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高中数学竞赛圆锥曲线


高中数学竞赛圆锥曲线(2)
一填空题 1、(集训试题)过椭圆 C:
x
2

?

y

2

? 1 上任一点 P,作椭圆 C 的右准线的垂线 PH(H 为

3

2

垂足) ,延长 PH 到点 Q,使|H

Q|=λ |PH|(λ ≥1)。当点 P 在椭圆 C 上运动时,点 Q 的轨迹的 离心率的取值范围为( ) A. ( 0 ,
3 3 ]

B. (

3 3

,

3 2

]

C. [

3 3

,1 )

D. (

3 2

,1)

解:设 P(x1, y1),Q(x, y),因为右准线方程为 x=3,所以 H 点的坐标为(3, y)。又∵HQ=
3 (1 ? ? ) ? x ? ? x1 ? ? λ PH,所以 ,所以由定比分点公式,可得: ? ,代入椭圆方 ? PQ 1? ? ?y ? y ? 1

HP

?1







Q

点 轨 迹 为

[ x ? 3 (1 ? ? )] 3?
2

2

?

y

2

?1

, 所 以 离 心 率

2

e= 2

3? ? 2
2

2 3?

?

1?

2 3?
2

?[

3 3

,1) 。故选 C。

1.(2009 全国卷Ⅰ理)设双曲线 则该双曲线的离心率等于( C ) (A) 3 (B)2

x a

2 2

?

y b

2 2

? 1 (a>0,b>0)的渐近线与抛物线 y=x +1 相切,

2

(C) 5
'

(D) 6
y0 x0 ? 2 x0 又 y0 ? x0 ? 1
2

解:设切点 P ( x 0 , y 0 ) ,则切线的斜率为 y | x ? x ? 2 x 0 .由题意有
0

解得: x 0 ? 1,?
2

b a

? 2, e ?

b 2 1? ( ) ? a

5.

6. 2009 北京理) P 在直线 l : y ? x ? 1 上, ( 点 若存在过 P 的直线交抛物线 y ? x 于 A , B 两
2

点,且
| P A ?| A B | , 则 称 点 P 为 “

点 ”, 那 么 下 列 结 论 中 正 确 的 是



) A.直线 l 上的所有点都是“ 点”

B.直线 l 上仅有有限个点是“ C.直线 l 上的所有点都不是“

点” 点” 点”

D.直线 l 上有无穷多个点(点不是所有的点)是“

【答案】A 【解析】本题主要考查阅读与理解、信息迁移以及学生的学习潜力,考查学生分析问题和解 决问题的能力. 属于创新题型. 本题采作数形结合法易于求解,如图, 设 A ? m , n ? , P ? x , x ? 1? , 则 B ? 2m ? x, 2n ? x ? 2 ? , ∵ A, B在 y ? x 上 ,
2
2 ? n ? m ∴? 2 ? 2n ? x ? 1 ? (2m ? x)

(第 8 题解答图) 消去 n,整理得关于 x 的方程 x ? (4 m ? 1) x ? 2 m ? 1 ? 0
2 2

(1)

∵ ? ? (4 m ? 1) ? 4(2 m ? 1) ? 8 m ? 8 m ? 5 ? 0 恒成立,
2 2 2

∴方程(1)恒有实数解,∴应选 A.
2 19.(2009 全国卷Ⅱ理)已知直线 y ? k ? x ? 2 ? ? k ? 0 ? 与抛物线 C : y ? 8 x 相交于 A、 B 两

点, F 为 C 的焦点,若 | F A |? 2 | F B | ,则 k ?
1 3

A.

B.

2 3

C.

2 3

D.

2 3

2

2 解: 设抛物线 C : y ? 8 x 的准线为 l : x ? ? 2 直线 y ? k ? x ? 2 ? ? k ? 0 ? 恒过定点 P ? ? 2, 0 ? .

如 图 过 A、 B 分

别 作 A M?

l于 M , B N ? l 于 N , 由 | F A |? 2 | F B | , 则

| A M |? 2 | B N | ,点 B 为 AP 的中点.连结 O B ,则 | O B | ?

1 2

| A F | , ?| O B |? | B F | 点 B 的

横坐标为 1 , 故点 B 的坐标为 (1, 2 2 ) ? k ?

2 2 ?0 1 ? (?2)

?

