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《导数及其应用》单元测试题(理科)

时间:2015-03-25


《导数及其应用》单元测试题(理科)
(满分 150 分 时间:120 分钟 ) 一、选择题(本大题共 8 小题,共 40 分,只有一个答案正确) 1.函数 f ( x) ? ?2?x? 的导数是(
2

) (C) f ?( x) ? 8? 2 x ) (D) f ?( x) ? 16?x

(A) f ?( x) ?

4?x

(B) f ?( x) ? 4? 2 x

2.函数 f ( x) ? x ? e ? x 的一个单调递增区间是( (A) ?? 1,0? (B) ?2,8? (C) ?1,2?

(D) ?0,2?

x) 3 . 已 知 对 任 意 实 数 x , 有 f (? x) ? ? f ( , f ?( x)? , 0 ?g (? x ) ,则 0 x ? 0 时(
A. f ?( x) ? 0,g ?( x) ? 0 C. f ?( x) ? 0,g ?( x) ? 0 )

g? ( x)? g ( x ) x?0 时 , , 且

B. f ?( x) ? 0,g ?( x) ? 0 D. f ?( x) ? 0,g ?( x) ? 0

4.

?

2

1

1 1 1 ( ? 2 ? 3 )dx ? ( x x x
(A) ln 2 ?
1 x 2



7 8
2

(B) ln 2 ?

7 8

(C) ln 2 ?

5 4

(D) ln 2 ?

1 8

5.曲线 y ? e A.

在点 (4,e ) 处的切线与坐标轴所围三角形的面积为( B. 4e
2

) D. e
2

9 2 e 2

C. 2e

2

6.设 f ?( x ) 是函数 f ( x ) 的导函数,将 y ? f ( x) 和 y ? f ?( x) 的图象画在同一个直角坐标系 中,不可能正确的是( )

2 7 .已知二次函数 f ( x) ? ax ? bx ? c 的导数为 f '( x) , f '(0) ? 0 ,对于任意实数 x 都有

f ( x) ? 0 ,则
A. 3

f (1) 的最小值为( f '(0)
B.



5 2

C. 2

D.

3 2

8.设 p : f ( x) ? ex ? ln x ? 2x2 ? mx ? 1 在 (0, ? ?) 内单调递增, q : m ≥ ?5 ,则 p 是 q 的 ( ) B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

A.充分不必要条件 C.充分必要条件

二.填空题(本大题共 6 小题,共 30 分) 9.用长为 18 cm 的钢条围成一个长方体形状的框架,要求长方体的长与宽之比为 2:1,则 该长方体的长、宽、高各为 10.将抛物线 y ? 的体积等于 11 .已知函数 f ( x) ? x3 ?12 x ? 8 在区间 [?3,3] 上的最大值与最小值分别为 M , m ,则 M ? m ? __. 12.对正整数 n,设曲线 y ? x n (1 ? x) 在 x=2 处的切线与 y 轴交点的纵坐标为 a n ,则数列 时,其体积最大.

x2 和直线 y ? 1 围成的图形绕 y 轴旋转一周得到的几何体 2

? an ? ? ? 的前 n 项和的公式是 ? n ? 1? 2 3 13.点 P 在曲线 y ? x ? x ? 上移动,设在点 P 处的切线的倾斜角为为 ? ,则 ? 的取值 3
范围是 14.已知函数 y ? 是

1 3 x ? x 2 ? ax ? 5 (1)若函数在 ?? ?,??? 总是单调函数,则 a 的取值范围 3
. (2)若函数在 [1,??) 上总是单调函数,则 a 的取值范围 . .

(3)若函数在区间(-3,1)上单调递减,则实数 a 的取值范围是 三.解答题(本大题共 6 小题,共 12+12+14+14+14+14=80 分) 15.设函数 f ( x) ? e ? e .
x ?x

(1)证明: f ( x ) 的导数 f ?( x) ≥ 2 ; (2)若对所有 x ≥ 0 都有 f ( x) ≥ ax ,求 a 的取值范围.

