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(3)立体几何(教师版)


三、立体几何(教师版)
1. (2010 年广州市高三年级调研测试)

CD 的中点. 如图,在棱长为 1 的正方体 ABCD ? A 1B 1C1 D 1 中, E 是
(1)求证: AC 1 平面 AD1E ;

D1
A

C1 B1
A

(2)在对角线

AC A1 1 上是否存在点 P ,使得 DP ? 平面 AD 1E ? 若存在,求出 CP 的长;若不存在,请说明理由. (1)证明:连结 A 1 D ,交 AD 1 于点 F ,连结 EF .?1 分 因为四边形 ADD1 A 1 是正方形,所以 F 是 A 1 D 的中点, 又 E 是 CD 的中点,所以 EF .???????3 分 AC 1 A A

D

E B

C

因为 EF ? 平面 AD1E , AC ? 平面 AD1E , 1 所以 AC 1 平面 AD1E .?????????????5 分

(2)解:在对角线 AC 1 上存在点 P ,且 CP ?

3 ,使得 DP ? 平面 AD1E .????6 分 3

证明如下: 因为四边形 ADD1 A 1 是正方形,所以 AD 1 ? A 1D .???????????7 分 因为 CD ? 平面 ADD1 A 1 , AD 1A 1 ,所以 CD ? AD 1 ? 平面 ADD 1 .????????8 分 因为 A 1D

CD ? D ,所以 AD1 ? 平面 ACD .????????????????9 分 1

因为 AD1 ? 平面 AD1E ,所以平面 AD1E ⊥平面 ACD .????????????10 分 1 作 DP ? AC 1 于 P ,因为 EF

AC ,所以 DP ? EF .????????????11 分 1
平面 AD1E ? EF ,所以 DP ? 平面 AD1E .12 分

因为 DP ? 平面 ACD ,平面 ACD 1 1 由 Rt △ ACD ∽ Rt?DCP ,得 CP ? 1

CD2 1 3 ? ? . 3 AC 3 1

所以当 CP ?

3 时, DP ? 平面 AD1E .???????????????????14 分 3

2, (2010年广州市普通高中毕业班综合测试(一) ) 如图,正方形 ABCD 所在平面与三角形 CDE 所在平面相 交于 CD , AE ? 平面 CDE ,且 AE ? 3 , AB ? 6 . (1)求证: AB ? 平面 ADE ; (2)求凸多面体 ABCDE 的体积. (1)证明:∵ AE ? 平面 CDE , CD ? 平面 CDE , ∴ AE ? CD . 在正方形 ABCD 中, CD ? AD , ∵ AD AE ? A ,∴ CD ? 平面 ADE . ∵ AB C

B A

E D

CD ,

∴ AB ? 平面 ADE . (2)解法 1:在 Rt △ ADE 中, AE ? 3 , AD ? 6 , ∴ DE ? B A F

AD2 ? AE 2 ? 3 3 .

过点 E 作 EF ? AD 于点 F , ∵ AB ? 平面 ADE , EF ? 平面 ADE , ∴ EF ? AB . ∵ AD AB ? A , ∴ EF ? 平面 ABCD . ∵ AD ? EF ? AE ? DE , ∴ EF ?

C D

E

AE ? DE 3 ? 3 3 3 3 . ? ? AD 6 2

又正方形 ABCD 的面积 S ABCD ? 36 , ∴ VABCDE ? VE ? ABCD ?

1 S ABCD ? EF 3

1 3 3 ? ? 3 6? ? 18 . 3 3 2
故所求凸多面体 ABCDE 的体积为 18 3 . 解法 2:在 Rt △ ADE 中, AE ? 3 , AD ? 6 , ∴ DE ?

AD2 ? AE 2 ? 3 3 .

B A

连接 BD ,则凸多面体 ABCDE 分割为三棱锥 B ? CDE 和三棱锥 B ? ADE . 由(1)知, CD ? DE . ∴ S ?CDE ? 又 AB ∴ AB

1 1 ? CD ? DE ? ? 6 ? 3 3 ? 9 3 . 2 2

C D

E

CD , AB ? 平面 CDE , CD ? 平面 CDE ,
平面 CDE .

∴点 B 到平面 CDE 的距离为 AE 的长度.

1 1 S ?CDE ? AE ? ? 9 3 ? 3 ? 9 3 . 3 3 ∵ AB ? 平面 ADE ,
∴ VB ?CDE ? ∴ VB ? ADE ?

