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2015年浙江省高考数学试卷(理科)解析

时间:2017-05-07


2015 年浙江省高考数学试卷(理科)
一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分 2015 年普通高等学校招生全国统一 考试(浙江卷)数学(理科) 1. (5 分) (2015?浙江)已知集合 P={x|x ﹣2x≥0},Q={x|1<x≤2},则(?RP)∩Q=( A [0,1) B (0,2] C (1,2) D [1,2] . . . . 2.

(5 分) (2015?浙江) 某几何体的三视图如图所示 (单位: cm) , 则该几何体的体积是 (
2





A 8cm3 .

B 12cm3 .

C .

D .

3. (5 分) (2015?浙江)已知{an}是等差数列,公差 d 不为零,前 n 项和是 Sn,若 a3,a4, a8 成等比数列,则( ) A a1d>0,dS4 B a1d<0,dS4 C a1d>0,dS4 D a1d<0,dS4 . >0 . <0 . <0 . >0 4. (5 分) (2015?浙江)命题“?n∈N ,f(n)∈N 且 f(n)≤n”的否定形式是( ) * * * * A. B. ?n∈N ,f(n)?N 且 f(n)>n ?n∈N ,f(n)?N 或 f(n)>n * * * * C. D. ?n0∈N ,f(n0)?N 且 f(n0)> ?n0∈N ,f(n0)?N 或 f(n0)> n0 n0 5. (5 分) (2015?浙江)如图,设抛物线 y =4x 的焦点为 F,不经过焦点的直线上有三个不 同的点 A,B,C,其中点 A,B 在抛物线上,点 C 在 y 轴上,则△ BCF 与△ ACF 的面积之 比是( )
2 * *

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A .

B .

C .

D .

6. (5 分) (2015?浙江)设 A,B 是有限集,定义:d(A,B)=card(A∪B)﹣card(A∩B) , 其中 card(A)表示有限集 A 中的元素个数( ) 命题①:对任意有限集 A,B,“A≠B”是“d(A,B)>0”的充分必要条件; 命题②:对任意有限集 A,B,C,d(A,C)≤d(A,B)+d(B,C) A. 命题①和命题②都成立 B. 命题①和命题②都不成立 C. 命题①成立,命题②不成立 D. 命题①不成立,命题②成立

7. (5 分) (2015?浙江)存在函数 f(x)满足,对任意 x∈R 都有( ) 2 2 A ( C ( D f sin2x) =sinx B f(sin2x) f x +1) =|x+1| f(x +2x) . . =x2+x . . =|x+1| 8. (5 分) (2015?浙江) 如图, 已知△ ABC, D 是 AB 的中点, 沿直线 CD 将△ ACD 折成△ A′CD, 所成二面角 A′﹣CD﹣B 的平面角为 α,则( )

A ∠A′DB≤α .

B ∠A′DB≥α .

C ∠A′CB≤α .

D ∠A′CB≥α .

二、填空题:本大题共 7 小题,多空题每题 6 分,单空题每题 4 分,共 36 分. 9. (6 分) (2015?浙江)双曲线 是 . =1 的焦距是 ,渐近线方程

10. (6 分) (2015?浙江) 已知函数( f x) =

, 则( f (﹣ f 3) ) =



f(x)的最小值是


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11. (6 分) (2015?浙江)函数 f(x)=sin x+sinxcosx+1 的最小正周期是 调递减区间是 . 12. (4 分) (2015?浙江)若 a=log43,则 2 +2 =
a
﹣a

2

,单



13. (4 分) (2015?浙江)如图,三棱锥 A﹣BCD 中,AB=AC=BD=CD=3,AD=BC=2,点 M,N 分别是 AD,BC 的中点,则异面直线 AN,CM 所成的角的余弦值是 .

14. (4 分) (2015?浙江)若实数 x,y 满足 x +y ≤1,则|2x+y﹣2|+|6﹣x﹣3y|的最小值 是 .

2

2

15. (6 分) (2015?浙江)已知

是空间单位向量,

,若空间向量 满足

,且对于任意 x,y∈R, ,则 x0= ,y0= , |= .

