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江苏省淮安市淮海中学2016届高三上学期11月月考数学试卷(文科)

时间:2016-07-13


2015-2016 学年江苏省淮安市淮海中学高三(上)11 月月考数学 试卷
一、填空题(本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.不需要写出解答过程,请把答案 写在答题纸的指定位置上) 2 1.已知集合 A={x|x ﹣2x=0},B={0,1,2},则 A∩B=__________. 2.复数 z=(1﹣2i) +i 的实部为__________. 3.某

大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向,拟采用分层抽样的方向,从 该校四个年级的本科生中抽取一个容量为 300 的样本进行调查,已知该校一年级、二年级、 三年级、四年级的本科生人数之比为 4:5:5:6,则应从一年级本科生中抽取__________ 名学生. 4. 从 1, 2, 3, 4 这 4 个数中一次随机地取 2 个数, 则所取 2 个数和为 5 的概率是__________.
2

5.函数 __________.

的图象中,离坐标原点最近的一条对称轴的方程为

6.如图是一个算法的流程图,若输入 x 的值为 2,则输出 y 的值为__________.

7.等比数列{an}的公比大于 1,a5﹣a1=15,a4﹣a2=6,则 a3=__________.
2 2

8.在平面直角坐标系中,直线 x﹣

=0 被圆 x +y =4 截得的弦长为__________.

9.一个圆柱和一个圆锥同底等高,若圆锥的侧面积是其底面积的 2 倍,则圆柱的侧面积是 其底面积的__________倍.

10.已知点 P(1,m)是函数 y=ax+ 图象上的点,直线 x+y=b 是该函数图象在 P 点处的切 线,则 a+b﹣m=__________.

11.设 P 为△ ABC 中线 AD 的中点,D 为边 BC 中点,且 AD=2,若 =__________.

,则

12.已知函数 y=a +b(b>0)的图象经过点 P(1,3) ,如图所示,则 __________.

x

+ 的最小值为

13.已知函数 f(x)=x|x﹣2|,则不等式

的解集为__________.

14.已知 f(x)是定义在[1,+∞]上的函数,且 f(x)= y=2xf(x)﹣3 在区间(1,2015)上零点的个数为__________.

,则函数

二、解答题(本大题共 6 小题,共 90 分.解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步 骤,请把答案写在答题纸的指定区域内) 15. (14 分)已知 α∈( (1)求 (2)求 ,π) ,tanα=﹣2 的值; 的值.

16. (14 分)如图,在直三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,AC⊥BC,CC1=4,M 是棱 CC1 上的一 点.

(1)求证:BC⊥AM; (2)若 N 是 AB 的中点,求证 CN∥平面 AB1M.

17. (14 分)设椭圆

=1(a>b>0)的左焦点为 F,短轴上端点为 B,连接 BF 并延

长交椭圆于点 A,连接 AO 并延长交椭圆于点 D,过 B、F、O 三点的圆的圆心为 C. (1)若 C 的坐标为(﹣1,1) ,求椭圆方程和圆 C 的方程; (2)若 AD 为圆 C 的切线,求椭圆的离心率. 18. (16 分)为丰富市民的文化生活,市政府计划在一块半径为 200m,圆心角为 120°的扇 形地上建造市民广场.规划设计如图:内接梯形 ABCD 区域为运动休闲区,其中 A,B 分 别在半径 OP,OQ 上,C,D 在圆弧 上,CD∥AB;△ OAB 区域为文化展示区,AB 长为

m;其余空地为绿化区域,且 CD 长不得超过 200m. (1)试确定 A,B 的位置,使△ OAB 的周长最大? (2)当△ OAB 的周长最大时,设∠DOC=2θ,试将运动休闲 区 ABCD 的面积 S 表示为 θ 的函数,并求出 S 的最大值.

19. (16 分)若函数 y=f(x)在 x=x0 处取得极大值或极小值,则称 x0 为函数 y=f(x)的极 3 值点.已知函数 f(x)=ax +3xlnx﹣1(a∈R) . (1)当 a=0 时,求 f(x)的极值; (2)若 f(x)在区间( ,e)上有且只有一个极值点,求实数 a 的取值范围. 20. (16 分)已知数列{an}中 a1=1,在 a1、a2 之间插入 1 个数,在 a2、a3 之间插入 2 个数, 在 a3、a4 之间插入 3 个数,…,在 an、an+1 之间插入 n 个数,使得所有插入的数和原数列{an} 中的所有项按原有位置顺序构成一个正项等差数列{bn}.

