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圆与圆的方程

时间:2016-07-23


圆与圆的方程
1、圆的标准方程: ? x ? a ? ? ? y ? b ? ? r 。
2 2 2

2、圆的一般方程: x2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0(其中D2+E2-4F ? 0) , 特别提醒:只有当 D
2

+E 2-4F ? 0 时,方程 x2 ? y 2 ? Dx ? Ey

? F ? 0 才表示圆心为 (? D , ? E ) ,
2 2

半径为 r ? 3、 A

? x1, y1 ? , B ? x2 , y2 ? 为直径端点的圆方程 ? x ? x ?? x ? x ? ? ? y ? y ?? y ? y ? ? 0
1 2 1 2
2

1 D 2 ? E 2 ? 4 F 的圆 2

4.两圆 x

+y2+D1x+E1y+F1=0,⊙C :x +y +D x+E y+F =0 的公共弦所在的直线方程是
2 2 2 2 2 2

注意:与圆有关的最值问题,常用三角换元法: (1)圆方程是 x (2)圆方程是 二、练习 1、以两点 A(-3,-1)和 B(5,5)为直径端点的圆的方程是 答案: ( x ? 1) 2 ? ( y ? 2) 2 ? 25
2

? y 2 ? r 2时,常设x ? r cos? , y ? r sin ?
2 2 x ? a ? r cos ? ? ? y ? b ? ? r 2 ,常设 y ? b ? r sin ?

? x ? a?

?

, ? ??0, 2? ?

( ? 为参数且 ? ??0, 2? ? ) ,

2、已知圆心为点(2,-3) ,一条直径的两个端点恰好落在两个坐标轴上,则这个圆的方程是 答案: x2 ? y 2 ? 4 x ? 6 y ? 0 4、方程 x
2

+y2-x+y+k=0 表示一个圆,则实数 k 的取值范围为

(答: k ?

1 ) ; 2

5、圆心在(2,3),与 x 轴相切的圆的方程. 6、 圆 x 2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0( D 2 ? E 2 ? 4F ? 0) 关于直线 x ? y ? 0 对称,则 D, E 满足的等式是
2 2 7、圆 C 与圆 ( x ?1) ? y ? 1 关于直线 y ? ? x 对称,则圆 C 的方程为

(答: x ? ( y ? 1) ? 1 ) ;
2 2

8、圆心在直线 2 x ? y ? 3 上,且与两坐标轴均相切的圆的标准方程是 (答: ( x ? 3) ? ( y ? 3) ? 9 或 ( x ? 1) ? ( y ? 1) ? 1 ) ; 2 2 9、如果直线 l 将圆:x +y -2x-4y=0 平分,且不过第四象限,那么 l 的斜率的取值范围是 (答:[0,2]) ;
2 2 2 2

10、若 M ? {( x, y ) |

3cos ? ?xy ? ? 3sin ?

( ? 为参数, 0 ? ? ? ? )} , N ? ?( x, y) | y ? x ? b?,若 M ? N ? ? , (答: -3,3 2 ? )

则 b 的取值范围是
2

?

?

11、已知点 P(x,y)是圆(x+2) +y =1 上任意一点,则 P 点到直线 3x+4y+12=0 的距离的最大值和最小值分别 是 、 ;?
3? (?2) ? 4 ? 0 ? 12 32 ? 42 ? 6 .? 5

2

解:圆心 C(-2,0)到直线 3x+4y+12=0 的距离为:d=

∴P 点到直线 3x+4y+12=0 的距离的最大值为 d+r= +1=

6 5

11 6 1 ,最小值为 d-r= -1= .? 5 5 5

12. 根据下列条件,求圆的方程.(1) 经过 A(6,5),B(0,1)两点,并且圆心在直线 3x+10y+9=0 上.
1

(2) 经过 P(-2,4),Q(3,-1)两点,并且在 x 轴上截得的弦长为 6. 解:(1) ∵AB 的中垂线方程为 3x+2y-15=0,由 ?
?3x ? 2 y ? 15 ? 0 ?3x ? 10 y ? 9 ? 0

