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(教师版)数学思想方法-函数与方程


第1讲

函数与方程思想

1.函数与方程思想的含义 (1)函数的思想,是用运动和变化的观点,分析和研究数学中的数量关系,是对函数概念的本 质认识,建立函数关系或构造函数,运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题,从而使 问题获得解决.经常利用的性质是单调性、奇偶性、周期性、最大值和最小值、图象变换等. (2)方程的思想, 就是分析数学问题

中变量间的等量关系, 建立方程或方程组, 或者构造方程, 通过解方程或方程组,或者运用方程的性质去分析、转化问题,使问题获得解决.方程的教 学是对方程概念的本质认识,用于指导解题就是善于利用方程或方程组的观点观察处理问 题.方程思想是动中求静,研究运动中的等量关系. 2.和函数与方程思想密切关联的知识点 (1)函数与不等式的相互转化,对函数 y=f(x),当 y>0 时,就化为不等式 f(x)>0,借助于函数的图象和性质可解决有关问题,而研究函数的性质也 离不开不等式. (2)数列的通项与前 n 项和是自变量为正整数的函数, 用函数的观点去处理数列问题十分重要. (3)在三角函数求值中,把所求的量看作未知量,其余的量通过三角函数关系化为未知量的表 达式,那么问题就能化为未知量的方程来解. (4)解析几何中的许多问题,例如直线与二次曲线的位置关系问题,需要通过解二元方程组才 能解决.这都涉及二次方程与二次函数的有关理论. (5)立体几何中有关线段、角、面积、体积的计算,经常需要运用列方程或建立函数表达式的 方法加以解决,建立空间直角坐标系后,立体几何与函数的关系更加密切.

热点一 函数与方程思想在不等式中的应用 例1 (1)f(x)=ax3-3x+1 对于 x∈[-1,1]总有 f(x)≥0 成立,则 a=________.

(2)设 f(x),g(x)分别是定义在 R 上的奇函数和偶函数,当 x<0 时,f′(x)g(x)+f(x)g′(x)>0, 且 g(-3)=0,则不等式 f(x)g(x)<0 的解集是__________. 答案 (1)4 (2)(-∞,-3)∪(0,3) 解析 (1)若 x=0,则不论 a 取何值,f(x)≥0 显然成立; 当 x>0 即 x∈(0,1]时,f(x)=ax3-3x+1≥0 可化为 3 1 a≥ 2- 3. x x 3?1-2x? 1 1 3 1 0, ?上单调递增,在区间? ,1?上单 设 g(x)= 2- 3,则 g′(x)= ,所以 g(x)在区间? 4 2 ? ? ?2 ? x x x 调递减, 1? 因此 g(x)max=g? ?2?=4,从而 a≥4; 当 x<0 即 x∈[-1,0)时, 3 1 f(x)=ax3-3x+1≥0 可化为 a≤ 2- 3, x x 3 1 设 g(x)= 2- 3,且 g(x)在区间[-1,0)上单调递增, x x 因此 g(x)min=g(-1)=4,从而 a≤4,综上 a=4. (2)设 F(x)=f(x)g(x), 由于 f(x), g(x)分别是定义在 R 上的奇函数和偶函数, 得 F(-x)=f(-x)g(- x)=-f(x)g(x)=-F(x),即 F(x)在 R 上为奇函数.

又当 x<0 时,F′(x)=f′(x)g(x)+f(x)g′(x)>0, 所以 x<0 时,F(x)为增函数. 因为奇函数在对称区间上的单调性相同, 所以 x>0 时,F(x)也是增函数. 因为 F(-3)=f(-3)g(-3)=0=-F(3). 所以,由图可知 F(x)<0 的解集是(-∞,-3)∪(0,3). 思维升华 (1)在解决不等式问题时,一种最重要的思想方法就是构造适当的函数,利用函数 的图象和性质解决问题; (2)函数 f(x)>0 或 f(x)<0 恒成立, 一般可转化为 f(x)min>0 或 f(x)max<0; 已知恒成立求参数范围可先分离参数,然后利用函数值域求解. (1)若 2x+5y≤2 y+5 x,则有(
- -

)

A.x+y≥0 B.x+y≤0 C.x-y≤0 D.x-y≥0 1 (2)已知函数 f(x)= x4-2x3+3m,x∈R,若 f(x)+9≥0 恒成立,则实数 m 的取值范围是( 2 3 3 A.m≥ B.m> 2 2

