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期末高二数学选修2-2、2-3测试题(含答案)


高二数学选修 2-2、2-3 期末检测试题
命题:伊宏斌 命题人:

本试卷分第Ⅰ卷 (选择题) 和第Ⅱ卷 (非选择题) 两部分, 满分 150 分. 考 试用时 120 分钟. 第Ⅰ卷(选择题,共 50 分)
一.选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分) 1.过函数 y ? sin x 图象上点 O(0,0) ,作切线

,则切线方程为 ( ) A. y ? x B. y ? 0 C. y ? x ? 1 D. y ? ? x ? 1

2 3 2.设 1 ? x ? x ? x

?

?

4

? a 0 ? a1 x ? a 2 x 2 ? ? ? a12 x 12 ,则 a0 ? ( )
C. ? 1 D.1

A.256 3.定义运算

B.0

a c i 2 ( i 是虚数单位)为 ( ) ? ad ? bc ,则 b d 1 i
B. ? 3 C. i ? 1
2

A.3

D. i ? 2
2

4 .任何进制数均可转换为十进制数 , 如八进制 ?507413 ?8 转换成十进制数,是这样转换的:

?507413 ?8 ? 5 ? 85 ? 0 ? 84 ? 7 ? 83 ? 4 ? 82 ? 1? 8 ? 3 ? 167691

,











?2 转 (2,3,4,5,6)16 ? 2 ?164 ? 3 ?163 ? 4 ?162 ? 5 ?16 ? 6 ? 144470, 那么将 二进制数 ?1101
换成十进制数,这个十进制数是 ( ) A.12 B.13 C.14 D.15

5.用数学归纳法证明: “ 两 两 相 交 且 不 共 点 的 n 条 直 线 把 平 面 分 为 f ( n) 部 分 , 则

f ( n) ? 1 ?

n(n ? 1) 。 ”在证明第二步归纳递推的过程中,用到 f (k ? 1) ? f (k ) + 2 k ( k ? 1) A. k ? 1 B. k C. k ? 1 D. 2
( 2)

。( )

6.记函数 y ? f
'

( x) 表示对函数 y ? f ( x) 连续两次求导,即先对 y ? f ( x) 求导得 y ? f ' ( x) ,
( 2)

再对 y ? f ( x) 求导得 y ? f A. f ( x) ? x

( x) ,下列函数中满足 f ( 2) ( x) ? f ( x) 的是( )
C. f ( x) ? e
x

B. f ( x) ? sin x

D. f ( x) ? ln x

第 1 页 共 12 页

7.甲、乙速度 v 与时间 t 的关系如下图, a(b) 是 t ? b 时的加速度, S (b) 是从 t ? 0 到 t ? b 的 路程,则 a甲 (b) 与 a乙 (b) , S甲 (b) 与 S乙 (b) 的大小关系是 A. a甲 (b) ? a乙 (b) , S甲 (b) ? S乙 (b) C. a甲 (b) ? a乙 (b) , S甲 (b) ? S乙 (b) 8.如图,蚂蚁从 A 沿着长方体的棱以 ( )

B. a甲 (b) ? a乙 (b) , S甲 (b) ? S乙 (b) D. a甲 (b) ? a乙 (b) , S甲 (b) ? S乙 (b) 的方向行走至 B,不同的行走路线有( )

v
甲 第 8 题图 乙 第7题 b 图图 B.7 条

B

t
C.8 条

A
D.9 条
'

A.6 条

9、等比数列 {a n } 中, a1 ? 3, a2014 ? 9 , f (x) ? x(x ? a1 )(x ? a 2 )....(x ? a2014 ) , f (x) 为函数

f (x) 的导函数,则 f ' (0) =(
A 0 B

) C 3
2016

31007

D 3

3021

1,2,3,4,5,6,7,8,9,10? ,由 M 到 M 上的一一映射中,有 7 个数字和自身对应的映射 10.设 M ? ?
个数是 ( ) A.120 B.240 C. 10
7

D.360

第 2 页 共 12 页

第Ⅱ卷(非选择题 共 100 分)
二.填空题(本大题 4 个小题,每小题 5 分,共 25 分) 11(15)如果 (1 ? 2x)50 ? a0 ? a1 ( x ?1) ? a2 ( x ?1)2 ?

? a50 ( x ?1)50 ,那么

a1 ? a3 ?

? a49 ?

. .