解得 ?
2

?x ? 7 ? y ? ?3
2

∴圆心为 C(7,-3),半径 r= 65 ,故所求圆的方程为(x-7) +(y+3) =65 (2) 设圆的一般方程为 x +y +Dx+Ey+F=0,将 P、Q 两点坐标代入得 ? 令 y=0 得 x +Dx+F=0,由弦长|x1-x2|=6 得 D -4F=36 ③ 解①②③可得 D=-2,E=-4,F=-8 或 D=-6,E=-8,F=0 2 2 2 2 故所求圆的方程为 x +y -2x-4y-8=0 或 x +y -6x-8y=0 13、已知圆 C1 : x2 ? y 2 ? 2x ? 6 y ? 1 ? 0 C和圆 C2 : x2 ? y 2 ? 4x ? 2 y ? 11 ? 0 , 求两圆的公共弦所在的直线方程及公共弦长. 解:如图 1,设两圆的交点为 A( x1,y1 ),B( x2,y2 ) ,
2 2 ? ? x ? y ? 2 x ? 6 y ? 1 ? 0, 则 A,B 两点的坐标是方程组 ? 2 的解, 2 ? ? x ? y ? 4 y ? 2 y ? 11 ? 0
2 2 2 2

?2 D ? 4 E ? F ? 20

① ?3D ? E ? F ? ?10 ②

两个式子相减,得 3x ? 4 y ? 6 ? 0 .由于 A,B 两点的坐标都满足此方程. 故 3x ? 4 y ? 6 ? 0 为两圆的公共弦所在的直线方程. , 3) ,半径为 r ? 3 ,又 C1 到直线 AB : 3x ? 4 y ? 6 ? 0 的距离为 易知圆 C1 的圆心为 ( ?1
d? ?1 ? 3 ? 4 ? 3 ? 6 32 ? 42 ?
2 9 24 9? 24 ,∴ AB ? 2 r 2 ? d 2 ? 2 32 ? ? . ? .即两圆的公共弦长为 ? ? 5 5 5 ?5?

, 0) 为圆 x2 ? y2 ? 8x ? 2 y ? 12 ? 0 内一点,求过 P 点的最短的弦所在直线的方程. 14、 P(3
0) 的直线有无数条,如图 2,设其中一条与圆交于 AB 两点,若半径为 r , 解:过点 P(3,

圆心到直线的距离为 d , 则有 AB ? 2 r 2 ? d 2 , 由于半径 r 是定值, 弦 AB 最短时, 应当是距离 d 最大,只有当 PM ? AB 时,才满足题意. 由 x2 ? y 2 ? 8x ? 2 y ? 12 ? 0 变形,得 ( x ? 4)2 ? ( y ? 1)2 ? 5 ,
1) , kPM ? 圆心为 M (4,

1? 0 ? 1 , AB ? PM , k AB ? ?1 .故所求直线方程为 x ? y ? 3 ? 0 . 4?3

15、已知圆的半径为 10 ,圆心在直线 y ? 2 x 上,圆被直线 x ? y ? 0 截得的弦长为 4 2 ,求圆的方程. 解:如图 3,根据图形的几何性质:半径、弦心距、半弦长构成 直角三角形且弦长 AB ? 2 r 2 ? d 2 , 则 d ? r2 ? ?
?4 2? ? AB ? 2 , ? ? ( 10) ? ? ? 2 ? ? ? 10 ? 8 ? 2 2 ? ? ? ?
2 2

又弦心距等于圆心到直线 x ? y ? 0 的距离, 设圆心坐标为 (a,b) ,∴ d ?
? 2. 2 又知 (a,b) 在直线 y ? 2 x 上,则 b ? 2a ,故 a ? 2,b ? 4 ;或 a ? ?2,b ? ?4 。 a?b

∴所求圆的方程为 ( x ? 2)2 ? ( y ? 4)2 ? 10 或 ( x ? 2)2 ? ( y ? 4)2 ? 10 .
2

16、(南师附中)若直线 l:ax+by+1=0 始终平分圆 M:x2+y2+4x+2y+1=0 的周长, 则(a-2)2+(b-2)2 的最小值为________. 解:由题意,圆(x+2)2+(y+1)2=4 的圆心(-2,-1)在直线 ax+by+1=0 上,所以-2a-b+1=0, 即 2a+b-1=0.因为 ?a-2?2+?b-2?2表示点(a,b)与(2,2)的距离,所以 ?a-2?2+?b-2?2的最 |4+2-1| 小值为 = 5,即(a-2)2+(b-2)2 的最小值为 5. 4+1 答案 5 17、(徐州市)在平面直角坐标系 xOy 中,直线 x-y+1=0 截以原点 O 为圆心的圆所得弦长为 6. (1) 求圆 O 的方程; (2) 若直线 l 与圆 O 切于第一象限,且与坐标轴交于点 D、E,当 DE 长最小时,求直线 l 的方程; (3) 设 M、P 是圆 O 上任意两点,点 M 关于 x 轴的对称点为 N,若直线 MP、NP 分别交 x 轴于点(m,0)和(n,0), 问 mn 是否为定值?若是,请求出该定值;若不是,请说明理由. 解:(1) 因为 O 到直线 x-y+1=0 的距离为 故圆 O 的方程为 x2+y2=2. x y |ab| (2) 设直线 l 的方程为 + =1(a>0,b>0),即 bx+ay-ab=0. 由直线 l 与圆 O 相切,得 2 2= 2, a b a +b 即 1 ? ? b2 a2? ? 1 1 1 2 2 2 2 2 ?1 2+ 2= . 所以 DE =a +b =2(a +b ) 2+ 2 =2 2+ 2+ 2 ≥2 2+2 ?a b ? ? a b ? ? a b 2 b2 a2? · =8, a2 b2? 1 ,所以圆 O 的半径 r= 2

