nbhkdz.com冰点文库

北大附中2013届高三数学一轮复习单元综合测试:圆与方


北大附中 2013 届高三数学一轮复习单元综合测试:圆与方程 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.满分 150 分.考试时间 120 分钟. 第Ⅰ卷(选择题 共 60 分) 一、选择题(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的) 1.若直线 2x-y+a=0 与圆(x-1)2+y2=1 有公共点,则

实数 a 的取值范围为( A.(-2- 5,-2+ 5) C.[- 5, 5] 【答案】B B.[-2- 5,-2+ 5] D.(- 5, 5)
2 2

)

2.已知圆 C1 : ( x ? 1) + ( y ? 1) =1,圆 C2 与圆 C1 关于直线 x ? y ? 1 ? 0 对称,则圆 C2 的方程 为( )
2 2

A. ( x ? 2) + ( y ? 2) =1 C. ( x ? 2) + ( y ? 2) =1
2 2

B. ( x ? 2) + ( y ? 2) =1
2 2

D. ( x ? 2) + ( y ? 2) =1
2 2

【答案】B 3. 圆 C1: x + y 线方程为 ( 【答案】C 4.已知圆 x A.9
2
2 2

-4x + 6y = 0 与圆 C2: x + y )

2

2

-6x = 0 的交点为 A、B,则 AB 的垂直平分

A. x + y + 3 = 0 B. 2x -5y -5= 0 C. 3x -y -9 = 0 D. 4x -3y + 7 = 0

? y 2 ? 2 x ? my ? 4 ? 0 上两点M、N关于直线2x+y=0对称,则圆的半径为( )
B.3 C.2

3

D.2 )

【答案】B 5.若直线 l1:y=2x+3,直线 l2 与 l1 关于直线 y=-x 对称,则直线 l2 的斜率为( 1 1 A. B.- 2 2 C.2 D.-2 【答案】A 6.已知直线 l1 : ( ) B.1 或 5 C.3 或 5 D.1 或 2 )

? k ? 3? x ? ? 4 ? k ? y ?1 ? 0, 与l2 : 2 ?k ? 3? x ? 2y ? 3 ? 0 ,平行,则 k 得值是

A.1 或 3

【答案】C 7.若点 P(x0,y0)在直线 Ax+By+C=0 上,则直线方程可表示为( A.A(x-x0)+B(y-y0)=0 B.A(x-x0)-B(y-y0)=0 C.B(x-x0)+A(y-y0)=0 D.B(x-x0)-A(y-y0)=0 【答案】A 8. 直线 l : y ? k ( x ? 2) ? 2 将圆 C : x A. (2, ?2) 【答案】B
-12

? y 2 ? 2x ? 2 y ? 0 平分,则直线 l 的方向向量是
C. (?3, 2) D. (2,1)

B. (2, 2)

9.直线 x-y+1=0 与圆(x+1)2+y2=1 的位置关系是( ) A.相切 B.直线过圆心 C.直线不过圆心但与圆相交 D.相离 【答案】B 10.若直线 l1:y=2x+3,直线 l2 与 l1 关于直线 y=-x 对称,则直线 l2 的斜率为( ) 1 1 A. B.- 2 2 C.2 D.-2 【答案】A 11.过点(1,3)作直线 l,使 l 过点(a,0)与(0,b),a,b∈N*,则可作出的直线 l 的条数为( A.1 条 B.2 条 C.3 条 D.多于 3 条 【答案】B 2 2 12.若直线 ax+by=1 与圆 x +y =1 有公共点,则( ) 2 2 2 2 A.a +b ≤1 B.a +b ≥1 1 1 1 1 C. 2+ 2≤1 D. 2+ 2≥1

)

a

b

a

b

【答案】B

-2-

第Ⅱ卷(非选择题

共 90 分)

二、填空题(本大题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分,把正确答案填在题中横线上)