12.设复数 z 满足条件 z ? 1,那么 z ? 3 ? i 取最大值时的复数 z 为 13.已知数列 ?an ? 为等差数列,则有

a1 ? 2a2 ? a3 ? 0, a1 ? 3a2 ? 3a3 ? a4 ? 0
a1 ? 4a2 ? 6a3 ? 4a4 ? a5 ? 0
类似上三行,第四行的结论为__________________________。 14.已知长轴长为 2 a ,短轴长为 2b 椭圆的面积为 ?ab ,则

?

3

?3

2 1?

x2 dx = 9



15.为了保证信息安全传输,有一种称为秘密密钥密码系统(Private Key Cryptosystem),其加 密、解密原理如下图: 明文 加密密钥密码 密文 发送 密文 解密密钥密码 明文

现在加密密钥为 y ? loga ( x ? 1) ,如上所示,明文“ 7 ”通过加密后得到密文“ 3 ” ,再发送, 接受方通过解密密钥解密得到明文“ 7 ” .问:若接受方接到密文为“ 4 ” ,则解密后得明文 为 .

三.解答题(本大题 6 个小题,共 75 分) 16. (12 分)如图,阴影部分区域是由函数 y ? cos x 图象,直线 y ? 1, x ? ? 围成,求这阴影 部分区域面积。

y
y=1 x=? f?x? = cos?x?
第 3 页 共 12 页

x

第 1 题图

17.(12 分)据研究,甲磁盘受到病毒感染,感染的量 y(单位: 比特数)与时间 x(单位:秒)的函数 关系是 y ? e x ,乙磁盘受到病毒感染,感染的量 y(单位: 比特数)与时间 x(单位:秒)的函数关系 是 y ? x 2 ,显然当 x ? 1 时, 甲磁盘受到病毒感染增长率比乙磁盘受到病毒感染增长率大.试根据 上述事实提炼一个不等式,并证明之. 18.(12 分)(1)抛掷一颗骰子两次,定义随机变量

? ??

数不等于第二次向上一 面的点数) ?0, (当第一次向上一面的点 数等于第二次向上一面 的点数) ? 1, (当第一次向上一面的点

试写出随机变量 ? 的分布列(用表格格式); (2)抛掷一颗骰子两次,在第一次掷得向上一面点数是偶数的条件下,求第二次掷得向上一面点数 也是偶数的概率. 19. (12 分)已知函数 f ( x) ? 2x 3 ? 3x 2 ? 12x (1)求 f ( x) ? 2x 3 ? 3x 2 ? 12x 的极值; (2)请填好下表(在答卷),并画出 f ( x) ? 2x 3 ? 3x 2 ? 12x 的图象(不必写出作图步骤); (3)设函数 g ( x) ? 2x ? 3x ? 12x ? a 的图象与 x 轴有两个交点,求 a 的值。
3 2

x
f ( x)

? ?

-2

-1

0

1

2

3

? ?

20. (13 分)编辑一个运算程序: 1@1 ? 2 , m @ n ? q , m @(n ? 1) ? q ? 2 . (1)设 an ? 1@ n ,求 a 2 , a3 , a 4 ; (2)由(1)猜想 an 的通项公式; (3)用数学归纳法证明你的猜想。 21(本小题满分 14 分) 在一个盒子中,放有标号分别为 1 , 2 , 3 的三张卡片,现从这个盒子中,有放回 地先后 ... 抽得两张卡片的标号分别为 x 、 y ,记 ? ? x ?1 ? y ? x . (Ⅰ)求随机变量 ? 的最大值,并求事件“ ? 取得最大值”的概率; (Ⅱ)求随机变量 ? 的分布列、数学期望及方差.

第 4 页 共 12 页

答案
一.选择题 题号 答案 1 A 2 D 3 B 4 B 5 C 6 C 7 C 8 A 9 D 10 B

二.填空题(本大题 5 个小题,每小题 5 分,共 25 分上) 11.

1 50 (5 ? 1) 2

12.

3 1 ? i 2 2

13. a1 ? 5a2 ? 10a3 ? 10a4 ? 5a5 ? a6 ? 0 14. 3? 15. 15 三.解答题(本大题 6 个小题,共 75 分,必需写出必要的文字说明、推理过程或计算步骤,把 答案填写在答题卡上)

...

16. (12 分)如图,阴影部分区域是由函 数 y ? cos x 图象, 直线 y ? 1, x ? ? 围成, 求这阴影部分区域面积。 解法一:所求图形面积为

y
y=1 x=? f?x? = cos?x?