1 1 9 3 S?ADE ? AB ? ? ?6 ? 9 3 . 3 3 2

∴ VABCDE ? VB?CDE ? VB? ADE ? 9 3 ? 9 3 ? 18 3 . 故所求凸多面体 ABCDE 的体积为 18 3 . 3, (2010 年广州市普通高中毕业班综合测试(二) ) 在长方体 ABCD ? A 1B 1C1 D 1 中, AB ? BC ? 1, AA 1 ? 2, 点 M 是 BC 的中点, 点 N 是 AA1 的中点. (1) 求证: MN // 平面 ACD ; 1 (2) 过 N , C, D 三点的平面把长方体 ABCD ? A 1B 1C1 D 1 截成 两部分几何体, 求所截成的两部分几何体的体积的比值.

A1 B1 N C1

D1

A B

D M A1 C
C1 N

(1)证法 1:设点 P 为 AD 的中点,连接 MP, NP . ∵ 点 M 是 BC 的中点, ∴ MP // CD . ∵ CD ? 平面 ACD , MP ? 平面 ACD , 1 1 ∴ MP // 平面 ACD . 1 ∵ 点 N 是 AA1 的中点, ∴ NP // A 1D . ∵ A1 D ? 平面 ACD , NP ? 平面 ACD , 1 1 ∴ NP // 平面 ACD . 1 ∵ MP

D1

B1

A B

P M C

D

NP ? P , MP ? 平面 MNP , NP ? 平面 MNP ,

∴ 平面 MNP // 平面 ACD . 1 ∵ MN ? 平面 MNP , ∴ MN // 平面 ACD . 1

证法 2: 连接 AM 并延长 AM 与 DC 的延长线交于点 P , 连接 A , 1P ∵ 点 M 是 BC 的中点, ∴ BM ? MC . ∵ ?BMA ? ?CMP , ?MBA ? ?MCP ? 90? , ∴ Rt MBA ? Rt MCP . ∴ AM ? MP . ∵ 点 N 是 AA1 的中点, ∴ MN // A1P . ∵ A1 P ? 平面 ACD , MN ? 平面 ACD , 1 1 ∴ MN // 平面 ACD . 1 (2) 解 : 取 BB1 的中点 Q , 连接 NQ , CQ , ∵ 点 N 是 AA1 的中点, ∴ NQ // AB . ∵ AB // CD , ∴ NQ // CD .
B Q

A1 B1 N

D1 C1

?2 分
A B C P D

?4 分

M

?6 分
B1

A1 C1 N

D1

A

D M C

∴ 过 N , C, D 三点的平面 NQCD 把长方体 ABCD ? A 1B 1C1 D 1 截成两部分几何体, 其 中 一 部 分 几 何 体 为 直 三 棱 柱 QBC ? NAD , 另 一 部 分 几 何 体 为 直 四 棱 柱

B1QCC1 ? A1 NDD1 .
∴ S ?QBC ?

1 1 1 QB BC ? ? 1 ? 1 ? , 2 2 2 1 , 2

∴ 直三棱柱 QBC ? NAD 的体积 V1 ? S ?QBC AB ?

V ? 1? 1? 2 ? 2 , ∵ 长方体 ABCD ? A 1B 1C1 D 1 的体积
∴直四棱柱 B1QCC1 ? A 1 NDD 1 体积 V2 ? V ? V1 ?

3 . 2

1 V1 2 1 ? ? . ∴ V2 3 3 2

∴ 所截成的两部分几何体的体积的比值为

1 . 3

4, (惠州市 2010 届高三第二次调研考试) 如图,在四棱锥 P 一 ABCD 中,底面 ABCD 是正方形,侧棱 PD⊥底面 ABCD, PD=4,DC=3,E 是 PC 的中点。 (1)证明:PA//平面 BDE: (2)求刖△PAD 以 PA 为轴旋转所围成的几何体体积。

解:(1)连接 A,C 交 BD 于 O,连接 EO ∵ABCD 是正方形,

??????????2 分

∴O 为 AC 中点,E 为 PA 的中点, ∴OE//PA ??????????????5 分 又∵OE ? 平面 BDE,PA ? 平面 BDE PA/平面 BDE ?????????7 分 (2)过 D 作 PA 的垂线,垂足为 H, 则几何体为 DH 为半径,分别以 PH,AH 为高的两个圆锥的组合体 侧棱 PD⊥底面 ABCD ∴PD⊥DA,PD=4,DA=DC=3, ∴PA=5 ??????????9 分

DH ?