16.设函数 f ( x) ? ? x3 ? 3x ? 2 分别在 x1、x2 处取得极小值、极大值. xoy 平面上点 A、 B 的

坐标分别为 、 , 该平面上动点 P 满足 PA ? PB ? 4 ,点 Q 是点 P 关于直线 (x1 ,f ( x1 )) (x2 ,f ( x2 ))

y ? 2( x ? 4) 的对称点,.求
(1)求点 A、 B 的坐标; (2)求动点 Q 的轨迹方程.

17.已知函数 f ( x) ? ax4 ln x ? bx4 ? c (x>0)在 x = 1 处取得极值-3-c,其中 a,b,c 为常数。 (1)试确定 a,b 的值; (2)讨论函数 f(x)的单调区间; (3)若对任意 x>0,不等式 f ( x) ? ?2c 2 恒成立,求 c 的取值范围。

18.已知 f ( x) ?

ax3 ? (a ? 1) x 2 ? 4 x ? 1?a ? R ? 3

(1)当 a ? ?1 时,求函数的单调区间。 (2)当 a ? R 时,讨论函数的单调增区间。 (3)是否存在负实数 a ,使 x ? ?? 1,0? ,函数有最小值-3?

19.已知函数 f ( x) ? x3 ? 3x. (1)求曲线 y ? f ( x) 在点 x ? 2 处的切线方程; (2)若过点 A(1, m) (m ? ?2) 可作曲线 y ? f ( x) 的三条切线,求实数 m 的取值范围.

20.已知函数 f ? x ? ? x ?

a2 , g ? x ? ? x ? ln x ,其中 a ? 0 . x (1)若 x ? 1 是函数 h ? x ? ? f ? x ? ? g ? x ? 的极值点,求实数 a 的值;
实数 a 的取值范围.

(2)若对任意的 x1, x2 ??1 ,e?( e 为自然对数的底数)都有 f ? x1 ? ≥ g ? x2 ? 成立,求

理科测试解答
一、选择题 1. f ( x) ? ?2?x?2 ? 4? 2 x 2 ,? f ?( x) ? 2 ? 4? 2 x ? f ?( x) ? 8? 2 x ; 或 f ?( x) ? 2 ? ?2?x ? ? ?2?x ?? ? 4?x ? 2? ? 8? 2 x (理科要求:复合函数求导) 2. f ( x) ? x ? e ? x ?

x ?1 ? x ? ? e x ? 0,? x ? 1 选(A) 1? e x ? x ? e x , . ? ? f ( x ) ? ? 2 ex ex ?e x ?2

? ?

或 f ?( x) ? 1? e ? x ? x ? e ? x ? ?? 1? ? (1 ? x) ? e ? x ? 0.? e ? x ? 0,? x ? 1. 3.(B)数形结合 4. (D) 5. (D) 6. (D) 7. (C) 8. (B) 二、填空题 9.2cm,1cm,1.5cm ; 设长方体的宽为 x(m) ,则长为 2x(m),高为
h? 18 ? 12x ? 4.5 ? 3x(m) 4 3? ? ? 0<x< ? . 2? ?

故长方体的体积为

V ( x) ? 2x 2 (4.5 ? 3x) ? 9x 2 ? 6x 3 (m 3 )

3 (0<x< ). 2

从而 V ?( x) ? 18x ? 18x 2 (4.5 ? 3x) ? 18x(1 ? x). 令 V′(x)=0,解得 x=0(舍去)或 x=1,因此 x=1. 当 0<x<1 时,V′(x)>0;当 1<x<

2 时,V′(x)<0, 3

故在 x=1 处 V(x)取得极大值,并且这个极大值就是 V(x)的最大值。 从而最大体积 V=V′(x)=9×12-6×13(m3) ,此时长方体的长为 2 m,高为 1.5 m. 10. ? . S ? 11.32 12. y
/ x?2

2 2 ? ?x dy ? ? ? 2 ydy ? ??y ? ? ? . (图略) 1

1

0

0

1 0

? ?2n ?1 ? n ? 2 ? , 切线方程为 : y ? 2n ? ?2n ?1 ? n ? 2 ? ( x ? 2) ,令 x=0,求出切线
n

与 y 轴交点的纵坐标为 y0 ? ? n ? 1? 2 ,所以

Sn ?