2 2 3

, 故选 D

20. ( 2009
2

全 国 卷 Ⅱ 理 ) 已 知 双 曲 线
2

x y C : 2 ? 2 ? 1 ? a ? 0, b ? 0 ? 的 右 焦 点 为 F , 过 a b
F 且斜率为

3 的直线交 C 于 A、 B 两点,若

A F ? 4 F B ,则 C 的离心率为

w.w.w. k.s.5.u .c.o.

m

A.

6 5

B.

7 5
x
2

C.
y b
2 2

5 8

D.

9 5

解: 设双曲线 C : 2 ?
a

? 1 的右准线为 l ,过 A、 B 分 别

作 A M ? l 于 M , B N ? l 于 N , B D ? A M 于 D ,由 直 线 AB 的 斜 率 为
3 , 知 直 线 AB 的 倾 斜 角 为

6 0 ? ? ? B A D ? 6 0 ? , | A D |?

1 2

| AB | ,







线













??? ? 1 ???? | A M | ? | B N |? | A D | ? (| A F | ? | F B |) e ???? ??? ? 1 1 ? | A B |? (| A F | ? | F B |) . 2 2 ??? ? ? 1 5 ??? 6 又? A F ? 4 F B ? ? 3 | F B |? | F B |? e ? e 2 5

故选 A

6. ( 2009 重 庆 卷 理 ) 已 知 双 曲 线

x a

2 2

?

y b

2 2

? 1( a ? 0, b ? 0 ) 的 左 、 右 焦 点 分 别 为

F1 ( ? c , 0 ), F 2 ( c , 0 ) ,若双曲线上存在一点 P 使

sin P F1 F 2 sin P F 2 F1

?

a c

,则该双曲线的离心率的取值

范围是


P F2 sin P F1 F 2 ? P F1 sin P F 2 F1

解法 1,因为在 ? P F1 F2 中,由正弦定理得

则由已知,得

a P1 F 2

?

c P1 F1

,即 a P F1 ? cP F 2 ,且知点 P 在双曲线的右支上,

设 点 ( x 0 , y 0 ) 由 焦 点 半 径 公 式 , 得 P F1 ? a ? ex 0 , P F2 ? ex 0 ? a 则

a ( a ? ex 0 ) ? c ( ex 0 ? a )
a (c ? a ) e(c ? a ) a ( e ? 1) e ( e ? 1) a ( e ? 1) e ( e ? 1)

解得 x 0 ?

?

由双曲线的几何性质知 x 0 ? a 则

? a , 整理得

e ? 2 e ? 1 ? 0, 解 得 ? 2 ? 1? e ?
2

2 ,又e? ? 1

( 1 , , )故 椭 圆 的 离 心 率 ??

e ? (1,

2 ? 1)

解法 2 由解析 1 知 P F1 ?
P F1 ? P F 2 ? 2 a 则 c a
2

c a

P F 2 由双曲线的定义知
2a
2

P F 2 ? P F 2 ? 2 a即 P F 2 ?

c?a

, 由 椭 圆 的 几 何 性 质 知

P F2 ? c ? a , 则

2a

c?a

? c ? a , 既 c ? 2 a c ? a ? 0, 所以 e ? 2 e ? 1 ? 0, 以下同解析 1.
2 2

2

6. (2006 年浙江省预赛)已知两点 A (1,2), B (3,1) 到直线 L 的距离分别是
2, 5 ? 2 , 则 满 足 条 件 的 直 线

L

共 有

条 。



C

) (A)1

(B)2

(C)3

(D)4

解: 由 AB ?

5 , 分别以 A,B 为圆心, 2 , 5 为半径作两个圆,则两圆外切,有三条共

切线。正确答案为 C。 7. (2006 年浙江省预赛)设在 xOy 平面上, 0 ? y ? x , 0 ? x ? 1 所围成图形的面积
2



1 3

,则集合 M ? {( x , y )

y ? x ? 1}, N ? {( x , y )

y ? x ? 1} 的交集 M ? N 所表示的
2

图形面积为 (A)
1 3

(B)

2 3

(C)

1

(B)

4 3

.

( B ) 解: M ? N 在 xOy 平面上的图形关于 x 轴与 y 轴均对称,由此 M ? N 的图形面积只 要算出在第一象限的图形面积乘以 4 即得。为此,只要考虑在第一象限的面积就可以了。由 题意可得, M ? N 的图形在第一象限的面积为 A=
2 3 1 2 ? 1 3 ? 1 6

。因此 M ? N 的图形面积为

。 所以选(B) 。 7. (2005 全国)若正方形 ABCD 的一条边在直线 y ? 2 x ? 17 上,另外两个顶点在抛物线

y ? x 上.则该正方形面积的最小值为
2

80

.