PD ? DA 4 ? 3 12 ? ? ?????????10 分 PA 5 5

1 1 V ? ?DH 2 ? PH ? ?DH 2 ? AH 3 3
1 ? ?DH 2 ? PA ???????????12 分 3 1 12 48 ? ? ? ( ) 2 ? 5 ? ? ????????14 分 3 5 5
5, (惠州市 2010 届高三第三次调研考试) 如图,在底面为平行四边形的四棱锥 P ? ABCD 中, AB ? AC , PA ? 面ABCD , P 点 E 是 PD 的中点。 (1)求证: AC ? PB ; (2)求证: PB // 平面AEC E A D (图) C B

证明: (1)? PA ? 面ABCD, AC ? 面ABCD ,∴ PA ? AC ??2 分 又? AB ? AC, PA ? AC ? A, PA ? 面PAB, AB ? 面PAB E

P

B ? AC, PA ? AC ? A, PA ? 面PAB, AB ? 面PAB ????5 分
∴ AC ? 面PAB ∴ AC ? PB ????7 分 D

A C

B

(2)连结 BD 交 AC 于点 O ,并连结 EO, ? 四边形 ABCD 为平行四边形 ∴ O 为 BD 的中点 又? E 为 PD 的中点

∴在 ?PDB 中 EO 为中位线, EO // PB ??????????14 分

? PB ? 面AEC, EO ? 面AEC ∴ PB // 面AEC
6, (惠州市 2010 届高三模拟考试试题) AC ? 3 , 如图, 在直三棱柱 ABC ? A 1B 1C1 中,

C1 A1

B1

BC ? 4 , AB ? 5 , AA1 ? 4 ,点 D 是 AB 的中点,
(1)求证: AC ? BC1 ; (2)求证: AC1 平面CDB1 ; (3)求三棱锥 C1 ? CDB1 的体积。

C
解 : (1)直三棱柱 ABC ? A 1B 1C1 , 底面三边长 AC ? 3 , BC ? 4 , AB ? 5 ,

B D
图C1

A

? AB2 ? AC 2 ? BC 2 ,∴ AC ? BC , CC1 ? 平面ABC, AC ? 平面ABC,

B1
E

? AC ? CC1 ,又 BC CC1 ? C, ? AC ? 平面BCC1B1 , BC1 ? 平面BCC1B1 , ∴ AC ? BC1 …………5 分
(2)设 CB1 与 C1 B 的交点为 E ,连结 DE , ∵D 是 AB 的中点, E 是 C1 B 的中点,? DE

A1

C

B D
???10 分

AC1 , A

DE ? 平面CDB1 , AC1 ? 平面CDB1,? AC1 平面CDB1 。
(3) VC1 ?CDB1 ? VD ? B1C1C ?

1 ?S 3

B1C1C

1 1 ?1 ? 3 ? AC ? ? ? ? 4 ? 4 ? ? ? 4 ???14 分 2 3 ?2 ? 2

7, (2010 年佛山市普通高中高三教学质量检测(一)) 如图所示的长方体 AC 与 BD 的交点, ,M 是线段 中,底面 ABCD 是边长为 2 的正方形,O 为 的中点.

(I)求证:BM//平面 D1 AC; (II)求三棱锥 D1 -AB1C 的体积.

17.(本题满分 12 分) 解析:(I)连接 D1 O,如图, ∵O、M 分别是 BD、B1 D1 的中点,BD1 D1B 是矩形, ∴四边形 D1 OBM 是平行四边形, ??????2 分

? D1O ? 平面 D1 AC, BM ? ? 平面 D1 AC,∴BM//平面 D1 AC.
(Ⅱ)连接 OB1 ,∵正方形 ABCD 的边长为 2, 则 又∵在长方体 中,

???????4 分

??????????6 分 且

平面 BDD1 B1 ,又 D1O ? 平面 BDD1 B1 , 又 ??????????8 分 ??????????10 分

平面 AB1 C,即 D1 O 为三棱锥 D1 -AB1C 的高.

1 4 ? ?2 2?2 ? 2. 3 3

????????12 分

8, (2010 年佛山市普通高中高三教学质量检测(二) ) (本题满分 12 分). 如图所示, AD ? 平面 ABC , CE ? 平面 ABC , AC ? AD ? AB ? 1 , BC ? 2 ,凸多 面体 ABCED 的体积为

1 , F 为 BC 的中点. 2

(Ⅰ)求证: AF // 平面 BDE ; (Ⅱ)求证:平面 BDE ? 平面 BCE .

