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广东省揭阳市2016届高三学业水平考试数学试卷(理)

时间:2016-02-01


揭阳市 2015-2016 学年度高中三年级学业水平考试 数学(理科)
本试卷共 4 页,21 小题,满分 150 分.考试用时 120 分钟. 注意事项: 1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。答题前,考生务必将自己 的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答第Ⅰ卷时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如 需改动,用橡皮搽干净

后,再选涂其他答案标号,写在本试卷上无效。 3.答案第Ⅱ卷时,将答案写在答题卡上,答在本试卷上无效。 4.考试结束后,将本试题和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、选择题:共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的。
2 1.已知集合 M = x x ? 1 , N ? ??2, ?1, 0,1, 2? ,则 M ? N ?

?

?

(A) 2.复数

?0?

(B)

?2?

(C) ??2, ?1,1, 2?

(D) ??2, 2?

i 1 ? 的实部与虚部的和为 1 ? i 2i 1 1 (A) ? (B) 1 (C) 2 2

(D)

3 2

3.在等差数列 ?an ? 中,已知 a3 ? a5 ? 2, a7 ? a10 ? a13 ? 9 ,则此数列的公差为 (A)

1 3

(B) 3

(C)

1 2

(D)

1 6

4.如果双曲线经过点 p(2, 2) ,且它的一条渐近线方程为 y ? x ,那么该双曲线的方程式 (A) x ?
2

3y2 ?1 2

(B)

x2 y 2 ? ?1 2 2

(C)

x2 y 2 ? ?1 3 6

(D)

y 2 x2 ? ?1 2 2

5.利用计算机在区间(0,1)上产生随 机数 a,则不等式 ln(3a ? 1) ? 0 成立的概率是

1 2 1 1 (B) (C) (D) 3 3 2 4 ? ? ? ? 2 ?2 ?2 ? ? 6.设 a, b 是两个非零向量,则“ (a ? b) ? a ? b ”是 “ a ? b ”的
(A) (A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件
1

(C)充要条件

(D)既不充分又不必要条件

7.已知奇函数 y ? f ( x) 的图像关于直线 x ? 2 对称,且 f (m) ? 3 , 则 f (m ? 4) 的值为 (A)3 (B)0 (C)-3 (D)

1 3

8.函数 f ( x) ? cos2 x ? cos4 x 的最大值和最小正周期分别为 (A)

1 ,? 4

(B)

1 ? , 4 2

(C)

1 ,? 2

(D)

1 ? , 2 2

9.某人以 15 万元买了一辆汽车,此汽车将以每年 20% 的速度 折旧,图 1 是描述汽车价值变化的算法流程图,则当 n=4 时, 最后输出的 S 的值为 (A)9.6 (B)7.68

(C)6.144 (D)4.9152 10.如图 2,网格纸上小正方形是边长为 1,粗线画出的是一正方 体被截去一部分后所得几何体的三视图,则该几何体的表面积为 (A)54 (C) 54 ? 18 3 (B)162 (D) 162 ? 18 3

11. 已 知 直 线

x? y?a ?0 与 圆 心 为

C

的 圆

x2 ? y2 ? 2 3x ? 4 3 y ? 7 ? 0 相 交 于 A , B 两 点 , 且
??? ? ??? ? AC ? BC ? 4 ,则实数 a 的值为
(A) 3 或 ? 3 (B) 3 或 3 3 (C) 3 或 5 3 ( D) 3 3 或 5 3
3 2

12.若函数 f ( x) ? ?2 x ? ax ? 1存在唯一的零点,则实数 a 的取值范围为 (A) [0, ??) (B) [0,3] (C) (?3, 0] (D) (?3, ??)