2 ?1 ? 2n ? 1? 2

an ? a ? ? 2n ,则数列 ? n ? 的前 n 项和 n ?1 ? n ? 1?

? 2n?1 ? 2

? 3? ? 13. ?0, ? ? ? ? ? ,? ? ? ? 2? ? 4 ?
14. (1) a ? 1; (2)a ? ?3; (3)a ? ?3. 三、解答题 15.解: (1) f ( x ) 的导数 f ?( x) ? e x ? e? x . 由于 ex ? e-x ≥ 2 ex e? x ? 2 ,故 f ?( x) ≥ 2 . (当且仅当 x ? 0 时,等号成立) . (2)令 g ( x) ? f ( x) ? ax ,则

g ?( x) ? f ?( x) ? a ? e x ? e? x ? a ,
(ⅰ)若 a ≤ 2 ,当 x ? 0 时, g?( x) ? ex ? e? x ? a ? 2 ? a ≥ 0 ,

? ) 上为增函数, 故 g ( x) 在 (0,∞
所以, x ≥ 0 时, g ( x) ≥ g (0) ,即 f ( x) ≥ ax .

a ? a2 ? 4 (ⅱ)若 a ? 2 ,方程 g ?( x) ? 0 的正根为 x1 ? ln , 2
此时,若 x ? (0,x1 ) ,则 g ?( x) ? 0 ,故 g ( x) 在该区间为减函数. 所以, x ? (0,x1 ) 时, g ( x) ? g (0) ? 0 ,即 f ( x) ? ax ,与题设 f ( x) ≥ ax 相矛盾. 综上,满足条件的 a 的取值范围是 ? ?∞, 2? . 16.解: (1)由题意知 f (1) ? ?3 ? c ,因此 b ? c ? ?3 ? c ,从而 b ? ?3 . 又对 f ( x ) 求导得

f ?( x) ? 4ax3 ln x ? ax 4

1 ? 4bx 3 x

? x3 (4a ln x ? a ? 4b) .
由题意 f ?(1) ? 0 ,因此 a ? 4b ? 0 ,解得 a ? 12 .
3 (2)由(I)知 f ?( x) ? 48x ln x ( x ? 0 ) ,令 f ?( x) ? 0 ,解得 x ? 1 .

当 0 ? x ? 1 时, f ?( x) ? 0 ,此时 f ( x ) 为减函数;

当 x ? 1 时, f ?( x) ? 0 ,此时 f ( x ) 为增函数. 因此 f ( x ) 的单调递减区间为 (0, 1) ,而 f ( x) 的单调递增区间为 (1,∞ ? ). (3)由(II)知, f ( x ) 在 x ? 1 处取得极小值 f (1) ? ?3 ? c ,此极小值也是最小值,要使

f ( x) ≥ ?2c2 ( x ? 0 )恒成立,只需 ?3 ? c ≥ ?2c 2 .
即 2c ? c ? 3 ≥ 0 ,从而 (2c ? 3)(c ? 1) ≥ 0 ,
2

解得 c ≥

3 或 c ≤ ?1 . 2

所以 c 的取值范围为 (??, ? 1]

?3 ? , ? ?? ? ?2 ?

17.解: (1)令 f ?( x) ? (? x 3 ? 3x ? 2)? ? ?3x 2 ? 3 ? 0 解得 x ? 1或x ? ?1 当 x ? ?1 时, f ?( x) ? 0 , 当 ? 1 ? x ? 1 时, f ?( x) ? 0 ,当 x ? 1 时, f ?( x) ? 0 所 以 , 函 数 在 x ? ?1 处 取 得 极 小 值 , 在 x ? 1 取 得 极 大 值 , 故

x1 ? ?1, x2 ? 1, f (?1) ? 0, f (1) ? 4
所以, 点 A、B 的坐标为 A(?1,0), B(1,4) . (2) 设 p(m, n) , Q( x, y) , PA ? PB ? ?? 1 ? m,?n? ? ?1 ? m,4 ? n? ? m2 ? 1 ? n 2 ? 4n ? 4