)

3 3 C.m≤ D.m< 2 2 答案 (1)B (2)A 解析 (1)把不等式变形为 2x-5 x≤2 y-5y,构造函数 y=2x-5 x,其为 R 上的增函数,所
- - -

以有 x≤-y. 1 (2)因为函数 f(x)= x4-2x3+3m.所以 f′(x)=2x3-6x2,令 f′(x)=0 得 x=0 或 x=3,经检验 2 27 知 x=3 是函数的一个最小值点,所以函数的最小值为 f(3)=3m- ,不等式 f(x)+9≥0 恒成 2 立,即 f(x)≥-9 恒成立, 27 3 所以 3m- ≥-9,解得 m≥ ,故选 A. 2 2 热点二 函数与方程思想在数列中的应用 例2 已知数列{an}是各项均为正数的等差数列.

(1)若 a1=2,且 a2,a3,a4+1 成等比数列,求数列{an}的通项公式 an; 1 1 1 (2)在(1)的条件下, 数列{an}的前 n 项和为 Sn, 设 bn= + +?+ , 若对任意的 n∈N*, S2n Sn+1 Sn+2 不等式 bn≤k 恒成立,求实数 k 的最小值. 解 (1)因为 a1=2,a2 (a4+1), 3=a2· 又因为{an}是正项等差数列,故 d≥0, 所以(2+2d)2=(2+d)(3+3d), 得 d=2 或 d=-1(舍去), 所以数列{an}的通项公式 an=2n. 1 1 1 (2)因为 Sn=n(n+1),bn= + +?+ S2n Sn+1 Sn+2 1 1 1 = + +?+ ?n+1??n+2? ?n+2??n+3? 2n?2n+1? 1 1 1 1 1 1 = - + - +?+ - 2n 2n+1 n+1 n+2 n+2 n+3 1 1 n 1 = - = = , 1 n+1 2n+1 2n2+3n+1 2n+ +3 n 1 令 f(x)=2x+ (x≥1), x 1 则 f′(x)=2- 2,当 x≥1 时,f′(x)>0 恒成立, x 所以 f(x)在[1,+∞)上是增函数, 故当 x=1 时,[f(x)]min=f(1)=3, 1 即当 n=1 时,(bn)max= , 6 要使对任意的正整数 n,不等式 bn≤k 恒成立, 1 则须使 k≥(bn)max= , 6 1 所以实数 k 的最小值为 . 6

思维升华 (1)等差(比)数列中各有 5 个基本量,建立方程组可“知三求二”; (2)数列的本质是定义域为正整数集或其有限子集的函数,数列的通项公式即为相应的解析 式,因此在解决数列问题时,应注意利用函数的思想求解. (1)(2014· 江苏)在各项均为正数的等比数列{an}中,若 a2=1,a8=a6+2a4,则 a6 的值是________. 1 (2)已知函数 f(x)=( )x,等比数列{an}的前 n 项和为 f(n)-c,则 an 的最小值为( 3 A.-1 B.1 2 2 C. D.- 3 3 答案 (1)4 (2)D 解析 (1)因为 a8=a2q6,a6=a2q4,a4=a2q2,所以由 a8=a6+2a4 得 a2q6=a2q4+2a2q2,消去 a2q2,得到关于 q2 的一元二次方程(q2)2-q2-2=0,解得 q2=2,a6=a2q4=1×22=4. 1 (2)由题设,得 a1=f(1)-c= -c; 3 2 a2=[f(2)-c]-[f(1)-c]=- ; 9 2 a3=[f(3)-c]-[f(2)-c]=- . 27 又数列{an}是等比数列, 2 1 2 ∴(- )2=( -c)×(- ),∴c=1. 9 3 27 a3 1 又∵公比 q= = , a2 3 2 1 n-1 1 ∴an=- ( ) =-2( )n,n∈N*. 33 3 且数列 {an}是递增数列, 2 ∴n=1 时,an 有最小值 a1=- . 3 热点三 函数与方程思想在几何中的应用 x2 y2 2 例 3 已知椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的一个顶点为 A(2,0),离心率为 .直线 y=k(x-1)与 a b 2 椭圆 C 交于不同的两点 M,N. (1)求椭圆 C 的方程; (2)当△AMN 的面积为 10 时,求 k 的值. 3 )



a=2, ? ?c 2 (1)由题意得? = , a 2 ? ?a =b +c ,
2 2 2

解得 b= 2.