第Ⅱ卷 本卷包括必答题和选考题两部分, 第 13 题~第 21 题为必答题, 每个试题考生都必须作 答,第 22 题~第 24 题为选考题,考生根据要求作答。

2

二、填空题: (本大概题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,请把正确的答案填写在答题卡相 应的横线上)

?2 x ? y ? 4 ? 0 ?x ? y ? 3 ? 0 ? 13 已知实数 x,y 满足 ? ,则目标函数 z ? 3 y ? 2 x 的最大值为 ?x ? 0 ? ?y ? 0
3 14.在 (1 ? x)( x ? ) 的展开式中, x 的系数是
2 6

1 x

15.已知正方形 ABCD ? A A、B、C、 1B 1C1D 1 的一个面 A 1 B1C1 D 1 在半径为 3 的半球底面上, D 四个顶点都在此半球面上,则正方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 的体积为 16.设 Sn 是数列 ?an ? 的前 n 项和,且 a1 ? ?1,

an?1 ? Sn ,则数列 ?an ? 的通项公式 an ? Sn?1

三、解答题:解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 12 分) 已知 a,b,c 分别是△ABC 内角 A,B,C 的对边,且 3c sin A ? a cos C (Ⅰ)求 C 的值 (Ⅱ)若 c ? 2a, b ? 2 3 ,求△ABC 的面积 18. (本 小题满分 12 分) 某商场销售某种品牌的空调器, 每周周初购进一定数量的空调器, 商场每销售一台空调 器可获利 500 元,若供大于求,则每台多余的空调器需交保管费 100 元;若供不应求,则可 从其他商店调剂供应,此时每台空调器仅获利润 200 元。 (Ⅰ)若该商场周初购进 20 台空调器,求当周的利润(单位:元)关于当周需求量 n(单 位:台, n ? N )的函数解析式 f ( n) ; (Ⅱ)该商场记录了去年夏天(共 10 周)空调器需求量 n(单位:台) ,整理得下表: 周需求量 n 频数 18 1 19 2 20 3 21 3 22 1

以 10 周记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率,若商场周初购进 20 台空调器,X 表示当周的利润(单位:元) ,求 X 的分布列及数学期望。 19. (本小题满分 12 分)

3

如图 3,在三棱柱 ABC ? A1B1C1 中,底面△ABC 是边长为 2 的 等边三角形,D 为 AB 的中点。 (Ⅰ)求证: BC1 //平面 ACD 1 (Ⅱ)若四边形 BCC1B1 是正方形,且 A 1 D 与平面 CBB 1C1 所成角的正 1D ? 5 ,求直线 A 弦值。

20. (本小题满分 12 分) 已知椭圆 C 的中心在原点,焦点在 x 轴上,且短轴的长为 2,离心率等于 (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)过椭圆 C 的右焦点 F 作直线 l 交椭圆 C 于 A 、 B 两点,交 y 轴于 M 点,若

2 5 。 5

??? ? ??? ? ???? ??? ? MA ? ?1 AF , MB ? ?2 BF ,求证: ?1 ? ?2 为定值。
2 1. (本小题满 分 12 分) 已知函数 f ( x) ? a ln x ? (Ⅰ)求 a、b 的值; (Ⅱ)当 x ? 1 时,不等式 f ( x) ?

b( x ? 1) ,曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程为 y ? 2 x
( x ? k ) ln x 恒成立,求实数 k 的取值范围。 x ?1

请考生在(22) 、 (23) 、 (24)三题中任选一题作答,如果多做,则按所做第一个题目计分。 22.(本小题满分 10 分)选修 4—1:几何证明选讲 如图 4,四边形 ABCD 内接于 ? O ,过点 A 作 ? O 的切线 EP 交 CB 的延长线于 P,已知 ?PAB ? 25 。
0

(Ⅰ)若 BC 是 ? O 的直径,求 ?D 的大小; (Ⅱ)若 ?DAE ? 25 ,求证: DA ? DC ? BP
0 2

23. (本题满分 10 分) 选修 4—4:坐标系与参数方程

4

2? ? x ? t cos ? ? 3 在平面直角坐标系 xOy 中,已知直线 l 的参数方程为 ? (t 为参数) , ? y ? 4 ? t sin 2? ? 3 ?
以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线 C 的极坐标方程是 ? ? 4 (Ⅰ)写出直线 l 的普通方程与曲线 C 的直角坐标方程; (Ⅱ)设直线 l 与曲线 C 相交于 A、B 两点,求 ?AOB 的值。

