熟悉化原则,对于比较生疏的问题,要善于展开联想与想象,寻找学过知识中与其 相近、相似或有联系的内容,探求切入点. π 13.已知奇函数 f(x)的定义域为实数集 R,且 f(x)在 [0,+∞)上是增函数.当 0≤θ≤ 2 π 时, 是否存在这样的实数 m, 使 f(cos2θ-3)+f(4m-2mcosθ)>f(0)对所有的 θ∈[0, ]均成立? 2 若存在,求出所有适合条件的实数 m;若不存在,则说明理由. [解析] 由 f(x)是 R 上的奇函数可得 f(0)=0. 又在[0,+∞)上是增函数, 故 f(x)在 R 上为增函数. 由题设条件可得 f(cos2θ-3)+f(4m-2mcosθ)>0. 又由 f(x)为奇函数,可得 f(cos2θ-3)>f(2mcosθ-4m). ∵f(x)是 R 上的增函数,∴cos2θ-3>2mcosθ-4m, 即 cos2θ-mcosθ+2m-2>0.

π 令 cosθ=t,∵0≤θ≤ ,∴0≤t≤1. 2 于是问题转化为对一切 0≤t≤1, 不等式 t2-mt+2m-2>0 恒成立. t2-2 ∴t2-2>m(t-2),即 m> 恒成立. t-2 t2-2 2 又∵ =(t-2)+ +4≤4-2 2,(当且仅当 t=2- 2时取等号),∴m>4-2 2. t-2 t-2 ∴存在实数 m 满足题设的条件,m>4-2 2 14.试求常数 m 的范围,使曲线 y=x2 的所有弦都不能被直线 y=m(x-3)垂直平分. [分析] 正面解决较难,考虑到“不能”的反面是“能”,被直线垂直平分的弦的两端 点关于此直线对称,于是问题转化为“抛物线 y=x2 上存在两点关于直线 y=m· (x-3)对称, 求 m 的取值范围”,再求出 m 的取值集合的补集即为原问题的解. [解析] 先求 m 的取值范围,使抛物线 y=x2 上存在两点关于直线 y=m(x-3)对称.
2 由题意知 m≠0,∴设抛物线上两点(x1,x2 1),(x2,x2)关于直线 y=m(x-3)对称,于是有

?2?x +x ?=m[2?x +x ?-3], ?x -x 1 ?x -x =-m,
2 1 2 2 1 2 2 1 2 2 2 1

1

1

x +x =m?x1+x2-6?, ? ?1 2 所以? 1 x1+x2=- , ? m ? 2 1 2 消去 x2 得 2x1 + x1+ 2+6m+1=0. m m 因为存在 x1∈R 使上式恒成立, 2 1 所以 Δ=( )2-4×2×( 2+6m+1)>0. m m 即 12m3+2m2+1<0, 也即(2m+1)(6m2-2m+1)<0. 因为 6m2-2m+1>0 恒成立,所以 2m+1<0, 1 所以 m<- . 2 1 即当 m<- 时,抛物线上存在两点关于直线 2 1 y=m(x-3)对称,所以当 m≥- 时,曲线 y=x2 的所有弦都不能被直线 y=m(x-3)垂直 2 平分. [方法点拨] 正难则反、逆向思维的化归思想

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(1)正面思考问题一时无从着手,遇到困难时,可正难则反,逆向思维,即考虑问题的 反面,用补集思想去探索研究. (2)在运用补集的思想解题时,一定要搞清结论的反面是什么,“所有弦都不能被直线 y =m(x-3)垂直平分”的反面是“至少存在一条弦能被直线 y=m(x-3)垂直平分”,而不是 “所有的弦都能被直线 y=m(x-3)垂直平分”. (3)反证法也是正难则反的转化思想的体现. 15.(文)(2014· 沈阳市质检)投掷质地均匀的红、蓝两颗骰子,观察出现的点数,并记红
? ?x+2y=2 色骰子出现的点数为 m,蓝色骰子出现的点数为 n.试就方程组? 解答下面问题. ?mx+ny=3 ?

(1)求方程组只有一个解的概率; (2)求方程组只有正数解的概率. [解析] (1)方程组只有一解,则 n≠2m 6 5 4 3 2 1 n m √ √ √ √ × √ 1 √ √ × √ √ √ 2 × √ √ √ √ √ 3 √ √ √ √ √ √ 4 √ √ √ √ √ √ 5 √ √ √ √ √ √ 6

由上表可知方程组只有一个解的概率 36-3 11 P= = . 36 12 2?3-n? x= ? ? 2m-n , 解得? 2m-3 ? ?y=2m-n.

? ?x+2y=2, (2)由方程组? ?mx+ny=3, ?

2?3-n? ? ? 2m-n >0, 若要方程组只有正解,则需? 2m-3 ?2m-n>0. ? 6 5 4 3 √ √ √ × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × ×

2 1 n m

× × 1

√ √ 2

√ √ 3

√ √ 4

√ √ 5

√ √ 6

13 由上表得可知方程组只有正解的概率 P= . 36 (理)已知正项数列{an}满足 4Sn=(an+1)2. (1)求数列{an}的通项公式; 1 (2)设 bn= ,求数列{bn}的前 n 项和 Tn. anan+1 [解析] (1)∵4Sn=(an+1)2, ∴4Sn-1=(an-1+1)2(n≥2), 相减得 an-an-1=2,又 4a1=(a1+1)2, ∴a1=1,∴an=2n-1. 1 (2)由(1)知,bn= ?2n-1??2n+1? 1 1 1 = ( - ). 2 2n-1 2n+1 1 1 1 1 1 1 n 所以 Tn=b1+b2+?+bn= [(1- )+( - )+?+( - )]= . 2 3 3 5 2n-1 2n+1 2n+1 [方法点拨] 给出数列的递推关系求数列的通项、前 n 项和等一般要化归为基本数列; 数列通项或前 n 项和中含有参数研究数列的单调性及最大(小)项等问题常常要分类讨论;给 出某项或项的关系式或给出前 n 项和的关系等,常借助公式、性质列方程求解.


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