? 1 ?2+? 6?2 = 2, ? 2? ? 2 ?

当且仅当 a=b=2 时等号成立,此时直线 l 的方程为 x+y-2=0.
2 2 2 (3) 设 M(x1,y1),P(x2,y2),则 N(x1,-y1),x1 +y2 1=2,x2+y2=2.

直线 MP 与 x 轴交点为?

?x1y2-x2y1,0?, ? ? y2-y1 ?

x1y2-x2y1 即 m= . y2-y1

直线 NP 与 x 轴交点为?

?x1y2+x2y1,0?,即 n=x1y2+x2y1. ? y2+y1 ? y2+y1 ?

2 2 2 2 2 2 2 2 x1y2-x2y1 x1y2-x2y1 x2 2?y2 1y2-x2y1 ?2-y1?y2-?2-y2?y1 2-y1? 所以 mn= · = 2 2 = = 2 2 =2,故 mn=2 为定值. 2 y2-y1 y2+y1 y2-y1 y2 y2-y1 2-y1

3

练习
1、集合 M={(x,y)|y= 1 ? x 2 ,x、y∈R},N={(x,y)|x=1,y∈R},则 M∩N= 解:y= 1 ? x 2 表示单位圆的上半圆,x=1 与之有且仅有一个公共点(1,0). 2、 (天津)若 P(2,-1)为圆(x-1)2+y2=25 的弦 AB 的中点,则直线 AB 的方程是 解:由(x-1)2+y2=25 知圆心为 Q(1,0).据 kQP·kAB=-1, ∴kAB=- {(1,0)}

1 k QP

=1(其中 kQP=

?1? 0 =-1). ∴AB 的方程为 y=(x-2)-1=x-3,即 x-y-3=0. 2 ?1

3.(重庆)在圆 x2 ? y 2 ? 2 x ? 6 y ? 0 内,过点 E ? 0,1? 的最长弦和最短弦分别为 AC 和 BD, 则四边形 ABCD 的面积为

10 2

4、(重庆)设圆 C 位于抛物线 y ? 2 x 与直线 x ? 3 所组成的封闭区域(包含边界)内,
2

则圆 C 的半径能取到的最大值为 解: 6 ? 1 。 为使圆 C 的半径取到最大值,显然圆心应该在 x 轴上且与直线 x ? 3 相切,
2

2 2 2 设圆 C 的半径为 r ,则圆 C 的方程为 ? x ? r ? 3? ? y ? r ,将其与 y ? 2 x

联立得: x2 ? 2 ? r ? 2? x ? 9 ? 6r ? 0 ,令 ? ? ? ?2 ? r ? 2?? ? ? 4 ? 9 ? 6r ? ? 0 ,
2

并由 r ? 0 ,得: r ? 6 ? 1 5.(南京)过圆 x2+y2=1 上一点作圆的切线与 x 轴、y 轴的正半轴交于 A、B 两点,则 AB 的最小值为________. 解:设圆上的点为(x0,y0),其中 x0>0,y0>0,切线方程为 x0x+y0y=1,分别令 x=0,y=0, 1 ? ? 1? 得 A? ?x ,0?、B?0,y ?,所以 AB=
0 0

1 1 + 2= x2 y0 0

1? 2 ?1 ?x2 0+y0? x2+y2 ≥2. ? ?
0 0

答案 2

6.(南通)若圆 C:(x-a)2+(y-1)2=1 在不等式 x+y+1≥0 所表示的平面区域内,则 a 的最小值为________. |a+2| ? ?d= ≥1, 2 解:由题意,得? 解得 a≥ 2-2. 答案 ? ?a+1+1≥0,
4

2-2


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