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一元二次函数的图像和性质 2

时间:2014-03-06


§ 3.4 一元二次函数的图象和性质
复习目标
1. 掌握一元二次函数图象的画法及图象的特征 2. 掌握一元二次函数的性质,能利用性质解决实际问题 3. 会求二次函数在指定区间上的最大(小)值 4. 掌握一元二次函数、一元二次方程的关系。

知识回顾
1.函数 y ? ax ? bx ? c(a ? 0) 叫做一元二次函数。
2

2. 一元二次函数的图象是一条抛物线。 3 . 任 何 一 个 二 次 函 数 y ? ax ? bx ? c(a ? 0) 都 可 把 它 的 解 析 式 配 方 为 顶 点 式 :
2

y ? a( x ?
性质如下:

b 2 4ac ? b 2 , ) ? 2a 4a

b 4ac ? b 2 b (1)图象的顶点坐标为 ( ? , ) ,对称轴是直线 x ? ? 。 2a 4a 2a
(2)最大(小)值 ① 当 a ? 0 ,函数图象开口向上, y 有最小值, y min ?

4ac ? b 2 ,无最大值。 4a 4ac ? b 2 ,无最小值。 4a

② 当 a ? 0 ,函数图象开口向下, y 有最大值, y max ? (3)当 a ? 0 ,函数在区间 ( ??,?

b b ) 上是减函数,在 (? ,??) 上是增函数。 2a 2a b b 当 a ? 0 ,函数在区间上 ( ? ,??) 是减函数,在 (??,? ) 上是增函数。 2a 2a

【说明】1.我们研究二次函数的性质常用的方法有两种:配方法和公式法。 2.无论是利用公式法还是配方法我们都可以直接得出二次函数的顶点坐标与对称 轴; 但我们讨论函数的最值以及它的单调区间时一定要考虑它的开口方向。

例题精解
一、一元二次函数的图象的画法

1 2 x ? 4 x ? 6 的图象 2 1 1 【解】 y ? x 2 ? 4 x ? 6 ? ( x 2 ? 8 x ? 12) 2 2
【例 1】求作函数 y ?

1 1 ? [( x 2 ? 4) 2 - 4] ? ( x 2 ? 4) 2 - 2 2 2 以 x ? ?4 为中间值,取 x 的一些值,列表如下: x ? -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 ? y ? 5 0 ? 3 -2 ? 3 0 5 ? 2 2 2 2
【例 2】求作函数 y ? ? x ? 4 x ? 3 的图象。
2

【解】 y ? ? x ? 4 x ? 3 ? ?( x ? 4 x ? 3)
2 2

? ?[( x ? 2) 2 ? 7] ? ?[( x ? 2) 2 ? 7
先画出图角在对称轴 x ? ?2 的右边部分,列表

x
y

-2 7

-1 6

0 5

1 4

2 3

【点评】画二次函数图象步骤: (1)配方; (2)列表; (3)描点成图; 也可利用图象的对称性,先画出函数的左(右)边部分图象,再利 用对称性描出右(左)部分就可。 二、一元二次函数性质 【例 3】求函数 y ? x ? 6 x ? 9 的最小值及图象的对称轴和顶点坐标,并求它的单调区间。
2

【解】

y ? x 2 ? 6 x ? 2 ? x 2 ? 6 x ? 9 ? 7 ? ( x ? 3) 2 ? 7
由配方结果可知:顶点坐标为 (?3 , ? 7) ,对称轴为 x ? ?3 ;

?1 ? 0

∴当 x ? ?3 时, y min ? ?7

函数在区间 (??, ? 3] 上是减函数,在区间 [?3, ? ?) 上是增函数。 【例 4】求函数 y ? ?5 x ? 3x ? 1图象的顶点坐标、对称轴、最值及它的单调区间。
2

b 3 3 4ac ? b 2 4 ? (?5) ? 1 ? 3 2 29 ? ? ?? ?? ? , 4a 4 ? (?5) 20 2a 2 ? (?5) 10
3 29 29 , ) ,对称轴为 x ? 10 20 20 3 29 ∴当 x ? 时,函数取得最大值 y maz ? ? ?5 ? 0 10 20 3 函数在区间 (??, ] 上是增函数,在区间 [?3,??) 上是减函数。 10
∴函数图象的顶点坐标为 ( 【点评】要研究二次函数顶点、对称轴、最值、单调区间等性质时,方法有两个:

(1) 配方法;如例 3 (2) 公式法: 适用于不容易配方题目(二次项系数为负数或分数)如例 4, 可避免出错。 任何一个函数都可配方成如下形式: y ? a( x ? 三、二次函数性质的应用 【例 5】 (1)如果 f ( x) ? x ? bx ? c 对于任意实数 t 都有 f (3 ? t ) ? f (3 ? t ) , 那么 (
2

b 2 4ac ? b 2 ) ? (a ? 0) 2a 4a



(A) f (3) ? f (1) ? f (4) (C) f (3) ? f (4) ? f (1)

(B) f (1) ? f (3) ? f (4) (D) f (4) ? f (3) ? f (1)

【解】 ∵ f (3 ? t ) ? f (3 ? t ) 对于一切的 t ? R 均成立 ∴

f ( x) 的图像关于 x ? 3 对称
∴ 抛物线开口向上。

又a ?1? 0 ∴

f (3) 是 f ( x) 的最小值。

? 1? 3 ? 4 ? 3 ,


f (3) ? f (4) ? f (1)
2

(2) 如 果 f ( x) ? ? x ? bx ? c 对 于 任 意 实 数 t 都 有 f (?2 ? t ) ? f (?2 ? t ) , 则 f (?1)

f (1) 。(用“ ? ”或“ ? ”填空)
【解】∵ f (?2 ? t ) ? f (?2 ? t ) 对于一切的 t ? R 均成立 ∴

f ( x) 的图像关于 x ? ?2 对称
∴ 抛物线开口向下。

又 a ? ?1 ? 0

? ? 1 ? (?2) ? 1 ? (?2) ,


f (?1) ? f (1)

【点评】1.当 a ? 0 时,对称轴通过它的最低点(此时函数有最小值),如果这时有一个点离 图象对称轴越远,则对应的函数值就越大。如例 5(1)中当 x ? 1所对应的点比当 x ? 4 所对 应的点离对称轴远,所以 x ? 1时对应的函数值也比较大。 2.1.当 a ? 0 时,对称轴通过它的最高点(此时函数有最大值),如果这时有一个 点离图象对称轴越远, 则对应的函数值就越小。 如例 5(2)中当 x ? 1所对应的点比当 x ? ?1 所对应的点离对称轴远,所以 x ? 1对应的函数值也比较小。 【例 6】求函数 y ? x ? 2 x ? 5 在给定区间 [?1,5] 上的最值。
2

【解】 (1)原函数化为 y ? x ? 2 x ? 5 ? ?x ? 1? ? 6
2 2

∵a ?1? 0

∴ 当 x ? 1 时, y min ? ?6 ∴当 x ? 5 时, y max ? (5 ? 1) ? 6 ? 10
2

又∵ ? 1 ? 1 ? 5 ? 1

(2)原函数可化为: y ? ?( x ? ) 2 ?

注意到当 1 ? x ? 2 时,函数为减函数 ∴ y min ? f (2) ? ?2 2 ?

1 3

10 1 ,图象的对称轴是直线 x ? ? 9 3

2 4 13 ? 2 ? 1 ? ?4 ? ? 1 ? ? 3 3 3
2

【例 7】已知函数 y ? (n ? 2) x ? nx ? 1 是偶函数,试比较 f (2) , f ( 2 ) , f ( ? 5 ) 的大 小。 【解】解法一:∵ y ? (n ? 2) x ? nx ? 1 是偶函数,
2



n ? 0 , ∴ y ? ?2 x 2 ? 1

∴ 可知函数的对称轴为直线 x ? 0 又∵ a ? ?2 ? 0 , ? 5 ? 0 ? 2 ? 0 ? ∴ f ( 2 ) ? f (2) ? f (? 5 ) 解法二: ∵ y ? (m ? 1) x ? 2mx ? 3 是偶函数,
2

2 ?0



n ? 0 , ∴ y ? ?2 x 2 ? 1
2

可知 y ? ?2 x ? 1 在 (0,??) 上单调递减 又∵ y ? (n ? 2) x ? nx ? 1 是偶函数,
2

∴ f (? 5 ) ? f ( 5 ) 而 5?2?

2

∴ f ( 2 ) ? f (2) ? f ( 5 ) ∴ f ( 2 ) ? f (2) ? f (? 5 ) 三、一元二次函数、一元二次方程的关系。 【例 8】求当 k 为何值时,函数 y ? ?2 x ? 4 x ? k 的图象与 x 轴(1)只有一个公共点;(2)
2

有两个公共点;(3)没有公共点. 【解】令 ? 2 x ? 4 x ? k ? 0 ,则 ? 2 x ? x ? k ? 0 的判别式 ? ? b ? 4ac ? 16 ? 8k
2 2 2

(1)当 ? ? 0 ,即 16 ? 8k ? 0 , k ? 2 时,方程有两个相等的实根,这时图象与 x 轴只 有一个公共点; (2) 当 ? ? 0 , 即 16 ? 8k ? 0 ,k ? 2 时, 方程有两个不相等的实根, 这时图象与 x 轴 有两个公共点; (3) 当 ? ? 0 , 即 16 ? 8k ? 0 ,k ? 2 时, 方程有两个不相等的实根, 这时图象与 x 轴 无公共点;

同步训练
一.选择题 1.二次函数 y ? x ? 2 x ? 5 的值域是(
2

) C.( ? ?,   4] D. (??,   4)

[4,  ? ?) A.