三、解答题:本大题共 5 小题,共 74 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. (14 分) (2015?浙江) 在△ ABC 中, 内角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c, 已知 A= b ﹣a = c . (1)求 tanC 的值; (2)若△ ABC 的面积为 3,求 b 的值. 17. (15 分) (2015?浙江) 如图, 在三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中, ∠BAC=90°, AB=AC=2, A1A=4, A1 在底面 ABC 的射影为 BC 的中点,D 是 B1C1 的中点. (1)证明:A1D⊥平面 A1BC; (2)求二面角 A1﹣BD﹣B1 的平面角的余弦值.
2 2 2



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18. (15 分) (2015?浙江)已知函数 f(x)=x +ax+b(a,b∈R) ,记 M(a,b)是|f(x)| 在区间[﹣1,1]上的最大值. (1)证明:当|a|≥2 时,M(a,b)≥2; (2)当 a,b 满足 M(a,b)≤2 时,求|a|+|b|的最大值.

2

19. (15 分) (2015?浙江)已知椭圆

上两个不同的点 A,B 关于直线 y=mx+ 对

称. (1)求实数 m 的取值范围; (2)求△ AOB 面积的最大值(O 为坐标原点) .

20. (15 分) (2015?浙江)已知数列{an}满足 a1= 且 an+1=an﹣an (n∈N ) ≤2(n∈N ) ;
*

2

*

(1)证明:1≤

(2)设数列{an }的前 n 项和为 Sn,证明

2

(n∈N ) .

*

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2015 年浙江省高考数学试卷(理科)
参考答案与试题解析

一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分 2015 年普通高等学校招生全国统一 考试(浙江卷)数学(理科) 1. (5 分) 考点: 交、并、补集的混合运算. 专题: 集合. 分析: 求出 P 中不等式的解集确定出 P,求出 P 补集与 Q 的交集即可. 解答: 解:由 P 中不等式变形得:x(x﹣2)≥0, 解得:x≤0 或 x≥2,即 P=(﹣∞,0]∪[2,+∞) , ∴?RP=(0,2) , ∵Q=(1,2], ∴(?RP)∩Q=(1,2) , 故选:C.
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点评: 此题考查了交、并、补集的混合运算,熟练掌握运算法则是解本题的关键. 2. (5 分) 考 由三视图求面积、体积. 点: 专 空间位置关系与距离. 题: 分 判断几何体的形状,利用三视图的数据,求几何体的体积即可. 析: 解 解:由三视图可知几何体是下部为棱长为 2 的正方体,上部是底面为边长 2 的正方形奥为 2 答: 的正四棱锥,
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所求几何体的体积为:2 + ×2×2×2= 故选:C.

3



点 本题考查三视图与直观图的关系的判断,几何体的体积的求法,考查计算能力. 评: 3. (5 分) 考 等差数列与等比数列的综合. 点: 专 等差数列与等比数列. 题: 分 由 a3,a4,a8 成等比数列,得到首项和公差的关系,即可判断 a1d 和 dS4 的符号. 析:
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解 解:设等差数列{an}的首项为 a1,则 a3=a1+2d,a4=a1+3d,a8=a1+7d, 答: 由 a3,a4,a8 成等比数列,得 ,整理得: ∵d≠0,∴ ∴ , ,



= 故选:B.

<0.

点 本题考查了等差数列和等比数列的性质,考查了等差数列的前 n 项和,是基础题. 评: 4. (5 分) 考 命题的否定. 点: 专 简易逻辑. 题: 分 根据全称命题的否定是特称命题即可得到结论. 析: 解 解:命题为全称命题, 答: 则命题的否定为:?n0∈N*,f(n0)?N*或 f(n0)>n0, 故选:D.
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点 评:

本题主要考查含有量词的命题的否定,比较基础.

5. (5 分) 考 直线与圆锥曲线的关系. 点: 专 圆锥曲线的定义、性质与方程. 题: 分 根据抛物线的定义,将三角形的面积关系转化为 的关系进行求解即可. 析: 解 解:如图所示,抛物线的准线 DE 的方程为 x=﹣1, 答: 过 A,B 分别作 AE⊥DE 于 E,交 y 轴于 N,BD⊥DE 于 E,交 y 轴于 M, 由抛物线的定义知 BF=BD,AF=AE, 则|BM|=|BD|﹣1=|BF|﹣1, |AN|=|AE|﹣1=|AF|﹣1,
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则 故选:A