(1)若 a4=19,求{bn}的通项公式; (2)设数列{bn}的前 n 项和为 Sn,且满足 公式. =bn+μ(λ、μ 为常数) ,求{an}的通项

【选做题】本题包括 A,B,C,D 四小题,请选定其中两题,并在相应的答题区域内作答, 若多做, 则按作答的前两题评分.解答时应写出文字说明、 证明过程或演算步骤.A. (选修 4-1: 几何证明选讲) (本小题满分 0 分) 21.已知 AB 是圆 O 的直径,P 是上半圆上的任意一点,PC 是∠APB 的平分线,E 是下半 圆的中点. 求证:直线 PC 经过点 E.

B.(选修 4-2:矩阵与变换) (本小题满分 0 分)

22. (选修 4﹣2:矩阵与变换)设 M= 下的曲线方程.

,N=

,试求曲线 y=sinx 在矩阵 MN 变换

C.(选修 4-4:坐标系与参数方程) (本小题满分 0 分) 23.已知直线 l 的极坐标方程为 ,圆 C 的参数方程为

为参数) . (1)请分别把直线 l 和圆 C 的方程化为直角坐标方程; (2)求直线 l 被圆截得的弦长.

D.(选修 4-5:不等式选讲) (本小题满分 0 分) 24.已知函数 f(x)=|x﹣1|+|x﹣2|,若不等式|a+b|+|a﹣b|≥|a|f(x)对任意 a,b∈R 恒成立, 求实数 x 的取值范围.

【必做题】第 25,26 题,每小题 0 分,计 20 分.请把答案写在答题纸的指定区域内. 25.已知 A 为曲线 C:4x ﹣y+1=0 上的动点,定点 M(﹣2,0) ,若 的轨迹方程. 26.已知四棱锥 P﹣ABCD 的底面为直角梯形,AB∥DC,∠DAB=90°,PA⊥底面 ABCD, 且 PA=AD=DC= AB=1,M 是 PB 的中点. (Ⅰ)证明:面 PAD⊥面 PCD; (Ⅱ)求 AC 与 PB 的夹角的余弦值; (Ⅲ)求面 AMC 与面 BMC 夹角的余弦值.
2

,求动点 T

2015-2016 学年江苏省淮安市淮海中学高三 (上)11 月月 考数学试卷
一、填空题(本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.不需要写出解答过程,请把答案 写在答题纸的指定位置上) 2 1.已知集合 A={x|x ﹣2x=0},B={0,1,2},则 A∩B={0,2}. 【考点】交集及其运算. 【专题】集合. 【分析】求出 A 中方程的解确定出 A,找出 A 与 B 的交集即可. 【解答】解:由 A 中方程变形得:x(x﹣2)=0, 解得:x=0 或 x=2,即 A={0,2}, ∵B={0,1,2}, ∴A∩B={0,2}; 故答案为:{0,2} 【点评】此题考查了交集及其运算,熟练掌握交集的定义是解本题的关键. 2.复数 z=(1﹣2i) +i 的实部为﹣3. 【考点】复数代数形式的乘除运算. 【专题】数系的扩充和复数. 【分析】直接利用复数代数形式的乘法运算化简,则复数的实部可求. 【解答】解:z=(1﹣2i) +i=1 ﹣4i+(2i) +i=﹣3﹣3i, 2 ∴复数 z=(1﹣2i) +i 的实部为﹣3. 故答案为:﹣3. 【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算,考查了复数的基本概念,是基础题. 3.某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向,拟采用分层抽样的方向,从 该校四个年级的本科生中抽取一个容量为 300 的样本进行调查,已知该校一年级、二年级、 三年级、四年级的本科生人数之比为 4:5:5:6,则应从一年级本科生中抽取 60 名学生. 【考点】分层抽样方法. 【专题】概率与统计. 【分析】先求出一年级本科生人数所占总本科生人数的比例,再用样本容量乘以该比列,即 为所求. 【解答】解:根据分层抽样的定义和方法,一年级本科生人数所占的比例为 = ,
2 2 2 2

故应从一年级本科生中抽取名学生数为 300× =60, 故答案为:60. 【点评】 本题主要考查分层抽样的定义和方法, 利用了总体中各层的个体数之比等于样本中 对应各层的样本数之比,属于基础题.

4.从 1,2,3,4 这 4 个数中一次随机地取 2 个数,则所取 2 个数和为 5 的概率是 . 【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率. 【专题】概率与统计. 【分析】 列举可得共 6 种情形, 其中满足所取 2 个数和为 5 的有 2 种情形, 由概率公式可得. 【解答】解:从 1,2,3,4 这 4 个数中一次随机地取 2 个数有 (1,2) , (1,3) , (1,4) , (2,3) , (2,4) , (3,4)共 6 种情形, 其中满足所取 2 个数和为 5 的有(1,4) , (2,3)共 2 种情形, ∴所求概率为 = 故答案为: 【点评】本题考查列举法表示基本事件及求概率,属基础题.