第 8 题图

证明:(Ⅰ)∵ AD ? 平面 ABC , CE ? 平面 ABC , ∴四边形 ACED 为梯形,且平面 ABC ? 平面 ACED , ∵ BC 2 ? AC 2 ? AB2 ,∴ AB ? AC , ???????????????????2 分 ∵平面 ABC 平面 ACED ? AC

∴ AB ? 平面 ACED ,即 AB 为四棱锥 B ? ACED 的高,???????????? 4 分 ∵ VB ? ACED ? ∴ CE ? 2 ,

1 1 1 1 ? S ACED ? AB ? ? ? (1 ? CE ) ?1?1 ? , 3 3 2 2
?????????????????? 6 分

作 BE 的中点 G ,连接 GF , GD ,∴ GF 为三角形 BCE 的中位线, ∴ GF // EC // DA , GF ?

1 CE ? DA ,?????? 8 分 2

∴四边形 GFAD 为平行四边形, ∴ AF // GD ,又 GD ? 平面 BDE ,∴ AF // 平面 BDE .????????????10 分 (Ⅱ)∵ AB ? AC , F 为 BC 的中点, ∴ AF ? BC ,又 GF ? AF ,∴ AF ? 平面 BCE , 分 ∵ AF // GD ,∴ GD ? 平面 BCE , 又 GD ? 平面 BDE , ∴平面 BDE ? 平面 BCE . ????????????? 14 分 ????????????? 12

9, (汕头市 2010 年普通高中高三教学质量测评) (本小题满分 12 分) 如图,在四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 是边长为 a 的正方形, 侧面 PAD ? 底面 ABCD,且 PA= PD= (1)求证:平面 PDC 上平面 PAD; (2)求三棱锥 C-PBD 的体积. (1)证明:因为平面 PAD 上平面 ABCD,平面 PAD ? 平面 ABCD=AD, 又 CD ? AD,所以,CD ? 平面 PAD, 又 CD ? 平面 PCD, 所以平面 PDC ? 平面 PAD???6 分 (2)解:过 P 作 PE ? AD,垂足是 E, 由已知侧面 PAD ? 底面 ABCD, 所以 PE ? 平面 ABCD ???8 分 又 PA ? PD ?

2 AD 2

2 AD ,所以△PAD 是等腰直角三角形, 2

斜边 AD=a,所以 PF ?

a ????lO 分 2

1 1 1 a 1 3 三棱锥 C-PBD 的体积VC ? PBD ? VP ? BCD ? 3 S ?BCD ? PE ? ? a 2 . ? a

3 2

2

12

法二:由(1)知 CD ? 平面 PAD,所以 AB ? 平面 PAD,????9 分 由 BD 是正方形 ABCD 的对角线,得 S?BCD ? S?ABD

1 2 AD,所以△PAD 是等腰直角三角形,斜边 AD=a 所以 S ?PAD ? a 2 2 4 1 1 1 1 3 VC ? PBD ? VP ? BCD ? VP ? ABD ? VB ? PAD ? S ?PAD ? AB ? ? a 2 ? a ? a 3 3 4 12 10, (汕头市 2010 年普通高中高三教学质量测评(二) 如左图, ? PCB 中, ? PBC 的角平分线交 PC 于 D,过 D 作 PC 的垂线交 PB 于点 A,现沿 AD 将 ? ADP 折起, 如右图, 使平面 ADP ? 平面 ABCD, 连结 PB, PC, E 是 PC 的中点, 若 AB=BC,
又 PA ? PD ? CD=1, PA ? 3 , BD ? 2 2

(1)证明:PA//平面 BDE; (2)证明:AC ? 平面 PBD; (3)求四棱锥 P 一 ABCD 的体积,

解:(1)证明:设 AC 交 BD 于 H,连结 EH, 在 ? ABC 中,因为 AB=BC,BD 平分 ? ABC, ?H 是 AC 的中点, ? E 是 PC 的中点,得 EH//PA, ??3 分 ? 平面 BDE, EH ? 平面 BDE, PA ? ??5 分 ?PA//平面 BDE. (2)证明:? 平面 ADP ? 平面 ADCD,PD ? AD, ?PD ? 平面 ADCD,
? AC ? 平面 ADCD,

...........l 分

?PD ? AC,
在 ? ABC 中,? AB=BC,BD 平分 ? ABC, BD ? AC,PD ? BD=D,

?AC ? 平面 PBD,
(3)由(1)知 H 是 AC 的中点,BD ? AC,

?AD=CD=1,因为 AD ? CD,所以 ? AC ? 2
? PA ? 3 ,PD ? AD,所以 PD ? 2

S ABCD ?