=

=

=



点 本题主要考查三角形的面积关系,利用抛物线的定义进行转化是解决本题的关键. 评: 6. (5 分) 考 复合命题的真假. 点: 专 集合;简易逻辑. 题: 分 命题①根据充要条件分充分性和必要性判断即可, 析: ③借助新定义,根据集合的运算,判断即可. 解 解: 命题①: 对任意有限集 A, B, 若“A≠B”, 则 A∪B≠A∩B, 则 card (A∪B) >card (A∩B) , 答: 故“d(A,B)>0”成立, 若 d(A,B)>0”,则 card(A∪B)>card(A∩B) ,则 A∪B≠A∩B,故 A≠B 成立,故命题 ①成立, 命题②,d(A,B)=card(A∪B)﹣card(A∩B) ,d(B,C)=card(B∪C)﹣card(B∩C) , ∴d(A,B)+d(B,C)=card(A∪B)﹣card(A∩B)+card(B∪C)﹣card(B∩C)=[card (A∪B)+card(B∪C)]﹣[card(A∩B)+card(B∩C)] ≥card(A∪C)﹣card(A∩C)=d(A,C) ,故命题②成立, 故选:A 点 本题考查了,元素和集合的关系,以及逻辑关系,分清集合之间的关系与各集合元素个数之 评: 间的关系,注意本题对充要条件的考查.集合的元素个数,体现两个集合的关系,但仅凭借 元素个数不能判断集合间的关系,属于基础题.
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7. (5 分) 考 函数解析式的求解及常用方法. 点: 专 函数的性质及应用. 题: 分 利用 x 取特殊值,通过函数的定义判断正误即可. 析: 解 解:A.取 x=0,则 sin2x=0,∴f(0)=0; 答: 取 x= ,则 sin2x=0,∴f(0)=1;
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∴f(0)=0,和 1,不符合函数的定义; ∴不存在函数 f(x) ,对任意 x∈R 都有 f(sin2x)=sinx; B.取 x=0,则 f(0)=0; 2 取 x=π,则 f(0)=π +π; ∴f(0)有两个值,不符合函数的定义; ∴该选项错误; C.取 x=1,则 f(2)=2,取 x=﹣1,则 f(2)=0; 这样 f(2)有两个值,不符合函数的定义; ∴该选项错误; 2 D.令|x+1|=t,t≥0,则 f(t ﹣1)=t; 2 令 t ﹣1=x,则 t= ; ∴ ; 2 即存在函数 f(x)= ,对任意 x∈R,都有 f(x +2x)=|x+1|; ∴该选项正确. 故选:D. 本题考查函数的定义的应用,基本知识的考查,但是思考问题解决问题的方法比较难.

点 评:

8. (5 分) 考 二面角的平面角及求法. 点: 专 创新题型;空间角. 题: 分 解:画出图形,分 AC=BC,AC≠BC 两种情况讨论即可. 析: 解 解:①当 AC=BC 时,∠A′DB=α; 答: ②当 AC≠BC 时,如图,点 A′投影在 AE 上, α=∠A′OE,连结 AA′, 易得∠ADA′<∠AOA′, ∴∠A′DB>∠A′OE,即∠A′DB>α 综上所述,∠A′DB≥α, 故选:B.
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点 本题考查空间角的大小比较,注意解题方法的积累,属于中档题. 评:

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二、填空题:本大题共 7 小题,多空题每题 6 分,单空题每题 4 分,共 36 分. 9. (6 分) 考 双曲线的简单性质. 点: 专 计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 题: 分 确定双曲线中的几何量,即可求出焦距、渐近线方程. 析: 解 解:双曲线 =1 中,a= ,b=1,c= , 答:
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∴焦距是 2c=2 故答案为:2

,渐近线方程是 y=± ;y=± x.

x.

点 本题考查双曲线的方程与性质,考查学生的计算能力,比较基础. 评: 10. (6 分) 考 函数的值. 点: 专 计算题;函数的性质及应用. 题: 分 根据已知函数可先求 ( f ﹣3) =1, 然后代入可求 ( f ( f ﹣3) ) ; 由于 x≥1 时, ( f x) = 析: 2 当 x<1 时,f(x)=lg(x +1) ,分别求出每段函数的取值范围,即可求解 解 答: 解:∵f(x)= ,
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∴f(﹣3)=lg10=1, 则 f(f(﹣3) )=f(1)=0, 当 x≥1 时,f(x)=
2 2

,即最小值



当 x<1 时,x +1≥1, (x)=lg(x +1)≥0 最小值 0, 故 f(x)的最小值是 . 故答案为:0; . 本题主要考查了分段函数的函数值的求解,属于基础试题.

