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四川省宜宾市2016届高三第二次诊断性测试数学(理)试题(含答案)


高 2013 级高三第二次诊断性测试



学(理工类)

本试题卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题).第Ⅰ卷 1 至 2 页,第Ⅱ卷 2 至 4 页.考生作答时, 须在答题卡上作答,在本试卷、草稿纸上作答无效.满分 150 分,考试时间 120 分钟.考试结束后,将本试题 卷和答题卡一并交回.

/>第Ⅰ卷(选择题,共 50 分)
注意事项: 必须使用 2B 铅笔在答题卡上将所选答案对应的标号涂黑. 一.选择题:(本大题共 10 个小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的). 1.设集合 A ? x ?1 ? x ? 1 , B ? x x ? 2 x ? 0 ,则 A I B ?
2

?

?

?

?

(A) x ?1 ? x ? 2 (C) x 0 ? x ? 1

? ?

?

(B) (D)

? x 0 ? x ? 1? ? x 1 ? x ? 2?

?

2.在复平面内,复数 z ?

1 ? i3 对应的点位于 1? i

(A)第一象限 (B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限 3. 执行如图所示的程序框图,若输入 x 的值为 ?5 ,则输出 y 的值是 (A) ?1 (B) 1 (C) 2 (D)

1 4

4. 已知直线 2 x ? y ? 10 ? 0 过双曲线

x2 y 2 ? ?1 a 2 b2

且与 ? a ? 0, b ? 0? 的焦点,

该双曲线的一条渐近线垂直,则该双曲线的标准方程为 (A)

x2 y 2 ? ?1 16 9

(B)

x2 y 2 ? ?1 20 5

(C)

x2 y 2 ? ?1 5 20

(D)

x2 y 2 ? ?1 9 16

5. 用数字 0,1, 2,3, 4,5 可以组成没有重复数字,并且比 20000 大的五位奇数共有 (A) 288 个 (B) 144 个 (C) 240 个 (D) 126 个

x 6. 已知函数 f ( x ) 是定义在 R 上的奇函数.当 x ? 0 时, f ( x) ? 2 ? t ( t 为常数).则 f (m) ? 3 成立的 一个充分不必要条件是 (A) m ? 3 (B) m ? 2 (C) ?2 ? m ? 2 (D) m ? 2

1

? ?3 x ? 2 y ? 4 ? 0 ? 7. 设实数 x , y 满足约束条件 ? x ? y ? 4 ? 0 ,已知 z ? 2 x ? y 的最大值是 7 ,最小值是 ? 1 ?x? y?2? 0 a ?

B

(B) ?6 (C) ?1 (D) 1 ??? ? ???? ? 8. 如图,在 ?ABC 中, ?BAD ? 90 , BC ? 3BD , AD ? 1 ,则 AC AD =
(A) 2 3 (B)

?26 ,则实数 a 的值为 (A) 6

3 2

(C)

3 3

D
(D) 3

C
(8题图)

A

9. 已知函数 f ( x) ? x ?

a ?1 ? ? b( x ? 0) ,其中 a, b ? R .若对于任意的 a ? ? , 2 ? , x ?2 ?

不等式 f ( x) ? 10 在 x ? ? , 3 ? 上恒成立,则 b 的取值范围是 4 (A) ? ??, ? 4

?1 ?

? ?

? ?

7? ?

(B) ? ??,10 ?

? ?

5 ? 3 3 ? ?

(C) ? ??,

? ?

31? ? 4?

(D) ? ??,10 ?

? ?

7 ? 3 6 ? ?

10. 设动直线 l : y ? kx ? m (其中 k , m 为整数)与椭圆

x2 y2 ? ? 1 交于不同两点 A, B ,与双曲线 16 12

??? ? ??? ? x2 y2 ? ? 1 交于不同两点 C , D ,且 AC ? BD ? 0 ,则符合上述条件的直线 l 共有 4 12
(A) 5 条 (B) 7 条 (C) 9 条 第Ⅱ卷(非选择题,共 100 分) (D) 11 条

注意事项: 必须使用 0.5 毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上题目所指定的答题区域内作答. 作图题可先用铅笔绘出, 确认后再用 0.5 毫米黑色墨迹签字笔描清楚.试题卷上作答无效. 二.填空题:(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分). 11. 设 (3x ?1)4 ? a0 ? a1x ? a2 x2 ? a3 x3 ? a4 x4 .则 a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? 12. 已知 ? , ? ? ? .

4 ?? 5 ?? ? 3? ? ? ? , ? ? , cos(? ? ? ) ? , cos ? ? ? ? ? ? , 则 sin ? ? ? ? =________. 5 4? 13 4? ? ? ? 4 ?