解:设正方形的边 AB 在直线 y ? 2 x ? 17 上,而位于抛物线上的两个顶点坐标为
C ( x 1 , y 1 ) 、 D ( x 2 , y 2 ) ,则 CD 所在直线 l 的方程 y ? 2 x ? b , 将直线 l 的方程与抛物线方程联


a
2




2

x

2

? 2 x ? b ? x 1, 2 ? 1 ?
2

b ? 1.
2















a,



? ( x1 ? x 2 ) ? ( y 1 ? y 2 )

? 5 ( x1 ? x 2 )

? 20 ( b ? 1). ①
| 17 ? b | 5

在 y ? 2 x ? 17 上任取一点 (6, , ,5) 它到直线 y ? 2 x ? b 的距离为 a ,? a ?

②.

①、②联立解得 b1 ? 3 , b 2 ? 63 . ?a ? 80 , 或 a ? 1280 . ? a min ? 80 .
2 2 2

21、 (本小题满分 12 分) 设 A ? x1, y1 ? , B ? x 2, y 2 ? 两点在抛物线 y ? 2 x 上, l 是 A B 的垂直平分线。
2

(Ⅰ)当且仅当 x1 ? x 2 取何值时,直线 l 经过抛物线的焦点 F ?证明你的结论; (Ⅱ)当直线 l 的斜率为 2 时,求 l 在 y 轴上截距的取值范围。

21.解: (Ⅰ) F ? l ? F A ? F B ? A、 B 两点到抛物线的准线的距离相等, ∵抛物线的准线是 x 轴的平行线, y1 ? 0, y 2 ? 0 ,依题意 y1, y 2 不同时为 0 ∴上述条件等价于 y1 ? y 2 ? x1 ? x 2 ? ? x1 ? x 2 ? ? x1 ? x 2 ? ? 0
2 2

∵ x1 ? x 2 ∴上述条件等价于 x1 ? x 2 ? 0 即当且仅当 x1 ? x 2 ? 0 时, l 经过抛物线的焦点 F 。 (Ⅱ)设 l 在 y 轴上的截距为 b ,依题意得 l 的方程为 y ? 2 x ? b ;过点 A、 B 的直线方程 可写为 y ? ?
1 2 x ? m ,所以 x1、 x 2 满足方程 2 x ?
2

1 2

x?m ? 0

得 x1 ? x 2 ? ?

1 4 1 4 ? 8 m ? 0 ,即 m ? ? 1 32

A、 B 为抛物线上不同的两点等价于上述方程的判别式 ? ?

设 A B 的中点 N 的坐标为 ? x 0, y 0 ? ,则
x0 ? 1 2

? x1 ?

x2 ? ? ?

1 8

, y0 ? ?

1 2

x0 ? m ?

1 16

?m

由 N ? l ,得

1 16

?m ? ?

1 4

? b ,于是 b ?
? 9

5 16

?m ?

5 16

?

1 32

?

9 32

即得 l 在 y 轴上截距的取值范围为 ?

? , ?? ? ? 32 ?

11.已知抛物线 C: y ?

1 2

x 与直线 l: y ? kx ? 1 没有公共点,设点 P 为直线 l 上的
2

动点,过 P 作抛物线 C 的两条切线,A,B 为切点. (1)证明:直线 AB 恒过定点 Q; (2)若点 P 与(1)中的定点 Q 的连线交抛物线 C 于 M,N 两点,证明:
1 2

PM PN

?

QM QN



证明 (1)设 A ( x1 , y1 ) ,则 y 1 ? 由y ?
1 2
2

x1 .

2

x 得 y ? ? x ,所以 y ? | x ? x1 ? x 1 .

于是抛物线 C 在 A 点处的切线方程为 y ? y 1 ? x 1 ( x ? x 1 ) ,即 y ? x 1 x ? y 1 . 设 P ( x 0 , kx 0 ? 1) ,则有 kx 0 ? 1 ? x 0 x 1 ? y 1 . 设 B ( x 2 , y 2 ) ,同理有 kx 0 ? 1 ? x 0 x 2 ? y 2 . 所以 AB 的方程为 kx 0 ? 1 ? x 0 x ? y ,即 x 0 ( x ? k ) ? ( y ? 1) ? 0 , 所
Q (k ,1) .