点 评: 11. (6 分) 考 两角和与差的正弦函数;三角函数的周期性及其求法;正弦函数的单调性. 点: 专 三角函数的求值. 题: 分 由三角函数公式化简可得 f(x)= sin(2x﹣ )+ ,易得最小正周期,解不等 析:
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式 2kπ+

≤2x﹣

≤2kπ+

可得函数的单调递减区间.

2 解 解:化简可得 f(x)=sin x+sinxcosx+1 答: = (1﹣cos2x)+ sin2x+1

=

sin(2x﹣

)+ , =π, 可得 kπ+ ,kπ+ ](k∈Z) ≤x≤kπ+ ](k∈Z) ,

∴原函数的最小正周期为 T= 由 2kπ+ ≤2x﹣ ≤2kπ+

∴函数的单调递减区间为[kπ+ 故答案为:π;[kπ+ ,kπ+

点 本题考查三角函数的化简,涉及三角函数的周期性和单调性,属基础题. 评: 12. (4 分) 考 对数的运算性质. 点: 专 函数的性质及应用. 题: a ﹣a 分 直接把 a 代入 2 +2 ,然后利用对数的运算性质得答案. 析: a 解 解:∵a=log43,可知 4 =3, 答: 即 2a= ,
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所以 2 +2 = 故答案为:

a

﹣a

+ .

=



点 本题考查对数的运算性质,是基础的计算题. 评: 13. (4 分) 考 异面直线及其所成的角. 点: 专 空间角. 题: 分 连结 ND,取 ND 的中点为:E,连结 ME 说明异面直线 AN,CM 所成的角就是∠EMC 析: 通过解三角形,求解即可. 解 解:连结 ND,取 ND 的中点为:E,连结 ME,则 ME∥AN,异面直线 AN,CM 所成的 答: 角就是∠EMC, ∵AN=2 , ∴ME= =EN,MC=2 ,
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又∵EN⊥NC,∴EC=

=



∴cos∠EMC= 故答案为: .

=

= .

点 本题考查异面直线所成角的求法,考查空间想象能力以及计算能力. 评: 14. (4 分) 考 函数的最值及其几何意义. 点: 专 不等式的解法及应用;直线与圆. 题: 2 2 分 根据所给 x,y 的范围,可得|6﹣x﹣3y|=6﹣x﹣3y,再讨论直线 2x+y﹣2=0 将圆 x +y =1 分 析: 成两部分,分别去绝对值,运用线性规划的知识,平移即可得到最小值.
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解 解:由 x +y ≤1,可得 6﹣x﹣3y>0,即|6﹣x﹣3y|=6﹣x﹣3y, 答: 如图直线 2x+y﹣2=0 将圆 x2+y2=1 分成两部分, 在直线的上方(含直线) ,即有 2x+y﹣2≥0,即|2+y﹣2|=2x+y﹣2, 此时|2x+y﹣2|+|6﹣x﹣3y|=(2x+y﹣2)+(6﹣x﹣3y)=x﹣2y+4, 利用线性规划可得在 A( , )处取得最小值 3; 在直线的下方(含直线) ,即有 2x+y﹣2≤0, 即|2+y﹣2|=﹣(2x+y﹣2) , 此时|2x+y﹣2|+|6﹣x﹣3y|=﹣(2x+y﹣2)+(6﹣x﹣3y)=8﹣3x﹣4y, 利用线性规划可得在 A( , )处取得最小值 3. 综上可得,当 x= ,y= 时,|2x+y﹣2|+|6﹣x﹣3y|的最小值为 3. 故答案为:3.

2

2

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点 本题考查直线和圆的位置关系, 主要考查二元函数在可行域内取得最值的方法, 属于中档题. 评: 15. (6 分) 考 空间向量的数量积运算;平面向量数量积的运算. 点: 专 创新题型;空间向量及应用. 题: 分 由题意和数量积的运算可得< ? >= ,不妨设 =( , ,0) , =(1,0,0) , 析:
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由已知可解 =( ,

,t) ,可得| ﹣(
2

| =(x+
2 2

2

) + (y﹣2) +t ,由题意 |.

2

2

2

可得当 x=x0=1,y=y0=2 时, (x+ 解 答: 解:∵ ∴< ? ? =| >= || |cos< ?