? 13. 在 ?ABC 中, ?ACB ? 90 ,点 P 是平面 ABC 外一点,且 PC ? 24 ,若点 P 到直线 AC 、 BC 的距

离都等于 6 10 ,则 PC 与平面 ABC 所成角的大小为

.

14. 以一年为一个调查期,在调查某商品出厂价格及销售价格时发现:每件商品的出厂价格是在 6 元基础 上按月份随正弦型函数曲线波动,已知 3 月份出厂价格最高为 8 元, 7 月份出厂价格最低为 4 元,而每件 商品的销售价格是在 8 元基础上同样按月份随正弦型函数曲线波动,且 5 月份销售价格最高为 10 元, 9 月 份销售价格最低为 6 元,假设某商店每月购进这种商品 m 件,且当月售完,则该商店的月毛利润的最大值 为 元. 15. 若存在实数 x0 和正实数 ?x ,使得函数 f ( x ) 满足 f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ? 4k ?x ,(常数 k ? 1 ).则称函
2

数 f ( x ) 为“ k 倍函数”.则下列四个函数 ① f ( x) ?

x

② f ( x) ? x ? 2x x ?[0,3]
2
x ④ f ( x) ? e ? ln x 

③ f ( x) ? 4sin x

其中为“ k 倍函数”的有 (填出所有正确结论的番号) 三.解答题:(本大题共 6 个小题,共 75 分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步聚).
2 16. (本小题满分 12 分)若等比数列 {an } 的各项均为正数,且 a1 ? 6a2 ? 1, a3 ? 9a1a7 .

(Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ)设 bn ? log3 a1 ? log3 a2 ? log3 a3 ? ? ? log3 an ,求数列 ?

?1? ? 的前 n 项和 Tn . ? bn ?

17. (本小题满分 12 分)已知向量 a ? (sin ? x ? cos ? x, 3 cos ? x) ,b ? (cos ? x ? sin ? x, 2sin ? x)(? ? 0) , 若函数 f ( x) ? a ? b 的相邻两对称轴间的距离等于 (Ⅰ)求 ? 的值;

? . 2

(Ⅱ)在 ?ABC 中, a、b、c 分别是角 A、B、C 所对的边,且 f ( A) ? 1, a ? 3 , b ? c ? 3 .求 ?ABC 的面积.

3

18. (本小题满分 12 分)为提高市民的遵纪守法意识,某市电视台举行法律知识竞赛,比赛规则是:由节 目主持人随机从题库中抽取题目让选手抢答,回答正确将给该选手记正 10 分,否则记负 10 分.假设某参 赛选手能答对每一个问题的概率均为

2 ;记“该选手在回答完 n 个问题后的总得分为 S n ” . 3

(Ⅰ)求 S 6 ? 20 且 S i ? 0?i ? 1,2,3? 的概率; (Ⅱ)记 X ? S 5 ,求 X 的分布列和数学期望 E ? X ? .

AB ? 2 ,侧棱 BB1 的长为 19. (本小题满分 12 分)如图,已知正四棱柱 ABCD ? A 1B 1C1D 1 中,底面边长
4,过点 B 作 B1C 的的垂线交侧棱 CC1 于点 E ,交 B1C 于点 F . (Ⅰ)求证: AC ? 平面 BED ; 1

D1 A1 B1

C1

BDE 所成角的正弦值; (Ⅱ)求 A 1B 与平面
(Ⅲ)求二面角 D ? BE ? A1 的余弦值.

E F D A B
(19题图)

C

4

20. (本小题满分 13 分)如图,已知椭圆 C :

x2 y 2 3 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 ,以椭圆 C 的左顶 2 a b 2

点 T 为圆心作圆 T : ( x ? 2)2 ? y 2 ? r 2 (r ? 0) ,设圆 T 与椭圆 C 交于点 M 、 N . (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)求 TM ? TN 的最小值,并求此时圆 T 的方程; (Ⅲ)设点 P 是椭圆 C 上异于 M 、 N 的任意一点,且直线 MP , NP 分别与 x 轴交于点 R、S ( O 为坐 标原点), 求证: OR ? OS 为定值.

y M R T N S O P

x

(20 题图)

5

21. (本小题满分 14 分)已知函数 f ( x) ? m ln x ? x 2 .( m 为常数) (Ⅰ)当 x ??1,e? 时,求函数 y ? f ( x) 的零点个数 ; (Ⅱ)是否存在正实数 m ,使得对任意 x1、x2 ??1,e? ,都有 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 出实数 m 的取值范围;若不存在,请说明理由.