13. 以抛物线. 程为_______

的焦点为圆心,且与双曲线-

的两条渐近线都相切的圆的方

【 答 案 】 ( x ? 5) ? y ? 9
2 2

3 y?? x 4 【解析】由已知可以知道,抛物线的焦点坐标为(5,0),双曲线的渐近线方程为
则所求的圆的圆心为(5,0),利用圆心到直线3x-4y=0的距离为半径r,则有

r?

| 3? 5 ? 4 ? 0 | 32 ? 42

?3

,故圆的方程为 ( x ? 5) ? y ? 9
2 2
2 2

14.过点 P(1,1)的直线 l 交圆 O:x +y =8 于 A、B 两点,且∠AOB=120°,则直线 l 的方程为 ______________. 【答案】x+y-2=0 2 2 15. 已知定点 A(2,0),B 是曲线 x +y =1 上的一动点,若=3,M 的坐标为(x,y),则点 M 的轨 迹方程是________. 1 2 2 3 2 【答案】 ?x- ? +y =? ? ? 2? ?4? 2 2 16.已知动点 P(x,y)满足 x +y -|x|-|y|=0,O 为坐标原点,则 PO 的取值范围是________. 【答案】{0}∪[1, 2]

-3-

三、解答题(本大题共 6 个小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17.已知圆 C1 : ( x ? 4) 最小值相等.】 (1)求点 P 的轨迹方程; (2)点 P 的轨迹上是否存在点 Q ,使得点 Q 到点 A(?2
2

? y 2 ? 1,圆 C2 : x2 ? ( y ? 2)2 ? 1 ,动点 P 到圆 C1 , C2 上点的距离的

2,0) 的距离减去点 Q 到点 B(2 2,0) 的

距离的差为 4 ,如果存在求出 Q 点坐标,如果不存在说明理由. 【答案】 (1)设动点 P 的坐标为 ( x, y ) , 圆 C1 的圆心 C1 坐标为 (4, 0) , C2 的圆心 C2 坐标为 (0, 2) , 圆 因为动点 P 到圆 C1 , C2 上的点距离 最小值相等,所以 | PC1 |?| PC2 | , 即 ( x ? 4) ? y ?
2 2

x 2 ? ( y ? 2) 2 ,化简得 y ? 2 x ? 3 ,因此点 P 的轨迹方程是 y ? 2 x ? 3 。

(2)假设这样的 Q 点存在, 因为 Q 点到 A(?2

2,0) 点的距离减去 Q 点到 B(2 2,0) 点的距离的差为 4, 2,0) 和 B(2 2,0) 为焦点,实轴长为 4 的双曲线的右支上,
又 Q 点在直线 l : y ? 2 x ? 3 上, Q 点的坐标是方

所以 Q 点在以 A(?2

即 Q 点在曲线

x2 y 2 ? ? 1 ( x ? 2 ) 上, 4 4

? y ? 2x ? 3 ? 程组 ? x 2 y 2 的解, ? ?1 ? ?4 4
消元得 3x ? 12 x ? 13 ? 0 , ? ? 12 ? 4 ? 3 ?13 ? 0 ,方程组无解,
2 2

所以点 P 的轨迹上不存在满足条件的点 Q .
2 2 18. 已知 ? C 过点 P(1,1) ,且与 ? M : ( x ? 2) ? ( y ? 2)

? r 2 (r ? 0) 关于直线 x ? y ? 2 ? 0

对称. (1)求 ? C 的方程; (2)设 Q 为 ? C 上的一个动点,求 PQ ? MQ 的最小值; (3)过点 P 作两条相异直线分别与 ? C 相交于 A, B ,且直线 PA 和直线 PB 的倾斜角互补, O 为 坐标原点,试判断直线 OP 和 AB 是否平行?请说明理由.

??? ???? ? ?