24. (本题满分 10 分) 选修 4—5:不等式选讲 已知函数 f ( x) ?| x ? 2 | 。 (I)解不等式: f ( x) ? f ( x ? 1) ? 2 (II)若 a ? 0 ,求证: f (ax) ? af ( x) ? f (2a)

5

揭阳市 2015-2016 学年度高中三年级学业水 平考试 数学(理科)参考答案及评分说明 一、本解答给出了一种或几种解法供参考,如果考生的解法与本解答不同,可根据试题 的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则. 二、 对计算题当考生的解答在某一步出现错误时, 如果后续部分的解答未改变该题的内 容和难度,可视影响的程度决定给分,但不得超过该部分正确解答应得分数的一半;如果后 y
x= 2

续部分的解答有较严重的错误,就不再给分. 三、解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 四、只给整数分数. 一、选择题:D D A B A C C B C D C D 解析:7.由函数 y ? f ( x) 的图象关于直线 x ? 2 对称得 f (2 ? x) ? f (2 ? x) ,

Q'

Q

F'

O

F( 2, 0)

x

y2 = 8x

P

则 f (m ? 4) ? ? f (4 ? m) ? ? f [2 ? (2 ? m)] ? ? f [2 ? (2 ? m)] ? ? f (m) ? ?3 . 8. f ( x) ? cos x sin x ? ( sin 2 x) ?
2 2 2

1 2

1 1 ? cos 4 x 1 ? ? (1 ? cos 4 x) , 4 2 8

故 f ( x) max ?

1 ? ,T ? . 4 2

9.依题意知,设汽车 x 年后的价值为 S ,则 S ? 15(1 ? 20%) x ,结合程序 框图易得当 n ? 4 时, S ? 15(1 ? 20%) ? 6.144 .
4

10.依题意知该几何体如右图示:故其表面积为

3 3 3 ? 62 ? ? 62 ? ? (6 2)2 ? 162 ? 18 3 . 2 4
11. 圆 x2 ? y 2 ? 2 3x ? 4 3 y ? 7 ? 0 即 ( x ? 3)2 ? ( y ? 2 3)2 ? (2 2)2 , 所 以

C(? 3, 2 3) ,
??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 4 1 ? ? ,所以圆心 C 到直线 | AC |?| BC |? 2 2 ,由 AC ?BC ? 4 得 cos ?ACB ? ???? ???? | AC | ? | BC | 2
x ? y ? a ? 0 的距离 d ?

| a ?3 3 | ? ? 2 2 cos ? 6 ,故 a ? 3 或 5 3 . 6 2
3 2

3 2 12. 函数 f ( x) ? ?2 x ? ax ? 1 存在唯一的零点,即方程 2 x ? ax ? 1 ? 0 有唯一的实根

? 直线 y ? a 与函数 g ( x) ?

2 x3 ? 1 2( x3 ? 1) g '( x ) ? 的图象有唯一的交点, 由 , 可得 g ( x) x2 x3

在 (??, ?1) 上单调递增,在 (?1, 0) 上单调递减,在 (0, ??) 上单调递增,所以当 x ? ?1 时,
6

2 x3 ? 1 g ( x) 有极小值,g ( x)极小 ? g (?1) ? ?3 , 故当 a ? ?3 时, 直线 y ? a 与函数 g ( x) ? x2
的图象有唯一的交点.