1 1 ? AC ? BD ? ? 2 2 ? 2 ? 2 2 2
1
1

VP ? ABCD ? S ABCD ? PD ? ? 2 2 ? 3? 3 3

2 2

11, (肇庆市中小学教学质量评估 2009-2010 学年第一学期统一检测题) 如图,在底面为平行四边形的四棱锥 P-ABCD 中,AB ? AC,PA ? 平面 ABCD, 且 PA=AB=AC=a,点 E 是 PD 的中点. (1)证明:AC ? PB; (2)证明:PB//平面 AEC; (3)求三棱锥 D-AEC 的体积.

(1)证明: ? PA ? 平面 ABCD,AC ? 平面 ABCD,? AC ? PA 又 AC ? AB,PA ? AB=-A,? AC ? 平面 PAB. (2 分) 又 PB ? 平面 PAB,? AC ? PB. (4 分) (2)连接 BD,与 AC 相交于 O,连接 EO. ? ABCD 是平行四边形,? O 是 BD 的中点, (6 分) 义 E 为 PD 的中点,? PB//EO. (7 分) 又 PB ? ? ; 平面 AEC, EO ? 平面 AEC, (9 分) ?PB//平面 AEC. (3)过 E 作 EF ? AD 于 F

? PA ? 平面 ABCD, PA ? 平面 PAD,? 平面 PAD ? 平面 ABCD. 又平面 ABCD ? 平面 PAD=AD,且 EF ? AD.? EF ? 平面 ABCD. ?EF//PA, EF ? PA ?
?VE ? ACD ? 1 2 a 2

1 a 1 a3 1 EF ? S ?ACD ? ? ? ? a ? a ? 12 3 2 2 3

a3 a3 ,即三棱锥 D-AEC 的体积为 12 12 12, (肇庆市中小学教学质量评估 2010 届高中毕业班第二次统一测试题) 如图 6,已知正三棱柱 ABC— A1 B1 C1 中,D 是 BC 的中点。 (1)求证:平面 AB1 D⊥平面 B1 BCC1 ; (2)求证:A1 C//平面 AB1 D。
?VD? AEC ? VE ? ACD ?

证明: (1)因为 B1 B⊥平面 ABC, AD ? 平面 ABC, 所以 AD⊥ B1 B (2 分) 因为 D 为正△ABC 中 BC 的中点, 所以 AD⊥ BD (2 分) 又 B1 B∩ BC=B, 所以 AD⊥平面 B1 BCC1 (4 分) (6 分) (8 分)

又 AD ? 平面 AB1 D,故平面 AB1 D⊥平面 B1 BCC1 (2)连接 A1 B,交 AB1 于 E,连 DE (7 分) 又 D 为 BC 的中点,所以 DE 为△A1 BC 的中位线, 所以 DE//A1 C (10 分) 又 DE ? 平面 AB1 D,所以 A1 C//平面 AB1 D

因为点 E 为矩形 A1 ABB1 对角线的交点,所以 E 为 AB1 的中点

(12 分)

13, (茂名市 2010 届高三一模数学试卷(文科)

18.(本小题满分14分)如右图,在直角梯形ABCD中,?B=900, 1 DC//AB,BC=CD= AB=2,G为线段AB的中点,将 ADG沿GD 2 折起,使平面ADG ? 平面BCDG,得到几何体A-BCDG. ( 1)若E,F分别为线段AC,AD的中点, 求证:EF//平面ABG; (2)求证:AG ? 平面BCDG; (3)求VC-ABD的值。

A A G B C D B G E C F D

14, (茂名市 2010 年第二次高考模拟考试) 如图,在底 面是菱形的四棱锥 S—ABCD 中,SA=AB=2, SB ? SD ? 2 2. (1)证明: BD ? 平面 SAC; (2)问:侧棱 SD 上是否存在点 E,使得 SB//平面 ACD?请证明你的结论; (3)若 ?BAD ? 1200 ,求几何体 A—SBD 的体积。 解: (1) 四棱锥 S—ABCD 底面是菱形, ? BD ? AC 且 AD=AB,

又 SA=AB=2, SB ? SD ? 2 2.

? SA2 ? AB2 ? SB2 , SA2 ? AD2 ? SD2
? SA ? AB, SA ? AD ,
又 AB ? AD ? A , 2分 3分

? SA ? 平面 ABCD, BD ? 平面 ABCD,从而 SA ? BD 又 SA ? AC ? A , ? BD ? 平面 SAC。 4 分
证明如下:设 BD ? AC ? O ,则 O 为 BD 的中点, 又 E 为 SD 的中点,连接 OE, 则 OE 为 ?SBD 的中位线。 7 分 ? OE / / SB ,又 OE ? 平面 AEC,SB ? 平面 AEC ? SB / / 平面 ACE 10 分 (3)当 ?BAD ? 120 时,
0

(2)在侧棱 SD 上存在点 E,使得 SB//平面 ACE,其中 E 为 SD 的中点

6分

8分

S?ABD ?