5.函数 的图象中,离坐标原点最近的一条对称轴的方程为 x= 【考点】正弦函数的图象. 【专题】三角函数的图像与性质. 【分析】先求出函数 坐标原点最近的一条对称轴的方程. 【解答】解:∵函数 ∴当 k=﹣1 时,x= 的对称轴方程为 x=



,k∈Z,从而可求离

的对称轴方程为 x= 是离坐标原点最近的一条对称轴的方程.

,k∈Z

故答案为:x= . 【点评】本题主要考察了正弦函数的图象与性质,属于基础题. 6.如图是一个算法的流程图,若输入 x 的值为 2,则输出 y 的值为 7.

【考点】程序框图. 【专题】算法和程序框图. 【分析】利用循环结构,直到条件不满足退出,即可得到结论. 【解答】解:执行一次循环,y=3,x=2,不满足|y﹣x|≥4,故继续执行循环;

执行第二次循环,y=7,x=3,满足|y﹣x|≥4,退出循环 故输出的 y 值为 7, 故答案为:7 【点评】本题考查循环结构,考查学生的计算能力,属于基础题. 7.等比数列{an}的公比大于 1,a5﹣a1=15,a4﹣a2=6,则 a3=4. 【考点】等比数列的通项公式. 【专题】等差数列与等比数列. 【分析】根据等比数列的通项公式为 an=a1q 求出 a1 和 q 得到通项公式即可求出 a3. n﹣1 【解答】解:∵等比数列的通项公式为 an=a1q 由 a5﹣a1=15,a4﹣a2=6 得: a1q ﹣a1=15,a1q ﹣a1q=6 解得:q=2 或 q= 则 a3=a1q =4 或﹣4 ∵等比数列{an}的公比大于 1, 2 则 a3=a1q =4 故答案为 4 【点评】考查学生利用等比数列性质的能力.
2 4 3 n﹣1

8.在平面直角坐标系中,直线 x﹣ 【考点】圆的切线方程. 【专题】计算题;直线与圆. 【分析】求出圆心到直线 x﹣
2 2

=0 被圆 x +y =4 截得的弦长为 2.

2

2

=0 的距离,利用勾股定理,可得结论.

【解答】解:圆 x +y =4 的圆心坐标为(0,0) ,半径为 2

∵圆心到直线 x﹣ ∴弦 AB 的长等于 2

=0 的距离为 d= =2

=



故答案为:2. 【点评】本题考查圆心到直线的距离,考查垂径定理,考查学生的计算能力,属于基础题. 9.一个圆柱和一个圆锥同底等高,若圆锥的侧面积是其底面积的 2 倍,则圆柱的侧面积是 其底面积的 2 倍.

【考点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积. 【专题】空间位置关系与距离. 【分析】根据几何体的性质,公式转化为用 r 表示的式子判断. 【解答】解:∵一个圆柱和一个圆锥同底等高 ∴设底面半径为 r,高为 h, ∵圆锥的侧面积是其底面积的 2 倍, 2 ∴πrl=2πr ,l=2r h= r

∴圆柱的侧面积=2πrl=2 其底面积=πr
2

πr ,

2

∴圆柱的侧面积是其底面积的 2 故答案为: .

倍,

【点评】本题考查了旋转体的几何性质,表面积的运算公式,属于中档题.

10.已知点 P(1,m)是函数 y=ax+ 图象上的点,直线 x+y=b 是该函数图象在 P 点处的切 线,则 a+b﹣m=2. 【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程. 【专题】计算题;导数的概念及应用. 【分析】求出函数 y=ax+ 的导数,求出切线的斜率,由已知切线,得到 a﹣2=﹣1,从而得 到 m,再由切线过切点,即可得到 b,进而得到 a+b﹣m. 【解答】解:点 P(1,m)是函数 y=ax+ 图象上的点,则 m=a+2,

函数 y=ax+ 的导数 y′=a﹣



该函数图象在 P 点处的切线斜率为 a﹣2, 由于直线 x+y=b 是该函数图象在 P 点处的切线, 则有 a﹣2=﹣1,即 a=1,m=3,b=1+m=4, 则有 a+b﹣m=1+4﹣3=2. 故答案为:2. 【点评】本题考查导数的几何意义:函数在某点处的导数即为曲线在该点处的切线的斜率, 考查运算能力,属于基础题.

11. 设 P 为△ ABC 中线 AD 的中点, D 为边 BC 中点, 且 AD=2, 若 【考点】平面向量数量积的运算. 【专题】平面向量及应用. 【分析】 利用向量的三角形法则可得 ? + ,由数量积运算即可得出结论. =2 , ﹣( )? + = ( ) ? ( ) =

, 则

=0.

﹣ (



【解答】解:由题意可得 PA=PD=1, ∴ =( )?( )=

=﹣3+2×1×1+1=0.

