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湖北省黄冈中学、黄石二中、鄂州高中2014届高三11月联考数学(理)试题

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黄冈中学

黄石二中

鄂州高中 2014 届高三三校联考

数学试卷(理科)
命题学校:鄂州高中 命题人:肖安平 审题人:陈美姣 本试卷共 21 小题,满分 150 分,考试时间 120 分钟。

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中,只

有一 项是符合题目要求的。 1、复数 2 ? i 与复数 A、

? ? D、 3 2 2、设等差数列 ?a n ?的前项和为 S n ,若 a 4 ? 9 , a6 ? 11 ,则 S 9 等于
? 6
B、

1 在复平面上的对应点分别是 A 、 B ,则 ?AOB 等于 3?i

? 4

C、

A、180

B、90

C、72

D、100

3、设 A ? ?x | 2 ? x ? 6?, B ? ?x | 2a ? x ? a ? 3?,若 B ? A ,则实数 a 的取值范围是 A、 ?1,3? B、 [3,??) C、 [1,??) D、 ?1,3?

4、要得到一个奇函数,只需将 f ( x) ? sin x ? 3 cos x 的图象 A、向右平移

? 个单位 6 ? 个单位 3

B、向右平移

? 个单位 3 ? 个单位 6

C、向左平移 5、有下述命题
[来源:Zxxk.Com]

D、向左平移

①若 f (a) ? f (b) ? 0 ,则函数 f (x) 在 (a, b) 内必有零点; ②当 a ? 1 时,总存在 x0 ? R ,当 x ? x0 时,总有 a ? x ? log a x ;
x n

③函数 y ? 1( x ? R) 是幂函数; ④若 A A、0

B ,则 Card( A) ? Card( B)
B、1 C、2

其中真命题的个数是 D、3

6、已知, x ? 1, y ? 1 ,且 A、最小值 e

1 1 ln x, , ln y 成等比数列,则 xy 有 4 4 B、最小值 e C、最大值 e

D、最大值 e

7、已知 a 、 b 为非零向量,则“ a ? b ”是“函数 f ( x) ? ( x a ? b) ? ( xb ? a) 为一次函数”的 A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件
4 3

D、既不充分也不必要条件
2

8、已知函数 f ( x) ? ax ? bx ? cx ? dx ? e , (a, b, c, d , e ? R, 且 a ? 0 )的四个零点构成公 差为 2 的等差数列,则 f ' ( x) 的所有零点中最大值与最小值之差是

A、4

B、 5

9、已知函数 f ( x) ? 1 ? sin

?
2

C、 2

D、 2 5

,且 x ,若有四个不同的正数 x i 满足 f ( xi ) ? M ( M 为常数)

xi ? 8 , (i ? 1,2,3,4) ,则 x1 ? x2 ? x 3 ? x4 的值为
A、10 B、14 C、12 D、12 或 20

10、已知 G 是 ?ABC 的重心,点 P 是 ?GBC 内一点,若 AP ? ? AB ? ? AC ,则 ? ? ? 的取值 范围是 A、 ( ,1)

1 2

B、 (1, )

3 2

C、 ( ,1)

2 3

D、 (1,2)

二、填空题(本大题共 5 小题,共 25 分,请将答案填在答题卡对应题号的位置上。 ) 11、若 cos? cos ? ? ?1 ,则 sin(? ? ? ) = 1 2、已知等差数列 {a n } 的前 n 项和是 S n ? ? 于 13、已知等比数列 {a n } 的各项都为正数, 且当 n ? 3 时,a 4 a 2 n ? 4 ? 10
2n

1 2 a8 n ? n ,则使 a n ? ?2010 的最小正整数 n 等 2 2

,则数列 lg a1 ,2 lg a 2 ,

2 2 lg a 3 , 2 3 lg a 4 ,?, 2 n ?1 lg a n ,?的前 n 项和 S n 等于

?x ? 0 x ? 2y ? 3 ? 14、若实数 x 、 y ,满足 ? y ? 0 ,则 z ? 的取值范围是 x ?1 ?4 x ? 3 y ? 12 ?
15、已知函数 f ( x) ? x ? ax ? bx ? a 在 x ? 1处有极值为 10,则 f (2) ?
3 2 2

三、解答题(本大题共 6 小题,共 75 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚) 16、 12 分) ( 已知 ?ABC 的三内角 A 、 、 所对的边分别是 a , , , b c 向量 m ? (sin B,1 ? cos B) B C 与向量 n ? (2,0) 的夹角 ? 的余弦值为 (1)求角 B 的大小; (2)若 b ?