) + (y﹣2) +t 取最小值 1,由模长公式可得 >=cos< ? >= , =(1,0,0) , =(m,n,t) , ,∴ =( ,

,不妨设 = m+

=( , n=2,

,0) ,

则由题意可知 ∵ ﹣( ∴| ﹣(
2 2

=m= ,解得 m= ,n= ,t) , ) +t
2 2 2 2

,t) ,

)=( ﹣ x﹣y, | =( ﹣ x﹣y) +(
2 2 2 2

=x +xy+y ﹣4x﹣5y+t +7=(x+

) + (y﹣2) +t ,

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由题意当 x=x0=1,y=y0=2 时, (x+ 此时 t =1,故
2

) + (y﹣2) +t 取最小值 1, =2

2

2

2

|=

故答案为:1;2;2

点 评:

本题考查空间向量的数量积,涉及向量的模长公式,属中档题.

三、解答题:本大题共 5 小题,共 74 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. (14 分) 考 余弦定理. 点: 专 解三角形. 题: 分 2 2 2 (1) 由余弦定理可得: , 已知 b ﹣a = c . 可得 , a= 析:
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. 利

用余弦定理可得 cosC.可得 sinC= (2)由 解 解: (1)∵A= 答:
2 2 2

,即可得出 tanC= ×



= ,∴由余弦定理可得: bc﹣c = c .∴ ,即 a= .
2 2

=3,可得 c,即可得出 b. ,∴b ﹣a =
2 2

bc﹣c ,

2

又 b ﹣a = c .∴ ∴a =b ﹣
2 2

b= c.可得



=

∴cosC=

=

=



∵C∈(0,π) , ∴sinC= ∴tanC= (2)∵ 解得 c=2 .
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= =2.



=

×

=3,



=3.

点 本题考查了正弦定理余弦定理、同角三角形基本关系式、三角形面积计算公式,考查了推理能 评: 力与计算能力,属于中档题. 17. (15 分) 考 二面角的平面角及求法;直线与平面垂直的判定. 点: 专 空间位置关系与距离;空间角. 题: 分 (1)以 BC 中点 O 为坐标原点,以 OB、OA、OA1 所在直线分别为 x、y、z 轴建 析: 系,通过 ? = ? =0 及线面垂直的判定定理即得结论;
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(2)所求值即为平面 A1BD 的法向量与平面 B1BD 的法向量的夹角的余弦值的绝 对值的相反数,计算即可. 解 (1)证明:如图,以 BC 中点 O 为坐标原点,以 OB、OA、OA1 所在直线分别为 答: x、y、z 轴建系. 则 BC= AC=2 ,A1O= = ,

易知 A1(0,0, ) ,B( ,0,0) ,C(﹣ ,0,0) , A(0, ,0) ,D(0,﹣ , ) ,B1( ,﹣ , ) , =(0,﹣ =(﹣ ∵ 又∵ ? ? ,0) , =(﹣ =(﹣2 ,﹣ , ) , =(0,0, ) ,

,0,0) ,

,0,0) ,

=0,∴A1D⊥OA1, =0,∴A1D⊥BC,

又∵OA1∩BC=O,∴A1D⊥平面 A1BC; (2)解:设平面 A1BD 的法向量为 =(x,y,z) , 由 ,得 ,

取 z=1,得 =(

,0,1) ,

设平面 B1BD 的法向量为 =(x,y,z) , 由 ,得 ,

取 z=1,得 =(0,

,1) ,

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∴cos< , >= 又∵该二面角为钝角,

=

= ,

∴二面角 A1﹣BD﹣B1 的平面角的余弦值为﹣ .

点 本题考查空间中线面垂直的判定定理, 考查求二面角的三角函数值, 注意解题方法 评: 的积累,属于中档题. 18. (15 分) 考点: 专题: 分析: 二次函数在闭区间上的最值. 函数的性质及应用. (1)明确二次函数的对称轴,区间的端点值, 由 a 的范围明确函数的单调性,结合已知以及 三角不等式变形所求得到证明; (2)讨论 a=b=0 以及分析 M(a,b)≤2 得到 ﹣3≤a+b≤1 且﹣3≤b﹣a≤1,进一步求出|a|+|b|的 求值. 解: (1)由已知可得 f(1)=1+a+b,f(﹣1)
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解答:

=1﹣a+b,对称轴为 x=﹣ , 因为|a|≥2,所以 或 ≥1,

所以函数 f(x)在[﹣1,1]上单调, 所以 M(a,b)=max{|f(1) ,|f(﹣1) |}=max{|1+a+b|,|1﹣a+b|}, 所以 M (a, b) ≥ (|1+a+b|+|1﹣a+b|) ≥ ( | 1+a+b) ﹣(1﹣a+b)|≥ |2a|≥2; (2)当 a=b=0 时,|a|+|b|=0 又|a|+|b|≥0,所以 0 为最小值,符合题意; 2 又对任意 x∈[﹣1,1].有﹣2≤x +ax+b≤2 得到 ﹣3≤a+b≤1 且﹣3≤b﹣a≤1,易知|a|+|b|=max{|a
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点评:

﹣b|,|a+b|}=3,在 b=﹣1,a=2 时符合题意, 所以|a|+|b|的最大值为 3. 本题考查了二次函数闭区间上的最值求法;解 答本题的关键是正确理解 M(a,b)是|f(x)| 在区间[﹣1,1]上的最大值,以及利用三角不 等式变形.

19. (15 分) 考 点: 专 题: 分 析: 直线与圆锥曲线的关系.

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创新题型;圆锥曲线中的最值与范围问题. (1)由题意,可设直线 AB 的方程为 x=﹣my+n,代入椭圆方程可得(m +2)y ﹣2mny+n ﹣2=0,设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) .可得△ >0,设线段 AB 的中点 P(x0,y0) ,利用中点 坐标公式及其根与系数的可得 P,代入直线 y=mx+ ,可得 出. (2)直线 AB 与 x 轴交点横坐标为 n,可得 S△ OAB= 即可得出. ,再利用均值不等式 ,代入△ >0,即可解
2 2 2

解 答:

解: (1)由题意,可设直线 AB 的方程为 x=﹣my+n,代入椭圆方程
2 2

,可得(m +2)

2

y ﹣2mny+n ﹣2=0, 2 2 2 2 2 2 设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) .由题意,△ =4m n ﹣4(m +2) (n ﹣2)=8(m ﹣n +2)>0, 设线段 AB 的中点 P(x0,y0) ,则 由于点 P 在直线 y=mx+ 上,∴ ∴ 解得 m
2 4

.x0=﹣m× =
2

+n=



+ ,

,代入△ >0,可得 3m +4m ﹣4>0, ,∴ 或m .

(2)直线 AB 与 x 轴交点纵坐标为 n, ∴S△ OAB= = |n|? = ,

由均值不等式可得:n (m ﹣n +2)

2

2

2

=



∴S△ AOB

=

,当且仅当 n =m ﹣n +2,即 2n =m +2,又∵

2

2

2

2

2

,解得

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m=

, 时,S△ AOB 取得最大值为 .

当且仅当 m= 点 评:

本题考查了椭圆的定义标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得根与系 数的关系、中点坐标公式、线段垂直平分线的性质、三角形面积计算公式、弦长公式、均值 不等式的性质,考查了推理能力与计算能力,属于难题. 20. (15 分) 考 数列的求和;数列与不等式的综合. 点: 专 创新题型;点列、递归数列与数学归纳法. 题: 分 * ,利用 an﹣an+1= 可得 ≥1,利用 析: (1)通过题意易得 0<an≤ (n∈N )
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=

=

≤2,即得结论;

(2)通过

=an﹣an+1 累加得 Sn= ﹣an+1,利用数学归纳法可证明

≥an≥

(n≥2) ,从

而 解 答:





,化简即得结论.
*

证明: (1)由题意可知:0<an≤ (n∈N ) ,

又∵a2=a1﹣

=

,∴

= =2,

又∵an﹣an+1=

,∴an>an+1,∴

≥1,



=

=

≤ 2,

∴1≤

≤2(n∈N ) ;

*

(2)由已知, 累加,得 Sn= +

=an﹣an+1, +…+

=an﹣1﹣an,…, =a1﹣an+1= ﹣an+1,

=a1﹣a2,

易知当 n=1 时,要证式子显然成立;

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当 n≥2 时, 下面证明:

= ≥an≥

. (n≥2) . + ,

易知当 n=2 时成立,假设当 n=k 时也成立,则 ak+1=﹣ 由二次函数单调性知:an+1≥﹣ + =





an+1≤﹣

+ =









≤ ≥an≥

,即当 n=k+1 时仍然成立, ,

故对 n≥2,均有



=


*



=



即 点 评:

(n∈N ) .

本题是一道数列与不等式的综合题,考查数学归纳法,对表达式的灵活变形是解决本题的 关键,注意解题方法的积累,属于难题.

第 18 页(共 18 页)


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