故答案为 0. 【点评】本题主要考查向量加减的运算法则及数量积运算等知识,属于基础题.

12.已知函数 y=a +b(b>0)的图象经过点 P(1,3) ,如图所示,则

x

+ 的最小值为 .

【考点】基本不等式. 【专题】不等式的解法及应用. x 【分析】函数 y=a +b(b>0)的图象经过点 P(1,3) ,可得 3=a+b,a>1,b>0.即(a﹣ 1)+b=2.再利用“乘 1 法”与基本不等式的性质即可得出. 【解答】解:∵函数 y=a +b(b>0)的图象经过点 P(1,3) ,∴3=a+b,a>1,b>0. ∴(a﹣1)+b=2.
x



+ =

=

= ,当且仅当 a﹣1=2b= 时取等号. 故答案为: . 【点评】本题考查了函数的图象与性质、“乘 1 法”与基本不等式的性质,属于基础题.

13.已知函数 f(x)=x|x﹣2|,则不等式

的解集为[﹣1,+∞) .

【考点】函数的图象. 【专题】函数的性质及应用. 【分析】化简函数 f(x) ,根据函数 f(x)的单调性,解不等式即可. 2 2 【解答】解:当 x≤2 时,f(x)=x|x﹣2|=﹣x(x﹣2)=﹣x +2x=﹣(x﹣1) +1≤1, 2 2 当 x>2 时,f(x)=x|x﹣2|=x(x﹣2)=x ﹣2x=(x﹣1) ﹣1,此时函数单调递增. 由 f(x)=(x﹣1) ﹣1=1,解得 x=1+ 由图象可以要使不等式 则 ,
2

. 成立,

即 x≥﹣1, ∴不等式的解集为[﹣1,+∞) .

故答案为:[﹣1,+∞) .

【点评】本题主要考查不等式的解法,利用二次函数的图象和性质是解决本题的关键,使用 数形结合是解决本题的基本思想.

14.已知 f(x)是定义在[1,+∞]上的函数,且 f(x)= y=2xf(x)﹣3 在区间(1,2015)上零点的个数为 11. 【考点】函数零点的判定定理. 【专题】计算题;函数的性质及应用. 【分析】令函数 y=2xf(x)﹣3=0,得到方程 f(x)= 再转化为两个函数的交点问题,从而解得.

,则函数

,从而化函数的零点为方程的根,

【解答】解:令函数 y=2xf(x)﹣3=0,得到方程 f(x)=



当 x∈[1,2)时,函数 f(x)先增后减,在 x= 时取得最大值 1, 而 y= 在 x= 时也有 y=1;
2

当 x∈[2,2 )时,f(x)= f( 而 y=
2

) ,在 x=3 处函数 f(x)取得最大值 ,

在 x=3 时也有 y= ;
3

当 x∈[2 ,2 )时,f(x)= f( 而 y= …, 在 x=6 时也有 y= ;

) ,在 x=6 处函数 f(x)取得最大值 ,

当 x∈[2 ,2 )时,f(x)= f(

10

11

) ,在 x=1536 处函数 f(x)取得最大值



而 y=

在 x=1536 时也有 y=



综合以上分析,将区间(1,2015)分成 11 段,每段恰有一个交点,所以共有 11 个交点, 即有 11 个零点. 故答案为:11. 【点评】本题考查了函数的零点与方程的根的关系及函数的交点的应用,属于基础题. 二、解答题(本大题共 6 小题,共 90 分.解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步 骤,请把答案写在答题纸的指定区域内) 15. (14 分)已知 α∈( (1)求 ,π) ,tanα=﹣2 的值;

(2)求 的值. 【考点】两角和与差的正切函数;二倍角的余弦. 【专题】三角函数的求值. 【分析】 (1)由 弦即可求得 (2)由 sin2α=2sinαcosα= 的值. 【解答】解: (1)由 = (2)sin2α=2sinαcosα= …,公式和结论各 …, 得: … , …, 的值; 可求得 cos2α 的值,利用两角差的余弦可得 可求得 sinα、cosα 的值,利用两角和的正

.…,公式和结论各 【点评】本题考查两角和与差的正切函数,考查同角三角函数间的关系式的应用,属于中档 题. 16. (14 分)如图,在直三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,AC⊥BC,CC1=4,M 是棱 CC1 上的一 点. (1)求证:BC⊥AM; (2)若 N 是 AB 的中点,求证 CN∥平面 AB1M.