B. (4,    ? ?)
2

2.如果二次函数 y ? 5 x ? mx ? 4 在区间 (??,?1) 上是减函数,在区间 [?1,??) 上是增函 数,则 m ? ( ) A.2 B.-2
2

C.10

D.-10 )

3. 如果二次函数 y ? x ? mx ? (m ? 3) 有两个不相等的实数根, 则 m 的聚值范围是 ( A. (??,?2) ? (6,??) 4.函数 y ? B. (?2,6) ) C.3 ) D. 3 . C. [?2,6) 0 D. {?2,6}

1 2 x ? x ? 3 的最小值是( 2 1 A.-3. B. ? 3 . 2
2

1 2

5.函数 y ? ?2 x ? 4 x ? 2 具有性质(

A.开口方向向上,对称轴为 x ? ?1 ,顶点坐标为(-1,0) B.开口方向向上,对称轴为 x ? 1,顶点坐标为(1,0) C.开口方向向下,对称轴为 x ? ?1 ,顶点坐标为(-1,0) D.开口方向向下,对称轴为 x ? 1,顶点坐标为(1,0) 6.下列命题正确的是( ) A. 函数 y ? 2 x ? 6 x ? 3 的最小值是
2 2

3 2

B. 函数 y ? ?2 x ? 6 x ? 3 的最小值是
2 2

15 4

C.函数 y ? ? x ? 4 x ? 3 的最小值为 7
2 2

D.函数 y ? ? x ? 4 x ? 3 的最大值为 7
2

7 .函数( 1 ) y ? 2 x ?4 x ? 3 ; ( 2 ) y ? 2 x ?4 x ? 3 ; ( 3 ) y ? ?3x ? 6 x ? 3 ; (4)

y ? ?3x 2 ? 6 x ? 3 中,对称轴是直线 x ? 1的是(
A. (1)与(2) B. (2)与(3)
2

) D. (2)与(4)

C. (1)与(3) )

8.对于二次函数 y ? ?2 x ? 8 x ,下列结论正确的是( A.当 x ? 2 时, y 有最大值 8

B.当 x ? ?2 时, y 有最大值 8

C.当 x ? 2 时, y 有最小值 8
2

D.当 x ? ?2 时, y 有最小值 8

9.如果函数 y ? ax ? bx ? c(a ? 0) ,对于任意实数 t 都有 f (2 ? t ) ? f (2 ? t ) ,那么下列 选项中正确的是( ) B. f (?1) ? f (2) ? f (4) D. f (4) ? f (2) ? f (?1) )

A. f (2) ? f (?1) ? f (4) C. f (2) ? f (4) ? f (?1)
2 2

10.若二次函数 y ? a x ? 4 x ? 1 有最小值,则实数 a =( A. 2 二.填空 1.若函数 f ( x) ? 2 x ? x ? 1 ,则 f ( x) 的对称轴是直线
2

B. ? 2

C. ?

2

D. ? 2

2.若函数 y ? 2 x ? bx ? 3 在区间 (??,2] 上是减函数,在区间 (2,??] 是增函数,则 b ?
2

3.函数 y ? 2 x ? 3x ? 9 的图象与 y 轴的交点坐标是
2

,与 x 轴的交点坐标是



4.已知 y ? 9 x ? 6 x ? 6 ,则 y 有最
2

值为 值为

5.已知 y ? ?4 x ? 28 x ? 1 ,则 y 有最
2

三.解答题 1. 已知二次函数 y ? ? x ? 4 x ? 3 , (1) 指出函数图象的开口方向; (2) 当 x 为何值时 y ? 0 ;
2

(3)求函数图象的顶点坐标、对称轴和最值。

2.如果二次函数 f ( x) ? x ? kx ? (k ? 8) 与 x 轴至多有一个交点,求 k 的值。
2

3.已知二次函数 f ( x) ? ? x ? 2(m ? 1) ? 2m ? m ,
2 2

(1)如果它的图象经过原点,求 m 的值。 (2)如果它的图象关于 y 轴对称,写出函数的关系式。 (3)如果它的图象关于 y 轴对称,试比较 f (?2)、f (? 3 )、f ( 2 ) 。


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