1 1 3 AB ? AD sin1200 ? ? 2 ? 2 ? ? 3 2 2 2

12 分

?几何体 A—SBD 的体积为
1 1 2 3 VA? SBD ? VS ? ABD ? S?ABD ? SA ? ? 3 ? 2 ? . 3 3 3
14 分

15, (湛江市 2010 年普通高考测试(一) ) 如图,已知四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 是直角梯形, AB‖CD, ? ABC=45°,DC=1,AB=2,PA ? 平面 ABCD,PA=1 (1)求证:AB‖平面 ABCD (2)求证:BC ? 平面 PAC (3)若 M 是 PC 的中点,求三棱锥 M-ACD 的体积。

16, (湛江市 2010 年普通高考测试(二) ) 将边长为 2 的正方形 ABCH 沿 CH 和 AH 的中点剪去一个角,再沿对角线 AC 折起 成直二面角(如图) ,D 是 AC 的中点. (I)求证:AC//平面 BDE; (2)求证:CD⊥BD; (3)求四面体 B-CDO 的表面积 S.

(1)证明:依题意知:DE//AC,而 AC 不在平面 DEB 内 ∴AC//平面 BDE 4 分 (2)证明:依题意:BO⊥AC,平面 ACDE⊥平面 ABC ∴BO⊥平面 ACDE,∴BO⊥CD. ??????6 分

??????2 分 ???5 分

在正方形 ABCH 中,BC=2,BO=CO= 2 ,CD=OD=1 ∴根据勾股定理得:CD⊥OD 又 BO⊥CD ∴CD⊥平面 BOD ∴CD⊥BD. ??8 分 (3)解.由(2)得 BO⊥OD,BO⊥OC,CD⊥OD,CD⊥BD: ??10 分

∴Rt△BOD 中, S1 ?

1 2 , BD? 3 ? BO· OD ? 2 2 1 1 Rt△CDO 中, S2 ? ? CD· OD ? 2 2 1 Rt△BOC 中, S3 ? ? OB · OC ? 1 2 1 3 Rt△BCD 中, S4 ? ? CD· BD ? 2 2

??12 分 ??14 分

2 ? 3 ?3 2 17, (2010 年揭阳市高考“一模”试题)
∴所求表面积 S=S1 +S2 +S3 +S4 =

右图为一简单组合体,其底面 ABCD 为正方形, PD ? 平面 ABCD ,

P

EC // PD ,且 PD ? AD ? 2 EC =2 .
(1)答题卡指定的方框内已给出了该几何体的俯视图,请在方框 内画出该几何体的正(主)视图和侧(左)视图; (2)求四棱锥 B-CEPD 的体积; (3)求证: BE // 平面 PDA . 解: (1)该组合体的主视图和侧视图如右图示: (2)∵ PD ? 平面 ABCD , PD ? 平面 PDCE ∴平面 PDCE ? 平面 ABCD ∵ BC ? CD ∴BC ? 平面 PDCE ∵ S梯形PDCE ?
A B D E

C

1 1 ( PD ? EC ) ? DC ? ? 3 ? 2 ? 3 --6 分 2 2

∴四棱锥 B-CEPD 的体积

1 1 VB ?CEPD ? S梯形PDCE ? BC ? ? 3 ? 2 ? 2 . 3 3 (3) 证明:∵ EC // PD , PD ? 平面 PDA , EC ? 平面 PDA ∴EC//平面 PDA , 同理可得 BC//平面 PDA ∵EC ? 平面 EBC,BC ? 平面 EBC 且 EC BC ? C ∴平面 BEC //平面 PDA 又∵BE ? 平面 EBC ∴BE//平面 PDA

正视图

侧视图

俯视图

18, (2010 年揭阳市高中毕业班第二次高考模拟考试题) 19, (梅州市 2010 年高三质检(一) ) 如图所示,四棱锥 P-ABCD 的底面是平行四边形,BD= 8,CD=6,BC=10. ? ,E 是 PA 的中点,过 D、 PDC ? ? DBA C、E 三点的平面与 PB 交于点 F. (1)求线段 EF 的长; (2)当 PB ?8 2时,求四棱锥 P-ABCD 的体积. .解:(1)ABCD 是平行四边形,∴AB∥DC,∴DC//平面 PAB E、F、D、C 四点共面,∴DC∥EF, 又 E 是 PA 的中点,? EF ? DC ?3 .
0 2 2 2 CDB ? 90 BD ? CD ? BC (2)? ,∴△BDC 是直角三角形, ? ,