1 2

3 ,求 a ? c 的范围

17、 (12 分)已知 f ( x) ? ln(ax ? b) ? x ,其中 a ? 0 , b ? 0 , (1)若 f (x) 为 [0,??) 上的减函数,求 a, b 应满足的关系; (2)解不等式 ln(1 ?

1 1 x ? ) ? x ? ? ln 2 ? 1 。 x x

x 18、 (12 分)已知命题 p :函数 y ? (a ? 1) 在 R 上单调递增;命题 q :不等式 x ? x ? 3a ? 1的

解集为 R ,若 p ? q 为真, p ? q 为假,求实数 a 的取值范围

19、 (12 分)在股票市场上,投资者常参考股价(每一股的价格)的某条平滑均线的变化情况来 决定买入或卖出股票。 股民老张在研究股票的走势图时, 发现一只股票的均线近期走得很有 特点:如果按如图所示的方式建立平面直角坐标系 xoy ,则股价 y (元)和时间 x 的关系在 从 ABC 段可近似地用解析式 y ? a sin(?x ? ? ) ? b(0 ? ? ? ? ) 来描述, C 点走到今天的 D 点, 是震荡筑底阶段, 而今天出现了明显的筑底结束的标志, D 点和 C 点正好关于直线 l : 且

x ? 34 对称。老张预计这只股 票未来的走势如图 中虚线所示,这里 DE 段与 ABC 段关于
直线 l 对称, EF 段是股价延续 DE 段的趋势(规律)走到这波上升行情的最高点 F 。现在 老张决定取点 A (0,22) ,点 B(12,19) ,点 D(44,16) 来确定解析式中的常数 a ,b ,? ,? , 并且求得 ? ?

?
72



(1)请你帮老张算出 a , b , ? ,并回答股价 什 么时候见顶(即求 F 点的横坐标) (2)老张如能在今天以 D 点处的价格买入该股票 3000 股,到见顶处 F 点的价格全部卖出,不计其它 费用,这次操作他能赚多少元?

20、 (13 分)已知数列 {a n } 满足 a1 ? a , a n ?1 ? S n ? (?1) , n ? N * ,且 {a n ?
n

2 (?1) n } 是等 3

比数列。 (1)求 a 的值; (2)求出通项公式 a n ; (3)求证:

1 1 1 1 3 ? ??? ? ? a3 a 4 a 2 n ?1 a 2 n 2

21、 (14 分)已知函数 f ( x) ? ln( ? (1)若 x ?

1 2

1 ( ax) ? x 2 ? ax 。 a 为常数, a ? 0 ) 2

1 是函数 f (x) 的一个极值点,求 a 的值; 2 1 2

(2)求证:当 0 ? a ? 2 时, f (x) 在 [ ,?? ) 上是增函数; (3)若对任意的 a ? (1,2) ,总存在 x0 ? [ ,1] ,使不等式 f ( x0 ) ? m(1 ? a ) 成立,求实数
2

1 2

m 的取值范围。

参考答案及评分标准
一、选择题: 1~5 BBCCA 二、填空题 11、0 14、 [ ,11] 12、2014 13、 n ? 1)2 ? 1 (
n

6~10

ABDDC

3 2

15、18

三、解答题 16、解: (1)? m ? (sin B,1 ? cos B) , n ? (2,0) 又 | m |?

?m ? n ? 2s i n B

sin 2 B ? (1 ? cos B) 2 ? 2 ? 2 cos B ? 2 sin

B 2

?0 ? B ? ?
? sin B ?0 2

?0 ?

B ? ? 2 2
3分

B ?| m |? 2 s i n 2
? cos? ? m?n m?n ? 2 sin B B 1 ? cos ? B 2 2 4 sin 2

而n ?2

?

