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湖南省岳阳市2016届高三教学质量检测试题(文数)


岳阳市 2016 届高三教学质量检测试题(二)

数 学(文科)
满分:150 分 时量:120 分钟

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选 项中,只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合 M ? {x | x2≥ 9} , N ? {?3,0,1,3, 4} ,则 M ? N ?

( )

A. {﹣3, 0, 1, 3, 4} B. {﹣3, 3, 4} C. {1, 3, 4} D. {x|x≥±2} ? ?? ? 2.已知 a ? (5, 4), b ? (?2, ? 1), c ? ( x,y), 若 a ? 2b ? 3c ? 0 ,则 c 等于 ( ) A. (3 ,) 2 3.复数的
2 B. (-3 ,) -2) C. (3 , -2) D. (-3 ,

1 ? 2i 的共轭复数是( 2?i A. ?i B. i

) C. 2


D. 1

4. “ sin ?>0 ” 是“ ? 为锐角”的( A. 充分不必要条件

B.必要不充分条件 )

C. 既不充分也不必要条件 D.充要条件 5.程序框图如图,如果程序运行的结果为 S=132,那么判断框中应填入( A. k ? 10 ? B. k ? 10 ? C. k ? 11 ? D. k ? 11 ? 6. 一个几何体的三视图如图所示, 已知这个几何体的体积为 10 3 , 则几何体的高 h ? ( A.
3 2

)

B.

3

C. 3 3

D. 5 3

h h 5 5 正视图 正视图 6 6 侧视图 侧视图

?x ? y ? 2 ? 0 ? 7. 若 x, y 满足约束条件 ? x ? 2 y ? 1 ? 0 ,则 ?2 x ? y ? 2 ? 0 ?

第 6 题图

Z ? 3x ? y 的最小值为( ) 俯视图 俯视图 A.3 B.-4 C.-3 D.-2 8. 在明朝程大位《算法统宗》中有这样的一首歌谣: “ 远看巍巍塔七层,红光 点点倍加增,共灯三百八十一,请问尖头几盏灯” 。 这首古诗描述的这个宝 塔古称浮屠,本题说它一共有 7 层,每层悬挂的红灯数是上一层的 2 倍,共 有 381 盏灯,问塔顶有几盏灯? 你算出顶层有( )盏灯.
文科数学 共5页 第1页

B. 3 log 2 | x | 9.函数 y ? 的图象大致是( x

A. 2

C. 5 )

D. 6

10. 已知函数 f ( x) ? 3 sin(?x ?

?
6

)(? ? 0) 和 g ( x) ? 2cos(2 x ? ? ) ? 1 的图象的对称轴

? 完全相同,若 x ? [0, ] ,则 f ( x) 的取值范围是( 2
A. [?3,3]
3 3 B. [? , ] 2 2


3 D. [ ? ,3] 2

C. [?

3 3 , ] 2 2

11.设点 P 是双曲线

x2 y2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 与圆 x 2 ? y 2 ? a 2 ? b 2 在第一象限的交点, 2 a b


F1、F2 分别是双曲线的左、右焦点,且 | PF1 |? 3 | PF2 | ,则双曲线的离心率(
A.
10 2

B.

5 2

C. 5

D. 10

? x ? [ x], x ? 0 12.设函数 f ( x) ? ? , 其中 [ x ] 表示不超过 x 的最大整数,如 ? f ( x ? 1), x ? 0
[?1.2] ? ?2 , [1.2] ? 1 , [1] ? 1 ,若直线 y ? kx ? k (k ? 0) 与函数 y ? f ( x) 的图

象恰有三个不同的交点,则 k 的取值范围是( ) 1 1 1 1 1 1 1 A. ( , ] B. ( 0, ] C. [ , ) D. [ , ] 4 4 3 4 3 4 3 二.填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填在答题卷中相应 的横线上. 13.将高三(1)班参加体检的 36 名学生编号为: 1, 2, 3, ?,36 ,若采用系统抽样 的方法抽取一个容量为 4 的样本,已知样本中含有编号为 6 号、24 号、33 号 的学生,则样本中剩余一名学生的编号是 .