线

AB









------------------------------------------7 分
kx 0 ? 2 x 0?k ( x ? k ) ? 1 ,与抛物线方程 y ?
1 2

(2)PQ 的方程为 y ?

x 联立,消去 y,得

2

x ?
2

2 kx 0 ? 4 x0 ? k

x?

(2k

2

? 2) x0 ? 2k x0 ? k

? 0.

设 M ( x 3 , y 3 ) , N ( x 4 , y 4 ) ,则
x3 ? x4 ? 2 kx 0 ? 4 x0 ? k , x3 x4 ? (2k
2

? 2) x0 ? 2k x0 ? k



要证

PM PN

?

QM QN

,只需证明

x3 ? x0 x4 ? x0

?

k ? x3 x4 ? k

,即

2 x 3 x 4 ? ( k ? x 0 )( x 3 ? x 4 ) ? 2 kx 0 ? 0



由①知, ②式左边=
2(2k
2

? 2) x0 ? 4k x0 ? k

? (k ? x0 )

2 kx 0 ? 4 x0 ? k

? 2 kx 0

?

2(2k

2

? 2 ) x 0 ? 4 k ? ( k ? x 0 )( 2 kx 0 ? 4 ) ? 2 kx 0 ( x 0 ? k ) x0 ? k

? 0.

故 立.





成 立 , 从 而 ------------------------------------------15 分







5.已知椭圆 C 的中心在坐标原点,焦点在 x 轴上,椭圆 C 上的点到焦点距离的最大值为 3, 最小值为 1. (1)求椭圆 C 的标准方程; (2)若直线 l : y ? kx ? m 与椭圆 C 相交于 A, B 两点( A, B 不是左右顶点) ,且以 A B 为直径的图过椭圆 C 的右顶点.求证:直线 l 过定点,并求出该定点的坐标. 解: (1)由题意设椭圆的标准方程为
x a
2 2

?

y b

2 2

? 1( a ? b ? 0 ) ,

由已知得: a ? c ? 3, a ? c ? 1 ,

a ? 2, c ? 1,
2 2 2

?b ? a ?c ? 3

? 椭圆的标准方程为

x

2

?

y

2

? 1.

4

3

? y ? kx ? m, ? (2)设 A ( x1, y 1 ), B ( x 2, y 2 ) .联立 ? x 2 y 2 ? ? 1. ? 3 ? 4



(3 ? 4 k ) x ? 8 m kx ? 4( m ? 3) ? 0 ,则
2 2 2

? ? ? ? 6 4 m 2 k 2 ? 1 6 (3 ? 4 k 2 )( m 2 ? 3) ? 0, 即 3 ? 4 k 2 ? m 2 ? 0, ? 8m k ? , ? x1 ? x 2 ? ? 2 3 ? 4k ? 2 ? 4 ( m ? 3) x1 x 2 ? . ? 2 3 ? 4k ?

又 y1 y 2 ? ( kx1 ? m )( kx 2 ? m ) ? k x1 x 2 ? m k ( x1 ? x 2 ) ? m ?
2 2

3( m ? 4 k )
2 2

3 ? 4k

2



0 因为以 A B 为直径的圆过椭圆的右顶点 D ( 2,) ,

? k A D k B D ? ? 1 ,即

y1

x1 ? 2 x 2 ? 2
2

?

y2

? ? 1 .? y1 y 2 ? x1 x 2 ? 2( x1 ? x 2 ) ? 4 ? 0 .

?

3( m ? 4 k )
2 2

3 ? 4k

2

?

4 ( m ? 3) 3 ? 4k
2

?

15m k 3 ? 4k
2

? 4 ? 0 .? 7 m ? 16 m k ? 4 k ? 0 .
2 2

解得: m 1 ? ? 2 k , m 2 ? ?

2k 7

,且均满足 3 ? 4 k ? m ? 0 .
2 2

当 m 1 ? ? 2 k 时, l 的方程 y ? k ( x ? 2 ) ,直线过点 ( 2,) ,与已知矛盾; 0 当m2 ? ?
2k 7

时, l 的方程为 y ? k ? x ?
? ?2

?

2? ?2 ? 0 ? ,直线过定点 ? , ? . 7? ?7 ?

所以,直线 l 过定点,定点坐标为 ?