B ? ? 2 3

2 ?B ? ? 3

6分

(2)由余弦定理,得

2 b 2 ? a 2 ? c 2 ? 2ac cos ? ? a 2 ? c 2 ? ac ? (a ? c) 2 ? ac 3 ? (a ? c) 2 ? (
? a ? c) 2 ? 4 (
又a ?c ? b ?

a?c 2 3 ) ? (a ? c) 2 2 4

当且仅当 a ? c 时,取等号 10 分 12 分

a?c ? 2
3
? a ? c ? ( 3,2]

(其他解法请参 照给分)

17、解: (1) f ' ( x) ?

a a ? b ? ax ?1 ? ax ? b ax ? b
? f (x) 为 [0,??) 上的减函数
即a ? b

2分

[来源:Zxxk.Com]

x?0

a ? 0 ,b ? 0

? f ' ( x) ? 0 对 x ? 0 恒成立,? a ? b ? 0

4分

(2)在(1)中取 a ? b ? 1 ,即 f ( x) ? ln( x ? 1) ? x ,由(1)知 f (x) 在 [0,??) 上是减函 数

1 1 ? ln(1 ? x ? ) ? x ? ? ln 2 ? 1 x x ? x? 1 1? 5 ? 1 ,解得 ? x ? 0, x 2

即 f( x? 或x ?

1 ) ? f (1) x

8分

1? 5 2
12 分 2分

故所求不等式的解集为

1? 5 1? 5 [ ,0) ? [ ,??) 2 2

18、若 p 真,则 a ? 1 ? 1 ? a ? 2

q 真 ? x? | x ? 3a |? 1恒成立,设 h( x) ? x ? x ? 3a ,则 h( x) min ? 1
?2 x ? 3a, x ? 3a ? h( x ) ? ? ,易知 h( x) min ? 3a x ? 3a ?3a,

3a ? 1 ,即 a ?

1 3

6分

? p ? q 为真, p ? q 为假

? p, q 一真一假
1 ,矛盾 3 1 1 ? ? a ? 2, 3 3

7分

(1)若 p 真 q 假,则 a ? 2 且 a ?

9分

(2)若 p 假 q 真,则 a ? 2 且 a ?

11 分

综上可知, a 的取值范围是 ( ,2]

1 3

12 分

19、解: (1)? C 、 D 关于直线 l 对称

?C 点坐标为 (2 ? 34 ? 44,16) 即 (24,16 )

? ?22 ? a sin ? ? b ? ? ? 把 A 、 B 、 C 的坐标代入解析式,得 ?19 ? a sin( ? ? ) ? b 6 ? ? ? ?16 ? a sin( 3 ? ? ) ? b ?
②─① 得, a[sin(

① ② ③

?

6

? ? ) ? sin ? ] ? ?3

③─①得, a[sin(

?
3

? ? ) ? sin ? ] ? ?6

3 3 ? ? ?c o ? ? 3 s i n ? s ? c o? ? s in s ? ? 2s i n ( ? ?) ? 2s i n ? s i n ( ? ?) ? s i n ? ? 2 2 6 3 3 3 3 ? (1 ? ) c o ? ? ( ? 3) s i n ? 3( s ? ? 1) s i n ? 2 2 2 3 ? 5? , ?0 ? ? ? ? 代入②,得 b ? 19 ?t a n ? ? ? ?? ? ? - ? 3 6 6 5? 再由①得, a ? 6 7分 ? a ? 6, b ? 19, ? ? 6 ? 5? 于是, ABC 段的解析式为 y ? 6 sin( x ? ) ? 19 ,由对称性得 72 6 ? 5? DEF 段的解析式为 y ? 6 sin[ (68 ? x) ? ] ? 19 , 72 6 ? 5? ? ? (68 ? x F ) ? ? 解得 x F ? 92 72 6 2 10 分 ?当 x ? 92 时,股价见顶
[来源:学科网 ZXXK]

(2)由(1)可知, y F ? 6 ? 19 ? 25 ,故这次操作老张能赚

[来源:学科网 ZXXK]