14. 在 ?ABC 中, 角 A, B, C 的对边分别是 a, b, c , 且满 足 a cos B ? b cos A ? 2c cos C .

文科数学

共5页

第2页

则角 C ?

.
1 2 ? 的最 小值是 a b

15.若点 A ( a, b) (a ? 0, b ? 0) 在直线 2 x ? y ? 1 ? 0 上,则

.

? 2x ? a ? x ? 1? ? 16. 设函数 f ? x ? ? ? 若 f ? x ? 恰有 2 个零点,则实数 a 的取值范围是 ? ?4 ? x ? a ?? x ? 2a ? ? x ≥1. .

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算 步骤.请将答题的过程写在答题卷中指定的位置) 17、(本小题满分 12 分) 某研究性学习小组对春季昼夜温差大小与某花卉种子发芽多少之间的关系进 行研究,他们分别记录了 3 月 1 日至 3 月 5 月的每天昼夜温差与实验室每天每 100 颗种子浸泡后的发芽数,得到如下资料: 日期 3月1日 3月2日 3月3日 3月4日 3月5日 。 10 11 13 12 8 昼夜温差( C ) 发芽数(颗) 23 25 30 26 16 (1)从 3 月 1 日至 3 月 5 日中任选 2 天,记发芽的种子数分别为 m, n ,求事 件“ m, n 均不小于 25”的概率 (2) ,请根据 3 月 2 日至 3 月 4 日的三组数据,求出 y 关于 x 的线性回归方程
?x ? a ? ?b ?; y

(3) ,若由线性回归方程得到的估计数据与所需要检验的数据误差均不超过 2 颗,则认为得到的线性回归方程是可靠的,试用 3 月 1 日与 3 月 5 日的两组数据 检验,问(2)中所得的线性回归方程是否可靠?
?? (参考公式: b

??
i ?1

i ?n

xi ? x ? yi ? y

??

?

?? x ? x?
i ?1 i

i ?n

2

?? 或b

?x y
i i ?1 n

n

i

? nx y

?x
i ?1

? ? y ? bx ) ,a
? nx
2

2 i

18、 (本小题满分 12 分) 已 知 {an } 是 各 项 均 为 正 数 的 等 比 数 列 , {bn } 是 等 差 数 列 , 且

a1 = b1 = 1, b2 +b3 = 2a3 , a5 - 3b2 = 7 .
(I)求 {an } 和 {bn } 的通项公式; (II)设 cn ? anbn , n ? N * ,求数列 {cn } 的前 n 项和. 19、 (本小题满分12分)
文科数学 共5页 第3页

EC // PD , 在下图所示的几何体中, 底面 ABCD 为正方形, PD ⊥平面 ABCD ,

且 PD ? AD ? 2 EC ? 2 , N 为线段 PB 的中点. (Ⅰ)证明: NE ? PD ; (Ⅱ)求四棱锥 B ? CEPD 的体积 VB ?CEPD .

20、 (本小题满分 12 分) 已知椭圆 C :
x2 y2 2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 的离心率为 ,以原点为圆心,椭圆的 2 a b 2

短半轴长为半径的圆与直线 x ? y ? 2 ? 0 相切. (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)若过点 M (2 , 0) 的直线与椭圆 C 相交于两点 A, B ,当 | OA ? OB |? 时,求直线斜率的取值范围.
2 5 3

21、 (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? x2 ? (2a ? 1) x ? a ln x ( a ? R ). ( 1,f (1)) 处的切线方程; (1)若 a ? 1 ,求 y ? f ( x) 在点 (2)若 f ( x) 在区间 [1 , 2] 上是单调函数,求实数 a 的取值范围; (3)函数 g ( x) ? (1? a ) x ,若 ?x0 ?[1 , e ]使得 f ( x0 ) ? g ( x0 ) 成立,求实数 a 的 取值范围.

请考生在第 22、23、24 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题 记分。做答时请用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。
文科数学 共5页 第4页

22、 (本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图,点 A, B, D, E 在 ? O 上, ED, AB 的延长线交于点 C , AD, BE 交于点
F , AE ? EB ? BC .