x2 y2 所以椭圆 C 的方程为 + =1. 4 2

y=k?x-1?, ? ?2 2 (2)由?x y 得(1+2k2)x2-4k2x+2k2-4=0. ? ? 4 + 2 =1 设点 M,N 的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2), 4k2 则 x1+x2= , 1+2k2 2 2k -4 x1x2= . 1+2k2 所以|MN|= ?x2-x1?2+?y2-y1?2 = ?1+k2?[?x1+x2?2-4x1x2] 2 ?1+k2??4+6k2? = . 1+2k2 又因为点 A(2,0)到直线 y=k(x-1)的距离 |k| d= , 1+k2 所以△AMN 的面积为 |k| 4+6k2 1 S= |MN|· d= . 2 1+2k2 由 |k| 4+6k2 10 = ,解得 k=± 1. 3 1+2k2

所以,k 的值为 1 或-1. 思维升华 几何最值是高考的热点,在圆锥曲线的综合问题中经常出现,求解此类问题的一 般思路为在深刻认识运动变化的过程之中,抓住函数关系,将目标量表示为一个 (或者多个) 变量的函数,然后借助于函数最值的探求来使问题得以解决. y2 (1)(2014· 安徽)设 F1,F2 分别是椭圆 E:x2+ 2=1(0<b<1)的左,右焦点,过点 b F1 的直线交椭圆 E 于 A , B 两点.若 |AF1| = 3|F1B| , AF2⊥x 轴,则椭圆 E 的方程为 ________________. x2 y2 (2)若 a>1,则双曲线 2- =1 的离心率 e 的取值范围是( a ?a+1?2 A.(1, 2) B.( 2, 5) C.[ 2, 5] D.( 3, 5) 3 答案 (1)x2+ y2=1 (2)B 2 解析 (1)设点 B 的坐标为(x0,y0), y2 ∵x2+ 2=1,且 0<b<1, b ∴F1(- 1-b2,0),F2( 1-b2,0). ∵AF2⊥x 轴,∴A( 1-b2,b2). → → ∵|AF1|=3|F1B|,∴AF1=3F1B, ∴(-2 1-b2,-b2)=3(x0+ 1-b2,y0).

)

5 b2 ∴x0=- 1-b2,y0=- . 3 3 5 b2 - 1-b2,- ?. ∴点 B 的坐标为? 3? ? 3 2 5 b y2 - 1-b2,- ?代入 x2+ 2=1, 将点 B? 3? ? 3 b 2 2 得b = . 3 3 ∴椭圆 E 的方程为 x2+ y2=1. 2 2 2 a +?a+1? c 1 (2)e2=( )2= =1+(1+ )2, a a2 a 1 因为当 a>1 时,0< <1,所以 2<e2<5, a 即 2<e< 5.

1.在高中数学的各个部分,都有一些公式和定理,这些公式和定理本身就是一个方程,如等 差数列的通项公式、余弦定理、解析几何的弦长公式等,当题目与这些问题有关时,就需要 根据这些公式或者定理列方程或方程组求解需要的量. 2.当问题中涉及一些变化的量时,就需要建立这些变化的量之间的关系,通过变量之间的关 系探究问题的答案,这就需要使用函数思想. 3.借助有关函数的性质,一是用来解决有关求值、解(证)不等式、解方程以及讨论参数的取 值范围等问题,二是在问题的研究中,可以通过建立函数关系式或构造中间函数来求解. 4.许多数学问题中,一般都含有常量、变量或参数,这些参变量中必有一个处于突出的主导 地位,把这个参变量称为主元,构造出关于主元的方程,主元思想有利于回避多元的困扰, 解方程的实质就是分离参变量.