1 2

又? ,? , PDC ? ? DBA ? PDC ? ? BDC

? PD ? BD ? 8 PDC ? 90 ? ,? ,∴CD⊥平面 PDB,
? 2 2 2 ? PDB ? 90 ?8 2,? 又 PB ,? , PD ? DB ? PB

1 1 V ? 2 V ? 2 V ? 2 ? ? CD ? PD ? DB P ? ABCD P ? DBC C ? PDB 3 2 1 1 ? 2 ? ? 6 ? ? 8 ?8?128 3 2

20, (梅州市 2010 年第二次质检) 已知四棱锥 P ? ABCD 的三视图如下图所示,其中主视图、侧视图是直角三角形,俯视图 是有一条对角线的正方形. E 是侧棱 PC 上的动点. (1)求证: BD ? AE (2)若五点 A, B, C , D, P 在同一球面上,求该球的体积. P E D A B
1 _ 2 _ 2 _

C

1 _ 主视图

1 _

侧视图

1 _

俯视图

(1)证明:由已知 PC ? BC, PC ? DC ? PC ? 面ABCD

BD ? 面ABCD ? BD ? PC ,
又因为 BD ? AC , ? BD ? 面PAC, 又

AE ? 面PAC,? BD ? AE.

(2)解:以正方形 ABCD 为底面, PC 为高补成长方体,此时对角线 PA 的长为球的直径,

4 ? 2R ? PA ? 1 ? 1 ? 4 ? 6 , V球= ? R3= 6? . . 3
21, (韶关市 2010 届高三第一次调研考试) 一个四棱锥的直观图和三视图如图所示(正视图 和侧视图是直角三角形,俯视图是直角梯形) : (I)求证:AD⊥PD; (Ⅱ)若 M 为 PB 的中点,证明:直线 CM//平面 PDA; (Ⅲ)求三棱锥 A-PDC 的体积.

解: (I)由三视图可知:PB⊥底面 ABCD, 底面 ABCD 为直角梯形,BC=CD=1, AB=2 ∵PB⊥底面 ABCD,PB⊥DA 梯形 ABCD 中.PB=BC=CD=1,AB=2

? BD ? 2

又可得 DA ,?5 分 ? 2 ,AB=2,? DA ? BD ∴DA⊥平面 PDB, ∴AD⊥PD (Ⅱ)取 PA 中点 N,连结 MN,DN,则 MN//AB, 又由(I)可知,CD//AB, 所以,MN∥CD ∴CM∥DN

CM ? ?平面 PDA ? 平面 PDA, DN
∴CM∥平面 PDA (Ⅲ)∵PB⊥底面 ABCD,? ? ? V ? V A ? PCD P ? CDA

1 3

1 1 ?1?1?1? 2 6

22, (韶关市 2010 届高三第二次调研考试 ) 如图,是一块纸板,其中 ABCD 是边长为 6 的正方形,SD=PD=6,CR=SC,AQ=AP, 点 S,D,A,Q 及 P,D,C,R 共线,沿图中虚线将它们折叠起来,使 P,Q,R,S 四点重合为 P,折后成为一四棱锥,且 N 是 AB 的中点. (I)求证 PB ? AC; (Ⅱ)求三棱锥 P-NBC 的体积; (Ⅲ)设 E,F 分别是 AD,CD 中点,Q 是 PD 上一点,若 PB∥面 QEF,求 PQ 的长. (I)证明:依题意:PD ? 面 ABCD. PD=AD,PD=DC 因为, AC ? 面 ABCD,所以,PD ? AC 连结 BD,因为 ABCD 是正方形,AC ? BD,PD 与 BD 相交于 D,所以 AC ? 面 PBD

PB ? 面 PBD,所以 PD ? AC
(Ⅱ)解:PD 上面 ABCD,所以 PD 是三棱锥 P-NBC 的高

1 VP ? NBC ? ? PD ? S ?NBC ? 1 ? 6 ? 1 ? 6 ? 3 ? 18 3 3 2
(Ⅲ)设 EF ? BD=G, 连结 QC, 因为 EF 是 AD, CD 的中点. ABCD 是正方形,所以, DG ? 在△DB 中.当 DQ ?