E D O A F B C

? ? BD ? ; (1)证明: DE
(2)若 DE ? 4, AD ? 8 ,求 DF 的长.

23、 (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 在平面直角坐标系 xOy 中,以坐标原点 O 为极点,x 轴正半轴为极轴建立极 坐标系,曲线 C 的极坐标方程为 ? ? 2 sin ? , ? ??0, 2?? . (1)求曲线 C 的直角坐标方程;
? ? x ? 3t ? 3, t (2)若点 D 在曲线 C 上,求它到直线 l : ? ( 为参数, t ? R ) y ? ? 3 t ? 2 ? ?

的最短距离.

24、 (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知函数 f ( x) ?| x ? a | ? | 2 x ? 1| . (1)当 a ? 2 时,求 f ( x) ? 3 ? 0 的解集; (2)当 x ?[1,3] 时, f ( x) ? 3 恒成立,求 a 的取值范围.

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文科数学 共5页 第5页

数 学(文科)参考答案
一、选择题(每题 5 分,共 60 分) 题号 答案 1 B 2 D 3 A 4 B 5 A 6 B 7 C 8 B 9 C 10 D 11 A 12 C

二、填空题(每题 5 分,共 20 分) 1 ? ? a ? 1或a ? 2 . 13 15 14 15 8 16 3 2 三、解答题(共 70 分) 17 解: (1) m, n 的所有取值情况有(23,25) , (23,30) , (23,26) , (23,16) , (25,30) ,
(25,26) , (25,16) , (30,26) , (30,16) , (26,16) ,共有 10 个???????2 分 设“ m, n 均不小于 25”为事件 A,则包含的基本事件有(25,30) , (25,26) ,

(30,26) 所以 P( A) ?
3 3 ,故事件 A 的概率为 ?????????4 分 10 10
3 3

2 (2)由数据得 x ? 12, y ? 27 , 3x y ? 972 , ? xi y i ? 977 , ? xi ? 434 , 3x ? 432

2

i ?1

i ?1

??????6 分
5 ? ? 977 ? 972 ? 5 , a ? ? 27 ? ? 12 ? ?3 由公式,得 b 434 ? 432 2 2 5 ? ? x ? 3 ???????????8 分 所以 y 关于 x 的线性回归方程为 y 2 ? ? 22 ,|22-23| ? 2 ,当 x ? 8 时, y ? ? 17, |17-16| ? 2 (3)当 x ? 10 时, y

所以得到的线性回归方程是可靠的。???????????12 分 18 :解( I )设 {an } 的公比为 q, {bn } 的公差为 d, 由题意 q ? 0 , 由已知 , 有

?2q 2 ? 3d ? 2, ? 4 ? q ? 3d ? 10,
消去 d 得 q4 ? 2q2 ? 8 ? 0, 解得 q ? 2, d ? 2 , 所以 {an } 的通项公式为 an ? 2n?1 , n ? N? , ??????3 分

{bn } 的通项公式为 bn ? 2n ?1, n ? N? .

??????6 分

(II)由(I)有 cn ? ? 2n ?1? 2n?1 ,设 {cn } 的前 n 项和为 Sn ,则

Sn ? 1? 20 ? 3? 21 ? 5 ? 22 ??? ? 2n ?1? ? 2n?1,
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2Sn ? 1? 21 ? 3? 22 ? 5? 23 ??? ? 2n ?1? ? 2n ,

??????9 分

两式相减得 ?Sn ? 1? 22 ? 23 ??? 2n ? ? 2n ?1? ? 2n ? ? ? 2n ? 3? ? 2n ? 3, 所以 Sn ? ? 2n ? 3? 2n ? 3 . 19、 (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)连接 AC,BD.令 AC 交 BD 于 F.连接 NF ∵四边形 ABCD 是正方形,∴F 为 BD 的中点. ∵N 为 PB 的中点.∴ NF // PD 且 NF ? 又 ∵ EC ∥ PD 且 EC ? NF=EC.
1 PD . 2