1 1 ? ,若存在,求 x1 x2

6

高 2013 级高三第二次诊断性测试

数 学(理工农医类)答案
说明: 一、本解答给出了一种解法供参考,如果考生的解法与本解答不同,可比照评分意见制订相应的评分 细则. 二、对计算题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度, 可视影响的程度决定后继部分的给分,但不得超过该部分正确解答应得分数的一半,如果后继部分的解答 有较严重的错误,就不再给分. 三、解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 四、只给整数分数,选择题和填空题不给中间分. 一、选择题 题号 答案 二、填空题 11.15 三、解答题 16. 解: (Ⅰ)设等比数列公比为为 q ,因各项为正,有 q ? 0 ?1 分 12. ? 1 B 2 D 3 A 4 B 5 C 6 C 7 D 8 D 9 A 10 C

33 65

13.

? 6

14. (2 2 ? 2)m

15.①④

1 ? a1 ? ? ?a1 ? 6a2 ? 1 ? a1 ? 6a1q ? 1 ? 3 ?? 2 4 ?? 由? 2 2 6 ?a1 q ? 9a1 q ? a3 ? 9a1a7 ?q ? 1 ? 3 ?

1 ? an ? ( ) n 3

( n ? N? ) .

?6 分

(Ⅱ) bn ? log3 a1 ? log3 a2 ? log3 a3 ? ? ? log3 an ? log3 (a1 ? a2 ?an )

1 ? log 3 ( )1? 2??n 3

??

n(n ? 1) 2

?9 分

?

1 2 1 1 ?? ? ?2( ? ) bn n(n ? 1) n n ?1
?1? 2 2n 1 1 1 1 1 1 1 ?2? ? . ?12 分 )? ? ? ? 的前 n 项和 Tn ? ? ? ? ? ?2( ? ? ? ? ? n ?1 b1 b2 bn 1 2 n n ?1 n ?1 ? bn ?

17. 解: (Ⅰ) f ( x) ? a ? b ? cos

2

? x ? sin 2 ? x ? 2 3 cos ? x ? sin ? x

? cos2?x ? 3 sin 2?x
? 2 sin( 2?x ?

?
6

)

????4 分

?? ? 0 2? ? ?函数f ( x)的周期T ? ? ??, 2? ?

? ? ? 1.
7

????5 分

(Ⅱ)? f ( x) ? 2sin(2 x ? 又? f ( A) ? 1

?
6

) )? 1 2


? s i n2 (A ?

?
6

?
6

? 2A ?

?
6

?

5 ?2A ? ? ? 6 6
由余弦定理知 cos A ?

?

?A?

?
3

13 ? 6
????8分

b2 ? c2 ? a2 ?b 2 ? c 2 ? bc ? 3 2bc

又b ? c ? 3

[

联立解得 ?

?b ? 2 ?b ? 1 或? ?c ? 1 ?c ? 2
1 3 bc sin A ? 2 2

????10分

? S ?ABC ?

????12分

[另法:用配方法 ? (b ? c) 2 ? 3bc ? 3

1 3 ]. b ? c ? 3, ?bc ? 2 ? S?ABC ? bc sin A ? 2 2

18. 解:(1)当 S 6 ? 20 时,即回答 6 个问题后,正确 4 个,错误 2 个.若回答正确第 1 个和第 2 个问题, 则其余 4 个问题可任意回答正确 2 个问题;若第一个问题回答正确,第 2 个问题回答错误,第三个问题回 答正确,则其余三个问题可任意回答正确 2 个.记回答每个问题正确的概率为 p ,则 p ? 题错误的概率为

2 ,回答每个问 3
???3 分

1 3
2 2 2 2

2 1 2 ?2? ? 2? ?1? ? 2 ? 1 16 2 故所求概率为: P ? ? ? ? C 4 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? C 32 ? ? ? ? ? ?????6 分 3 3 3 ?3? ? 3? ?3? ? 3 ? 3 81
(2) 由 X ? S 5 可知 X 的取值为 10,30,50.

40 ? 2? ?1? 2? 2? ?1? 可有 P ? X ? 10 ? ? C ? ? ? ? ? C 5 ? ? ? ? ? 81 ? 3? ?3? ? 3? ?3?
3 5

3

2

2

3

? 2? ?1? 1? 2 ? P? X ? 30 ? ? C 54 ? ? ? ? ? C 5 ? ? ? 3? ?3? ?3? 11 ?2? ?1? P? X ? 50 ? ? C ? ? ? C 50 ? ? ? 81 ?3? ?3?
5 5 5 5

4

1

1

30 ?1? ? ? ? 81 ?3?
?????9 分

4

故 X 的分布列为:

X
P

10

30

50

40 81

30 81
8

11 81

E?X ? ?