【考点】直线与平面平行的判定;直线与平面垂直的性质. 【专题】空间位置关系与距离. 【分析】 (1)通过证明 BC⊥C1C,BC⊥AC,推出 BC⊥平面 ACC1A1,然后证明 BC⊥AM. (2)取 AB1 的中点 P,连接 MP,NP,证明 NP∥B B1,推出 NP∥CM,然后证明 CN∥平 面 AB1M. 【解答】 (1)证明:∵ABC﹣A1B1C1 为直三棱柱, ∴C1C⊥平面 ABC,∴BC⊥C1C, 又 BC⊥AC,∴BC⊥平面 ACC1A1, ∵AM 在平面 ACC1A1 上,∴BC⊥AM. … (2)证明:取 AB1 的中点 P,连接 MP,NP, ∵P 为 A B1 中点,N 为 AB 中点,∴NP 为△ AB B1 的中位线,∴NP∥B B1, 又∵C1C,B1B 都是直三棱柱的棱,∴C1C∥B1B,∴MC∥B1B, ∴NP∥CM,∴NPCM 共面,∴CN∥平面 AB1M…(14 分)

【点评】本题考查直线与平面垂直的性质定理的应用,直线与平面平行的判定定理的应用, 考查空间想象能力以及逻辑推理能力.

17. (14 分)设椭圆

=1(a>b>0)的左焦点为 F,短轴上端点为 B,连接 BF 并延

长交椭圆于点 A,连接 AO 并延长交椭圆于点 D,过 B、F、O 三点的圆的圆心为 C. (1)若 C 的坐标为(﹣1,1) ,求椭圆方程和圆 C 的方程; (2)若 AD 为圆 C 的切线,求椭圆的离心率. 【考点】直线与圆锥曲线的综合问题. 【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程. 【分析】 (1)由题意可得三角形 BFO 外接圆圆心为斜边 BF 中点 C,由此求得 b,c 的值, 结合隐含条件求出 a,则椭圆方程和圆 C 的方程可求; (2) 由 AD 为圆 C 的切线, 得到 AD⊥CO, 联立直线和椭圆方程求得 A 的坐标, 由 得到 a,b,c 的关系式,结合隐含条件可求椭圆的离心率. 【解答】解: (1)∵三角形 BFO 为直角三角形,

∴其外接圆圆心为斜边 BF 中点 C, 由 C 点坐标为(﹣1,1)得,b=2,c=2, ∴a =b +c =8, 则圆半径 ,
2 2 2

∴椭圆方程为
2


2

圆方程为(x+1) +(y﹣1) =2; (2)由 AD 与圆 C 相切,得 AD⊥CO, BF 方程为 ,





得 由
2 2 2

, ,得 b =2a c ,
2 2 4 2 2 4 4 2 2

(a ﹣c ) =2a c a ﹣4a c +c =0, 解得: = . 【点评】本题考查了椭圆与圆的方程的求法,考查了直线与圆锥曲线的关系,解答此题的关 键是由平面几何知识得到对应的关系,考查了学生的计算能力,是中档题. 18. (16 分)为丰富市民的文化生活,市政府计划在一块半径为 200m,圆心角为 120°的扇 形地上建造市民广场.规划设计如图:内接梯形 ABCD 区域为运动休闲区,其中 A,B 分 别在半径 OP,OQ 上,C,D 在圆弧 上,CD∥AB;△ OAB 区域为文化展示区,AB 长为

m;其余空地为绿化区域,且 CD 长不得超过 200m. (1)试确定 A,B 的位置,使△ OAB 的周长最大? (2)当△ OAB 的周长最大时,设∠DOC=2θ,试将运动休闲 区 ABCD 的面积 S 表示为 θ 的函数,并求出 S 的最大值.

【考点】解三角形的实际应用. 【专题】应用题;导数的综合应用;解三角形. 【分析】 (1)设 OA=m,OB=n,m,n∈(0,200],在△ OAB 中,利用余弦定理,结合基 本不等式,即可得出结论; (2)利用梯形的面积公式,结合导数,确定函数的单调性,即可求出 S 的最大值. 【解答】解: (1)设 OA=m,OB=n,m,n∈(0,200], 在△ OAB 中, 即 ,…2 分 ,

所以,

,…4 分

所以 m+n≤100,当且仅当 m=n=50 时,m+n 取得最大值,此时△ OAB 周长取得最大值. 答:当 OA、OB 都为 50m 时,△ OAB 的周长最大.6 分 (2)当△ AOB 的周长最大时,梯形 ACBD 为等腰梯形. 过 O 作 OF⊥CD 交 CD 于 F,交 AB 于 E,则 E、F 分别为 AB,CD 的中点, 所以∠DOE=θ,由 CD≤200,得 在△ ODF 中,DF=200sinθ,OF=200cosθ. 又在△ AOE 中, 所以, = = , 令 , .…12 分 , , , 又 y= 及 y=cos2θ 在 上均为单调递减函数, .8 分