?????12 分

1 PD , ∴ NF ∥ EC 且 2

∴四边形 NFCE 为平行四边形. ∴NE∥FC,即 NE∥AC.……………4 分 又∵PD⊥平面 ABCD,AC ? 平面 ABCD,∴PD⊥AC. ∴NE⊥PD. …………………6 分

(Ⅱ)∵PD⊥平面 ABCD, PD ? 平面 PDCE,∴平面 PDCE⊥平面 ABCD. ∵BC⊥CD,平面PDCE∩平面ABCD=CD,且BC ? 平面ABCD, ∴BC⊥平面PDCE.∴BC是四棱锥B-PDCE的高. ……9分

∵ PD ? AD ? 2 EC ? 2 ,四边形ABCD是正方形,∴BC=CD=2,EC=1
1 1 ∵ S梯形PDCE = ( PD ? EC ) ? DC ? ? (2 ? 1) ? 2 ? 3 , 2 2 1 1 ∴四棱锥 B-CEPD 的体积 VB ?CEPD ? S梯形PDCE ? BC ? ? 3 ? 2 ? 2 . ...12 分 3 3 20、 (本小题满分 12 分)

解: (Ⅰ)由题意知 e ?

c2 a 2 ? b2 1 c 2 ? . ? , 所以 e 2 ? 2 ? a a2 2 a 2

即 a 2 ? 2b2 . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·2 分 又因为 b ?

2 ? 1 ,所以 a 2 ? 2 , b 2 ? 1. 1?1

文科数学

共5页

第7页

故椭圆 C 的方程为

x2 ? y2 ? 1.· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·4 分 2

(Ⅱ)由题意知直线 AB 的斜率存在. 设 AB : y ? k ( x ? 2) , A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) ,

? y ? k ( x ? 2), ? 由 ? x2 得 (1 ? 2k 2 ) x2 ? 8k 2 x ? 8k 2 ? 2 ? 0 . 2 ? ? y ? 1. ?2

? ? 64k 4 ? 4(2k 2 ? 1)(8k 2 ? 2) ? 0 , k 2 ?
x1 ? x2 ? 8k 2 8k 2 ? 2 x ? x ? , 1 2 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2

1 .· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·6 分 2

∵ | OA ? OB |?

2 5 2 5 ,∴ 1 ? k 2 x1 ? x2 ? ,………………………….8 分 3 3
20 9

∴ (1 ? k 2 )[( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 ?x2 ] ? ∴ (1 ? k 2 )[

64k 4 8k 2 ? 2 20 , ? 4 ? ]? (1 ? 2k 2 )2 1 ? 2k 2 9
1 .· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·10 分 4

∴ (4k 2 ?1)(14k 2 ? 13) ? 0 ,∴ k 2 ? ∴

1 1 1 2 2 1 ? k 2 ? ,? ? k ? 或?k?? 4 2 2 2 2 2

∴斜率的取值范围为 (?

2 1 1 2 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·12 分 ,? ) ? ( , )· 2 2 2 2

(注意:可设直线方程为 m y ? x ? 2 ,但需要讨论 m ? 0 或 m ? 0 两种情况) 1 21. 解: (1)当 a ? 1 , f ( x) ? x 2 ? 3x ? ln x , f , ( x) ? 2 x ? 3 ? ?????? 2 分 x , ?????? 4 分 所以,切线方程为: y ? ?2 k ? f (1) ? 0 (2 x ? 1)( x ? a ) ?????? 5 分 (2) f ' ( x) ? x 当导函数 f ' ( x) 的零点 x ? a 落在区间 (1, 2) 内时, ?????? 7 分 函数 f ( x) 在区间 ?1, 2? 上就不是单调函数, ?????? 8 分 所以实数 a 的取值范围是:a ? 1, 或a ? 2 ;
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(也可以转化为恒成立问题,还可以对方程 (2 x ? 1)( x ? a) ? 0 的两根讨论,求 得答案。酌情给分) (3) 由题意知,不等式 f ( x) ? g ( x) 在区间 [1, e] 上有解, 即 x 2 ? 2x ? a(ln x ? x) ? 0 在区间 [1, e] 上有解. ,? ln x ? x ? 0 , ? 当 x ? [1, e] 时, ln x ? 1 ? x (不同时取等号)