? ,? . 0 ?7 ?

2 2 3、已知曲线 M : x ? y ? m , x ? 0 , m 为正常数.直线 l 与曲线 M 的实轴不垂直,且

依次交直线 y ? x 、曲线 M 、直线 y ? ? x 于 A 、 B 、 C 、 D 4 个点, O 为坐标原点. (1) (2) 若 | AB |? | BC |? | CD | ,求证: ? AOD 的面积为定值; 若 ? BOC 的面积等于 ? AOD 面积的
2 2

1 3

,求证: | AB |? | BC |? | CD | .

解: (1)设直线 l : y ? kx ? b 代入 x ? y ? m 得:
(1 ? k ) x ? 2 bkx ? b ? m ? 0 , ? ? 0 得:
2 2 2

y B
O

A
B P

b ? m (1 ? k ) ? 0 ,设 B ( x 1 , y 1 ) , C ( x 2 , y 2 ) ,则
2 2

C D

x
A Q C

有 x1 ? x 2 ?

2 bk 1? k
2

, x1 x 2 ?

? (b

2

? m)
2

1? k

,设
?b 1? k

A ( x 3 , y 3 ) , D ( x 4 , y 4 ) ,易得: x 3 ?
| BC |? 1 3 | AD | ,故 | x 1 ? x 2 |? 1 3

b 1? k

, x4 ?

,由 | AB |? | BC |? | CD | 得

| x 3 ? x 4 | ,代入得

(

2 bk 1? k
2

) ?
2

4 (b ? m )
2

1? k
b

2

?

1

3 1? k

|

2b
2

|, b 整理得:

2

?

9 8

m (k

2

? 1) , | OA |? 又

2 |

b 1? k

|,

| OD |?

2 |

1? k

| , ? AOD ? 90 ? ,? S ? AOD =

b

2 2

|1 ? k

? |

9 8

m 为定值。

(2)设 BC 中点为 P , AD 中点为 Q 则 x p ?

x1 ? x 2 2

?

bk 1? k
2

, xQ ?

x3 ? x4 2

?

bk 1? k
2



所以 x P ? x Q , P 、 Q 重合,从而 | AP |? | DP | ,从而 | AB |? | CD | ,又 ? BOC 的面积等 于 ? AOD 面积的
1 3

,所以 | BC |?

1 3

| AD | ,从而 | AB |? | BC |? | CD | 。

9. (2009 山东卷文)(本小题满分 14 分) 设 m ? R ,在平面直角坐标系中,已知向量 a ? ( m x , y ? 1) ,向量 b ? ( x , y ? 1) , a ? b ,动 点 M ( x , y ) 的轨迹为 E. (1)求轨迹 E 的方程,并说明该方程所表示曲线的形状; (2)已知 m ?
1 4
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?

?

?

?

,证明:存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与轨迹 E 恒有两个交

点 A,B,且 O A ? O B (O 为坐标原点),并求出该圆的方程; (3)已知 m ?
1 4

,设直线 l 与圆 C: x ? y ? R (1<R<2)相切于 A1,且 l 与轨迹 E 只有一个公共
2 2 2

点 B1,当 R 为何值时,|A1B1|取得最大值?并求最大值. 解:(1)因为 a ? b , a ? ( m x , y ? 1) , b ? ( x , y ? 1) , 所以 a ? b ? m x ? y ? 1 ? 0 ,
2 2

?

? ?

?

? ?

即mx ? y ? 1 .
2 2

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当 m=0 时,方程表示两直线,方程为 y ? ? 1 ; 当 m ? 1 时, 方程表示的是圆 当 m ? 0 且 m ? 1 时,方程表示的是椭圆; 当 m ? 0 时,方程表示的是双曲线. (2).当 m ?
1 4

时, 轨迹 E 的方程为

x

2

? y ? 1 ,设圆心在原点的圆的一条切线为 y ? kx ? t ,
2

4

? y ? kx ? t ? 2 2 2 2 2 解方程组 ? x 2 得 x ? 4 ( kx ? t ) ? 4 ,即 (1 ? 4 k ) x ? 8 ktx ? 4 t ? 4 ? 0 , 2 ? y ?1 ? ? 4

要使切线与轨迹 E 恒有两个交点 A,B, 则使△= 6 4 k t ? 1 6 (1 ? 4 k )( t ? 1) ? 1 6 (4 k ? t ? 1) ? 0 ,
2 2 2 2 2 2

即 4 k ? t ? 1 ? 0 ,即 t ? 4 k ? 1 ,
2 2 2 2

8 kt ? ? x1 ? x 2 ? ? 1 ? 4 k 2 ? 且? 2 ? x x ? 4t ? 4 1 2 2 ? 1 ? 4k ?
2

y1 y 2 ? ( kx1 ? t )( kx 2 ? t ) ? k x1 x 2 ? kt ( x1 ? x 2 ) ? t ?
2

k (4t ? 4)
2 2

1 ? 4k
2

2

?