[ 或因 f ?( x) ? ?6 x2 ? 2ax, 由 f ?( x) ? 0 得 x ? 0 或 x ?
a 3

a ,若 a ? 0 显然 f ( x ) 存在唯一的 3 a )上 单 调 递 增 , 且 3

零 点 , 若 a ? 0 , f ( x ) 在 ( ??, 0) 和 ( , ??) 上 单 调 递 减 , 在 ( 0,

f (0) ? 1 ? 0, 故 f ( x) 存 在 唯 一的 零 点 ,若 a ? 0 , 要 使 f ( x) 存 在 唯 一 的 零点, 则 有
a f ( ) ? 0, 解得 a ? ?3 ,综上得 a ? ?3 . ] 3

??1,(n ? 1) ? 二、填空题:13. 9;14. 20;15. 2 2 ;16. ? 1 . .( n ? 2) ? n(n ? 1) ?
解析:15.设正方体的棱长为 x ,把半球补成全球,则问题为长、宽、高分别为 x 、 x 、 2 x 的长方体内接于球, 解得 x ? ? x2 ? x2 ? (2x)2 ? (2 3)2 , 16.由 所以正方体的体积为 2 2 . 2,

an ?1 1 1 1 ? Sn ? ? ? ?1 ? ? ?1 ? (n ? 1) ? (?1) ? ?n , Sn?1 Sn Sn S n ?1

??1, (n ? 1) 1 ? . Sn ? ? ? an ? ? 1 n ? n(n ? 1) .(n ? 2) ?
三、解答题: 17.解: (I)∵ A 、 C 为 ?ABC 的内角, 由 3c sin A ? a cos C 知 sin A ? 0,cos C ? 0 ,结合正弦定理可得:

3 sin A a sin A ----------------------------------------------------------? ? cos C c sin C
-3 分

? tan C ?
-4 分 ∵

3 ,---------------------------------------------------------------3

0?C ??



C?

?
6

.--------------------------------------------------------5 分

7

(II)解法 1:∵ c ? 2a , b ? 2 3 ,















4a 2 ? a 2 ? 12 ? 4 3a ?

3 2



----------------------------------------7 分 整理得: a ? 2a ? 4 ? 0
2

解得: a? 分

?2 ? 2 5 --------------------------------9 ? ?1 ? 5(其中负值不合舍去) 2

∴ a ? 5 ? 1 ,由 S?ABC ?

1 ab sin C 得 2
的 面 积

?ABC

1 S?ABC ? ? ( 2

? ?

? ?

? 5

.-------------------------12 分 1

1 2

3 2

)

【解法 2: 由 c ? 2a 结合正弦定理得:sin A ? 分 ∵

1 1 sin C ? , --------------------------6 2 4
A?C

a?c





,



cos A ? 1 ? sin 2 A ?

15 ,------------------------------7 分 4

∴ sin B ? sin[? ? ( A ? C )] ? sin( A ? C )

? sin A cos C ? cos A sin C =
-9 分 由 正 弦 定

1 3 15 1 15 ? 3 ? ? ? ? ,------------------------4 2 4 2 8







a?

b sin A ? 5 ?1 sin B



---------------------------------------------10 分 ∴

?ABC







1 1 1 3( 5 ? 1) S?ABC ? ab sin C ? ? ( 5 ? 1) ? 2 3 ? ? .-----------12 分】 2 2 2 2
18 .解: (I) 当 n ? 20 时,f (n) ? 500 ? 20 ? 200 ? (n ? 20) ? 200n ? 6000 --------------2

8

分 当

n ? 19





f(


?

n)

?

5 n? --------------------------4 分

0


?

n

? 2 n? f (n ? ? ?6 n ?

n? n?

n ? N ----------------------------------------5 分 )
?
---------------------------------------6

0 0

(8 ) 8 8 0 ? 0 , 1 (9 ) 9 4 0 0 f , (II) 由 (1) 得 f1


f (20) ? 10000, f (21) ? 10200, f (22) ? 10400, ------------------------------------7 分

? P( X ? 8800) ? 0.1, P( X ? 9400) ? 0.2, P( X ? 10000) ? 0.3, P( X ? 10200) ? 0.3, P( X ? 10400) ? 0.1, ----------------------9 分