,故 EF=200cosθ﹣25.10 分

故 f'(θ)在 因 于是,f(θ)在 所以当 答:当

上为单调递减函数. >0,故 f'(θ)>0 在 上为单调递增函数.…14 分 . m .…16 分.
2

上恒成立,

时,f(θ)有最大值,此时 S 有最大值为 时,梯形 ABCD 面积有最大值,且最大值为

【点评】本题考查余弦定理,考查基本不等式的运用,考查利用导数知识解决最值问题,考 查学生分析解决问题的能力,属于中档题. 19. (16 分)若函数 y=f(x)在 x=x0 处取得极大值或极小值,则称 x0 为函数 y=f(x)的极 3 值点.已知函数 f(x)=ax +3xlnx﹣1(a∈R) . (1)当 a=0 时,求 f(x)的极值; (2)若 f(x)在区间( ,e)上有且只有一个极值点,求实数 a 的取值范围. 【考点】利用导数研究函数的极值. 【专题】计算题;分类讨论;导数的综合应用. 【分析】 (1)当 a=0 时,化简函数 f(x)=3xlnx﹣1 并求定义域,再求导数 f′(x)=3lnx+3=3 (lnx+1) ,从而由导数确定函数的极值; (2)函数 f(x)=ax +3xlnx﹣1 的定义域为(0,+∞) ,再求导 f′(x)=3(ax +lnx+1) ,再
2 3 2

令 g(x)=ax +lnx+1,再求导 g′(x)=2ax+ =

,从而由导数的正负性分类讨论以

确定函数是否有极值点及极值点的个数. 【解答】解: (1)当 a=0 时,f(x)=3xlnx﹣1 的定义域为(0,+∞) , f′(x)=3lnx+3=3(lnx+1) , 故 f(x)=3xlnx﹣1 在(0, )上是减函数,在( ,+∞)上是增函数; 故 f(x)在 x= 时取得极小值 f( )=﹣3 ﹣1; 3 (2)函数 f(x)=ax +3xlnx﹣1 的定义域为(0,+∞) , 2 f′(x)=3(ax +lnx+1) ,

令 g(x)=ax +lnx+1,则 g′(x)=2ax+ =

2



当 a>0 时,g′(x)>0 在(0,+∞)恒成立, 2 故 f′(x)=3(ax +lnx+1)在(0,+∞)上是增函数, 而 f′( )=3[a( ) +ln +1]=3a( ) >0, 故当 x∈( ,e)时,f′(x)>0 恒成立, 故 f(x)在区间( ,e)上单调递增, 故 f(x)在区间( ,e)上没有极值点; 当 a=0 时,由(1)知,f(x)在区间( ,e)上没有极值点;
2 2

当 a<0 时,令
2

=0 解得,x=



故 g(x)=ax +lnx+1 在(0,

)上是增函数,在(

,+∞)上是减函数,

①当 g(e)?g( )<0,即﹣

<a<0 时,

g(x)在( ,e)上有且只有一个零点,且在该零点两侧异号,

②令 g( )=0 得

=0,不可能;

③令 g(e)=0 得 a=﹣ 而 g(

,所以

∈( ,e) ,

)=g( )= +ln >0,

又 g( )<0, 所以 g(x)在( ,e)上有且只有一个零点,且在该零点两侧异号,

综上所述,实数 a 的取值范围是[﹣

,0) .

【点评】本题考查了导数的综合应用及分类讨论的思想应用,化简比较困难,属于难题.

20. (16 分)已知数列{an}中 a1=1,在 a1、a2 之间插入 1 个数,在 a2、a3 之间插入 2 个数, 在 a3、a4 之间插入 3 个数,…,在 an、an+1 之间插入 n 个数,使得所有插入的数和原数列{an} 中的所有项按原有位置顺序构成一个正项等差数列{bn}. (1)若 a4=19,求{bn}的通项公式; (2)设数列{bn}的前 n 项和为 Sn,且满足 =bn+μ(λ、μ 为常数) ,求{an}的通项

公式. 【考点】数列的求和;数列的应用. 【专题】等差数列与等比数列. 【分析】 (1)设正项等差数列{bn}的公差为 d.由题意可得:b1=a1=1,b10=a4=19,利用等 差数列的通项公式即可得出; (2) =bn+μ(λ、μ 为常数) ,可得 .设正项等差数列{bn}

的公差为 d>0. 分别取 n=1, 2, 3 可得

, 解得 λ, μ, d=1. 可

得 出.

,利用递推式可得:bn﹣bn﹣1=1,因此 bn=n.利用 an=

即可得

【解答】解: (1)设正项等差数列{bn}的公差为 d. 由题意可得:b1=a1=1,b10=a4=19,19=1+9d,解得 d=2. ∴bn=1+2(n﹣1)=2n﹣1. (2)∵ =bn+μ(λ、μ 为常数) ,∴ .

设正项等差数列{bn}的公差为 d>0.