-4-

?a ? 2 b ? 2 ? 2 ? 2 ?2?0 ?a ? 0 ? 【答案】(1)设圆心 C ( a, b) ,则 ? ,解得 ? b?2 ?b ? 0 ? ?1 ? a?2 ?
则圆 C 的方程为 x 故圆 C 的方程为 x
2

? y 2 ? r 2 ,将点 P 的坐标代入得 r 2 ? 2 , ? y2 ? 2

2

(2)设 Q ( x, y ) ,则 x =x
2

2

??? ???? ? ? ? y2 ? 2 ,且 PQ ? MQ ? ( x ?1, y ?1) ? ( x ? 2, y ? 2)

??? ???? ? ? ? y 2 ? x ? y ? 4 = x ? y ? 2 ,所以 PQ ? MQ 的最小值为 ?4 (可由线性规划或三角代换求得)

(3)由题意知, 直线 PA 和直线 PB 的斜率存在,且互为相反数,故可设 PA : y ? 1 ? k ( x ? 1) ,

? y ? 1 ? k ( x ? 1) 2 2 2 ,得 (1 ? k ) x ? 2k (1 ? k ) x ? (1 ? k ) ? 2 ? 0 PB : y ? 1 ? ?k ( x ? 1) ,由 ? 2 2 ? x ?y ?2
因为点 P 的横坐标 x ? 1 一定是该方程的解,故可得 x A

?

k 2 ? 2k ? 1 1? k 2

同理, xB

?

k 2 ? 2k ? 1 , 1? k 2

所以 k AB ?

yB ? y A ?k ( xB ? 1) ? k ( xA ? 1) 2k ? k ( xB ? xA ) ? ? ? 1 = kOP xB ? xA xB ? xA xB ? xA

所以,直线 AB 和 OP 一定平行

19.已知圆

C1

的圆心在坐标原点 O ,且恰好与直线

l1 : x ? y ? 2 2 ? 0 相切.

(Ⅰ) 求圆的标准方程; (Ⅱ)设点

A( x0, y0 )

为圆上任意一点, AN

? x 轴于 N ,若动点 Q 满足

???? ??? ? ???? OQ ? mOA ? nON ,(其中 m ? n ? 1, m, n ? 0, m 为常数),试求动点 Q 的轨迹方程 C2 ;

m?
(Ⅲ)在(Ⅱ)的结论下,当

3 2 时,得到曲线 C ,问是否存在与 l1 垂直的一条直线 l 与曲线 C

交于 B 、 D 两点,且 ?BOD 为钝角,请说明理由.

-5-

l 【答案】 (Ⅰ)设圆的半径为 r ,圆心到直线 1 距离为 d ,则
所以圆

d?

| ?2 2 | 12 ? 12

?2

C1 的方程为 x 2 ? y 2 ? 4
A( x0, y0 ) AN ? x N ( x0 , 0) , 轴于 N ,

(Ⅱ)设动点 Q ( x, y ) ,

? x ? (m ? n) x0 ? x0 ? ( x, y ) ? m( x0 , y0 ) ? n( x0 , 0) ,所以 ? y ? my0 由题意,
? x0 ? x ? ? 1 1 A( x, y ) ? y0 ? m y m 即: ? ,将

x2 y2 ? ?1 x 2 ? y 2 ? 4 ,得 4 4m 2 代入 x2 y 2 3 ? ?1 m? l : 3 2 时,曲线 C 方程为 4 (Ⅲ) ,假设存在直线 l 与直线 1 x ? y ? 2 2 ? 0 垂直,
设直线 l 的方程为 y ? ? x ? b

x2 y 2 ? ?1 B( x1 , y1 ), D( x2 , y2 ) 3 设直线 l 与椭圆 4 交点

联立得:

? y ? ?x ? b ? 2 2 ?3 x ? 4 y ? 12

,得 7 x ? 8bx ? 4b ? 12 ? 0
2 2

因为

? ? 48(7 ? b 2 ) ? 0 ,解得 b 2 ? 7 ,且

x1 ? x2 ?