?

?

0

(1 ? cos x)dx ----------(5 分)

? ( x ? sin x) -----------------(9 分) 0

?

x

解法二:所求面积是以长为 ? ,宽为了 2 的矩形的面积的一半,所以所求的面积为 ? 。 --------------------------------------(10 分) 17.(12 分)据研究,甲磁盘受到病毒感染,感染的量 y(单位: 比特数)与时间 x(单位:秒)的函数 关系是 y ? e ,乙磁盘受到病毒感染, 感染的量 y(单位: 比特数)与时间 x(单位:秒)的函数关系
x 2 是 y ? x ,显然当 x ? 1 时,甲磁盘受到病毒感染增长率比乙磁盘受到病毒感染增长率大.试根据

? ? ------------------------------(12 分)

上述事实提炼一个不等式,并证明之.

第 5 页 共 12 页

解:因为甲磁盘受到感染的感染增长率是 y ? e x 的导数 y ' ? e x ,乙磁盘受到病毒感染增长率为

y ? x 2 的导数 y ' ? 2x
又因为当 x ? 1 时,甲磁盘受到病毒感染增长率比乙磁盘受到病毒感染增长率大

? e x ? 2x( x ? 1) ------------------------------------(8 分)
下面证明:? e ? 2 x
x

设f ( x) ? e x ? 2x ,? x ? 1 ,? f ' ( x) ? e x ? 2 ? e ? 2 ? 0 ,所以? f ( x) ? e x ? 2 x, 在 ?1,???
上是增函数, ? f ( x) ? f (1) ? 0 即? e x ? 2x( x ? 1) .-----------------------(12 分)

18



(13



)(1)

















,













? ??

数不等于第二次向上一 面的点数) ?0, (当第一次向上一面的点 数等于第二次向上一面 的点数) ? 1, (当第一次向上一面的点

试写出随机变量 ? 的分布列(用表格格式); (2)抛掷一颗骰子两次,在第一次掷得向上一面点数是偶数的条件下,求第二次掷得向上一面点数 也是偶数的概率. 解(1)解法 1:当第一次向上的面的点数等于第二次向上的面点数时,有 6 种情况,所以

P(? ? 0) ?

6 1 5 ? ,由互斥事件概率公式得, P(? ? 1) ? 1 ? P(? ? 0) ? -------(5 分) 36 6 6
0 1

所以所求分布列是

?
P

1 6
2 A6 30 5 ? ? 36 36 6

5 6

--------------------------------------------------------------------------------------------------------(8 分) 解法 2: P(? ? 1) ?

(2)设第一次掷得向上一面点数是偶数的事件为 A,第二次掷得向上一面点数是偶数的事件为 B, 在第一次掷得向上一面点数是偶数的条件下,第二次掷得向上一面点数也是偶数的概率为

9 P( AB) n( AB) 9 1 P( AB) 36 1 P( B A) ? ? ? ? 或 P( B A) ? ? ? ------------(13 分) 18 2 P( A) n( A) 18 2 P( A) 36
第 6 页 共 12 页

19. (15 分)已知函数 f ( x) ? 2x 3 ? 3x 2 ? 12x (1)求 f ( x) ? 2x 3 ? 3x 2 ? 12x 的极值; (2)请填好下表,并画出 f ( x) ? 2x 3 ? 3x 2 ? 12x 的图象(不必写出作图步骤); (3)设函数 g ( x) ? 2x 3 ? 3x 2 ? 12x ? a 的图象与 x 轴有两个交点,求 a 的值。 解: (1) f ' ( x) ? 6 x 2 ? 6 x ? 12 ? 6( x ? 1)(x ? 2) ,令 f ' ( x) ? 0 得 x1 ? ?1, x2 ? 2 -(2 分)

x
f ' ( x)
f ( x)

?? ?,?1?
+ 增函数+

-1 0 7

?? 1,2?
减函数-

2 0 -20

?2,???
+ 增函数+

--------------------------------------------------------------------------------------------------------(4 分) 由表知,当 x ? ?1 时 f ( x) 有极大值 7, 当 x ? 2 时 f ( x) 有极小值-20。--------------(5 分) (2)

x
f ( x)

? ?

-2 -4

-1 7

0 0

1 -13

2 -20

3 -9

? ?

