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小题训练八


小题训练八
1.已知命题 p: y=sin(2x+ 题中正确的是( A、p∧q ) B、?p∧q

? ? a b )的图像关于(? ,0)对称;命题 q:若 2 <2 ,则 lga<lgb。则下列命 3 6
C、p∧?q D、?p∨q )

2.设 i 是虚数单位,则 ?1 ? i ? i 2 ? i 3

? i 4 ? ... ? i 20 =( A.1 B.0 C. i D. ?1

??? ? ??? ? 3.在四边形 ?? CD 中, ?C ? ? 2, 4 ? , ?D ? ? ?2,1? ,则该四边形的面积为(
A. 5 B. 2 5 C. 5

) D. 10

4.已知数列 ?an ? 通项为 an ? A.

16 15

n?9 ,若 an ? ? 恒成立,则 ? 的最小值为( ) n ? 8.5 18 B. C. 1 D. 2 17

2 ? ?x ? 2x ? 3 ? 0 5.若不等式组 ? 2 的解集不是空集,则实数 a 的取值范围是 ? ? x ? 4 x ? (1 ? a) ? 0

A. (??, ?4]

B. [?4, ??)

C. [?4, 20]

D. [?40, 20)

6.设 m、n 是两条不同的直线,α 、β 、γ 是三个不同的平面,给出下列四个命题,其中正确命题的序号 是( ) ①若 m⊥α ,n∥α ,则 m⊥n; ②若 α ∥β ,β ∥γ ,m⊥α ,则 m⊥γ ; ③若 m∥α ,n∥α ,则 m∥n; ④若 α ⊥γ ,β ⊥γ ,则 α ⊥β . A.①② B.②③ C.③④ D.①④ 7.阅读下图程序框图,运行相应的程序,则程序运行后输出的结果为( )

A.7

B.9

C.11

D.13
2

b>0)的一条渐近线方程是 y= 3x, 它的一个焦点在抛物线 y =24x 的准线上, 8.已知双曲线a2-b2=1(a>0,
则双曲线的方程为( A. - =1 36 108 ) B. - =1 9 27

x

2

y

2

x2

y2

x2

y2

C. - =1 108 36

x2

y2

D. - =1 27 9

x2

y2

9.已知角 ? 的顶点与原点重合,始边与 x 轴非负半轴重合,终边在直线 y ? 2 x 上,则 sin ? 2? ? 的值为 A. ?

? ?

??
? 4?

7 2 10

B.

7 2 10

C. ?

2 10

D.

2 10

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? 10.定义一法则 f : (m, n) ? (m, n )(n ? 0) ,在法则 f 的作用下,点 P(m,n)对应点 P (m, n ) ,现有
A(?1,13), B (1, 0) 两点,当点 P 在线段 AB 上运动时,其对应点 P? 的轨迹为 G,则 G 与线段 AB 公共点个数
为( A.0 ) B.1 C.2 D.3 )

( x ? 0) ?x 2 11.若函数 f(x)= ? ,若 f(2-x )>f(x) ,则实数 x 的取值范围是( ?ln(x ? 1) ( x ? 0)
A. (-2,1)B. (-∞,-1)∪(2,+∞)C. (-∞,-2)∪(1,+∞)D. (-1,2) 12.设函数 f ( x) 的导函数为 f ?( x ) ,对任意 x ? R 都有 f ?( x) ? f ( x) 成立,则( A. 3 f (ln 2) ? 2 f (ln 3) C. 3 f (ln 2) ? 2 f (ln 3) B. 3 f (ln 2) ? 2 f (ln 3) D. 3 f (ln 2)与2 f (ln 3) 的大小不确定 )

13.在平行四边形 ABCD 中,点 E 是 AD 的三等分点, AE=2ED,BE 与 AC 相交于点 F, 若 EF =m AB +n AD (m,n∈R) ,则

m 的值为 n



14.已知三条直线 ax ? 2 y ? 8 ? 0, 4 x ? 3 y ? 10 和 2 x ? y ? 10 中没有任何两条平行,但它们不能构成三角 形的三边,则实数 a 的值为____________.
π 15.已知函数 f ( x) ? a sin ?? x ? ? ? ? b 的部分图象如下图,其中 ? ? 0, ? ? , a , b 分别是 2
? ABC 的角 A, B 所对的边, cos C ? f (
y 2-1 O 3π 8 7π 8

C )+1 ,则 ?ABC 的面积 S = 2

x

.

1 1 1 9 - 2-1 ? + ≥ 成立;在凸四边形 ABCD 中, A B C ? 1 1 1 1 16 1 1 1 1 1 25 不等式 ? + + ≥ 成立;在凸五边形 ABCDE 中,不等式 ? + + + ≥ 成立, ,依 A B C D 2? A B C D E 3?
16.在 ?ABC 中,不等式 此类推,在凸 n 边形 A 1A 2?A n 中,不等式

1 1 1 ? + ? ? ≥ __ A1 A2 An

___成立.

17. (本小题满分 12 分)已知 ?ABC 中, 角 A, B, C 对边分别为 a, b, c ,已知 c ? 2, C ?