1 y?n 1 y?n ?x?m ? k PQ ? ? , ?? , 所以 又 PQ 的中点在 y ? 2( x ? 4) 上, 所以 ? 2? ? 4? 2 x?m 2 2 ? 2 ?
消去 m, n 得 ?x ? 8? ? ? y ? 2? ? 9 .
2 2

另法:点 P 的轨迹方程为 m2 ? ?n ? 2? ? 9, 其轨迹为以(0,2)为圆心,半径为 3 的圆;
2

设点(0,2)关于 y=2(x-4)的对称点为(a,b),则点 Q 的轨迹为以(a,b),为圆心,半径为 3 的圆, 由

b?2 1 b?2 ?a?0 ? ?? , ? 2? ? 4 ? 得 a=8,b=-2 a?0 2 2 ? 2 ?

18(1) x ? ?? ?,?2?, 或 x ? ?2,???, f ( x ) 递减; x ? ?? 2,2?, f ( x ) 递增; (2)1、当 a ? 0,
2 ? x ? ?? ?,?2?, f ( x ) 递 增 ;2 、 当 a ? 0, x ? ? ? ,2 ?, f ( x ) 递 增 ;3 、 当 0 ? a ? 1, x ? ?? ?,2?, 或 ?a ?
2? ?2 ? ? x ? ? ,?? ?, f ( x ) 递增 ; 当 a ? 1, x ? ?? ?,???, f ( x ) 递增 ; 当 a ? 1, x ? ? ? ?, ?, 或 x ? ?2,???, f ( x ) a? ?a ? ?

递增; (3) 因 a ? 0, 由②分两类 (依据: 单调性, 极小值点是否在区间[-1,0]上是分类 “契机” : 3 2 ? 1、当 2 ? ?1, ? a ? ?2, x ? ?? 1,0? ? ? ? ,2 ?, f ( x ) 递增, f ( x) min ? f (?1) ? ?3 ,解得 a ? ? ? ?2, 4 a ?a ? 2、当 2 ? ?1, ? a ? ?2, 由单调性知: f ( x ) min ? f ( ) ? ?3 ,化简得: 3a 2 ? 3a ? 1 ? 0 ,解得 a a
a?

2

3 ? 3 ? 21 ? ?2, 不合要求;综上, a ? ? 为所求。 4 6

19.解(1) f ?( x) ? 3x2 ? 3, f ?(2) ? 9, f (2) ? 23 ? 3 ? 2 ? 2 ?????????2 分 ∴曲线 y ? f ( x) 在 x ? 2 处的切线方程为 y ? 2 ? 9( x ? 2) ,即 9 x ? y ?16 ? 0 ;???4 分 (2)过点 A(1, m) 向曲线 y ? f ( x) 作切线,设切点为 ( x0 , y0 ) 则 y0 ? x03 ? 3x0 , k ? f ?( x0 ) ? 3x02 ? 3. 则切线方程为 y ? ( x03 ? 3x0 ) ? (3x02 ? 3)( x ? x0 ) ???????????????6 分 整理得 2x03 ? 3x02 ? m ? 3 ? 0 (*) 过点 A(1, m) (m ? ?2) 可作曲线 y ? f ( x) 的三条切线 ∴方程(*)有三个不同实数根.


记 g ( x) ? 2x3 ? 3x2 ? m ? 3, g ?( x) ? 6x2 ? 6x ? 6x( x ?1) 令 g ?( x) ? 0, x ? 0 或 1. ??????????????????????10 分 则 x, g ?( x), g ( x) 的变化情况如下表