分别取 n=1,2,3 可得 解得 λ= ,μ= ,d=1. ∴ 化为 ∴当 n≥2 时, ∴2bn= ﹣ ﹣bn﹣1, , , ,



化为(bn+bn﹣1) (bn﹣bn﹣1﹣1)=0,

∵?n∈N ,bn>0, ∴bn﹣bn﹣1=1, ∴等差数列{bn}的公差为 1,首项为 1, ∴bn=1+(n﹣1)=n.

*

∴an=

=



【点评】本题考查了递推式的应用、等差数列与等比数列的通项公式及其前 n 项和公式、新 定义数列,考查了推理能力与计算能力,属于中档题. 【选做题】本题包括 A,B,C,D 四小题,请选定其中两题,并在相应的答题区域内作答, 若多做, 则按作答的前两题评分.解答时应写出文字说明、 证明过程或演算步骤.A. (选修 4-1: 几何证明选讲) (本小题满分 0 分) 21.已知 AB 是圆 O 的直径,P 是上半圆上的任意一点,PC 是∠APB 的平分线,E 是下半 圆的中点. 求证:直线 PC 经过点 E.

【考点】圆周角定理. 【专题】立体几何. 【分析】 连结 AE, EB, OE, 因为 AB 是圆 O 的直径, P 是上半圆上的任意一点, PC 是∠APB 的平分线,E 是下半圆的中点,得到∠AOE=∠BOE=90°,利用圆周角定理得到 . 利用,∠APB 的平分线有且只有一条,只要证明 PC 与 PE 重

合. 【解答】证明:连结 AE,EB,OE,因为 AB 是圆 O 的直径,P 是上半圆上的任意一点, PC 是∠APB 的平分线,E 是下半圆的中点 则∠AOE=∠BOE=90°. … 因为∠APE 是圆周角,∠AOE 同弧上的圆心角, 所以 . … 同理可得,∠BPE=45°,所以 PE 是∠APB 的平分线. … 又 PC 也是∠APB 的平分线,∠APB 的平分线有且只有一条,所以 PC 与 PE 重合. 所以直线 PC 经过点 E.…

【点评】本题考查了圆周角定理的运用;关键是熟练圆周角定理的内容,正确运用. B.(选修 4-2:矩阵与变换) (本小题满分 0 分)

22. (选修 4﹣2:矩阵与变换)设 M= ,N= ,试求曲线 y=sinx 在矩阵 MN 变换 下的曲线方程. 【考点】二阶矩阵;矩阵的应用. 【专题】计算题. 【分析】根据矩阵的乘法法则求出 MN,设 p(x,y)是所求曲线上的任意一点,它是曲线 y=sinx 上点 p0(x0,y0)在矩阵 MN 变换下的对应点,然后根据变换的性质求出曲线方程.

【解答】解:∵M=

,N=



MN= = , 设 p(x,y)是所求曲线 C 上的任意一点, 它是曲线 y=sinx 上点 p0(x0,y0)在矩阵 MN 变换下的对应点,



=





,即



又点 p0(x0,y0)在曲线 y=sinx 上,故 y0=sinx0,从而 y=sin2x, 所求曲线的方程为 y=2sin2x.… 【点评】本小题主要考查矩阵与变换等基础知识,考查运算求解能力,考查学生掌握二阶矩 阵的乘法法则,以及求出直线方程利用矩阵的变换所对应的方程. C.(选修 4-4:坐标系与参数方程) (本小题满分 0 分)

23.已知直线 l 的极坐标方程为

,圆 C 的参数方程为

为参数) . (1)请分别把直线 l 和圆 C 的方程化为直角坐标方程; (2)求直线 l 被圆截得的弦长. 【考点】简单曲线的极坐标方程;参数方程化成普通方程. 【专题】计算题;转化思想;数学模型法;坐标系和参数方程. 【分析】 (1)展开两角差的正弦,代入 x=ρcosθ,y=ρsinθ 得到直线 l 的直角坐标方程,两式 平方作和消去 θ 得到圆的普通方程; (2)求出圆心到直线的距离,利用弦心距、圆的半径及弦长的关系求得答案. 【解答】解: (1)由 ∴y﹣
2

,得 .



,即
2

圆的方程为 x +y =100.

(2)圆心(0,0)到直线 ∴弦长 l= .