X 的分布列为
X

8800
0.1

9400
0.2

10000
0.3

10200
0.3
A

10400
0.1
A1

P

? EX ? 8800 ? 0.1 ? 9400 ? 0.2 ? 10000 ? 0.3 ? 10200 ? 0.3 ? 10400 ? 0.1 ? 9860. -----12 分 19.(I)证法 1:连结 AC1,设 AC1 与 A1C 相交于点 E,连接 DE, 则 E 为 AC1 中点,-------------------------------2 分 ∵D 为 AB 的中点,∴DE∥BC1,------------------4 分 ∵BC 1 ? 平面 A1CD,DE ? 平面 A1CD,-------------5 分 ∴BC1∥平面 A1CD. ------------------------------6 分 【证法 2:取 A1B1 中点 D1 ,连结 BD1 和 C1D1 ,------1 分 ∵ BD 平行且等于 A1D1 ∴ -----------------------------------------------------------------2 分 ∵ A1D ? 平面 ACD , BD1 ? 平面 ACD 1 1 ∴四 边形 BD A1D1 为平行四边形
B D C B1 E

C1

A1D / / BD1

9

∴ BD1 / / 平面 ACD ,------------------------------3 分 1 同理可得 C1D1 / / 平面 ACD ------------------------4 分 1 ∵ BD1 ? C1D1 ? D1
D

A D1 C B B1

A1

/ / 平面 BD1C1 ∴平面 ACD 1

C1

又∵ BC1 ? 平面 BD1C1 ∴BC1∥平面 A1CD. ------------------------------6 分】 (II)

? AD2+A1 A2 = 5=A1D2

\ A1 A ^ AD, -------------------------------------7 分
又 B1B ^ BC, B1B / / A1 A 又

\ A1 A ^ BC , \ A1 A ^


AD ? BC ? B

ABC ------------------- ------------------------8 分
法一:设 BC 的中点为 O, B1C1 的中点为 O1 ,以 O 为原点, OB 所在的直线为 x 轴, OO1 所 在 的 直 线 为 y 轴 , OA 所 在 的 直 线 为 z 轴 , 建 立 空 间 直 角 坐 标 系

O ? xyz .------------------9 分

骣 1 3÷ ÷ ? 则 A1 0, 2, 3 , D ? ? , 0, ÷.

(

)

z A A1

? 2 桫

2 ÷

???? ? ∴ A1D ? ( 1 ,?2,? 3 ),--------------------10 分 2 2
平面 CBB1C1 的一个法向量 n = (0,0,1),

D
O

?

C
O

C1 y

1 ?????? ??? ???? ? ? B B | A1 D ? n | 15 所 以 直 线 A1D 与 平 1 值为 x 面 CBB1C1 所 成 角 的 正 弦 ??? ? | cos ? A1 D,n ?|? ?????? . 10 | A1 D | ? | n |

15 .-------------------------------12 分 10
【法二: 取 B1C1 的中点 H , 连结 A1H , 则 AH ? BC 1 1 1 -------------------------------7
A

分 ∵ AA1 ? 面 A1B1C1 ,故 AA 1 ? A 1H ,? BB 1 ? A 1H
D C

A1

C1 H B1

? B1C1 ? BB1 ? B1 ,? A1H ? 面 BCC1B1 ------9 分
F

B

延长 A1D 、 B1B 相交于点 F ,连结 FH ,
10



?A1FH





线

A1D







BCC1B1









.

------------------------------------10 分 因为 D 为 AB 的中点,故 A 1F ? 2 5 ,又 A 1H ? 3

?sin ?A1FH ?
即 直 线

3 15 ? 2 5 10
与 平 面

A1D

BCC1B1



















15 .------------------------------12 分】 10
【法三: 取 B1C1 的中点 H , 连结 A1H , 则 AH ? BC 1 1 1 -------------------------------7 分 ∵ AA1 ? 面 A1B1C1 ,故 AA 1 ? A 1H ,? BB 1 ? A 1H

? B1C1 ? BB1 ? B1

,

? A1H ?





