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2011至2012年第一学期江苏省南通第一中学期中考试高二数学

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2011— 2011—2012 学年度第一学期江苏省南通第一中学高二期中考试 数学试卷
注意事项:本试卷分试题和答卷两部分, 分钟. 注意事项:本试卷分试题和答卷两部分,共 160 分,考试时间为 120 分钟. 和答卷两部分 填空题: 小题, 一、 填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.把答案填写在答题卡相应位置 . 1. 用符号表示“点 A 在

直线 l 上, l 在平面 α 外”为 ▲ 2. 在直角坐标系中,直线 3 x + 3 y ? 3 = 0 的倾斜角是 ▲ . ▲ ▲ . 个.

3. 若直线 a, b 与两异面直线 c, d 都相交,则直线 a, b 的位置关系是 4. 若三条直线两两相交,由这三条直线中任意两条所确定的平面有 5. 过点 (1, 0 ) 且与直线 x ? 2 y ? 2 = 0 平行的直线方程是 ▲ .

6. 下列命题中正确的是 ▲ (填序号) ① 棱柱被任一平面截成的两部分都是棱柱; ② 棱台的所有侧面都是等腰梯形; ③ 用一个平面去截圆锥,得到的几何体是一个圆锥和一个圆台; ④ 用任一平面去截球得到的截面都是圆面;
? x + y ≤ 3, ? 7. 设变量 x, y 满足约束条件 ? x ? y ≥ ?1, 则目标函数 z = 4 x ? 2 y 的最大值为 ? y ≥ 1, ?





8. 若圆心在 x 轴上、半径为 5 的圆 C 位于 y 轴左侧,且与直线 x + 2 y = 0 相切,则圆 C 的方程
2 2





9. 圆 x + y ? 2 x ? 2 y + 1 = 0 上的动点 Q 到直线 3 x + 4 y + 8 = 0 距离的最小值为 10.若⊙ O1 : x + y = 5 与⊙ O2 : ( x ? m) + y = 20( m ∈ R ) 有公共点,则 m 的范围
2 2 2 2

▲.



▲ .

11.过点 P (1, 2 ) 作直线 l ,使直线 l 与点 M ( 2,3) 和点 N ( 4, ?5 ) 的距离相等,则直线 l 的 方程是




2

12. 若直线 y = x + b 与曲线 y = 3 ? 4 x ? x 有惟一公共点, b 的取值范围是 则 13. 已知 a ≠ b , a 2 sin θ + a cos θ ? 且





π π = 0 , 2 sin θ + b cos θ ? = 0 , b 则连接 A ( a, a 2 ) , B ( b, b 2 ) 4 4 ▲

两点的直线 AB 与单位圆的位置关系是



14 . 平 面 上 有 两 点 A(?10, 0), B(10, 0) , 动 点 P 在 圆 周 ( x ? 3)2 + ( y ? 4) 2 = 4 上 , 则 使 得
AP 2 + BP 2 取得最大值时点 P 的坐标是





1

小题, 请将解答填写在答题卡规定的区域内 卡规定的区域内, 二、解答题:本大题共 6 小题,共 90 分. 请将解答填写在答题卡规定的区域内,否则答题 解答题: 无效. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 无效 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(14 分)已知直线 l : 2 x + y ? 5 = 0 和点 A ( 3, 0 ) (1) 求:过点 A ( 3, 0 ) 与直线 l 垂直的直线 l1 的方程; (2) 若直线 l 上存在点 B 且 AB =

29 ,求点 B 的坐标.

16.(14 分)已知直线 l 过点 P ( 2,3) ,并与 x, y 轴正半轴交于 A, B 两点;

27 时,求直线 l 的方程; 2 (2)求 ?AOB 面积的最小值,并写出这时直线 l 的方程.
(1)当 ?AOB 面积为

17. 分)已知圆 ⊙C1 : x2 + y 2 + 2 x + 2 y ? 8 = 0 与 ⊙C2 : x + y ? 2 x + 10 y ? 24 = 0 相交于 (14
2 2

A, B 两点. (1)求公共弦 AB 所在的直线方程; (2)求经过 A, B 两点且面积最小的圆的方程.

18.(16 分)已知方程 x 2 + y 2 ? 2 x ? 4 y + m = 0 . (1)若此方程表示圆,求 m 的取值范围; (2)若(1)中的圆与直线 x + 2 y ? 4 = 0 相交于 M , N 两点,且 OM ⊥ ON ( O 为坐标 原点) ,求 m 的值. 19.(16 分)已知圆 C : ( x ? 2 ) + y = 1
2 2

(1) 求:过点 P ( 3, m ) 与圆 C 相切的切线方程; (2) 若点 Q 是直线 x + y ? 6 = 0 上的动点,过点 Q 作圆 C 的切线 QA, QB ,其中 A, B 为切点,求:四边形 QACB 面积的最小值及此时点 Q 的坐标.