1850 81

.

?????12 分

19. 解:解: (Ⅰ)以 D 为原点,以 DA 、 DC 、 DD1 所在直线分别为 x 、 y 、 z 轴建立如图所示的空间 直角坐标系 D ? xyz . ∴ D(0,0,0), A(2,0,0), B(2, 2,0), C(0, 2,0), A 1 (2,0, 4), B 1 (2, 2, 4), C1 (0, 2, 4), D 1 (0,0, 4) . 设 E (0, 2, t ) ,则 BE ? (?2,0, t ), B1C ? (?2,0, ?4) . ∵ BE ? B1C ,∴ BE ? B1C ? 4 ? 0 ? 4t ? 0 . ∴ t ? 1 ,∴ E (0, 2,1) , BE ? (?2,0,1) .

??? ?

????

z D1 A1 B1 C1

??? ? ????

??? ?

又 AC ? (?2,2, ?4), DB ? (2,2,0) ,∴ A1C ? DB ? ?4 ?4 ?0 ? 0且 1

????

??? ?

???? ????

E D F C B y

???? ??? ? AC ? BE ? 4?0?4 ? 0 1
∴ AC ? DB 且 AC ? BE . 1 1 ∴ AC ? DB且A1C ? BE 1 ∴ AC ? 平面 BED . 1 又 DB ? BE ? B

????

??? ?

????

??? ?

x A

?4分

(Ⅱ)由(Ⅰ)知 AC ? (?2,2, ?4) 是平面 BDE 的一个法向量,又 A1B ? (0,2, ?4) , 1

????

????

???? ???? ???? ???? AC 30 1 ?A 1B ???? ???? ∴ cos AC . ? 1 ,A 1B ? 6 | AC 1 || A 1B |
BDE 所成角的正弦值为 ∴A 1B 与平面

30 . 6

?8分

(Ⅲ)∵ A1B ? ? 0, 2, ?4 ? , BE ? (?2,0,1) ∴设平面 A 1BE 的法向量为 m ? ? x, y, z ? ,则 ? ∴ m 可取 ?1, 4, 2 ?

????

??? ?

??

?2 y ? 4 z ? 0 ??2 x ? z ? 0

??

又 AC ? (?2,2, ?4) 是平面 BDE 的一个法向量 1

????

?? ???? ?? ???? m ? A1C ?2 14 ?? ∴ cos m, A1C ? ?? ???? ? 42 21 24 m A1C
由图可知,所求二面角为锐二面角,所以所求余弦值为

14 . 42

?12分

9

20. 解: (1)依题意,得 a ? 2 , e ?

c 3 , ? a 2

? c ? 3, b ? a 2 ? c 2 ? 1 ;
故椭圆 C 的方程为

x2 ? y2 ? 1 . 4

??????????????????????3 分

(2)点 M 与点 N 关于 x 轴对称,设 M ( x1 , y1 ) , N ( x1 ,? y1 ) , 不妨设 y1 ? 0 .由于点 M 在椭圆 C 上,

x 所以 y1 ? 1 ? 1 . 4
2

2

(*)

??????????? 4 分

由已知 T (?2, 0) ,则

TM ? ( x1 ? 2, y1 ) , TN ? ( x1 ? 2, ? y1 ) , ?TM ? TN ? ( x1 ? 2, y1 ) ? ( x1 ? 2, ? y1 ) ? ( x1 ? 2) 2 ? y1
?
2

? ( x1 ? 2) 2 ? (1 ?

x1 5 2 ) ? x1 ? 4 x1 ? 3 4 4

2

5 8 1 1 ( x1 ? ) 2 ? ? ? . ?????????????????????6 分 4 5 5 5 8 1 由于 ? 2 ? x1 ? 2 ,故当 x1 ? ? 时, TM ?TN 取得最小值为 ? . 5 5 3 8 3 13 2 由(*)式, y1 ? ,故 M ( ? , ) ,又点 M 在圆 T 上,代入圆的方程得到 r ? . 5 5 5 25 13 2 2 故圆 T 的方程为: ( x ? 2) ? y ? . ????????????????8 分 25
(3)设 P( x0 , y0 ) 由题意知: x0 ? x1 , y0 ? ? y1

直线 MP 的方程为 y ? y0 ?

y0 ? y1 ( x ? x0 ), x0 ? x1

令 y ? 0 得 xR ?
2

x1 y 0 ? x0 y1 x y ? x0 y1 ,同理: x S ? 1 0 y 0 ? y1 y 0 ? y1
2 2 2

? xR ? xS ?

x1 y0 ? x0 y1 y0 ? y1
2 2

又点 M , P 在椭圆上,故

x0 ? 4(1 ? y0 ), x1 ? 4(1 ? y1 )
? xR xS ?
4(1 ? y1 ) y 0 ? 4(1 ? y 0 ) y1 y0 ? y1
2 2 2 2 2 2

2

2

2

2

?