BCC1B1 ------------------------------------------9 分
取 A1B1 中点 M,连结 BM,过点 M 作 MN / / A 1H ,则 MN ? 平面 BCC1B 1, 连结 BN,∵ A 1 D / / BM , ∴ ?MBN 为直线 A1D 与平面 BCC1B1 所成的角,---10 分
D C B B1 N H A A1 M C1

1 AH MN 2 1 3 15 ? ? ? ∵ sin ?MBN ? , BM A1 D 2 5 10
即 直 线

A1D







BCC1B1



















15 .------------------------------12 分】 10
x2 y2 20.解: (I)设椭圆 C 的 方程为 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) , a b
则 由 题 意 知

2b = 2, \ b = 1. -------- -----------------------------------------------2 分
11

1 2 5 a 2 ? b2 2 5 ? 1? 2 ? ? 2 a 5 a 5
解 得

a2 ? 5



--------------------------------------------------------------------4 分 ∴ 椭 圆 C 的 方 程 为

x2 ? y 2 ? 1. 5

---------------------------------------------------5 分 (II)证法 1:设 A、B、M 点的坐标分别为 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ), M (0, y0 ) , 易知 F 点的坐标为 (2, 0) . --------------------------------------- ---------------6 分 显然直线 l 的斜率存在, 设直线 l 的斜率为 k, 则直线 l 的方程是 y ? k ( x ? 2) , -----------7 分 将直线 l 的方程代入到椭圆 C 的方程中,消去 y 并整理得

(1 ? 5k 2 ) x2 ? 20k 2 x ? 20k 2 ? 5 ? 0 -----------------------------------------------9分

? x1 ? x 2 ?

20k 2 20k 2 ? 5 , x x ? . 1 2 1 ? 5k 2 1 ? 5k 2

-------------------------------------------10 分 又? MA ? ?1 AF, MB ? ?2 BF, 将各点坐标代入得 ?1 ?

x1 x2 , ?2 ? . 2 ? x1 2 ? x2

40k 2 40k 2 ? 10 ? 2 x1 x2 2( x1 ? x2 ) ? 2 x1 x2 1 ? 5 k 1 ? 5k 2 ? ?10. ------? ?1 ? ?2 ? ? ? ? 40k 2 20k 2 ? 5 2 ? x1 2 ? x2 4 ? 2( x1 ? x2 ) ? x1 x2 4? ? 1 ? 5k 2 1 ? 5k 2
12 分 【证法二:设点 A、B、M 的坐标分别为 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ), M (0, y0 ). 易知 F 点的坐标为 (2, 0) . ------------------------------------------------------6 分

? MA ? ?1 AF,? ( x1 , y1 ? y0 ) ? ?1 (2 ? x1 ,? y1 ).


12

x1 ?

y 2?1 , y1 ? 0 . ------------7 分 1 ? ?1 1 ? ?1 y 1 2?1 2 ) ? ( 0 ) 2 ? 1. 去分母整理得 5 1 ? ?1 1 ? ?1

将 A 点坐标代入到椭圆方程中,得 (
2 2 ?1 ? 10?1 ? 5 ? 5 y0 ? 0.

------ --------------------------------------------------9 分 同 理 , 由

MB ? ?2 BF





?2 2 ? 10?2 ? 5 ? 5 y0 2 ? 0 ---------------------------------10 分
即 分】 21.解: (I)∵ f ?( x) ? 是方程? 2? 10? ? 5 ? 5 y
2 0

? ?1 ? ?2 ? ?10. -------------------12 ? 0 的两个根,

a b ? , 且直线 y ? 2 的斜率为 0,又过点 (1, 2) , x x2

? f (1) ? 2, ? ∴? 1 -----------------------------------------------------------------? f (1) ? , ? ? 2
-2 分 即

?b ? 1, ? ?a ? b ? 0,





a ? 1 b ? -----------------------------------------------------3 , 1 分
(II)当 x ? 1 时,不等式

.