?


a?

x 2 ? 2x 在区间 [1, e] 上有解. x ? ln x x 2 ? 2x ( x ? 1)(x ? 2 ? 2 ln x) h( x ) ? ,则 h ' ( x) ? x ? ln x ( x ? ln x) 2

?????? 10 分

? x ? 2 ? 2 ? 2 ln x ? h ' ( x) ? 0 h( x) 单调递增, e(e ? 2) ? x ? [1, e] 时, h( x) max ? h(e) ? ?????? 11 分 e ?1 e ( e ? 2) e ( e ? 2) ? a? ] ????12 分 所以实数 a 的取值范围是 (? ? , e ?1 e ?1 22 解: (Ⅰ)证明:∵ EB ? BC ∴ ?C ? ?BEC ∵ ?BED ? ?BAD ∴ ?C ? ?BED ? ?BAD ????????2 分 ∵ ?EBA ? ?C ? ?BEC ? 2?C , AE ? EB ∴ ?EAB ? ?EBA ? 2?C ,又 ?C ? ?BAD ∴ ?EAD ? ?C ∴ ?BAD ? ?EAD ??????????4 分

? x ? [1, e]

? ? BD ? ; .?????????? ??5 分 ∴ DE
(Ⅱ)由(Ⅰ)知 ?EAD ? ?C ? ?FED ,又 ?EDA ? ?EDA ∴ ?EAD : ?FED ??????7 分 DE AD ? ∴ DF DE 又∵ DE ? 4 , AD ? 8 , ∴ DF ? 2 .???????????? ??10 分 23、 (Ⅰ)解:由 ? ? 2 sin ? , ? ??0, 2?? , 可得 ? 2 ? 2? sin ? .????????????????????1 分 因为 ? 2 ? x2 ? y 2 , ? sin ? ? y ,?????????????????2 分 所以曲线 C 的普通方程为 x2 ? y 2 ? 2 y ? 0 (或 x 2 ? ? y ? 1? ? 1 ) . ??5 分
2

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? x ? 3t ? 3, ? (Ⅱ)因为直线的参数方程为 ? ( t 为参数, t ? R ) , ? ? y ? ?3t ? 2

消去 t 得直线 l 的普通方程为 y ? ? 3x ? 5 .
2

????????7 分

因为曲线 C : x 2 ? ? y ? 1? ? 1 是以 G ?0,1? 为圆心,1 为半径的圆, 因为 D 为 C 上任意一点,可设 D( (cos? ,1 ? sin ? )
| 3 cos? ? 1 ? sin ? ? 5 | ? 则 D 到直线的最短距离为 d ? 2

4 ? 2 sin(? ? ) 3 ?1 2

?

D 到直线的最短距离为 1????????????10 分

24、 (Ⅰ)当 a ? 2 时,由 f ( x) ? ?3 ,可得 x ? 2 ? 2x ?1 ? ?3 ,
1 ? ?1 ? x ? 2, ?x ? , ? ? x ? 2, ①? 或② ? 2 或③ ? ???? 2 x ? 2 ? 2 x ? 1 ? ?3 ? ? ? ?2 ? x ? 2 x ? 1 ? ?3 ?2 ? x ? 2 x ? 1 ? ?3

3分 解①得 ?4 ? x ?
1 1 ;解②得 ? x ? 2 ;解③ 得 x ? 2 . 2 2

综上所述,不等式的解集为 ? x ?4 ? x ? 2? .????5 分 (Ⅱ)若当 x ??1,3? 时, f ( x) ? 3 成立, 即 x ? a ? 3 ? 2x ?1 ? 2x ? 2 .????7 分 故 ?2 x ? 2 ? x ? a ? 2 x ? 2 , 即 ?3x ? 2 ? ?a ? x ? 2 ,

? ? x ? 2 ? a ? 3x ? 2 对 x ??1,3? 时成立.
? a ? [?3,5] .????????????????10 分

(3)

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