真题感悟
1 ? 1 1 2 1.(2014· 辽宁)已知 a= 2 ,b= log 2 ,c= log 1 ,则( 3 2 3

)

A.a>b>c B.a>c>b C.c>a>b D.c>b>a 答案 C 解析 0<a= 2 c= log 1
? 1 2

<20=1,b= log 2

1 <log21=0, 3

1 1 > log 1 =1, 2 3 2 2

即 0<a<1,b<0,c>1,所以 c>a>b.

x2 2.(2014· 福建)设 P,Q 分别为圆 x2+(y-6)2=2 和椭圆 +y2=1 上的点,则 P,Q 两点间的 10 最大距离是( A.5 2 )

B. 46+ 2

C.7+ 2 D.6 2 答案 D 解析 如图所示,设以(0,6)为圆心,以 r 为半径的圆的方程为 x2+(y-6)2=r2(r>0),与椭圆 x2 方程 +y2=1 联立得方程组,消掉 x2 得 9y2+12y+r2-46=0. 10

令 Δ=122-4×9(r2-46)=0, 解得 r2=50, 即 r=5 2. 由题意易知 P,Q 两点间的最大距离为 r+ 2=6 2, 故选 D. b 3.(2014· 江苏)在平面直角坐标系 xOy 中,若曲线 y=ax2+ (a,b 为常数)过点 P(2,-5),且 x 该曲线在点 P 处的切线与直线 7x+2y+3=0 平行,则 a+b 的值是______. 答案 -3 b b 解析 y=ax2+ 的导数为 y′=2ax- 2, x x 7 直线 7x+2y+3=0 的斜率为- . 2 b 4a+ =-5, ?a=-1, 2 ? 由题意得 解得? 则 a+b=-3. b 7 ?b=-2, ? 4a- =- , 4 2

? ? ?

4.(2014· 福建)要制作一个容积为 4 m3,高为 1 m 的无盖长方体容器.已知该容器的底面造 价是每平方米 20 元,侧面造价是每平方米 10 元,则该容器的最低总造价是____.(单位:元) 答案 160 4 解析 设该长方体容器的长为 x m,则宽为 m.又设该容器的造价为 y 元,则 y=20×4+ x 4 4 4 4 4 2(x+ )×10,即 y=80+20(x+ )(x>0).因为 x+ ≥2 x·=4(当且仅当 x= ,即 x=2 时取 x x x x x “=”),

所以 ymin=80+20×4=160(元). 押题精练 1.函数 f(x)的定义域为 R,f(-1)=2,对任意 x∈R,f′(x)>2,则 f(x)>2x+4 的解集为( A.(-1,1) B.(-1,+∞) C.(-∞,-1) D.(-∞,+∞) 答案 B 解析 f′(x)>2 转化为 f′(x)-2>0,构造函数 F(x)=f(x)-2x, 得 F(x)在 R 上是增函数. 又 F(-1)=f(-1)-2×(-1)=4,f(x)>2x+4, 即 F(x)>4=F(-1),所以 x>-1. 2.设直线 x=t 与函数 f(x)=x2,g(x)=ln x 的图象分别交于点 M、N,则当|MN|达到最小时 t 的值为( 1 A.1 B. 2 5 2 C. D. 2 2 答案 D 解析 可知|MN|=f(x)-g(x)=x2-ln x. 令 F(x)=x2-ln x, 2 1 2x -1 F′(x)=2x- = , x x 2 所以当 0<x< 时, 2 F′(x)<0,F(x)单调递减; 2 当 x> 时,F′(x)>0,F(x)单调递增, 2 2 故当 x=t= 时,F(x)有最小值,即|MN|达到最小. 2 3.(2014· 辽宁)当 x∈[-2,1]时,不等式 ax3-x2+4x+3≥0 恒成立,则实数 a 的取值范围是 ( ) 9 A.[-5,-3] B.[-6,- ] 8 C.[-6,-2] D.[-4,-3] 答案 C 解析 当 x=0 时,ax3-x2+4x+3≥0 变为 3≥0 恒成立,即 a∈R. x2-4x-3 当 x∈(0,1]时,ax3≥x2-4x-3,a≥ , x3 x2-4x-3? 所以 a≥? x3 ? ?max. 2 x -4x-3 设 φ(x)= , x3 ) )

?2x-4?x3-?x2-4x-3?3x2 x2-8x-9 ?x-9??x+1? 所以 φ′(x)= =- =- >0, 6 x x4 x4 所以 φ(x)在(0,1]上递增,φ(x)max=φ(1)=-6. 所以 a≥-6. x2-4x-3 当 x∈[-2,0)时,a≤ , x3 2 x -4x-3? 所以 a≤? x3 ? ?min. x2-4x-3 ?x-9??x+1? 仍设 φ(x)= ,φ′(x)=- . x3 x4 当 x∈[-2,-1)时,φ′(x)<0,φ(x)在[-2,-1)上单调递减, 当 x∈(-1,0)时,φ′(x)>0,φ(x)在(-1,0)上单调递增. 所以当 x=-1 时,φ(x)有极小值, 1+4-3 即为最小值.而 φ(x)min=φ(-1)= =-2,所以 a≤-2.综上知-6≤a≤-2. -1 4.若关于 x 的方程(2-2 答案 [-1,2) 解析 令 f(x)=(2-2
-|x-2| -|x-2|

)2=2+a 有实根,则实数 a 的取值范围是________.