8b 4b 2 ? 12 , x1 x2 ? 7 7

???? ??? ? OD ? OB ? x1 x2 ? y1 y2 ? x1 x2 ? (b ? x1 )(b ? x2 ) ? 2 x1 x2 ? b( x1 ? x2 ) ? b 2
? 8b 2 ? 24 8b 2 7b 2 ? 24 ? ? b2 ? 7 7 7

7b 2 ? 24 ?0 7 因为 ?BOD 为钝角,所以 ,
b2 ?
解得

24 7 满足 b 2 ? 7

?-

2 42 2 42 ?b? 7 7
-6-

所以存在直线 l 满足题意

20.已知圆 C 方程为: x ? y ? 4 .
2 2

(Ⅰ)直线 l 过点 P ?1,2 ? ,且与圆 C 交于 A 、 B 两点,若 | AB |? 2 3 ,求直线 l 的方程; (Ⅱ)过圆 C 上一动点 M 作平行于 x 轴的直线 m ,设 m 与 y 轴的交点为 N ,若向量

???? ???? ???? ? OQ ? OM ? ON ,求动点 Q 的轨迹方程,并说明此轨迹是什么曲线.
【答案】 (Ⅰ) ①当直线 l 垂直于 x 轴时, 则此时直线方程为 x ? 1 ,l 与圆的两个交点坐标为 和

?1, 3?

?1,? 3 ?,其距离为 2

3

满足题意

②若直线 l 不垂直于 x 轴,设其方程为 设圆心到此直线的距离为 d ,则 2 ∴1 ?

y ? 2 ? k ?x ? 1? ,即 kx ? y ? k ? 2 ? 0

3 ? 2 4 ? d 2 ,得 d ? 1

| ?k ? 2 | k 2 ?1

,k ?

3 , 4

故所求直线方程为 3x ? 4 y ? 5 ? 0 综上所述,所求直线为 3x ? 4 y ? 5 ? 0 或 x ? 1 (Ⅱ)设点 M 的坐标为 则 N 点坐标是 ∵ OQ ? OM ∴ , ?x0 , y0 ? ( y0 ? 0 ) Q 点坐标为 ?x, y ?

?0, y0 ?

??? ?

???? ???? ? ? ON ,
即 x0

? x, y ? ? ? x0 ,2 y0 ?
2

? x , y0 ?

y 2

又∵ x0

2 ? y0 ? 4 ,∴ x 2 ?

y2 ? 4( y ? 0) 4

∴ Q 点的轨迹方程是

x2 y 2 ? ? 1( y ? 0) , 4 16

轨迹是一个焦点在 x 轴上的椭圆,除去短轴端点。2 2 2 21.已知圆 x +y -4ax+2ay+20(a-1)=0. (1)求证对任意实数 a,该圆恒过一定点; 2 2 (2)若该圆与圆 x +y =4 相切,求 a 的值.

-7-

? ?x +y -20=0, 【答案】(1)将圆的方程整理为(x +y -20)+a(-4x+2y+20)=0,令? ? ?-4x+2y+20=0
2 2

2

2

可得

?x=4, ? ? ?y=-2, ?
2

所以该圆恒过定点(4,-2).
2 2 2

(2)圆的方程可化为(x-2a) +(y+a) =5a -20a+20 =5(a-2) ,所以圆心为(2a,a),半径为 5|a-2|. 若两圆外切,则 ?2a-0? +?a-0? =2+ 5|a-2|, 即 5|a|=2+ 5|a-2|,由此解得 a=1+
2 2 2 2

5 . 5 5 或a 5

若两圆内切,则 ?2a? +a =|2- 5|a-2||,即 5|a|=|2- 5|a-2||,由此解得 a=1- =1+ 5 (舍去). 5

5 5 或 a=1+ . 5 5 2 2 2 22.已知圆 C 过点 P(1,1),且与圆 M:(x+2) +(y+2) =r (r>0)关于直线 x+y+2=0 对称. (1)求圆 C 的方程; 综上所述,两圆相切时,a=1- (2)设 Q 为圆 C 上的一个动点,求 PQ · MQ 的最小值; (3)过点 P 作两条相异直线分别与圆 C 相交于 A、B,且直线 PA 与直线 PB 的倾斜角互补.O 为坐标 原点,试判断直线 OP 和 AB 是否平行?请说明理由.