4( y 0 ? y1 ) y0 ? y1
2 2

2

2

?4

? OR ? OS ? xR ? xS ? xR xS ? 4
10

即 OR ? OS 为定值4. 21. 解:解:由 f ( x) ? m ln x ? x 2 得 x ? 0 , f ?( x) ?

????????13分

m 2 x2 ? m ? 2x ? x x

??????1 分

(Ⅰ)( i )若 m ? 0 ,, f ?( x) ? 0 ,函数 f ( x) ? m ln x ? x 2 在 ?1,e? 上为增函数,? f (1) ? 1 ? 0

? 函数 y ? f ( x) 在 ?1,e? 上无零点.
( i i )若 m ? 0 ,由 f ?( x) ? 0 得, x ? ? ?

?2 分

m m (舍), x ? ? 2 2

⑴若 ?

m ? 1 ,即 ?2 ? m ? 0 ,函数 f ( x) ? m ln x ? x2 在 ?1,e? 上为增函数? f (1) ? 1 ? 0 2

? 函数 y ? f ( x) 在 ?1,e? 上无零点.
⑵若 ?

m ? e ,即 m ? ?2e2 , f ?( x) ? 0 ,函数 f ( x) ? m ln x ? x2 在 ?1,e? 上为减函数 2

由 f (1) ? 1 ? 0 , f (e)=e2 ? m ? ?e2 ? 0 ⑶若 1?

? 函数 y ? f ( x) 在 ?1,e? 上有一个零点.

?

? ? m? m ? m <e , 即 ?2e2 ? m ? ?2 , 函 数 f ( x) 在 ?1, ? ? 上 为 减 函 数 , 在 ? ? , e ? 上 为 增 函 数 . 2? 2 ? 2 ? ?

f (1) ? 1 ? 0 , f (e)=e2 ? m , f ( x)min ? f ( ?

m m? m ? ) ? ?ln(? ) ? 1? 2 2? 2 ?

①当 ? ②当 ?

m m m? m ? ? e, 即 ?2e ? m ? ?2 时, f ( ? ) ? ?ln(? ) ? 1? ? 0 ,函数 y ? f ( x) 无零点. 2 2 2? 2 ? m =e, 即 m ? ?2e 时,函数 y ? f ( x) 在 ?1,e? 上有一个零点. 2

? m ? f( ? )?0 2 ③当 ? 时,即 ?e ? m ? ?2e , ,函数 y ? f ( x) 在 ?1,e? 上有一个零点. 2 ? f (e)=e2 ? m ? 0 ? ? m ? f( ? )?0 2 2 ④当 ? 时,即 ?2e ? m ? ?e ,函数 y ? f ( x) 在 ?1,e? 上有两个零点 2 ? f (e)=e2 ? m ? 0 ?
综上: 当 m ? ?2 时, 函数 y ? f ( x) 在 ?1,e? 上无零点; 当 ?e ? m ? ?2 或 m ? ?2e 时, ,函数 y ? f ( x)
2 2

在 ?1,e? 上有一个零点. 当 ?2e ? m ? ?e 时,函数 y ? f ( x) 在 ?1,e? 上有两个零点
2 2

?8分 ?9分

(Ⅱ)满足条件的 m 不存在.
11

若 m ? 0 ,由(Ⅰ)可知,函数 f ( x) ? m ln x ? x 2 在 ?1,e? 上为增函数. 不妨设 1 ? x1 ? x2 ? e ,则 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 由此说明 g ( x ) ? f ( x ) ?

1 1 1 1 ? ,即 f ( x2 ) ? ? f ( x1 ) ? , x1 x2 x2 x1
? 12 分

1 在 ?1,e? 上单调递减 . x

m 1 1 ? 2 x ? 2 ? 0 在 ?1,e? 上恒成立.即 m ? ?2 x 2 ? 对 x ??1,e? 恒成立. x x x 1 1 2 2 又 y ? ?2 x ? 在 ?1,e? 上单调递减.? m ? ?2e ? 此时 m ? 0 x e g ?( x) ?
故满足条件的 m 不存在. ?14 分

12


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