?
3



(1)若 ?ABC 的面积等于 3 ,求 a , b (2)若 sin C ? sin(B ? A) ? 2 sin 2 A ,求 ?ABC 的面积.

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参考答案 1.C【解析】试题分析:当 x ? ?

?
6

时 2x ?

?
3

? 0 ,所以点 ( ?

?
6

,0) 是函数 y ? sin(2 x ?

?
3

) 的对称中心,

a b 故命题 p 为真命题,又 a ? b ? 0 时, 2 ? 2 成立,而 ln a,ln b 均无意义,所以命题 q 为假命题,所以命

题 p ? ?q 为真命题,故选 C. 考点:1.三角函数的性质;2.逻辑连结词与命题;3.指数、对数函数的性质. 2.D【解析】试题分析:根据等比数列求和公式,可知原式 ? 考点:复数的运算,等比数列求和公式. 3.C【解析】试题分析:根据题意, AC ? BD ? ?4 ? 4 ? 0 ,所以 AC ? BD ,且 AC ? 2 5, BD ? 5 , 从而有该四边形的面积为 S ?

?1(1 ? i 21 ) ? ?1 ,故选 D. 1? i

??? ? ??? ?

1 ? 2 5 ? 5 ? 5 ,故选 C. 2 n?9 0.5 ? 1? ,可 n ? 8.5 n ? 8.5

考点:向量的关系,向量的模,四边形的面积. 4.D【解析】试题分析:根据题意可知 M 的最小值为数列的最小项,因为 an ? 知当 n ? 8 时取得最小值,而 a8 ? 2 ,所以 M 的最小值为 2 ,故选 D. 考点:数列的项的最值. 5.B【解析】试题分析:根据题意,不等式 x 2 ? 2 x ? 3 ? 0 的解集为 [?1,3] ,而函数 y ? x2 ? 4 x ? (1 ? a) 的图像的对称轴为 x ? ?2 ,所以要求不等式组的解集不是空集,只要方程 x2 ? 4 x ? (1 ? a ) ? 0的大根

x2 ? ?1 ,所以有

?4 ? 16 ? 4 ? 4a ? ?1 ,解得 a ? ?4 ,由 ? ? 16 ? 4(1 ? a ) ? 0 ,解得 a ? ?5 ,所以满 2

足条件,故选 B.考点:不等式组的解集,一元二次方程的根的分布. 6.A【解析】试题分析:③错,直线 m 与直线 n 可能相交,平行,异面;④错,两平面平行或相交,①② 正确.考点:1.线线,线面位置关系;2.面面位置关系. 7 . B 【 解 析 】 试 题 分 析 : 首 先 进 入 程 序 , i ? 1 时 , S ? lg

1 ? ?1 , 否 , 所 以 进 入 , i ? 3 时 , 3 1 3 1 1 5 1 S ? lg ? lg ? lg ? ?1 , 否 , 此 时 i ? 5 , S ? lg ? lg ? lg ? ?1 , 否 , i ? 7 , 3 5 5 5 7 7 1 7 1 1 9 1 i ? 9, S ? lg ? lg ? lg ? ?1 , S ? lg ? lg ? lg ? ?1 , 否, 是, 所以对称循环, 此时输出 i ? 9 . 7 9 9 9 11 11
x2 y2 a b
2 2

考点:1.循环结构;2.程序框图的应用. 8.解析 因为双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的一个焦点在抛物线 y =24x 的准线上,所以 F(-6,0)是双曲 线的左焦点,即 a +b =36,又双曲线的一条渐近线方程是 y= 3x,所以 = 3,解得 a =9,b =27.所 以双曲线方程为 - =1. 9 27
2

b a

2

2

x2

y2

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9.D【解析试题分析:根据题意有 tan ? ? 2 ,所以 sin ? 2? ?

? ?

??
? 4?

?

2 2(2sin ? cos ? ? cos2 ? ? sin 2 ? ) 2 2 tan ? ? 1 ? tan 2 ? 2 4 ?1? 4 ? ? ? ? (sin 2? ? cos 2? ) ? 2 2 2 2 tan ? ? 1 2 4 ?1 2 2(sin ? ? cos ? )
2 ,故选 D.考点:倍角公式,同角三角函数关系式,三角函数求值. 10
,整理得 x+y﹣1=0(﹣

?

10.C【解析】由已知 A(﹣1,2) ,B(1,0) ,过两点的直线方程为 1≤x≤1) 2 令 P'(x,y) ,由已知 x=m,y= ,则 m=x,n=y , 又点 P 在线段 AB 上运动,即 m+n﹣1=0, ∴G:x+y ﹣1=0,整理得 x﹣1=y . (﹣1≤x≤1) 如图由图可以看出有 2 个交点. 故选 C. 11.A. 【解析】试题分析:由题意得:函数 f ( x) 为 R 上单调递增函数,所以
2 2

? 2 ? x2 ? x, ?2 ? x ? 1 ,选 A.考点:函数性质
12.B【解析】

1 f '(ln x) ? ? x ? f (ln x) f (ln x ) f '(ln x) ? f (ln x) x 试题分析:根据题意,令 g ( x) ? ,则 g '( x) ? ? ?0, 2 x x x2 f (ln x) f (ln 3) f (ln 2) ? 所以有 是增函数,从而有 ,即 3 f (ln 2) ? 2 f (ln 3) ,故选 B. x 3 2
考点:构造新函数. 13. ?