3000 ? (25 ? 16) ? 27000 (元)
20、解: (1)当 n ? 2 时, a n ? S n ?1 ? (?1)
n

12 分

? a n ?1 ? a n ? S n ? S n?1 ? 2(?1) n

2 2 ? an?1 ? (?1) n?1 ? 2[an ? (?1) n ] 3 3 2 2 2 ? a 2 ? S1 ? 1 ? a ? 1 又 a1 ? a 又? a 2 ? ? (?1) ? 2(a1 ? ) 3 3 2 2 5分 ? a ? 1 ? ? 2(a ? ) ?a ? 1 3 3 2 2 2 1 n (2)由(1)知 {a n ? (?1) } 是以 a1 ? ? a ? ? 为首项,2 为公比的等比数列 3 3 3 3 2 1 ? a n ? (?1) n ? ? 2 n?1 3 3 n ?1 n ?1 2 ? 2(?1) ? an ? 7分 3 1 1 3 3 ? ? 2n?2 ? 2 n ?1 (3)当 n ? 2 时, a 2 n ?1 a 2 n 2 ?2 2 ?2
? a n ?1 ? 2a n ? 2(?1) n
[来源:学科网]

3(2 2 n ?2 ? 2 2 n ?1 ) 3(2 2 n ?2 ? 2 2 n ?1 ) 9 1 ? 4 n ?3 ? ? 2 n ?1 ? 18( ) n 2n 2 n ?1 4 n ?3 2 ?2 ?2 ?4 2 2 4
将 n 由 2 到 n 赋值并累加得

10 分

1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ? ??? ? ? 18[( ) 2 ? ( ) 3 ? ? ? ( ) n ] a3 a 4 a5 a 6 a 2 n ?1 a 2 n 4 4 4

1 1 [1 ? ( ) n ?1 ] 3 1 3 4 ? 18 ? 16 ? (1 ? n ?1 ) ? 1 2 2 4 1? 4 a2 ? 2 1 2ax( x ? ) a 2a 2 21、解: f ' ( x) ? ? 2x ? a ? 1 1 1 ? ax ? ax 2 2
(1)由已知,得 f ' ( ) ? 0 且

13 分

1 2

a2 ? 2 ? 0 ,? a 2 ? a ? 2 ? 0 2a
3分

?a ? 0

?a ? 2

(2)当 0 ? a ? 2 时,?

a 2 ? 2 1 a 2 ? a ? 2 (a ? 2)( a ? 1) 1 a2 ? 2 ? ? ? ?0 ? ? 2a 2 2a 2a 2 2a
? f ' ( x) ? 0
6分

?当 x ?

a2 ? 2 1 2ax 时, x ? ?0 又 ?0 2a 2 1 ? ax

故 f (x) 在 [ ,?? ) 上是增函数 (3) a ? (1,2) 时,由(2)知, f (x) 在 [ ,1) 上的最大值为 f (1) ? ln( ? 于是问题等价于:对任意的 a ? (1,2) ,不等式 ln( ? 记 g (a) ? ln( ? 则 g ' (a) ?

1 2

1 2

1 2

1 a) ? 1 ? a 2

1 2

1 a) ? 1 ? a ? m(a 2 ? 1) ? 0 恒成立。 2

1 2

1 a) ? 1 ? a ? m(a 2 ? 1), (1 ? a ? 2) 2

1 a ? 1 ? 2ma ? [2ma ? (1 ? 2m)] 1? a 1? a ?a ? 0 ? g (a) 在区间 (1,2) 上递减,此时 g (a) ? g (1) ? 0 1? a

当 m ? 0 时, g ' (a) ?
2

由于 a ? 1 ? 0 ,?m ? 0 时不可能使 g (a) ? 0 恒成立,故必有 m ? 0

? g ' (a) ?


2ma 1 [a ? ( ? 1)] 1? a 2m

1 1 ? 1 ? 1 ,可知 g (a ) 在区间 (1, min{2, ? 1}) 上递减,在此区间上,有 2m 2m
1 ? 1 ? 1 ,这时 g ' (a) ? 0 , 2m

g (a) ? g (1) ? 0 ,与 g (a) ? 0 恒成立相矛盾,故

g (a ) 在 (1,2) 上递增,恒有 g (a) ? g (1) ? 0 ,满足题设要求,

?m ? 0 ? ?? 1 ? 2m ? 1 ? 1 ?

即m ?

1 4
14 分

1 ?实数 m 的取值范围为 [ ,?? ) 4


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