8k t

2 2 2

1 ? 4k
2

?t ?
2

t ? 4k
2

2

1 ? 4k

2

,

要使 O A ? O B ,

??? ?

??? ?

需使 x1 x 2 ? y1 y 2 ? 0 ,即
2 2

4t ? 4
2

1 ? 4k
2

2

?

t ? 4k 1 ? 4k
2

2

2

?

5t ? 4 k ? 4
2

1 ? 4k
2

2

?0,

所以 5 t ? 4 k ? 4 ? 0 ,
2 2

即 5t ? 4 k ? 4 且 t ? 4 k ? 1 ,

即 4 k ? 4 ? 20 k ? 5 恒成立.
2

所以又因为直线 y ? kx ? t 为圆心在原点的圆的一条切线,
4

所以圆的半径为 r ?

t 1? k
2

,r ?
2

t

2 2

(1 ? k )
2

1? k

? 5

1? k

2

?

4 5

, 所求的圆为 x ? y ?
2 2

4 5

.

当切线的斜率不存在时,切线为 x ? ?
(? 2 5 5 ,? 2 5
2 2

2 5

5 ,与

x

2

? y ? 1 交于点 (
2

2 5

5 ,?

2 5

5) 或

4

5 ) 也满足 O A ? O B . 4 5

综上, 存在圆心在原点的圆 x ? y ? A,B,且 O A ? O B . (3)当 m ?
1 4

,使得该圆的任意一条切线与椭圆 E 恒有两个交点

??? ?

??? ?

时,轨迹 E 的方程为

x

2

? y ? 1 ,设直线 l 的方程为 y ? k x ? t ,因为直线 l 与圆
2

4

2 2 2 C: x ? y ? R (1<R<2)相切于 A1, 由(2)知 R ?

t 1? k
2

,

即 t ? R (1 ? k )
2 2 2

①,

因为 l 与轨迹 E 只有一个公共点 B1,
? y ? kx ? t ? 2 2 由(2)知 ? x 2 得 x ? 4 ( kx ? t ) ? 4 , 2 ? y ?1 ? ? 4

即 (1 ? 4 k ) x ? 8 ktx ? 4 t ? 4 ? 0 有唯一解
2 2 2

则△= 6 4 k t ? 1 6 (1 ? 4 k )( t ? 1) ? 1 6 (4 k ? t ? 1) ? 0 ,
2 2 2 2 2 2

即 4k ? t ? 1 ? 0 ,
2 2



2 ? 2 3R t ? ? 2 ? 4?R 由①②得 ? , 2 R ?1 2 ?k ? 2 ? ? 4?R

此时 A,B 重合为 B1(x1,y1)点,

21 世纪教 育网

8 kt ? ? x1 ? x 2 ? ? 1 ? 4 k 2 ? 由? 2 ? x x ? 4t ? 4 1 2 2 ? 1 ? 4k ?

中 x 1 ? x 2 ,所以, x1 ?
2

4t ? 4
2

1 ? 4k

2

?

16 R ? 16
2

3R

2

,

B1(x1,y1)点在椭圆上,所以 y 1 ? 1 ?
2

1 4
2

x1 ?
2

4?R 3R
2

2

2

,所以 | O B1 | ? x1 ? y1 ? 5 ?
2 2 2

4 R
2

,

在 直 角 三 角 形 OA1B1 中 , | A1 B1 | ? | O B1 | ? | O A1 | ? 5 ?
2

4 R
2

? R ? 5?(
2

4 R
2

? R ) 因为
2

4 R
2

? R ? 4 当且仅当 R ?
2

2 ? (1, 2 ) 时取等号,所以 | A1 B1 | ? 5 ? 4 ? 1 ,即
2

当R ?

2 ? (1, 2 ) 时|A1B1|取得最大值,最大值为 1.


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