20.(16 分)已知平面直角坐标系 xOy 中 O 是坐标原点, A(6,2 3 ), B (8,0) . (1)求 ?OAB 的外接圆圆 C 的方程; (2) 设圆 N 的方程 ( x ? 4 ? 7 cos θ ) 2 + ( y ? 7 sin θ ) 2 = 1 ,(θ ∈ R ) , 过圆 N 上任意一点 P 作圆 C 的两条切线 PE, PF ,切点为 E, F ,求 CE ? CF 的最大值.
2

2011— 2011—2012 学年度第一学期江苏省南通第一中学高二期中考试 数学参考答案 数学参考答案
1. A ∈ l , l ? α
5. x ? 2 y ? 1 = 0
9. 2

2.

5π 6

(150 )
0

3.相交或异面
2

4. 1 或 3

6.④

7.6

8. ( x + 5 ) + y 2 = 5
11. 3x + 2 y ? 7 = 0, 4 x + y ? 6 = 0

10. ? ?3 5, ? 5 ? ∪ ? 5,3 5 ? ? ? ? ?

12. ( ?1,3] ∪ 1 ? 2 2

{

}

13.相交

? 21 28 ? 14. ? , ? ? 5 5 ?

15.① x ? 2 y ? 3 = 0
2

――――――――7 分
2 2

AB 2 = ( x ? 3) + y 2 = ( x ? 3) + ( 5 ? x ) = 29 1 5 ② ? 1 23 ? ∴ B ( 5, ?5 ) 或 ? , ? ?5 5 ? ∴ x = 5或x =
――――――14 分

16.① 设l :

x y 2 3 + = 1∴ + = 1 a b a b



1 27 ab = 2 2

∴ a = 3, b = 9

x y ∴l : + = 1 3 9
② 设l :

―――――――――7 分

x y 2 3 + = 1∴ + = 1 a b a b



2 3 2×3 + =1≥ 2 a b ab

∴ ab ≥ 24 ―――14 分

等号成立时

2 3 1 = = ∴ a = 4, b = 6 a b 2

x y ∴ S min = 12, l : + = 1 4 6

17.① x ? 2 y + 4 = 0

――――――6 分

②圆心 C1C2 所在的直线方程是 2 x + y + 3 = 0 ,与直线 AB 的交点是 ( ?2,1)

C1 到直线 AB 的距离 d = 5
2

∴R =

AB = 10 ? 5 = 5 2

所求圆方程为: ( x + 2 ) + y ? 1

(

)

2

= 5 ――――――――14 分

18.① m < 5

―――――4 分
3

② 设M ( x1 , y1 ) , N ( x2 , y2 )

? x2 + y 2 ? 2 x ? 4 y + m = 0 ∴ 5 y 2 ? 16 y + 8 + m = 0 ? x + 2y ? 4 = 0 ?
又 x1 x2 = ( 4 ? 2 y1 )( 4 ? 2 y2 ) = 4 y1 y2 ? 8 ( y1 + y2 ) + 16 即 5 y1 y2 ? 8( y1 + y2 ) + 16 = 0 则m =

∴ y1 + y2 =

16 8+ m , y1 y2 = 5 5
则 x1 x2 + y1 y2 = 0

∵ OM ⊥ ON
又m =

∴m =

8 5

8 时?>0成立 5

8 ――――――16 分 5

说明:也可以利用斜边上的中线等于斜边的一半建立方程, 本题也可以利用圆心连线与弦 MN 垂直这一特殊性. ①当 m = 0时 切线方程为 x = 3

19.⑴

―――――2 分

②当 m ≠ 0 时

设切线方程为 y ? m = k ( x ? 3)



k ?m
1+ k
2

= 1∴ k =

1? m 2m

切线方程为

x = 3或 y ? m =

1 ? m2 ( x ? 3) 2m

―――――――8 分

⑵ SQACB = 2 S ?QAC = AC ? AQ =

CQ 2 ? 1

故 CQ 最小时四边形面积最小,

CQmin =

2?6 2

=2 2

SQACB 的最小值为 7

此时 CQ : y = x ? 2

∴ Q ( 4, 2 )

――――――16 分

20.①∵ kOA =

3 , k AB = ? 3 3


∴ OA ⊥ OB, 则圆C : ( x ? 4 ) + y 2 = 16
2

―――6 分 ,



CE , CF = 2θ
CE 2 16 ? 16 = 32 2 ? 16 2 CP CP

∴ CE ? CF = 16 cos 2θ = 16 ( 2cos 2 θ ? 1) = 32

∴ CP 2最小时, ? CF  最大 CE
则 CE ? CF 的最大值是 -

又 CN=7 则 CP 的最小值是 6 ――――――――16 分

16 9

4


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