)2.要使 f(x)=2+a 有实根,只需 2+a 是 f(x)的值域内的值.∵f(x)

的值域为[1,4),∴1≤a+2<4,∴-1≤a<2. 5.已知函数 f(x)=ax2+ax 和 g(x)=x-a,其中 a∈R,且 a≠0.若函数 f(x)与 g(x)的图象相交 于不同的两点 A、B,O 为坐标原点,试求△OAB 的面积 S 的最大值. 解 依题意,f(x)=g(x),即 ax2+ax=x-a, 整理得 ax2+(a-1)x+a=0,① ∵a≠0, 函数 f(x)与 g(x)的图象相交于不同的两点 A、B, ∴Δ>0,即 Δ=(a-1)2-4a2=-3a2-2a+1=(3a-1)· (-a-1)>0, 1 ∴-1<a< 且 a≠0.设 A(x1,y1),B(x2,y2), 3 a-1 且 x1<x2,由①得 x1x2=1>0,x1+x2=- . a |-a| 设点 O 到直线 g(x)=x-a 的距离为 d,则 d= , 2 |-a| 1 1 ∴S= 1+12|x1-x2|· = -3a2-2a+1 2 2 2 1 1 4 1 1 3 a+ ?2+ .∵-1<a< 且 a≠0,∴当 a=- 时,S 取得最大值 . = -3? 3 ? ? 3 2 3 3 3 3 即△OAB 的面积 S 的最大值为 . 3 2 2 x y 6.如图,已知椭圆 G: 2+ 2 =1(a>1),⊙M:(x+1)2+y2=1,P 为椭圆 G 上一点,过 P a a -1 作⊙M 的两条切线 PE、PF,E、F 分别为切点.

→ (1)求 t=|PM|的取值范围; → → (2)把PE· PF表示成 t 的函数 f(t),并求出 f(t)的最大值、最小值. 2 x0 y2 0 解 (1)设 P(x0,y0),则 2+ 2 =1(a>1), a a -1 x2 0 2 1- 2?, ∴y0 =(a2-1)? ? a? → ∴t2=|PM|2=(x0+1)2+y2 0 2 x 0 2 2 ? ?1 ?2 =(x0+1) +(a -1)?1-a2? ?=?ax0+a? , 1 ? ∴t=? ?ax0+a?. ∵-a≤x0≤a,∴a-1≤t≤a+1(a>1). → → → → (2)∵PE· PF=|PE||PF|cos∠EPF → =|PE|2(2cos2∠EPM-1) ? → 2 1? ? → =(|PM|2-1)?2?|PM| - ? ? |PM|2 -1? 2?t2-1? ? 2 2 =(t2-1)? ? t2 -1?=t +t2-3, 2 ∴f(t)=t2+ 2-3(a-1≤t≤a+1). t 2 4 对于函数 f(t)=t2+ 2-3(t>0),显然在 t∈(0, 2]时,f(t)单调递减, t 4 在 t∈[ 2,+∞)时,f(t)单调递增. 2 ∴对于函数 f(t)=t2+ 2-3(a-1≤t≤a+1), t 4 4 当 a> 2+1,即 a-1> 2时,[f(t)]max=f(a+1)=a2+2a-2+ [f(t)]min=f(a-1)=a2-2a-2+ 2 ; ?a-1?2 2 , ?a+1?2

2 4 当 1+ 2≤a≤ 2+1 时,[f(t)]max=f(a+1)=a2+2a-2+ , ?a+1?2 4 [f(t)]min=f( 2)=2 2-3; 当 1<a< 2 4 1+ 2时,[f(t)]max=f(a-1)=a2-2a-2+ ,[f(t)]min=f( 2)=2 2-3. ?a-1?2


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