1 BD 4

1 DG DQ 1 PD 时,即 ? ? 4 DB DP 4

GQ∥PB,又 GQ ? 面 QEF

PB ? ? 面 QEF,PB //面 QEF

1 9 PQ ? 6 ? DQ ? 6 ? PD ? 4 2

23, (2010 年深圳市高三年级第一次调研考试) 如图, 在长方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, 点 E 在棱 CC1 的 延长线上,且 CC1 ? C1 E ? BC ? E

1 AB ? 1 . 2

D1 A1
D

C1 B1
C

(Ⅰ)求证: D1 E ∥平面 ACB1 ; (Ⅱ)求证:平面 D1 B1E ? 平面 DCB1 ; (Ⅲ)求四面体 D1 B1 AC 的体积. 如图,在长方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,点 E 在 棱 CC1 的延长线上, 且 CC1 ? C1 E ? BC ?

A

B

1 AB ? 1 . 2
E

(Ⅰ) 求证: D1E //平面 ACB1 ; (Ⅱ) 求证:平面 D1B1E ? 平面 DCB1 ; (Ⅲ)求四面体 D1 B1 AC 的体积. 解: (Ⅰ)证明:连 AD1 A

D1 A1
D

C1 B1
C B

? AD1 //BC1 //B1 E
?四边形 AB1 ED1 是平行四边形
则 D1 E // AB1 E

又 AB1 ? 平面 AB1C , D1 E ? 平面 AB1C

? D1E //平面 ACB1
(Ⅱ) 由已知得 B1C 2 ? B1 E 2 ? 4 ? CE 2 则 B1 E ? B1C A 由长方体的特征可知: CD ? 平面 B1 BCE 而 B1 E ? 平面 B1 BCE , 则 CD ? B1 E

D1 A1
D

C1 B1
C B

? B1 E ? 平面 DCB1

又 B1 E ? 平面 D1B1E

?平面 D1B1E ? 平面 DCB1
(Ⅲ)四面体 D1 B1 AC 的体积

? VABCD? A1B1C1D1 1 ? VA? A1B1D1 ? VB? ACB1 ? VC ?B1C1D1 ? VD? ACD1
1 1 2 ? 2 ? ? 1? ? 1? 2 ? 4 ? 3 2 3
24, (2010 年深圳市高三年级第二次调研考试) 一个三棱柱 ABC ? A1 B1C1 直观图和三 视图如图所示(主视图、俯视图都是 矩形,左视图是直角三角形) ,设 E 、

3
主视图

1
左视图

F 分别为 AA1 和 B1C1 的中点.
(Ⅰ)求几何体 E ? B1C1CB 的体积; (Ⅱ)证明: A1 F // 平面 EBC1 ; (Ⅲ)证明:平面 EBC ? 平面 EB1C1 .
C

2
俯视图 视图

C1

F B A E
A1 B1

(Ⅰ)由题可知,三棱柱 ABC ? A1B1C1 为直三棱柱, B1B ? 底面 ABC , 且底面 ?ABC 是直角三角形, AB ? BC , AB ? 1, BC ? 3, BB1 ? 2 , 三棱柱 ABC ? A1B1C1 的体积 V ? S ?ABC ? BB1 ? (Ⅱ)取 BC1 的中点 M ,连 EM , FM ,

1 ? 3 ? 2 ? 3. 2

???4 分

???????5 分

? E 、 F 分别为 AA1 和 B1C1 的中点,

C
M B A E

C1
F

1 1 ? MF // BB1 , EA1 // BB1 , 2 2

B1 A1

? MF //EA 1,

???????12 分

?四边形 MFA 1E 为平行四边形,? A 1F // EM ,

???????7 分

又 EM ? 平面 EBC1 , A1F ? 平面 EBC1 ,? A1F // 平面 EBC1 .???9 分 (Ⅲ)? 三棱柱 ABC ? A1B1C1 为直三棱柱, B1B ? 底面 ABC ,

? BE 2 ? AB 2 ? AE 2 ? 2 ,? B1E 2 ? A1B12 ? A1E 2 ? 2 ,又 BB1 ? 2 ,

2 ? BE2 ? B1E 2 ? BB1 ,? BE ? B1E

??????????10 分

又?

?B1C1 ? A1B1 ? B1C1 ? 平面 AA 1B 1B ,? B 1C1 ? BE ???????12 分 ?B1C1 ? BB1

由 BE ? B1E , B1C1 ? BE , B1E ? B1C1 ? B1 ,得 BE ? 平面 EB 1C1 , 又 BE ? 平面 EBC ,? 平面 EBC ? 平面 EB 1C1 . ????????14 分


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