??? ?

???? ?

?a-2+b-2+2=0, 2 2 【答案】(1)设圆心 C(a,b),则? b+2 ?a+2=1,
解得?
? ?a=0, ? ?b=0.
2 2 2

则圆 C 的方程为 x +y =r . 2 将点 P 的坐标代入得 r =2, 2 2 故圆 C 的方程为 x +y =2. 2 2 (2)设 Q(x,y),则 x +y =2, 且 PQ · MQ =(x-1,y-1)(x+2,y+2)=x +y +x+y-4=x+y-2,

??? ?

???? ?

2

2

??? ???? ? ? 所以 PQ · MQ 的最小值为-4(可由线性规划或三角代换求得).

(3)由题意知,直线 PA 和直线 PB 的斜率存在,且互为相反数,故可设 PA:y-1=k(x-1), PB:y-1=-k(x-1), 由?
?y-1=k(x-1), ? ? ?x +y =2,
2 2 2 2 2

得(1+k )x +2k(1-k)x+(1-k) -2=0, 因为点 P 的横坐标 x=1 一定是该方程的解, k2-2k-1 故可得 xA= . 2 1+k 2 k +2k-1 同理,xB= , 2 1+k yB-yA -k(xB-1)-k(xA-1) 所以 kAB= = xB-xA xB-xA 2k-k(xB+xA) = =1=kOP, xB-xA 所以,直线 AB 和 OP 一定平行.
-8-

-9-

- 10 -

w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

- 11 -


北大附中2013届高三数学一轮复习单元综合测试:圆与方

北大附中2013届高三数学一轮复习单元综合测试:圆与方 隐藏>> 北大附中 2013 届高三数学一轮复习单元综合测试:圆与方程 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择...

北大附中2013届高三数学一轮复习单元综合测试:圆与方程

北大附中 2013 届高三数学一轮复习单元综合测试:圆与方程 本试卷分第Ⅰ卷(选择...y ? 1 ? 0 对称,则圆 C2 的方 程为( ) 2 2 A. ( x ? 2) + (...

北大附中2013届高三数学一轮复习单元综合测试:圆锥曲线与方程

北大附中2013届高三数学一轮复习单元综合测试:圆锥曲线与方程 隐藏>> 本资料来自...双曲线 -=1 的渐近线与圆(x-3) +y =r (r>0)相切,则 r=() 6 3 A...

北大附中2013届高三数学一轮复习单元综合测试

北大附中 2013 届高三数学一轮复习单元综合测试:三角函数 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.满分 150 分.考试时间 120 分钟. 第Ⅰ卷(选择题...

北大附中2013届高三数学一轮复习单元综合测试:导数及其应用

本资料来自于资源最齐全的21世纪教育网 www.21cnjy.com 北大附中 2013 届高三数学一轮复习单元综合测试:导数及其应用 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择...

北大附中2013届高三数学一轮复习单元综合测试:函数的应用

北大附中 2013 届高三数学一轮复习单元综合测试:函数的应用 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.满分 150 分.考试时间 120 分钟. 第Ⅰ卷(选择...

北大附中2013届高三数学一轮复习单元综合测试:直线与方程

北大附中 2013 届高三数学一轮复习单元综合测试:直线与方程 本试卷分第Ⅰ卷(...x ? b 是斜率为1的直线,曲线 是以原点为圆心1为半径的圆的右半圆,画出...

3北大附中2013届高三数学一轮复习单元综合测试

3北大附中2013届高三数学一轮复习单元综合测试_数学_高中教育_教育专区。北大附中...21.设函数 f(x)与 g(x)的定义域是{x|x∈R 且 x≠±1},f(x)是偶...

北大附中2013届高三数学一轮复习单元综合测试:统计

北大附中 2013 届高三数学一轮复习单元综合测试:统计 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)...,(xn,yn)的偏差 ?[yi-(bxi+a)]2 是 n i=1 该坐标平面上所有直线与...