的距离 d=

,y=10,

【点评】 本题考查参数方程化普通方程, 考查了极坐标方程化直角坐标方程, 考查了弦心距、 圆的半径及弦长的关系,是基础题. D.(选修 4-5:不等式选讲) (本小题满分 0 分) 24.已知函数 f(x)=|x﹣1|+|x﹣2|,若不等式|a+b|+|a﹣b|≥|a|f(x)对任意 a,b∈R 恒成立, 求实数 x 的取值范围. 【考点】函数恒成立问题. 【专题】函数的性质及应用;不等式的解法及应用. 【分析】先分离出含有 a,b 的代数式,即 (|a+b|+|a﹣b|)≥f(x)恒成立,问题转化为 求左式的最小值,然后利用绝对值的几何意义得答案. 【解答】解:不等式|a+b|+|a﹣b|≥|a|f(x)对任意 a,b∈R 恒成立,即 (x)恒成立, 故 f(x)小于等于 ∵ (|a+b|+|a﹣b|)的最小值, (|a+b+a﹣b|)=2,当且仅当(a+b) (a﹣b)≥0 时取等号, (|a+b|+|a﹣b|)≥f

(|a+b|+|a﹣b|)≥

∴ (|a+b|+|a﹣b|)的最小值等于 2. 则|x﹣1|+|x﹣2|≤2. 左边的几何意义为数轴上的动点 x 与两定点 1,2 的距离和,如图,

当 x∈[

]时,满足|x﹣1|+|x﹣2|≤2.

故 x 的取值范围是[ ]. 【点评】本题主要考查了不等式的恒成立问题,通常采用分离参数的方法解决,考查了绝对 值的几何意义,属于中档题. 【必做题】第 25,26 题,每小题 0 分,计 20 分.请把答案写在答题纸的指定区域内. 25.已知 A 为曲线 C:4x ﹣y+1=0 上的动点,定点 M(﹣2,0) ,若 的轨迹方程. 【考点】轨迹方程. 【专题】计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 【分析】设出 A(x0,y0) ,T(x,y) ,利用条件
2 2

,求动点 T

,到点 A 与点 T 坐标间的关系式,

由此关系式代入点 A 所满足的方程 y0=4x0 +1,消去 x0 和 y0,转化为 x、y 的方程. 【解答】解:由题意,设 A(x0,y0) ,T(x,y) , ∵定点 M(﹣2,0) , ,

∴(x﹣x0,y﹣y0)=2(﹣2﹣x,﹣y) , ∴x0=3x+4,y0=3y, 2 2 ∵A 为曲线 C:4x ﹣y+1=0 上的动点,∴y0=4x0 +1, 2 ∴4(3x+4) ﹣3y+1=0,即为所求轨迹方程. 【点评】本题的考点是圆锥曲线的轨迹问题,主要考查用代入法求轨迹方程,关键是理解题 意,将向量条件转化为坐标关系. 26.已知四棱锥 P﹣ABCD 的底面为直角梯形,AB∥DC,∠DAB=90°,PA⊥底面 ABCD, 且 PA=AD=DC= AB=1,M 是 PB 的中点. (Ⅰ)证明:面 PAD⊥面 PCD; (Ⅱ)求 AC 与 PB 的夹角的余弦值; (Ⅲ)求面 AMC 与面 BMC 夹角的余弦值.

【考点】用空间向量求平面间的夹角;异面直线及其所成的角;平面与平面垂直的判定. 【专题】计算题;证明题.

【分析】建立空间直角坐标系,求出 A、B、C、D、P、M,的坐标 (Ⅰ)通过证明 AP⊥DC.利用 AD⊥DC,证明 DC⊥面 PAD.然后证明面 PAD⊥面 PCD;

(Ⅱ)求出与公式 yg6d 向量,即可利用 cos 角的余弦值; (Ⅲ)在 MC 上取一点 N(x,y,z) ,则存在使

=

,求 AC 与 PB 的夹

,求出

.说明∠ANM 为所

求二面角的平面角.利用 cos

=

=

,即可求面 AMC 与面 BMC

夹角的余弦值. 【解答】解:以 A 为坐标原点 AD 长为单位长度,如图建立空间直角坐标系,则各点坐标 为

. (Ⅰ)证明:因 所以 , ,

,所以 AP⊥DC.

由题设知 AD⊥DC,且 AP 与 AD 是平面 PAD 内的两条相交直线, 由此得 DC⊥面 PAD. 又 DC 在面 PCD 上,故面 PAD⊥面 PCD. (Ⅱ)解:因 故 , , , ,

所以 cos

=

=

. ,

(Ⅲ)解:在 MC 上取一点 N(x,y,z) ,则存在使 =(1﹣x,1﹣y,y﹣z) , ∴x=1﹣λ,y=1,z= 要使 AN⊥MC,只需 可知当 此时 由 , 时,N 点的坐标( , 得 AN⊥MC,BN⊥MC, , ,即 x﹣ z=0,解得 ) ,能使 有 . , =(1,0,﹣ ) ,



所以∠ANM 为所求二面角的平面角. ∵ , ,

∴cos

=

= .

所以所求面 AMC 与面 BMC 夹角的余弦值为

【点评】本题考查平面与平面垂直,直线与直线所成的角,平面与平面的二面角的求法,考 查空间想象能力,计算能力.