( x ? k ) ln x x2 ?1 x2 ?1 ? ? f1(,x ) 2? ? ( x ? 1) ln x ? ? ( x ? k ) ln x ? (k ? 1) ln x ? ? 0. --------------x ?1 x x

-5 分 令

g ( x) ? (k ? 1) ln x ?

x2 ? 1 k ?1 1 x 2 ? (k ? 1) x ? 1 , g ?( x) ? ?1? 2 ? x x x x2



------------- ---7 分 令 m( x) ? x ? (k ?1) x ? 1 ,
2

①当

1? k ? 1, 即 k ? ?1 时 , m( x) 在 (1, ??) 单 调 递 增 且 m(1)? 0, 所 以 当 x ? 1 时 , 2

13

g ?( x) ? 0 , g ( x) 在 (1, ??) 单 调 递 增 , ? g ( x) ? g (1) ? 0. 即 f ( x) ?
立.------------9 分 ②当

( x ? k ) ln x 恒成 x ?1

1? k 1? k 1? k ? 1, 即 k ? ?1 时, ) 上单调递减, ) m( x) 在上 (1, 且 m(1) ? 0 , 故当 x ? (1, 2 2 2

时, m( x) ? 0 即 g ?( x) ? 0, 所 以 函 数

g ( x)



(1,

1? k ) 2











----------------------------------------------10 分 当 x ? (1, 综

1? k ) 时, g ( x) ? 0, 与题设矛盾, 2
可 得



k













[?

1------------------------------------------------12 ? , ? ) . 分
22. 解 :( I ) ? EP 与 ⊙O 相 切 于 点 A , ??ACB ? ?PAB ? 250 ,

-----------------------1 分 又 BC 是 ⊙O 的 直 径 ,

??ABC ? 650 ---------------------- ------------------------3 分

? 四边形 ABCD 内接一于⊙O,??ABC ? ?D ? 1800
??D ? 1150. ------------------------------------------------------------------5 分 (II)? ?DAE ? 250 , ??ACD ? ?PAB, ?D ? ?PBA,

??ADC ? ?PBA. -------------------------------------------------------------7 分

?

DA DC ? . ----------------------------------------------------------- --BP BA

----8 分 又

DA ? BA, ? DA2 ? DC ? BP. ------------------------------- -------------------10
分 23.解: ( I) 直线 l 的普通方程为 3x ? y ? 4 ? 0 , ------------------------------------2
14

分 曲 线 C 的 直 角 坐 标 系 方 程 为

x2 ? y 2 ? 16. -------------------------------------------4 分
(II)⊙C 的圆心(0,0)到直线 l : 3x ? y ? 4 ? 0 的距离

d?
-6 分 ∴

4 ( 3) 2 ? 12

? 2, -----------------------------------------------------------

1 2 1 cos ?AOB ? ? , 2 4 2 1 ? ?AOB ? , 2 2

--------------------------------------------------------8 分 ∵0 ?

1 ? ? ?AOB ? , 2 3 2? ?AOB ? .-----------------------------------------------10 分 3
24.解: (I)由题意,得 f ( x) ? f ( x ? 1) ?| x ? 1| ? | x ? 2 | , 因 此 只 须 解 不 等 式



| x?

? x1 ? ? |

|

----- ----------------------------------------1 分 当 x≤1 时 , 原 不 式 等 价 于 -2x+3≤ 2 , 即

1 ? x ?1 ; 2

------------------------------------2 分 当 1 ? x ? 2 时, 原不式等价于 1≤2, 即1 ? x ? 2 ; -----------------------------------3 分 当 x>2 时, 原不式等价于 2x-3≤2, 即2 ? x ? 分 综 上 , 原 不 等 式 的 解 集 为

5 .-------------------------------------4 2

5? ? 1 ?x | ? x ? ? 2? ? 2

.

-----------------------------------------5 分 ( II ) 由 题 意 得

f (ax) ? af ( x) ? ax ? 2 ? a x ? 2 ------------------------------------6 分
15

= ax ? 2 ? 2a ? ax ? ax ? 2 ? 2a ? ax --------- -----------------------------------8 分

? 2a ? 2 ? f (2a). -------------------------------------------------------------9 分 所 以

f(

?

?

a )

x 成

(

立.----- ------------- ------------------------------10 分

16


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