x (??, 0) 0 (0,1) (1, ??) 1 ? g ?( x ) 0 0 ? ? g ( x) 极大 极小 当 x ? 0, g ( x) 有极大值 m ? 3; x ? 1, g ( x) 有极小值 m ? 2 . ?????????12 分 ? g (0) ? 0 由 g ( x) 的简图知,当且仅当 ? , ? g (1) ? 0 ?m ? 3 ? 0 即? , ? 3 ? m ? ?2 时, ?m ? 2 ? 0 函数 g ( x) 有三个不同零点,过点 A 可作三条不同切线. 所以若过点 A 可作曲线 y ? f ( x) 的三条不同切线, m 的范围是 (?3, ?2) .????14 分
a2 ? ln x ,其定义域为 ? 0, 20. (1)解法1:∵ h ? x ? ? 2 x ? ? ?? , x a2 1 ∴ h? ? x ? ? 2 ? 2 ? . x x 2 ∵ x ? 1 是函数 h ? x ? 的极值点,∴ h? ?1? ? 0 ,即 3 ? a ? 0 .
∵ a ? 0 ,∴ a ? 3 . 经检验当 a ? 3 时, x ? 1 是函数 h ? x ? 的极值点, ∴a ? 3.

解法2:∵ h ? x ? ? 2 x ? ∴ h? ? x ? ? 2 ?

a2 ? ln x ,其定义域为 ? 0, ? ?? , x

a2 1 ? . x2 x a2 1 2 2 令 h? ? x ? ? 0 ,即 2 ? 2 ? ? 0 ,整理,得 2 x ? x ? a ? 0 . x x 2 ∵ ? ? 1 ? 8a ? 0 ,
∴ h? ? x ? ? 0 的两个实根 x1 ?

当 x 变化时, h ? x ? , h? ? x ? 的变化情况如下表:

?1 ? 1 ? 8a 2 ?1 ? 1 ? 8a 2 (舍去) , x2 ? , 4 4

x
h? ? x ? h ? x?

? 0, x2 ?


x2
0 极小值

? x2 , ???


?1 ? 1 ? 8a 2 依题意, ? 1 ,即 a 2 ? 3 , 4 ∵ a ? 0 ,∴ a ? 3 . ( 2 ) 解 : 对 任 意 的 x1, x2 ??1 ,e? 都 有 f ? x1 ? ≥ g ? x2 ? 成 立 等 价 于 对 任 意 的

x1, x2 ??1 ,e? 都有 ? ? f ? x ?? ? min ≥ ? ? g ? x ?? ? max . 1 当 x ? [1, e ]时, g ? ? x ? ? 1 ? ? 0 . x ∴函数 g ? x ? ? x ? ln x 在 ?1 ,e? 上是增函数.
∴? ? g ? x ?? ? max ? g ? e ? ? e ? 1 . ∵ f ?? x? ? 1?

a 2 ? x ? a ?? x ? a ? ? ,且 x ??1, e? , a ? 0 . x2 x2 ? x ? a ?? x ? a ? ? 0 , ①当 0 ? a ? 1 且 x ? [1, e ]时, f ? ? x ? ? x2 a2 ∴函数 f ? x ? ? x ? 在[1, e ]上是增函数, x
2 ∴? ? f ? x ?? ? min ? f ?1? ? 1 ? a .

由 1 ? a ≥ e ? 1 ,得 a ≥ e , 又 0 ? a ? 1 ,∴ a 不合题意.
2

②当1≤ a ≤ e 时, 若1≤ x < a ,则 f ? ? x ? ?

? x ? a ?? x ? a ? ? 0 ,
x2

若 a < x ≤ e ,则 f ? ? x ? ? ∴函数 f ? x ? ? x ? ∴? ? f ? x ?? ? min

? x ? a ?? x ? a ? ? 0 .
x2

a2 在 ?1, a ? 上是减函数,在 ? a,e? 上是增函数. x ? f ? a ? ? 2a .
e ?1 , 2

由 2 a ≥ e ? 1 ,得 a ≥ 又1≤ a ≤ e ,∴

e ?1 ≤a≤e. 2

③当 a ? e 且 x ? [1, e ]时, f ? ? x ? ? ∴函数 f ? x ? ? x ? ∴? ? f ? x ?? ? min 由e?

? x ? a ?? x ? a ? ? 0 ,
x2

a2 在 ?1 ,e? 上是减函数. x a2 ? f ?e? ? e ? . e

a2 ≥ e ? 1 ,得 a ≥ e , e 又 a ? e ,∴ a ? e . ? e ?1 ? 综上所述, a 的取值范围为 ? , ?? ? . ? 2 ?


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