3 【解析】 2 2 BC 3

试题分析:平行四边形 ABCD 中 AE ? BC , AE ?

??? ? 2 ??? ? 2 ??? ? 2 ? ??? ? 2 ???? ? 2 ??? ? 4 ???? 2 4 m 3 ? EF ? FB ? EB ? ? AB ? AD ? ? AB ? AD ? m ? , n ? ? ? ? ? . 5 15 n 2 3 5 5? 3 15 ? 5
考点:向量的线性运算、向量共线的基本定理. 14.-1【解析】 试题分析:由已知三条直线 ax ? 2 y ? 8 ? 0, 4 x ? 3 y ? 10 和 2 x ? y ? 10 中没有任何两条平行,但它们不能 构成三角形的三边, 则直线 ax ? 2 y ? 8 ? 0 必经过 4 x ? 3 y ? 10 和 2 x ? y ? 10 的交点, 联立 ?

?4 x ? 3 y ? 10 ?2 x ? y ? 10

解得 ?

?x ? 4 ,代入 ax ? 2 y ? 8 ? 0 可得 a ? ?1 考点:两条直线的交点坐标 ? y ? ?2
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15.

10 【解析】试题分析:由图可知,函数的最大值为 a ? b ? 2 ? 1 ,最小值为 ?a ? b ? ? 2 ? 1 ,可解 5

得 a ? 2, b ? 1 ,又

T 7? 3? ? ? ? ? ?T ? ? , ? ? 2 ,即 f ( x) ? 2 sin ? 2x ? ? ? ? 1 ,由图可得, 2 8 8 2

f(

3? 3? π ? ?? ? ? ? 3? ? ? ) ? 2 sin ? 2 ? ? ? ? ? 1 ? 2 ? 1? sin ? ? ? ? ? 1? ? ? ,?? ? ? .即 f ( x) ? 2 sin ? 2 x ? ? ? 1 8 8 2 4 4? ? ? ? 4 ? ?
cos C ? f ( C ?? ? )+1=f ( x) ? 2 sin ? C ? ? ? sin C ? cos C ? 2cos C ? sin C ? 4cos 2 C ? sin 2 C 2 4? ?







cos 2 C ? sin 2 C ? 1可得 sin C ?

2 5 1 10 ? S ? ab sin C ? 5 2 5

y 2-1 7π 8

考点:正弦函数的图像和性质,三角形面积公式 16.

O

3π 8

x

n2 ? n ? 2? ?

- 2-1

1 1 1 n2 【解析】试题分析:我们可以利用归纳推理的方法得到不等式 ,从而得出 ? +? ? ≥ A1 A2 An ? n ? 2? ?
结论.考点:归纳推理. 17. (1) a ? 2, b ? 2 ; (2) S ?

2 3 . 【解析】 3

试题分析:本题主要考查余弦定理、三角形面积公式、两角和与差的正弦公式等基础知识,考查学生的分
2 2 2 析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.第一问,根据余弦定理 c ? a ? b ? 2ab cos C 的式子,
2 2 代入题中的数据化简得 ab ? a ? b ? 4 ,而 ?ABC 的面积等于

1 ab sin C ? 3 ,化简得 ab ? 4 ,两式联 2

立解方程组得出 a 和 b 的值;第二问,先利用两角和与差的正弦公式将已知表达式展开,合并同类项,得 出

cos A(sin B ? 2sin A) ? 0 ,得到 cos A ? 0 或 sin B ? 2sin A ? 0 ,分别解方程得出边长和角的值,再求三
2 2 2 角形的面积.试题解析: (1)∵ c ? a ? b ? 2ab cos C , c ? 2, C ?

?
3

2 2 ,∴ ab ? a ? b ? 4 ,①

∵ ?ABC 的面积等于 3 ,∴ S ? ?

1 ab sin C ? 3 ,∴ ab ? 4 ,②,∴①②结合解得: a ? 2, b ? 2 . 2
2 B s i n? ) 0A
∴ cos A ? 0 或 sin B ? 2sin A ? 0 , ? ,

(2) ∵s ∴c n i C ?s n i( B ? A) ? 2 s n i 2A, o s ( s i n A ∴ A ? 90 或 b ? 2a ,当 A ? 90 时, b ?
0 0

4 2 3 2 3 2 2 2 ,S ? ;当 b ? 2a 且 ab ? a ? b ? 4 时, a ? , 3 3 3

∴S ?

2 3 2 3 ;∴ S ? . 3 3

考点:余弦定理、三角形面积公式、两角和与差的正弦公式.
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