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中职数学新教材 6.2等差数列


6.2 等差数列

在空格内填上合适的数字:

① -3,-1,1,
② 2 , 5, 8 ③ 50,48,46,

3

, 5, 7。

d=2

,11,14,17。 d=3

44 ,42,40 。d=-2 ④ 2,4,7

,11, 16 ,22,29。

数列①、②、③有什么共同的特点?

一、等差数列的定义
如果一个数列从第2项起,每一项与它前面一 项的差都等于同一个常数,则称这个数列为等差 数列,这个常数称为公差,通常用d来表示

a2 ? a1 ? a3 ? a2 ? a4 ? a3 ? ? ? an?1 ? an ? d

例2:下列数列是否等差数列?说明理由。

(1)an ? 3n ? 2

1 (2)bn ? n

引例数列-3,-1,1,3,5,…①中, 试回答: a ? 15 ; a ? 7 , 问题1: 问题2: a60 ? 115 。
6
10

如何用等差数列的首项 和公差d 表示该数列的其他项?

a2 ? a1 ? a3 ? a2 ? a4 ? a3 ? ? ? an?1 ? an ? d

a2 ? a1 ? d a3 ? a2 ? d ? a1 ? 2d a4 ? a3 ? d ? a1 ? 3d ? an ? ?

an ? a1 ? (n ? 1)d

此为等差数列的通项公式

二、等差数列的通项公式

an ? a1 ? (n ? 1)d
例3:已知等差数列首项是1,公差为3,求其第11项 例4:求等差数列-13,-9,-5,-1,…的第56项

例5:已知等差数列中 a3=16, a7=8 ,求此数列的通 项公式

在等差数列中填写下表:

a1
(1)

d 2 4

n 15

an

-8
5 -45

(2) (3)

105 31 45

(4)

0.4

11

9.2

印度泰姬陵,传说陵寝中有一个三角形图 案,以相同大小的圆宝石镶饰而成, 共有100层(见下图),奢靡之程度,可见一 斑。你知道这个图案一共花了多少宝石吗?

S100 ? (1 ? 100) ? (2 ? 99) ? ? ? (50 ? 51) ? 50 ? 101 ? 5050

设等差数列?an ? 的前n项和为Sn , 即Sn ? a1 ? a2 ? ? ? an .

怎样求一般等差数列的前n项和呢?
S n ? a1 ? a2 ? ? ? an ?1 ? an S n ? an ? an?1 ? ? ? a2 ? a1

2Sn ? (a1 ? an ) ? (a2 ? an ?1 ) ? ? ? (an ? a1 )

? n(a1 ? an ).

a1 ? an ? a2 ? an?1 ? ? ? an ? a1

n(a1 ? an ) ? Sn ? . 2

等差数列的前n项和公式
公式1

n(a1 ? an ) Sn ? 2
a n ? a1 ? ( n ? 1) d

知 三 求 二

公式2

n(n ? 1) Sn ? na1 ? d 2

例6:已知数列为等差数列 S 21 (1)若a1 ? 3, a21 ? 55 ,求 (2)若 a1 ? 6, d ? ? 1 ,求S 20 2

(a1 ? an )n Sn ? 2 n(n ? 1)d Sn ? na1 ? 2

例7:求正奇数数列1,3,5,7,的前100项的和

课堂练习
等差数列{an}的首项为a1,公差为d,项数为n,第n 项为an,前n项和为Sn,请填写下表:

a1
5
20

d
10 -2
2

n
10 8
15

an
95 6

sn
500

104 -360

-38

-10

[买车床]我校近期计划购进一批数控车床,价值

2000 万元,由于向财政局申请的是无息借款,
以分期还款的方式还款,首付 155万元,从第二年起,

每年比前一年多付 10万元,问:
这种还款方式我们还需要多少年能够还清贷款。

小结
n(a1 ? an ) 2、求和公式 (? ) Sn ? 2 n( n ? 1) (?? )Sn ? na1 ? d 2
1、用倒序相加法推导等差数列前n项和公式;

3、应用公式求和.“知三求二”,方程的思想. ①已知首项、末项用公式Ⅰ;

已知首项、公差用公式Ⅱ.
②应用求和公式时一定弄清项数n.


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