-------------------------------------------------------------------------------------------------------- (7 分) 画对图-----------------------------------------------------------------------------------------------(10 分)
5

-20

-10

10

20

-5

-10

-15

-20

第 7 页 共 12 页

(3)由(1)知当 x ? ?1 时 g ( x) 有极大值 a ? 7 , 当 x ? 2 时 g ( x) 有极小值 a ? 20 , ---------------------------------------------------------------------------------------------------(12 分) 再由(2)知,当 g ( x) 的极大值或极小值为 0 时,函数 g ( x) ? 2x 3 ? 3x 2 ? 12x ? a 的图象与 x 轴有两个交点,即 a ? 7或20 。 -----------------------------------------------------------------------------------------------------(15 分) 20. (16 分)编辑一个运算程序: 1@1 ? 2 , m @ n ? q , m @(n ? 1) ? q ? 2 . (1)设 an ? 1@ n ,求 a 2 , a3 , a 4 ; (2)由(1)猜想 an 的通项公式; (3)用数学归纳法证明你的猜想。 解: (1)? a1 ? 1@1 ? 2 ,令 m ? 1, n ? 1 ,则 q ? 2 ----------------------(1 分) 由 m @ n ? q , m @(n ? 1) ? q ? 2 ,得 a2 ? 1@ 2 ? 2 ? 2 ? 4 --------------------(2 分) 再令 m ? 1, n ? 2 ,则 q ? 4 ,得 a3 ? 1@ 3 ? 4 ? 2 ? 6 --------------------------------(4 分) 再令 m ? 1, n ? 3 ,则 q ? 6 ,得 a4 ? 1@ 4 ? 6 ? 2 ? 8

? a2 ? 4, a3 ? 6, a4 ? 8 -------------------------------------------------(5 分)
(2)由(1)猜想: an ? 2n, (n ? N * ) ------------------------------------(8 分) (3)证明:①当 n ? 1 时, a1 ? 1@1 ? 2 ,另一方面, a1 ? 2 ? 1 ? 2 ,所以当 n ? 1 时等式成 立。-------------------------------------------------------(9 分) ②假设当 n ? k 时,等式成立,即 ak ? 1@ k ? 2k ,此时 q ? 2k ,---------(10 分) 那么,当 n ? k ? 1 时

ak ?1 ? 1@(k ? 1) ? 2k ? 2 ? 2(k ? 1)
所以当 n ? k ? 1 时等式也成立。-----------------------------------------(12 分) 由①②知,等式对 n ? N 都成立。--------------------------------------(13 分)
*

21. (Ⅰ)

x, y 可能的取值为 1, 2,3 ,? x ?1 ? 2, y ? x ? 2 ,?? ? 4 ,
???3 分
第 8 页 共 12 页

且当 x ? 3, y ? 1时, ? ? 4 。

因此,随机变量 ? 的最大值为 4。所以,有放回抽两张卡片的所有情况有 3 ? 3=9 种,所以,

P(? ? 4) ?

1 。 9 1 。 9
???5 分

答:随机变量 ? 的最大值为 4,事件“ ? 取最大值”的概率为

(Ⅱ) ? 的所有取值为 0,1, 2,3, 4 。 因为 ? ? 0 ,只有 x ? 1, y ? 1 这一种情况,

? ? 1 时,有 x ? 1, y ? 2 或 x ? 2, y ? 2 两种情况,

? ? 2 时,有 x ? 1, y ? 3 或 x ? 2, y ? 1 , x ? 2, y ? 3 , x ? 3, y ? 3 四种情况, ? ? 3 时,有 x ? 3, y ? 2 这一种情况, ? ? 4 时,有 x ? 3, y ? 1这一种情况。
? P(? ? 0) ? 1 2 4 1 1 , P (? ? 1) ? , P(? ? 2) ? , P(? ? 3) ? , P(? ? 4) ? 。 9 9 9 9 9

则随机变量 ? 的分布列为

?
P

0

1

2

3

4

1 9

2 9

4 9

1 9

1 9
???11 分 ???12 分 ???14 分

1 2 4 1 1 17 ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? 4 ? ? 。 9 9 9 9 9 9 98 2 2 方差 D(? ) ? ? ?i pi ? E (? ) ? 。 81
因此,数学期望 E (? ) ? 0 ?

第 9 页 共 12 页

高二数学选修 2-2、2-3 期末检测答题纸 二.填空 11. 14. 三.解答 16. 12 15. 13

17.

第 10 页 共 12 页

18.

19.

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20.

21.
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